Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren

In dit onderwerp uit domein C (Ruimtemeetkunde) bereken je de oppervlakte en de inhoud van de belangrijkste ruimtefiguren: de balk en het prisma, de cilinder, de kegel en de piramide, en de bol. Je leert de formules niet alleen toepassen maar ook afleiden — waarom de inhoud van een kegel een derde van die van de omhullende cilinder is, waar het manteloppervlak $2\pi r h$ vandaan komt en hoe Archimedes aan $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ kwam. Ten slotte combineer je lichamen tot samengestelde figuren en gebruik je de schaalfactor om te zien hoe lengte, oppervlakte en inhoud verschillend meeschalen.

4Onderdelenca. 27min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0999 / 13

Examenprofiel

De inhoud van een prisma, balk en cilinder berekenen als grondvlak maal hoogte, en de oppervlakte bepalen als de som van de grensvlakken.De inhoud van een kegel en piramide berekenen met de factor een derde, en de schuine zijde en het manteloppervlak van een kegel bepalen.De inhoud en oppervlakte van een bol berekenen en het verband tussen straal, oppervlakte en inhoud beredeneren.Samengestelde lichamen berekenen door inhouden op te tellen of af te trekken, en met de schaalfactor k werken (lengte maal k, oppervlakte maal k², inhoud maal k³).

Operatoren:berekenbepaalleid afberedeneerinterpreteer

basisniveau

Zorg dat je de inhouds- en oppervlakteformules van balk, cilinder, kegel, piramide en bol foutloos kunt toepassen met het formuleblad, met de juiste straal (niet de diameter) en de juiste eenheid.

verhoogd niveau

Leid de formules af waar gevraagd (de factor een derde, het manteloppervlak, de schaalregel), reken zo lang mogelijk exact in π, en combineer lichamen tot samengestelde figuren en schaalvragen.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren

Inhoud en oppervlakte van prisma, balk en cilinder#

Basisexamenblad-nl

Uitgerolde mantel van een cilinder

Afb. 1De mantel van een cilinder opengeknipt en platgerold: een rechthoek met hoogte h en breedte 2·π·r (de omtrek van de grondcirkel), met oppervlakte 2·π·r·h.

De inhoud van een ruimtefiguur geeft aan hoeveel ruimte het lichaam inneemt; je meet hem in kubieke eenheden zoals

\text{cm}^3

\text{m}^3

. Voor een hele familie lichamen — de prisma's — geldt één eenvoudige regel: de inhoud is het grondvlak maal de hoogte,

V = G \cdot h

. Een prisma is een lichaam met twee evenwijdige, congruente grondvlakken die door rechthoeken verbonden zijn; denk aan een balk, een driehoekig prisma of een zeshoekige zuil. Je kunt je het lichaam voorstellen als een stapel dunne, even grote plakjes: elk plakje heeft oppervlakte

G

en samen vormen ze een hoogte

h

, dus het volume is

G \cdot h

. Bij een balk is het grondvlak een rechthoek met lengte

l

en breedte

b

, zodat

G = l \cdot b

en de bekende formule

V = l \cdot b \cdot h

ontstaat. Een kubus met ribbe

a

is dan het bijzondere geval

V = a^3

Een cilinder is in feite een ronde prisma: het grondvlak is geen veelhoek maar een cirkel. Dezelfde stapelredenering werkt onverkort — je stapelt cirkelvormige schijfjes met straal

r

op elkaar tot een hoogte

h

. Omdat de oppervlakte van een cirkel

G = \pi r^2

is, wordt de inhoud van de cilinder

V = G \cdot h = \pi r^2 h

. Dat de formule voor een prisma en voor een cilinder dezelfde vorm

V = G \cdot h

heeft, is geen toeval: het is het principe van Cavalieri, dat zegt dat twee lichamen met op elke hoogte even grote doorsneden ook dezelfde inhoud hebben. Reken altijd met de straal, niet met de diameter: krijg je een diameter

d

, dan is

r = \tfrac{1}{2}d

. Doordat de straal gekwadrateerd wordt, verviervoudigt de inhoud van een twee keer zo dikke cilinder. Houd

\pi

zo lang mogelijk staan en rond pas in de laatste stap af.

