Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Coördinaten en vectoren in 2D en 3D

Dit onderwerp brengt de meetkunde naar een coördinatenstelsel: je beschrijft punten in 2D en 3D met coördinaten, rekent met vectoren als verplaatsingen en als kolomvectoren, en gebruikt het inproduct om lengtes, hoeken en loodrechte stand te bepalen. Met een parametervoorstelling leg je ten slotte lijnen — en kort ook vlakken — vast met een steunpunt en een richtingsvector. Deze rekentaal vormt het fundament voor de rest van domein C (ruimtemeetkunde).

4Onderdelenca. 24min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0888 / 13

Examenprofiel

Punten in 2D en 3D vastleggen met coördinaten, en de afstand tussen twee punten en het midden van een lijnstuk berekenen met de (uitgebreide) stelling van Pythagoras.Rekenen met vectoren: optellen en aftrekken via kop-staart, scalair vermenigvuldigen, de lengte (norm) bepalen en de plaatsvector van een punt opstellen.Het inproduct berekenen en daarmee de hoek tussen twee vectoren bepalen en loodrechte stand aantonen.Een lijn — en kort ook een vlak — beschrijven met een parametervoorstelling, en controleren of een gegeven punt op de lijn ligt.

Operatoren:berekenbepaaltoon aanberedeneerinterpreteer

basisniveau

Zorg dat je punten in 3D feilloos plaatst en de afstand, het midden en de lengte van een vector routineus berekent; dat zijn de bewerkingen die in vrijwel elke opgave van domein C terugkomen.

verhoogd niveau

Werk exact met het inproduct — bepaal hoeken en toon loodrechte stand algebraïsch aan — en stel parametervoorstellingen op waarmee je de onderlinge ligging van punten en lijnen onderzoekt.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Coördinaten en vectoren in 2D en 3D

Coördinaten en afstand in 2D en 3D#

Basisexamenblad-nl

Afstand tussen twee punten in de ruimte

Afb. 1De punten A(1, 1, 1) en B(3, 4, 7) met het lijnstuk AB. De lengte ervan volgt uit de uitgebreide stelling van Pythagoras met de drie coördinaatverschillen.

In het platte vlak leg je een punt vast met twee getallen: een eerste coördinaat langs de horizontale as en een tweede langs de verticale as, zodat een punt

P

hoort bij een geordend paar

(x,y)

. In de ruimte komt er één richting bij — de hoogte — en dus een derde as. Bij wiskunde D nummeren we de assen

x_1

x_2

x_3

: de

x_1

-as wijst naar voren, de

x_2

-as naar opzij en de

x_3

-as recht omhoog, en ze staan twee aan twee loodrecht op elkaar. Hun gemeenschappelijke snijpunt is de oorsprong

O(0,0,0)

. Een punt in de ruimte hoort nu bij een geordend drietal

P(x,y,z)

: je loopt

x

langs de

x_1

-as, dan

y

evenwijdig aan de

x_2

-as en ten slotte

z

omhoog. De volgorde is essentieel —

P(3,0,4)

P(4,0,3)

zijn verschillende punten. Dit stelsel is het toneel waarop de hele ruimtemeetkunde zich afspeelt: zodra punten coördinaten krijgen, wordt meetkunde rekenen.

De afstand tussen twee punten volgt rechtstreeks uit de stelling van Pythagoras. Neem in het platte vlak de punten

A(x_1,y_1)

B(x_2,y_2)

. De horizontale verplaatsing is

\Delta x = x_2 - x_1

en de verticale verplaatsing

\Delta y = y_2 - y_1

; samen met het lijnstuk

AB

vormen die de twee rechthoekszijden en de schuine zijde van een rechthoekige driehoek. Pythagoras geeft dan

|AB|^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2

, dus

|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

. Zo is de afstand van

A(1,1)

tot

B(5,4)

gelijk aan

\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5

. Merk op dat het kwadrateren het teken van de verplaatsing wegwerkt, zodat het niet uitmaakt welk punt je

A

en welk punt je

B

noemt:

|AB| = |BA|

. Deze tweedimensionale formule is de bouwsteen waarop de ruimtelijke afstand in de volgende alinea wordt gestapeld.

