Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Aanzichten, uitslagen en doorsneden van ruimtelijke objecten

Dit onderwerp uit domein C (Ruimtemeetkunde) gaat over het overbrengen tussen de driedimensionale werkelijkheid en de platte tekening. Je leert een ruimtefiguur beschrijven met zijn voor-, boven- en zijaanzicht, hem ruimtelijk tekenen in een isometrische of schuine projectie, zijn buitenkant openvouwen tot een uitslag (net), en hem doorsnijden met een vlak om de doorsnede te vinden. Dat vermogen om heen en weer te schakelen tussen ruimte en vlak is het gereedschap achter elke bouwtekening, werktekening en 3D-model.

4Onderdelenca. 25min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·101010 / 13

Examenprofiel

Van een ruimtefiguur het voor-, boven- en zijaanzicht tekenen en omgekeerd uit gegeven aanzichten het ruimtelijke object reconstrueren.Een ruimtefiguur ruimtelijk tekenen in een isometrische of schuine (cavalière) projectie en de vervorming van lengtes en hoeken herkennen.De uitslag (het net) van een prisma, piramide, cilinder of kegel opstellen en er de oppervlakte mee bepalen.De doorsnede van een ruimtefiguur met een vlak construeren en de vorm en afmetingen van die doorsnede berekenen.

Operatoren:tekenconstrueerbepaalberekenberedeneerinterpreteer

basisniveau

Zorg dat je de drie aanzichten van standaardlichamen (balk, prisma, piramide) foutloos tekent en leest, en de uitslag van een balk of prisma kunt maken om de oppervlakte te bepalen.

verhoogd niveau

Construeer doorsneden van ruimtefiguren met een snijvlak, bereken de afmetingen van de doorsnede met Pythagoras, en reken met uitslagen van kegel en cilinder waarin een cirkelsector of rechthoek voorkomt.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Aanzichten, uitslagen en doorsneden van ruimtelijke objecten

Aanzichten: voor-, boven- en zijaanzicht#

Basisexamenblad-nl

Een ruimtefiguur bestaat in drie dimensies, maar een tekening op papier of een scherm is plat. Om een lichaam toch ondubbelzinnig vast te leggen, kijk je er van drie vaste kanten naar en teken je wat je dan ziet: het vooraanzicht (recht van voren), het bovenaanzicht (recht van boven) en het zijaanzicht (recht van opzij). Zo'n aanzicht is een loodrechte projectie: je stelt je voor dat evenwijdige kijkstralen loodrecht op een projectievlak vallen en het lichaam als een schaduw op dat vlak afdrukken. Omdat de stralen evenwijdig zijn en loodrecht invallen, wordt niets verkort of vervormd door perspectief — een aanzicht toont de ware afmetingen in dat vlak. Deze drie aanzichten vormen de taal van elke bouwtekening, werktekening en technische constructie: een timmerman, een architect en een machinebouwer werken allemaal met voor-, boven- en zijaanzicht.

Het vooraanzicht ontstaat als je loodrecht van voren naar het lichaam kijkt en de omtrek plus alle zichtbare ribben op een verticaal vlak achter het lichaam projecteert. Je ziet dan de breedte (van links naar rechts) en de hoogte (van onder naar boven) op ware grootte; de diepte verdwijnt, want die wijst recht van je af. Bij een balk van

4 \times 3 \times 2

(breedte, diepte, hoogte) is het vooraanzicht dus een rechthoek van

4

bij

2

: de breedte

4

en de hoogte

2

blijven, de diepte

3

is niet te zien. Belangrijk is dat een aanzicht een silhouet-met-ribben is: de buitenrand is de omtrek van de schaduw, en binnenin teken je de ribben en randen die vanuit die kijkrichting zichtbaar zijn. Verborgen ribben — die achter het lichaam wegvallen — teken je met een streepjeslijn, zodat je ze wel kunt aflezen maar ziet dat ze niet aan de voorkant liggen.