De oppervlakte van een ruimtefiguur is de totale buitenkant: de som van de oppervlakten van alle grensvlakken. Bij een balk zijn dat zes rechthoeken die paarsgewijs gelijk zijn — voor en achter (

l \cdot h

), links en rechts (

b \cdot h

) en boven en onder (

l \cdot b

) — zodat de totale oppervlakte

A = 2(lb + bh + lh)

wordt. De truc bij elk lichaam is hetzelfde: maak in gedachten een uitslag, leg alle vlakken plat naast elkaar, bereken hun oppervlakten en tel ze op. Bij een cilinder bestaat de buitenkant uit drie stukken: een cirkelvormig deksel en een cirkelvormige bodem, elk met oppervlakte

\pi r^2

, plus het gebogen zijvlak — de mantel. Samen leveren deksel en bodem

2\pi r^2

; in de volgende alinea zien we hoe je de mantel berekent. Let goed op de gevraagde eenheid: oppervlakte in

\text{cm}^2

, inhoud in

\text{cm}^3

Het manteloppervlak van een cilinder is verrassend eenvoudig zodra je de mantel openknipt en uitrolt. Knip het gebogen zijvlak langs één verticale lijn door en rol het plat: je houdt een gewone rechthoek over. De hoogte van die rechthoek is de hoogte

h

van de cilinder, en de breedte is precies de omtrek van de grondcirkel, want die rand wordt nu een rechte zijde. De omtrek van een cirkel met straal

r

2\pi r

, dus de mantel heeft oppervlakte

A_{\text{mantel}} = 2\pi r \cdot h

. Tel je daar deksel en bodem bij op, dan is de totale oppervlakte van een gesloten cilinder

A = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)

. Bij een open lichaam — een beker of een buis zonder deksel — laat je de overeenkomstige cirkel(s) weg; lees daarom altijd nauwkeurig of het lichaam open of gesloten is. Deze uitrol-truc komt in de volgende paragraaf terug bij de kegel.

Deze twee lichamen — het prisma/de balk en de cilinder — vormen het fundament van de hele ruimtemeetkunde: zo goed als elk samengesteld voorwerp dat je later tegenkomt is opgebouwd uit, of begrensd door, vlakke veelhoeken en cilindervlakken. In toepassingen reken je er voortdurend mee: het volume van een verpakking of een tank, de hoeveelheid verf voor een muur, het materiaal voor een blik. Werk daarbij netjes met de formules en blijf zo lang mogelijk exact. Een inhoud als

160\pi

is een exact antwoord; pas als de context om een getal vraagt — bijvoorbeeld het aantal liters — vervang je

\pi

door een benadering en rond je af op de gevraagde nauwkeurigheid. In de volgende paragrafen vervang je het platte grondvlak door een punt: bij de kegel en de piramide loopt het lichaam in een top samen, en dan duikt onverwacht de factor

\tfrac{1}{3}

op.

V = G \cdot h = \pi r^2 h

inhoud van een prisma en een cilinder

De inhoud is altijd het grondvlak $G$ maal de hoogte $h$ ; bij een cilinder is $G = \pi r^2$ , dus $V = \pi r^2 h$ .

A_{\text{cilinder}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)

oppervlakte van een gesloten cilinder

Deksel en bodem leveren $2\pi r^2$ , de uitgerolde mantel $2\pi r h$ ; samen $2\pi r(r+h)$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud en oppervlakte van een cilinder

Een gesloten cilinder heeft een straal $r = 4$ cm en een hoogte $h = 10$ cm. Bereken de inhoud en de totale oppervlakte, exact in $\pi$ en afgerond op gehele getallen.

Stap 1 — Bereken de inhoud
Vul $r = 4$ en $h = 10$ in de inhoudsformule $V = \pi r^2 h$ in.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3$
Stap 2 — Bereken de mantel en de twee cirkels
De mantel is een uitgerolde rechthoek $2\pi r h$ ; deksel en bodem leveren samen $2\pi r^2$ .
$A_{\text{mantel}} = 2\pi \cdot 4 \cdot 10 = 80\pi, \qquad 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 16 = 32\pi$
Stap 3 — Tel op en rond af
Tel de drie oppervlakten op tot de totale oppervlakte en rond pas daarna af.
$A = 80\pi + 32\pi = 112\pi \approx 352 \text{ cm}^2$

Resultaat: Resultaat: de inhoud is $160\pi \approx 503\ \text{cm}^3$ en de totale oppervlakte $112\pi \approx 352\ \text{cm}^2$ . Door eerst exact in $\pi$ te rekenen blijven de tussenstappen ( $80\pi$ en $32\pi$ ) overzichtelijk; pas in de allerlaatste stap rond je af.