In de ruimte pas je Pythagoras twee keer toe, en daaruit volgt de uitgebreide afstandsformule. Bekijk de punten

A(x_1,y_1,z_1)

B(x_2,y_2,z_2)

en zet ze in een rechthoekig blok met

AB

als lichaamsdiagonaal. Eerst bereken je de diagonaal

d

van de grondrechthoek met

\Delta x

\Delta y

als zijden:

d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2

. Die diagonaal

d

staat samen met de hoogteverplaatsing

\Delta z

loodrecht in een tweede rechthoekige driehoek, met

AB

als schuine zijde. Dus

|AB|^2 = d^2 + (\Delta z)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2

. Worteltrekken geeft de afstand in 3D:

|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

. De structuur is precies dezelfde als in 2D, maar met één extra kwadraat onder de wortel. Hieruit blijkt meteen dat de hoogtecoördinaat volwaardig meetelt: een verschil in

z

verlengt de afstand even sterk als een even groot verschil in

x

y

Het midden van een lijnstuk vind je door de coördinaten te middelen. Het middelpunt

M

van

A(x_1,y_1,z_1)

B(x_2,y_2,z_2)

heeft als coördinaten het gemiddelde per as:

M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2},\ \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)

. De gedachte erachter is eenvoudig: het midden ligt op de halve verplaatsing van

A

naar

B

, en de halve verplaatsing langs elke as is precies het gemiddelde van de twee coördinaten op die as. Zo is het midden van

A(2,4,6)

B(6,8,2)

gelijk aan

M(4,6,4)

. In het platte vlak laat je simpelweg de derde coördinaat weg:

M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)

. Het middelpunt gebruik je onder meer om het centrum van een bol of het symmetriepunt van een figuur te bepalen, en straks om handig een steunpunt van een lijn te kiezen.

Bij afstanden blijf je zo lang mogelijk exact rekenen. De wortel onder de afstandsformule levert vaak een irrationaal getal op, zoals

\sqrt{17}

\sqrt{50}

; laat dat staan en vereenvoudig waar het kan (

\sqrt{50} = 5\sqrt{2}

) in plaats van te vroeg af te ronden. Pas als de context om een getal vraagt, geef je een benadering, bijvoorbeeld

\sqrt{17} \approx 4{,}12

, op de gevraagde nauwkeurigheid. Deze afstandsformule is een van de meest gebruikte gereedschappen in domein C: je hebt haar nodig om te controleren of een driehoek gelijkbenig is, om de straal van een bol te bepalen en om lengtes van ribben en diagonalen in ruimtefiguren uit te rekenen. In de volgende paragraaf zul je zien dat dezelfde wortel-van-kwadraten ook de lengte (norm) van een vector is — de afstand

|AB|

is niets anders dan de lengte van de verplaatsingsvector van

A

naar

B

|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

Afstand tussen twee punten in 3D

De afstand is de wortel van de som van de gekwadrateerde coördinaatverschillen; laat één term weg voor de afstand in 2D.

M = \left( \dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2},\ \dfrac{z_1+z_2}{2} \right)

Midden van een lijnstuk

Het midden is het gemiddelde van de coördinaten per as; in 2D vervalt de derde coördinaat.

Uitgewerkt voorbeeld

De afstand tussen twee punten in 3D berekenen

Bereken de afstand $|AB|$ tussen $A(1,1,1)$ en $B(3,4,7)$ . Geef het antwoord exact.