Het bovenaanzicht krijg je door recht van boven te kijken: nu projecteer je op een horizontaal vlak en zie je de breedte en de diepte op ware grootte, terwijl de hoogte wegvalt. Het zijaanzicht ontstaat door van opzij te kijken (meestal van links); daarin zie je de diepte en de hoogte, en verdwijnt de breedte. Elk aanzicht laat dus precies twee van de drie afmetingen zien, en samen dekken de drie aanzichten alle drie de richtingen af. Dat verklaart ook waarom de aanzichten met elkaar samenhangen: de breedte in het vooraanzicht is dezelfde breedte als in het bovenaanzicht, de hoogte in het vooraanzicht is dezelfde als in het zijaanzicht, en de diepte in het bovenaanzicht is dezelfde als in het zijaanzicht. Je tekent de drie aanzichten daarom volgens een vaste plaatsing — het bovenaanzicht recht onder het vooraanzicht, het zijaanzicht ernaast — zodat overeenkomstige maten netjes op één lijn liggen en je ze met verticale en horizontale hulplijnen op elkaar kunt overbrengen.

Uit de drie aanzichten samen kun je het ruimtelijke object weer reconstrueren, en dat is precies waar het bij een bouwtekening om draait. Je legt de aanzichten naast elkaar en redeneert terug: elke ribbe die in een aanzicht als streepjeslijn staat, ligt aan de achterkant; een sprong in de omtrek van een aanzicht wijst op een trede, uitsparing of uitstulping in het lichaam. Vaak zijn twee aanzichten nog niet genoeg: verschillende lichamen kunnen hetzelfde voor- en bovenaanzicht hebben, en pas het derde aanzicht (of een extra doorsnede) haalt de dubbelzinnigheid weg. Daarom geeft een technische tekening standaard drie aanzichten. Andersom is het maken van de aanzichten een kwestie van systematisch werken: bepaal per kijkrichting de omtrek, teken de zichtbare ribben door, en zet de verborgen ribben gestreept — controleer ten slotte of de gedeelde maten in de verschillende aanzichten met elkaar kloppen.

Bekijk als voorbeeld het getrapte lichaam in Afb. 1: een lage balk waarop links een kleinere balk staat, zodat er een trede ontstaat. Het vooraanzicht toont die trede als een L-vormig silhouet — je ziet de brede onderkant met daarbovenop het smallere, hogere deel. Het bovenaanzicht daarentegen is gewoon een rechthoek: van boven gezien vallen de onder- en bovenbalk over elkaar heen, want ze zijn even diep, en de trede is niet zichtbaar. Het zijaanzicht is een hogere rechthoek, waarin de totale hoogte van de twee op elkaar gestapelde delen te zien is. Dit laat mooi zien dat één blik nooit genoeg is: pas de drie aanzichten samen leggen de trap eenduidig vast. Wie de aanzichten los ziet zou nog aan verschillende lichamen kunnen denken; wie ze combineert, ziet precies dit getrapte object. In de volgende paragraaf leer je hetzelfde lichaam ook ruimtelijk te tekenen, zodat je vlak en ruimte volledig aan elkaar kunt koppelen.

Voor-, boven- en zijaanzicht van een getrapt lichaam

Afb. 1Afb. 1 — Een getrapt lichaam met zijn drie aanzichten. Het vooraanzicht toont de trede als L-vorm, het bovenaanzicht is een rechthoek en het zijaanzicht een hogere rechthoek. Pas de drie samen leggen het lichaam eenduidig vast.

\text{aanzicht} = \text{loodrechte projectie op een vlak}

wat een aanzicht is

Elk aanzicht toont twee van de drie afmetingen op ware grootte; de derde (de kijkrichting) valt weg.

Uitgewerkt voorbeeld

Aanzichten van een balk met een opstaand deel

Een lichaam bestaat uit een balk van $4$ (breed) $\times 3$ (diep) $\times 2$ (hoog), met daarbovenop tegen de linkerkant een balk van $2 \times 3 \times 2$ . Beschrijf het voor-, boven- en zijaanzicht met hun afmetingen.

Stap 1 — Vooraanzicht (van voren)
Je ziet breedte en hoogte; de diepte valt weg. De onderbalk is $4$ breed en $2$ hoog, het opstaande deel links is $2$ breed en nog eens $2$ hoog. Samen ontstaat een L-vormig silhouet.
$\text{omtrek: } 4 \text{ breed}, \text{ links } 4 \text{ hoog}, \text{ rechts } 2 \text{ hoog}$
Stap 2 — Bovenaanzicht (van boven)
Je ziet breedte en diepte; de hoogte valt weg. Onder- en bovenbalk zijn even diep ( $3$ ) en de bovenbalk ligt binnen de breedte van de onderbalk, dus van boven zie je één rechthoek.
$\text{rechthoek } 4 \times 3$
Stap 3 — Zijaanzicht (van links)
Je ziet diepte en hoogte; de breedte valt weg. De twee delen liggen achter elkaar even diep, dus je ziet de volle stapelhoogte $2 + 2 = 4$ over de diepte $3$ .
$\text{rechthoek } 3 \times 4$