Veelgemaakte fouten

Rekenen met de diameter in plaats van de straal: in $V = \pi r^2 h$ en $A = 2\pi r(r+h)$ hoort de straal $r = \tfrac{1}{2}d$ , niet de diameter.
Oppervlakte en inhoud verwarren of de verkeerde eenheid geven ( $\text{cm}^2$ versus $\text{cm}^3$ ); oppervlakte is een som van vlakken, inhoud een product van drie lengtes.
Bij een open lichaam (beker, buis) toch deksel of bodem meetellen, of bij de cilinder juist de mantel $2\pi r h$ vergeten.

Actieve herhaling

Een gesloten cilindervormig blik heeft een straal van $5$ cm en een hoogte van $12$ cm. Bereken de inhoud en de totale oppervlakte, eerst exact in $\pi$ en daarna afgerond op gehele getallen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Inhoud en manteloppervlak van kegel en piramide#

Standardexamenblad-nl

Asdoorsnede van een kegel

Afb. 2De asdoorsnede (verticale doorsnede door de top) van een kegel: een gelijkbenige driehoek met hoogte h, halve basis r en schuine zijde s. Uit de rechthoekige driehoek T-M-R volgt s = √(r²+h²).

De kegel en de piramide horen bij elkaar: het zijn lichamen die vanuit een vlak grondvlak in één punt — de top — samenlopen. Bij een piramide is het grondvlak een veelhoek (vaak een vierkant of een driehoek) en lopen de zijvlakken als driehoeken naar de top; bij een kegel is het grondvlak een cirkel en is het zijvlak een gebogen mantel. Voor allebei geldt dezelfde inhoudsformule:

V = \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h

, waarin

G

het grondvlak is en

h

de hoogte — de loodrechte afstand van de top tot het grondvlak, dus niet de schuine zijde. Voor een kegel met grondcirkel

\pi r^2

wordt dat

V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h

. Vergelijk dit met de cilinder of het prisma uit de vorige paragraaf, waar

V = G \cdot h

: een kegel en een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte verschillen precies een factor

3

. De top kost je dus twee derde van de inhoud.

Waar komt die factor

\tfrac{1}{3}

vandaan? Een mooie verklaring werkt met een kubus. Verbind het middelpunt van een kubus met de vier hoekpunten van één grensvlak: je krijgt een piramide met dat grensvlak als grondvlak en het kubusmidden als top. Op deze manier valt de kubus uiteen in zes van zulke piramides, één voor elk grensvlak, die samen precies de kubus vullen. Elke piramide heeft dus inhoud

\tfrac{1}{6}

van de kubus. Omdat de hoogte van zo'n piramide de halve ribbe is, klopt dit met de formule:

\tfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \tfrac{1}{2}a = \tfrac{1}{6}a^3

. Algemener volgt het resultaat uit het principe van Cavalieri: op hoogte

x

boven het grondvlak is de doorsnede van een kegel of piramide een geschaalde kopie van het grondvlak, en die geschaalde oppervlakten samen leveren precies een derde van

G \cdot h

. Je hoeft de afleiding niet uit het hoofd te kennen, maar het idee — een top kost twee derde — maakt de formule onthoudbaar.

Bij een kegel moet je naast de rechte hoogte

h

vaak de schuine zijde

s

kennen: de afstand van de top tot een punt op de rand van de grondcirkel. Die twee zijn niet hetzelfde —

h

staat loodrecht op het grondvlak,

s

loopt schuin langs de mantel. Je vindt

s

met de stelling van Pythagoras. Teken de rechthoekige driehoek met als rechthoekszijden de hoogte

h

(van de top recht omlaag naar het middelpunt

M

) en de straal

r

(van

M

naar de rand); de schuine zijde van die driehoek is juist

s

. Dus

s^2 = r^2 + h^2

, oftewel

s = \sqrt{r^2 + h^2}

. Andersom vind je hiermee

h = \sqrt{s^2 - r^2}

als je

s

r

kent. Met

r = 6

h = 8

is bijvoorbeeld

s = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

. Deze schuine zijde heb je meteen nodig voor het manteloppervlak.