Stap 1 — Bepaal de coördinaatverschillen
Trek per as de coördinaat van A af van die van B.
$\Delta x = 3-1 = 2,\quad \Delta y = 4-1 = 3,\quad \Delta z = 7-1 = 6$
Stap 2 — Kwadrateer en tel op onder de wortel
Vul de verschillen in de afstandsformule in en tel de kwadraten op.
$|AB| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36}$
Stap 3 — Trek de wortel
De som onder de wortel is 49, een kwadraat, dus de afstand is een geheel getal.
$|AB| = \sqrt{49} = 7$

Resultaat: De afstand is $|AB| = 7$ . Doordat $2^2+3^2+6^2 = 49$ een kwadraat is, komt er een mooi geheel getal uit; was de som geen kwadraat geweest, dan had je de wortel exact laten staan en pas op het eind benaderd.

Veelgemaakte fouten

De derde coördinaat vergeten onder de wortel, zodat je in 3D met de 2D-formule rekent; in de ruimte horen er drie kwadraten onder de wortel.
De verschillen optellen vóór het kwadrateren, of $\sqrt{a^2+b^2}$ als $a+b$ lezen — worteltrekken mag pas ná het optellen van de kwadraten.
Bij het midden de coördinaten aftrekken in plaats van te middelen, of vergeten door $2$ te delen.

Actieve herhaling

Gegeven zijn $A(2,-1,3)$ en $B(6,2,-1)$ . Bereken de afstand $|AB|$ exact en bepaal het midden $M$ van het lijnstuk $AB$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Vectoren en vectorbewerkingen#

Standardexamenblad-nl

Vectoren optellen met de kop-staartmethode

Afb. 2De kop-staartmethode: vector a vanuit O, daarna vector b vanaf de kop van a, samen leidend naar C. De somvector a+b loopt rechtstreeks van O naar C.

Een vector is een grootheid met zowel een grootte als een richting, en je tekent hem als een pijl. Waar een punt een plaats in de ruimte aangeeft, geeft een vector een verplaatsing aan: zoveel langs de ene as, zoveel langs de andere. De verplaatsing van punt

A

naar punt

B

noteren we als

\overrightarrow{AB}

, met

A

als staart (beginpunt) en

B

als kop (eindpunt). Twee pijlen die even lang zijn, dezelfde kant op wijzen en even schuin lopen, stellen dezelfde vector voor — ook al liggen ze op verschillende plaatsen in het stelsel. Een vector is dus „vrij”: hij ligt niet aan een vaste plek vast, alleen aan richting en lengte. Dat verklaart waarom je vectoren straks mag verschuiven om ze kop aan staart te leggen. Hiermee onderscheidt een vector zich van een gewoon getal (een scalair): bij een vector hoort altijd een richting, en juist die richting maakt vectoren het natuurlijke gereedschap voor meetkunde in coördinaten.

Naast de pijl heeft een vector een rekenkundige gedaante: de kolomvector. Je schrijft de verplaatsing per as onder elkaar, bijvoorbeeld

\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

, wat betekent:

2

langs de

x_1

-as,

1

langs de

x_2

-as en

2

langs de

x_3

-as. Die getallen heten de kentallen of componenten van de vector. De kentallen van

\overrightarrow{AB}

vind je door de coördinaten van de kop te verminderen met die van de staart — kortweg „kop min staart”:

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}

. Voor

A(1,1,1)

B(3,2,3)

geeft dat

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

. In het platte vlak heeft een kolomvector twee kentallen, in de ruimte drie. Deze schrijfwijze maakt het rekenen mechanisch: je werkt gewoon component voor component en hoeft de pijl er niet meer bij te tekenen.

Optellen van vectoren gaat per component, en meetkundig komt dat overeen met de kop-staartmethode. Bij

\vec{a} + \vec{b}

tel je de overeenkomstige kentallen op: de eerste bij de eerste, de tweede bij de tweede, enzovoort. Meetkundig leg je de staart van

\vec{b}

tegen de kop van

\vec{a}

; de somvector loopt dan van de staart van

\vec{a}

naar de kop van

\vec{b}

. Dat klopt precies, want de totale verplaatsing langs elke as is de som van de afzonderlijke verplaatsingen langs die as. Zo is

\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}

. Aftrekken werkt net zo, component voor component:

\vec{a} - \vec{b}

is de vector die je bij

\vec{b}

moet optellen om

\vec{a}

te krijgen. Hiermee verklaar je ook de regel uit de vorige alinea:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

is precies „kop min staart”.