Het manteloppervlak van een kegel rol je — net als bij de cilinder — open. Knip de mantel langs één schuine lijn door en leg hem plat: nu krijg je geen rechthoek maar een cirkelsector (een taartpunt) van een cirkel met straal

s

, want elk punt op de mantel ligt op afstand

s

van de top. De boog van die sector is even lang als de omtrek van de grondcirkel, dus

2\pi r

. Een volledige cirkel met straal

s

heeft oppervlakte

\pi s^2

en omtrek

2\pi s

; onze sector is daarvan de fractie

\tfrac{2\pi r}{2\pi s} = \tfrac{r}{s}

. Het manteloppervlak is dus

A_{\text{mantel}} = \tfrac{r}{s} \cdot \pi s^2 = \pi r s

. Wil je de totale oppervlakte van een dichte kegel, tel dan de grondcirkel erbij op:

A = \pi r^2 + \pi r s = \pi r(r + s)

. Let op het verschil: in de inhoud staat de hoogte

h

, in het manteloppervlak de schuine zijde

s

Kegels en piramides duiken overal op: een ijshoorntje, een trechter, een puntdak, de grote piramides, een hoop zand. In zulke toepassingen reken je inhouden (hoeveel past erin?) en oppervlakten (hoeveel materiaal kost de buitenkant?), en je moet daarbij scherp houden welke maat gegeven is — de hoogte of de schuine zijde. Vaak is een opgave een keten: eerst

s

uit

r

h

met Pythagoras, dan het manteloppervlak met

\pi r s

, of omgekeerd

h

uit

s

r

voor de inhoud. Deze combinatie van Pythagoras en oppervlakteformules is precies wat de ruimtemeetkunde van wiskunde D kenmerkt. In de volgende paragraaf maken we de overgang compleet: van een lichaam met een top naar een lichaam zonder enige hoek of rand — de bol, waar zowel de inhoud als de oppervlakte met

\pi

en de straal worden uitgedrukt.

V = \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h

inhoud van een kegel en piramide

De inhoud is een derde van grondvlak maal hoogte; bij een kegel is $G = \pi r^2$ . Gebruik de loodrechte hoogte $h$ .

s = \sqrt{r^2 + h^2}, \qquad A_{\text{mantel}} = \pi r s

schuine zijde en manteloppervlak van een kegel

De schuine zijde volgt uit Pythagoras met $r$ en $h$ ; het manteloppervlak is dan $\pi r s$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud en manteloppervlak van een kegel

Een kegel heeft een straal $r = 6$ cm en een hoogte $h = 8$ cm. Bereken de schuine zijde $s$ , het manteloppervlak en de inhoud, exact in $\pi$ en afgerond op gehele getallen.

Stap 1 — Bepaal de schuine zijde met Pythagoras
De hoogte $h$ en de straal $r$ zijn de rechthoekszijden; de schuine zijde $s$ volgt uit $s = \sqrt{r^2+h^2}$ .
$s = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$
Stap 2 — Bereken het manteloppervlak
Vul $r = 6$ en $s = 10$ in $A_{\text{mantel}} = \pi r s$ in.
$A_{\text{mantel}} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \approx 188 \text{ cm}^2$
Stap 3 — Bereken de inhoud
Gebruik de loodrechte hoogte $h = 8$ (niet $s$ ) in $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ .
$V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 288 = 96\pi \approx 302 \text{ cm}^3$

Resultaat: Resultaat: $s = 10$ cm, het manteloppervlak is $60\pi \approx 188\ \text{cm}^2$ en de inhoud $96\pi \approx 302\ \text{cm}^3$ . Merk op dat het manteloppervlak met de schuine zijde $s = 10$ wordt berekend, terwijl de inhoud de loodrechte hoogte $h = 8$ gebruikt — verwissel die twee niet.

Veelgemaakte fouten

De schuine zijde $s$ gebruiken waar de hoogte $h$ hoort (of andersom): in de inhoud $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ staat de loodrechte hoogte, in het manteloppervlak $\pi r s$ de schuine zijde.
De factor $\tfrac{1}{3}$ vergeten en de kegel als een cilinder behandelen, waardoor het antwoord drie keer te groot wordt.
Bij de oppervlakte de grondcirkel $\pi r^2$ er wel of juist niet bij optellen zonder te lezen of een dichte of open kegel gevraagd is.

Actieve herhaling

Een kegel heeft een straal van $9$ cm en een hoogte van $12$ cm. Bereken eerst de schuine zijde $s$ , daarna het manteloppervlak $\pi r s$ en ten slotte de inhoud, telkens exact in $\pi$ waar mogelijk.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Inhoud en oppervlakte van de bol#

Standardexamenblad-nl

Oppervlakte en inhoud van een bol schalen verschillend

Afb. 3Bij een schaalfactor k groeit de oppervlakte van een bol met k² (4·π·r² gebruikt r²) en de inhoud met k³ (4⁄3·π·r³ gebruikt r³): verdubbel je de straal (k=2), dan wordt de oppervlakte 4 keer en de inhoud 8 keer zo groot.

Een bol is de verzameling van alle punten in de ruimte die op een vaste afstand — de straal

r

— van een vast middelpunt

M

liggen; het is het driedimensionale broertje van de cirkel. De bol is het meest symmetrische lichaam dat er bestaat: hij heeft geen hoeken, geen ribben en geen vlakke kanten, en ziet er vanuit elke richting hetzelfde uit. Twee formules beschrijven hem volledig, en allebei hangen ze alleen van de straal af. De inhoud is

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

en de oppervlakte is

A = 4\pi r^2

. Anders dan bij de cilinder of de kegel is er geen hoogte of grondvlak om te kiezen: zodra je

r

kent, liggen zowel de inhoud als de oppervlakte vast. Let op de machten: in de inhoud staat

r^3

(een ruimtemaat, in

\text{cm}^3

) en in de oppervlakte

r^2

(een vlaktemaat, in

\text{cm}^2

). Die machten —

3

voor inhoud,

2

voor oppervlakte — vormen de rode draad van dit hele onderwerp.

De inhoudsformule

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

is bepaald niet vanzelfsprekend; ze gaat terug op Archimedes, die haar als zijn mooiste resultaat beschouwde. Hij vergeleek de bol met de kleinste cilinder waar de bol precies in past: een cilinder met straal

r

en hoogte

2r

(zo hoog als de bol breed is). Die omhullende cilinder heeft inhoud

\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3

. Archimedes toonde aan dat de bol precies twee derde van die cilinder vult, dus

V_{\text{bol}} = \tfrac{2}{3} \cdot 2\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi r^3

— en daar staat de formule. De verhouding bol staat tot cilinder als

2 : 3

is zo elegant dat Archimedes een bol-in-cilinder op zijn grafsteen liet beitelen. Je hoeft het bewijs niet te reproduceren, maar onthoud het beeld: een bol is twee derde van zijn omhullende cilinder. Zo controleer je ook snel of een uitkomst de juiste orde van grootte heeft.

De oppervlakte

A = 4\pi r^2

hangt fraai samen met de inhoud. Stel je de bol opgebouwd voor uit ontelbaar veel piepkleine piramides, elk met hun top in het middelpunt

M

en hun grondvlakje op het boloppervlak. Elke piramide heeft hoogte

r

(van het oppervlak naar het middelpunt), dus volgens

V = \tfrac{1}{3} G h

is de totale bolinhoud

V = \tfrac{1}{3} \cdot A \cdot r

, waarbij

A

de som van alle grondvlakjes — het hele boloppervlak — is. Vul je hierin de bekende inhoud

\tfrac{4}{3}\pi r^3

in, dan krijg je

\tfrac{1}{3} A r = \tfrac{4}{3}\pi r^3

, en delen door

\tfrac{1}{3}r

geeft

A = 4\pi r^2

. De oppervlakte is dus precies vier keer de oppervlakte van een grootcirkel

\pi r^2

(een doorsnede door het midden). Deze redenering verbindt de twee bolformules met de piramideformule uit de vorige paragraaf — een mooi voorbeeld van hoe de onderdelen van dit onderwerp in elkaar grijpen.

Omdat de inhoud met

r^3

en de oppervlakte met

r^2

gaat, reageren ze heel verschillend op een verandering van de straal. Maak je de straal twee keer zo groot, dan wordt de oppervlakte

2^2 = 4

keer zo groot, maar de inhoud

2^3 = 8

keer zo groot. Een bol met dubbele straal heeft dus acht keer zo veel inhoud bij slechts vier keer zo veel oppervlakte. Dit verklaart talloze verschijnselen: grote zeepbellen en planeten zijn relatief zuinig met oppervlakte ten opzichte van hun inhoud, terwijl kleine druppels juist veel oppervlakte per volume hebben. Algemener: vermenigvuldig je de straal met een factor

k

, dan gaat de oppervlakte maal

k^2

en de inhoud maal

k^3

. Je kunt dit ook omkeren: ken je de inhoud en wil je de straal, dan maak je de formule vrij tot

r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}

. Deze

k^2

- en

k^3

-gedachte werken we in de laatste paragraaf algemeen uit voor alle lichamen.