Een vector met een getal vermenigvuldigen — de scalaire vermenigvuldiging — schaalt zijn lengte zonder de lijn van richting te veranderen. Bij

t\,\vec{v}

vermenigvuldig je elk kental met

t

t\,\vec{v} = \begin{pmatrix} t v_1 \\ t v_2 \\ t v_3 \end{pmatrix}

. Is

t > 0

, dan houdt de vector dezelfde richting en wordt hij

t

keer zo lang; is

t < 0

, dan klapt hij om naar de tegengestelde richting. Zo is

2\vec{v}

twee keer zo lang als

\vec{v}

, en

-\vec{v}

even lang maar tegengesteld gericht. Twee vectoren die een scalair veelvoud van elkaar zijn, wijzen langs dezelfde lijn — ze heten evenwijdig, en dat idee keert straks terug in de richtingsvector van een lijn. Een bijzondere vector is de plaatsvector: de plaatsvector van een punt

P

\overrightarrow{OP}

, de pijl vanuit de oorsprong naar

P

. Zijn kentallen zijn gelijk aan de coördinaten van

P

, dus

P(x,y,z)

hoort bij

\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

. Zo wordt elk punt een vector en elke plaatsvector een punt.

De lengte of norm van een vector is de afstand die de pijl overbrugt, en die bereken je met dezelfde wortel-van-kwadraten als de afstand tussen twee punten. Voor

\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

geldt

|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

; in 2D laat je de derde term weg. De formule volgt direct uit Pythagoras toegepast op de kentallen, net als bij

|AB|

— en inderdaad is

|\overrightarrow{AB}|

precies de afstand

|AB|

. Zo heeft

\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

de lengte

\sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3

. Een vector met lengte

1

heet een eenheidsvector. De norm gebruik je om snelheden, krachten en afstanden te meten, en straks om hoeken te berekenen: in het inproduct van de volgende paragraaf duiken de lengtes

|\vec{a}|

|\vec{b}|

weer op. Reken ook hier zo lang mogelijk exact en rond de wortel pas in de laatste stap af.

|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

De lengte (norm) van een vector

De lengte is de wortel van de som van de gekwadrateerde kentallen; dit is dezelfde formule als de afstand tussen twee punten.

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix}

Vectoren optellen per component

Tel de overeenkomstige kentallen op; aftrekken en scalair vermenigvuldigen gaan op dezelfde component-voor-component manier.

Uitgewerkt voorbeeld

Vectoren optellen en de lengte berekenen

Gegeven $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ en $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Bereken $\vec{a} + \vec{b}$ en de lengte $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

Stap 1 — Tel de vectoren op per component
Tel de overeenkomstige kentallen bij elkaar op.
$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
Stap 2 — Bereken de lengte van de somvector
Vul de kentallen van de somvector in de normformule in.
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34}$
Stap 3 — Laat exact staan, benader alleen indien gevraagd
De som onder de wortel (34) is geen kwadraat, dus de lengte blijft een wortel.
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{34} \approx 5{,}83$

Resultaat: De somvector is $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ met lengte $\sqrt{34} \approx 5{,}83$ . Ter controle: $|\vec{a}| = \sqrt{4+1+4} = 3$ en $|\vec{b}| = \sqrt{1+4+4} = 3$ , en inderdaad is $\sqrt{34} < 3 + 3 = 6$ — de twee vectoren wijzen niet precies dezelfde kant op, dus de som is korter dan de twee lengtes samen.