De bol is onmisbaar zodra ronde voorwerpen in het spel zijn: knikkers en ballen, druppels en luchtbellen, planeten en sterren, bolvormige tanks en koepels. In berekeningen krijg je vaak een omgekeerde vraag — bepaal de straal uit een gegeven inhoud of oppervlakte — en dan moet je de formule herleiden en een derde- of tweedemachtswortel trekken. Houd ook hier het exact rekenen aan: een inhoud als

288\pi

of een oppervlakte als

144\pi

is een net, exact antwoord dat je pas afrondt als de context erom vraagt. In de slotparagraaf brengen we alles samen: we plakken een halve bol op een cilinder tot een samengesteld lichaam en tellen de inhouden op, en we maken de schaalregel — lengte maal

k

, oppervlakte maal

k^2

, inhoud maal

k^3

— die je hierboven bij de bol al zag, helemaal algemeen en sluitend.

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

inhoud van een bol

De inhoud hangt alleen van de straal af en groeit met de derde macht ervan.

A = 4\pi r^2

oppervlakte van een bol

De oppervlakte is vier keer die van een grootcirkel $\pi r^2$ en groeit met het kwadraat van de straal.

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud en oppervlakte van een bol

Een bol heeft een straal $r = 6$ cm. Bereken de inhoud en de oppervlakte, exact in $\pi$ en afgerond op gehele getallen.

Stap 1 — Bereken de inhoud
Vul $r = 6$ in $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ in; werk eerst $r^3$ uit.
$V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 905 \text{ cm}^3$
Stap 2 — Bereken de oppervlakte
Vul $r = 6$ in $A = 4\pi r^2$ in; gebruik $r^2$ , niet $r^3$ .
$A = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452 \text{ cm}^2$
Stap 3 — Vergelijk de machten en eenheden
Controleer de eenheden en de machten: de inhoud groeit met $r^3$ en staat in $\text{cm}^3$ , de oppervlakte met $r^2$ en staat in $\text{cm}^2$ .
$V = 288\pi \text{ cm}^3, \qquad A = 144\pi \text{ cm}^2$

Resultaat: Resultaat: de inhoud is $288\pi \approx 905\ \text{cm}^3$ en de oppervlakte $144\pi \approx 452\ \text{cm}^2$ . De inhoud gebruikt $r^3 = 216$ en de oppervlakte $r^2 = 36$ ; verwissel die twee machten niet, want dat is de meest gemaakte fout bij de bol.

Veelgemaakte fouten

De machten verwisselen: de inhoud gebruikt $r^3$ ( $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ ), de oppervlakte gebruikt $r^2$ ( $4\pi r^2$ ).
De factor $\tfrac{4}{3}$ of de $4$ vergeten, of $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ verwarren met de cilinderinhoud $\pi r^2 h$ .
Bij het herleiden naar de straal de juiste wortel vergeten: uit $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ volgt $r = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}$ , een derdemachtswortel.

Actieve herhaling

Een bol heeft een straal van $5$ cm. Bereken de inhoud en de oppervlakte, exact in $\pi$ en afgerond op gehele getallen. Hoeveel keer zo groot wordt de inhoud als je de straal verdubbelt?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Samengestelde lichamen en de schaalfactor#

Vertiefungexamenblad-nl

Formules voor oppervlakte en inhoud

Afb. 4Overzicht van de inhouds- en oppervlakteformules per lichaam. Hierbij is G het grondvlak en s = √(r²+h²) de schuine zijde van de kegel.

Veel voorwerpen uit de praktijk zijn geen enkel net lichaam, maar samengesteld: ze ontstaan door bekende lichamen aan elkaar te plakken of uit elkaar weg te halen. Een graansilo is een cilinder met een halve bol als dak; een potlood is een lange cilinder met een kegel aan het uiteinde; een buis is een dikke cilinder waaruit een dunnere cilinder is weggehaald. De aanpak is altijd dezelfde: knip het samengestelde lichaam in gedachten in stukken waarvan je de inhoud (of oppervlakte) wél kent, reken elk stuk apart uit, en tel de inhouden op of trek ze af. Voor de silo geldt bijvoorbeeld

V_{\text{totaal}} = V_{\text{cilinder}} + V_{\text{halve bol}}

, terwijl voor de buis

V = V_{\text{buiten}} - V_{\text{binnen}}

. Een halve bol heeft uiteraard de halve inhoud van een hele bol, dus

\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3}\pi r^3

. Het enige wat telt is dat je de juiste stukken kiest en let op gemeenschappelijke maten — de straal van de halve bol is gelijk aan die van de cilinder eronder.

Bij de oppervlakte van een samengesteld lichaam moet je voorzichtiger zijn dan bij de inhoud. Inhouden mag je zonder meer optellen, maar oppervlakten niet, want op de naad waar twee lichamen elkaar raken verdwijnt een stuk buitenkant naar binnen. Bij de silo — een cilinder met een halve bol erop — telt het cirkelvormige deksel van de cilinder niet mee, want daar zit immers de halve bol op, en de platte onderkant van de halve bol evenmin. De buitenkant bestaat dus uit: de mantel van de cilinder (

2\pi r h

), de bodem van de cilinder (

\pi r^2

) en het gebogen oppervlak van de halve bol (

\tfrac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2

). Tel dus alleen de vlakken op die echt aan de buitenkant liggen. Maak desnoods een schets en arceer wat je ziet; zo voorkom je dat je verborgen, dichtgeplakte vlakken meerekent. Deze houding — kijk goed wat buiten ligt — onderscheidt een nette oppervlakteberekening van een simpele inhoudsoptelling.

De tweede grote techniek van deze paragraaf is de schaalfactor. Vergroot of verklein je een lichaam gelijkvormig — dat wil zeggen: in alle richtingen met dezelfde factor — dan noemen we die factor de schaalfactor

k

. Alle lengtematen worden dan met

k

vermenigvuldigd: de hoogte, de straal, elke ribbe, maar ook de omtrek en de schuine zijde. Bouw je bijvoorbeeld een maquette op schaal

1 : 50

, dan is elke lengte in werkelijkheid

50

keer zo groot, dus

k = 50

van maquette naar echt. Het is verleidelijk om te denken dat dan ook de oppervlakte en de inhoud met

k

meegroeien, maar dat klopt niet: een oppervlakte is opgebouwd uit twee lengtes en een inhoud uit drie, en daardoor groeien zij met hogere machten van

k

. Juist deze valkuil — de gewone intuïtie klopt niet — maakt schaalvragen een geliefd examenonderwerp, en daarom leiden we de juiste regels in de volgende alinea zorgvuldig af.

Waarom gaat de oppervlakte met

k^2

en de inhoud met

k^3

? Neem als voorbeeld een balk

l \times b \times h

en vergroot elke ribbe met factor

k

, tot

kl \times kb \times kh

. De nieuwe inhoud is

kl \cdot kb \cdot kh = k^3 \cdot (l \cdot b \cdot h) = k^3 V

— er komen drie factoren

k

vrij, één per dimensie. Elk grensvlak, zoals het vlak

l \times b

, wordt

kl \cdot kb = k^2 (l \cdot b)

, dus de hele oppervlakte gaat maal

k^2

. Dit geldt niet alleen voor de balk: elk lichaam kun je je opgebouwd denken uit heel veel piepkleine kubusjes, en elk kubusje krijgt bij vergroting inhoud maal

k^3

, dus het hele lichaam ook. Samengevat: lengte maal

k

, oppervlakte maal

k^2

, inhoud maal

k^3

. Een doos die in elke richting twee keer zo groot wordt (

k = 2

) heeft dus

4

keer zo veel oppervlakte en

8

keer zo veel inhoud. Dit is precies het

r^2

- en

r^3

-patroon dat je bij de bol al tegenkwam, nu algemeen bewezen.

Met de schaalregel beantwoord je twee soorten vragen. Vooruit: gegeven een lichaam en een schaalfactor

k

, bereken de nieuwe oppervlakte of inhoud door met

k^2

k^3

te vermenigvuldigen. Achteruit: gegeven de verhouding van twee oppervlakten of inhouden, vind de schaalfactor door een tweede- of derdemachtswortel te trekken. Weet je bijvoorbeeld dat de inhoud

27

keer zo groot is geworden, dan is

k = \sqrt[3]{27} = 3

, en dus zijn alle lengtes verdriedubbeld en de oppervlakte

3^2 = 9

keer zo groot. Deze redenering komt terug bij gelijkvormige figuren, bij maquettes en schaalmodellen en bij het vergelijken van voorwerpen van verschillende grootte. Samen met het optellen en aftrekken van inhouden uit de eerste alinea's heb je nu het volledige gereedschap voor de ruimtemeetkunde van dit domein: je herkent de bouwstenen — balk, prisma, cilinder, kegel, piramide en bol — rekent ze los uit, en combineert of schaalt ze tot het antwoord op een samengestelde vraag.