Veelgemaakte fouten

De kentallen van $\overrightarrow{AB}$ als „staart min kop” nemen ( $\vec{a} - \vec{b}$ in plaats van $\vec{b} - \vec{a}$ ), waardoor de vector de verkeerde kant op wijst.
Bij de lengte de kentallen optellen in plaats van te kwadrateren: $|\vec{v}|$ is $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , niet $x+y+z$ .
Een scalair alleen met het eerste kental vermenigvuldigen; bij $t\,\vec{v}$ wordt élk kental met $t$ vermenigvuldigd.

Actieve herhaling

Gegeven $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ en $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ . Bereken $\vec{a} + \vec{b}$ , de vector $2\vec{a} - \vec{b}$ en de lengte $|\vec{a}|$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Het inproduct: lengte en hoek#

Standardexamenblad-nl

De hoek tussen twee vectoren

Afb. 3Twee vectoren vanuit O: a naar A(3, 1) en b naar B(1, 2), met de ingesloten hoek phi. Het inproduct levert cos(phi) = ½√2, dus phi = 45°.

Het inproduct (ook wel scalair product) is een bewerking die aan twee vectoren één getal toekent. Je berekent het door de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en die producten op te tellen: voor

\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}

\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

. Het resultaat is dus géén vector maar een scalair (een getal) — vandaar de naam. Zo is

\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3\cdot 1 + 1\cdot 2 = 5

. In 2D vermenigvuldig je twee paren kentallen, in 3D drie. Let op het verschil met de scalaire vermenigvuldiging uit de vorige paragraaf: dáár vermenigvuldigde je een vector met een getal en kreeg je een vector terug; hier vermenigvuldig je twee vectoren en krijg je een getal. Dat ene getal blijkt verrassend veel meetkundige informatie te bevatten, zoals de volgende alinea's laten zien.

De eerste meetkundige betekenis van het inproduct zie je als je een vector met zichzelf vermenigvuldigt. Dan is

\vec{a} \cdot \vec{a} = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2

, en dat is precies het kwadraat van de lengte:

\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2

. Het inproduct verbindt zo de algebra (kentallen vermenigvuldigen) met de meetkunde (lengte meten). Hieruit volgt

|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}

, een handige manier om de norm te schrijven. Voor

\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}

\vec{a} \cdot \vec{a} = 9 + 1 = 10

, dus

|\vec{a}| = \sqrt{10}

. Deze samenhang is geen toeval: het inproduct is juist zo gedefinieerd dat lengtes en hoeken er netjes uitkomen. In de volgende alinea breiden we dit uit van de lengte van één vector naar de hoek tússen twee vectoren.

De kern van het inproduct is het verband met de hoek tussen twee vectoren. Er geldt

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

, waarbij

\varphi

de hoek is die de twee vectoren met elkaar maken als je hun staarten in hetzelfde punt legt. Dat dit klopt, kun je inzien met de cosinusregel toegepast op de driehoek die wordt gevormd door

\vec{a}

\vec{b}

\vec{a} - \vec{b}

: werk je

|\vec{a}-\vec{b}|^2

zowel met de kentallen als met de cosinusregel uit en stel je beide gelijk, dan vallen de termen samen tot bovenstaande gelijkheid. Door beide kanten te delen door

|\vec{a}|\,|\vec{b}|

krijg je de werkformule waarmee je een hoek berekent:

\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. Het inproduct in de teller bereken je via de kentallen, de lengtes in de noemer via de wortelformule, en de boog-cosinus geeft ten slotte de hoek in graden. Zo wordt een hoek meten een kwestie van rekenen met coördinaten.

Een bijzonder en veelgebruikt geval is loodrechte stand. Staan twee vectoren (beide niet de nulvector) loodrecht op elkaar, dan is

\varphi = 90^\circ

en dus

\cos\varphi = 0

; uit

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

volgt dan onmiddellijk

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

. Omgekeerd: is het inproduct

0

terwijl beide vectoren een lengte hebben, dan moet

\cos\varphi = 0

en staan ze loodrecht. Daarmee heb je een puur algebraïsche loodrecht-toets:

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

. Zo staan

\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

loodrecht op elkaar, want

\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 2 - 2 = 0

. Je hoeft dus geen hoek uit te rekenen om loodrechte stand aan te tonen — één inproduct gelijk aan nul volstaat. Deze toets gebruik je voortdurend in de ruimtemeetkunde: om aan te tonen dat ribben loodrecht staan, om een normaalvector van een vlak te herkennen, en om kortste afstanden te bepalen.

Het teken van het inproduct vertelt je al iets over de hoek voordat je verder rekent. Is

\vec{a} \cdot \vec{b} > 0

, dan is

\cos\varphi > 0

en is de hoek scherp (kleiner dan

90^\circ

); is het inproduct negatief, dan is de hoek stomp; is het

0

, dan is hij recht. Zo lees je in één oogopslag of twee richtingen ongeveer dezelfde kant op wijzen of juist tegengesteld. Bij het uitrekenen van een hoek werk je netjes in volgorde: eerst het inproduct, dan de twee lengtes, dan de breuk

\cos\varphi

, en pas op het eind de hoek met de boog-cosinus, afgerond op bijvoorbeeld één decimaal. Houd

\cos\varphi

exact zolang het kan:

\cos\varphi = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}

geeft exact

\varphi = 45^\circ

. Het inproduct is het rekenhart van de vectormeetkunde; in de volgende paragraaf, bij lijnen en vlakken, gebruik je het om richtingen te vergelijken en loodrechte stand te onderzoeken.

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Het inproduct

Vermenigvuldig de overeenkomstige kentallen en tel de producten op; de uitkomst is een getal.

\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} \qquad \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Hoek en loodrechte stand

De cosinus van de hoek is het inproduct gedeeld door het product van de lengtes; loodrechte stand betekent dat het inproduct nul is.

Uitgewerkt voorbeeld

De hoek tussen twee vectoren berekenen met het inproduct

Bereken de hoek $\varphi$ tussen $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ en $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ in graden.

Stap 1 — Bereken het inproduct
Vermenigvuldig de overeenkomstige kentallen en tel op.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot 1 + 1\cdot 2 = 5$
Stap 2 — Bereken de lengtes
Gebruik de normformule voor beide vectoren; laat de wortels exact staan.
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10},\qquad |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
Stap 3 — Bepaal de cosinus van de hoek
Deel het inproduct door het product van de lengtes en vereenvoudig de wortel.
$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Stap 4 — Bereken de hoek
Neem de boog-cosinus; ½√2 is de bekende waarde die bij 45° hoort.
$\varphi = \arccos\!\left(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) = 45^\circ$

Resultaat: De hoek is $\varphi = 45^\circ$ . Omdat $\cos\varphi = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}$ een exacte standaardwaarde is, komt er een nette hoek uit; bij andere getallen laat je $\cos\varphi$ exact staan en rond je de hoek pas op het eind af.

Veelgemaakte fouten

Het inproduct als een vector behandelen; $\vec{a}\cdot\vec{b}$ is een getal (scalair), geen vector.
In de hoekformule de lengtes vergeten en $\cos\varphi = \vec{a}\cdot\vec{b}$ schrijven; je moet delen door $|\vec{a}|\,|\vec{b}|$ .
Bij een negatief inproduct in de war raken: een stompe hoek hoort gewoon bij $\cos\varphi < 0$ ; vul de negatieve cosinus gewoon in de boog-cosinus in.

Actieve herhaling

Gegeven $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ en $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Bereken het inproduct $\vec{a}\cdot\vec{b}$ en de hoek $\varphi$ tussen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ in graden (rond af op één decimaal).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Lijnen en vlakken met vectoren#

Vertiefungexamenblad-nl

Een lijn door een steunpunt met een richtingsvector

Afb. 4De lijn l door het steunpunt A(1, 2, 1) met richtingsvector (2, 1, 2). Het punt Q(5, 4, 5) ligt op de lijn: het hoort bij parameterwaarde t = 2.