V_{\text{samengesteld}} = V_1 + V_2 + \cdots \quad\text{of}\quad V_1 - V_2

inhoud van een samengesteld lichaam

Splits het lichaam in bekende delen en tel de inhouden op (aangeplakt) of trek ze af (uitgehold).

\text{lengte} \times k, \qquad \text{oppervlakte} \times k^2, \qquad \text{inhoud} \times k^3

schalen met factor k

Bij een gelijkvormige vergroting met factor $k$ gaan lengtes maal $k$ , oppervlakten maal $k^2$ en inhouden maal $k^3$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud van een samengesteld lichaam (silo)

Een silo bestaat uit een cilinder met straal $3$ m en hoogte $10$ m, met daarbovenop een halve bol met straal $3$ m. Bereken de totale inhoud, exact in $\pi$ en afgerond op gehele getallen.

Stap 1 — Inhoud van de cilinder
Gebruik $V = \pi r^2 h$ met $r = 3$ en $h = 10$ .
$V_{\text{cilinder}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi \text{ m}^3$
Stap 2 — Inhoud van de halve bol
Een halve bol is de helft van $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ , dus $\tfrac{2}{3}\pi r^3$ , met $r = 3$ .
$V_{\text{halve bol}} = \tfrac{2}{3}\pi \cdot 3^3 = \tfrac{2}{3}\pi \cdot 27 = 18\pi \text{ m}^3$
Stap 3 — Tel de inhouden op en rond af
De totale inhoud is de som van de cilinder en de halve bol.
$V = 90\pi + 18\pi = 108\pi \approx 339 \text{ m}^3$

Resultaat: Resultaat: de silo heeft een inhoud van $108\pi \approx 339\ \text{m}^3$ . Door cilinder en halve bol apart te berekenen en de exacte vormen $90\pi$ en $18\pi$ pas op het eind op te tellen, blijft de berekening overzichtelijk en foutarm.

Uitgewerkt voorbeeld

Een schaalvraag met k² en k³

Twee bollen hebben stralen van $4$ cm en $12$ cm. (a) Hoeveel keer zo groot is de oppervlakte van de grote bol? (b) Hoeveel keer zo groot is de inhoud?

Stap 1 — Bepaal de schaalfactor
De schaalfactor is de verhouding van de lengtes (hier de stralen).
$k = \frac{12}{4} = 3$
Stap 2 — Oppervlakte gaat met k²
Oppervlakte schaalt met het kwadraat van de schaalfactor.
$k^2 = 3^2 = 9$
Stap 3 — Inhoud gaat met k³
Inhoud schaalt met de derde macht van de schaalfactor.
$k^3 = 3^3 = 27$

Resultaat: Resultaat: de oppervlakte van de grote bol is $9$ keer zo groot en de inhoud $27$ keer zo groot. Controle met de formules: $\dfrac{4\pi \cdot 12^2}{4\pi \cdot 4^2} = \dfrac{144}{16} = 9$ en $\dfrac{\tfrac{4}{3}\pi \cdot 12^3}{\tfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3} = \dfrac{1728}{64} = 27$ — precies $k^2$ en $k^3$ .

Veelgemaakte fouten

Bij een schaalvraag de oppervlakte of inhoud met $k$ in plaats van met $k^2$ of $k^3$ vermenigvuldigen; alleen lengtes gaan met $k$ .
Bij de oppervlakte van een samengesteld lichaam de verborgen, dichtgeplakte vlakken (de naad) toch meetellen.
Een halve bol als een hele bol rekenen: de inhoud van een halve bol is $\tfrac{2}{3}\pi r^3$ , de helft van $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ .

Actieve herhaling

Een silo bestaat uit een cilinder met straal $2$ m en hoogte $6$ m, met daarbovenop een halve bol met straal $2$ m. Bereken de totale inhoud, exact in $\pi$ en afgerond op één decimaal. Een tweede silo is een schaalmodel met schaalfactor $k = 3$ : hoeveel keer zo groot is zijn inhoud?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren

Kernpunten

Inhoud en oppervlakte van een cilinder

Kernpunten

Inhoud en manteloppervlak van een kegel

Kernpunten

Inhoud en oppervlakte van een bol

Kernpunten

Inhoud van een samengesteld lichaam (silo)

Een schaalvraag met k² en k³

Bronnen