Een lijn in de ruimte leg je vast met een parametervoorstelling: een steunpunt waar de lijn doorheen gaat, plus een richtingsvector die aangeeft welke kant de lijn op loopt. Het idee is dit: kies een vast punt

P

op de lijn met plaatsvector

\vec{p}

, en een richtingsvector

\vec{r}

evenwijdig aan de lijn. Elk punt

X

op de lijn bereik je dan door vanuit

P

een veelvoud van

\vec{r}

af te leggen. In vectorvorm:

\vec{x} = \vec{p} + t\,\vec{r}

, waarbij de parameter

t

alle reële getallen doorloopt. Voor

t = 0

zit je in het steunpunt; voor groeiende

t

schuif je langs de lijn de ene kant op, voor negatieve

t

de andere kant. De lijn is dus de verzameling van alle plaatsvectoren

\vec{p} + t\,\vec{r}

. Anders dan een vergelijking

y = ax + b

, die alleen in het platte vlak werkt, beschrijft de parametervoorstelling net zo gemakkelijk een lijn in 3D — daarom is dit dé manier om lijnen in de ruimtemeetkunde vast te leggen.

Schrijf je de parametervoorstelling per component uit, dan krijg je drie vergelijkingen met dezelfde parameter

t

. Met steunpunt

P(p_1,p_2,p_3)

en richtingsvector

\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}

is dat

\begin{cases} x = p_1 + t\,r_1 \\ y = p_2 + t\,r_2 \\ z = p_3 + t\,r_3 \end{cases}

. Elke waarde van

t

levert één punt van de lijn op: vul je bijvoorbeeld

t = 0, 1, 2

in, dan krijg je drie punten die je kunt uitzetten. Omgekeerd lees je uit een gegeven parametervoorstelling meteen het steunpunt af (de constante delen) en de richtingsvector (de kentallen bij

t

). Zo hoort bij

\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

het steunpunt

(1,2,1)

en de richtingsvector

\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

. Let op: zowel het steunpunt als de richtingsvector zijn niet uniek — elk punt van de lijn mag steunpunt zijn, en elk (van nul verschillend) veelvoud van

\vec{r}

is een even goede richtingsvector.

Krijg je een lijn door twee gegeven punten

A

B

, dan maak je daar zelf een parametervoorstelling van. De richtingsvector is de verplaatsing van het ene naar het andere punt:

\vec{r} = \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}

, want die wijst langs de lijn. Als steunpunt neem je een van de twee punten, bijvoorbeeld

A

. Zo ontstaat

\vec{x} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})

. Voor

A(1,2,1)

B(3,3,3)

\vec{r} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

, zodat

\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

. Controleer dit even:

t = 0

geeft

A

t = 1

geeft

B

, dus beide gegeven punten liggen inderdaad op de lijn. Deze opbouw — richting uit het verschil van de plaatsvectoren, steunpunt uit een van de punten — is de standaardmanier om van twee punten naar een parametervoorstelling te gaan.

Met de parametervoorstelling kun je nagaan of een gegeven punt

Q

op de lijn ligt. Het punt ligt op de lijn precies dan als er één waarde van

t

bestaat die alle drie de componentvergelijkingen tegelijk klopt maakt. Je werkwijze: vul de coördinaten van

Q

in, los

t

op uit de eerste vergelijking, en controleer of diezelfde

t

ook de tweede en de derde laat kloppen. Komt overal dezelfde

t

uit, dan ligt

Q

op de lijn; spreekt ook maar één component tegen, dan ligt

Q

er niet op. Neem de lijn

\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

en het punt

Q(5,4,5)

: uit

x

volgt

1 + 2t = 5

, dus

t = 2

; invullen geeft

y = 2 + 2 = 4

z = 1 + 4 = 5

, beide kloppen, dus

Q

ligt op de lijn (bij

t = 2

). Bij

R(2,3,4)

daarentegen geeft

x

de waarde

t = 0{,}5

maar

y

de waarde

t = 1

— tegenspraak, dus

R

ligt niet op de lijn.

Op dezelfde manier leg je een vlak vast, maar nu heb je twee richtingsvectoren nodig. Een vlak is tweedimensionaal, dus om er overal in te kunnen bewegen heb je een steunpunt

\vec{p}

en twee niet-evenwijdige richtingsvectoren

\vec{u}

\vec{v}

nodig die in het vlak liggen. De parametervoorstelling van het vlak is dan

\vec{x} = \vec{p} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}

, met twee onafhankelijke parameters

s

t

. Door beide parameters te variëren bereik je elk punt van het vlak — net zoals je met één parameter elk punt van een lijn bereikt. De twee richtingsvectoren mogen geen veelvoud van elkaar zijn, want dan wijzen ze dezelfde kant op en spannen ze slechts een lijn op in plaats van een vlak. In het vervolg van domein C combineer je deze beschrijvingen: je onderzoekt of een lijn een vlak snijdt, of twee lijnen elkaar kruisen, en je gebruikt het inproduct uit de vorige paragraaf om loodrechte stand en hoeken tussen lijnen en vlakken te bepalen. De parametervoorstelling is daarmee het verbindende gereedschap van de hele ruimtemeetkunde.

\vec{x} = \vec{p} + t\,\vec{r} \qquad \begin{cases} x = p_1 + t\,r_1 \\ y = p_2 + t\,r_2 \\ z = p_3 + t\,r_3 \end{cases}

Parametervoorstelling van een lijn

Een lijn is vastgelegd door een steunpunt met plaatsvector p en een richtingsvector r; de parameter t doorloopt alle reële getallen.

\vec{x} = \vec{p} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}

Parametervoorstelling van een vlak

Een vlak heeft een steunpunt en twee niet-evenwijdige richtingsvectoren u en v, met twee parameters s en t.

Uitgewerkt voorbeeld

Een parametervoorstelling opstellen en een punt controleren

Stel een parametervoorstelling op van de lijn door $A(1,2,1)$ en $B(3,3,3)$ , en onderzoek of $Q(5,4,5)$ op deze lijn ligt.

Stap 1 — Bepaal de richtingsvector
De richtingsvector is de verplaatsing van A naar B: kop min staart.
$\vec{r} = \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-2 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Stap 2 — Schrijf de parametervoorstelling op
Neem A als steunpunt en zet de voorstelling per component uit.
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$
Stap 3 — Vul Q in en zoek één passende t
Los t op uit de x-vergelijking en controleer of diezelfde t ook y en z laat kloppen.
$x:\ 1 + 2t = 5 \Rightarrow t = 2;\qquad y:\ 2 + 2 = 4\ \checkmark;\qquad z:\ 1 + 4 = 5\ \checkmark$

Resultaat: De parametervoorstelling is $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Voor $Q(5,4,5)$ geeft elke component dezelfde waarde $t = 2$ , dus $Q$ ligt op de lijn. Zou ook maar één component een andere $t$ hebben gegeven, dan lag $Q$ er niet op.

Veelgemaakte fouten

Een punt „op de lijn” verklaren omdat $t$ uit één component klopt, zonder de andere componenten te controleren; dezelfde $t$ moet álle vergelijkingen kloppen maken.
De coördinaten van een punt als richtingsvector gebruiken, in plaats van de verplaatsing $\vec{b} - \vec{a}$ tussen twee punten.
Bij een vlak twee evenwijdige (veelvoud-)richtingsvectoren kiezen; dan beschrijf je een lijn, geen vlak.

Actieve herhaling

Stel een parametervoorstelling op van de lijn door $A(2,1,0)$ en $B(4,2,3)$ , en onderzoek of het punt $C(8,4,9)$ op deze lijn ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Coördinaten en vectoren in 2D en 3D

Kernpunten

De afstand tussen twee punten in 3D berekenen

Kernpunten

Vectoren optellen en de lengte berekenen

Kernpunten

De hoek tussen twee vectoren berekenen met het inproduct

Kernpunten

Een parametervoorstelling opstellen en een punt controleren

Bronnen