Resultaat: Het vooraanzicht is een L-vormig silhouet ( $4$ breed, links $4$ hoog, rechts $2$ hoog), het bovenaanzicht een rechthoek $4 \times 3$ en het zijaanzicht een rechthoek $3 \times 4$ . Alleen het vooraanzicht verraadt de trede; het boven- en zijaanzicht zijn gewone rechthoeken. Zo tonen de drie samen het lichaam eenduidig.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een aanzicht in perspectief is: aanzichten zijn loodrechte projecties op ware grootte, zonder verkorting of vluchtpunten.
Verborgen ribben vergeten of als doorgetrokken lijn tekenen; ribben die aan de achterkant liggen horen gestreept.
De gedeelde maten verwisselen: de hoogte hoort in het voor- én het zijaanzicht gelijk te zijn, de breedte in het voor- én het bovenaanzicht.

Actieve herhaling

Een lichaam bestaat uit een balk van $6$ (breed) $\times 4$ (diep) $\times 2$ (hoog) met daarbovenop, tegen de linkerkant, een balk van $2 \times 4 \times 3$ . Teken het voor-, boven- en zijaanzicht en geef bij elk aanzicht de afmetingen aan.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Ruimtelijk tekenen: isometrische en schuine projectie#

Standardexamenblad-nl

Waar aanzichten een lichaam in aparte platte plaatjes uiteenleggen, wil je het soms juist in één tekening ruimtelijk laten zien. Dat kan niet zonder iets op te offeren: een driedimensionaal lichaam past nooit onvervormd op een plat vlak, dus elke ruimtelijke tekening kiest bewust welke eigenschap ze bewaart en welke ze loslaat. De twee methoden die je bij wiskunde D gebruikt, zijn de isometrische projectie en de schuine (of cavalière) projectie. Beide zijn parallelprojecties: evenwijdige ribben in het lichaam blijven evenwijdig in de tekening, en er zijn geen vluchtpunten zoals bij het echte perspectief. Daardoor kun je in zo'n tekening blijven rekenen en meten, wat voor wiskunde en techniek juist handig is.

Bij de isometrische projectie kantel je het lichaam zo dat de drie hoofdrichtingen (breedte, diepte, hoogte) symmetrisch ten opzichte van je oog liggen. De verticale ribben blijven verticaal, maar de twee horizontale richtingen teken je onder een hoek van

30^\circ

met de horizon. Het bijzondere is dat langs alle drie de richtingen dezelfde schaal geldt: een ribbe van

3

eenheden is in elke richting even lang getekend. Daardoor blijven maten in de drie hoofdrichtingen onderling vergelijkbaar en kun je op ruitjes- of isometrisch papier direct aftellen. De prijs die je betaalt, is dat hoeken vervormen: een rechte hoek van

90^\circ

in het lichaam wordt in de tekening

120^\circ

60^\circ

, en een vierkant grondvlak wordt een ruit. Isometrisch tekenen is ideaal wanneer het om de verhoudingen van de afmetingen gaat.

Bij de schuine of cavalière projectie houd je het vooraanzicht onvervormd: het voorvlak van het lichaam teken je gewoon op ware grootte, met echte rechte hoeken, alsof je er recht tegenaan kijkt. De diepte-ribben — de ribben die van je af de ruimte in lopen — teken je schuin weg onder een vaste hoek (vaak

45^\circ

), meestal verkort met een factor (bijvoorbeeld de helft), zodat het lichaam niet onnatuurlijk diep oogt. Deze projectie is de meetkundige achtergrond van het 3D-figuurtje dat je in dit hele domein tegenkomt: een balk waarvan het voorvlak een echte rechthoek is en de diepte schuin naar achteren wegloopt. In Afb. 2 zie je zo'n balk in schuine projectie, met de drie assen

x_1

(breedte),

x_2

(diepte, schuin weg) en

x_3

(hoogte).

Een balk in schuine projectie

Afb. 2Afb. 2 — Een balk in schuine (cavalière) projectie. Het voorvlak blijft een onvervormde rechthoek; de diepte (as x2) loopt schuin weg. Verborgen ribben zou je gestreept tekenen.

Bij het ruimtelijk tekenen speelt zichtbaarheid een grote rol. Van een massief lichaam zie je nooit alle ribben: de ribben aan de voor- en bovenkant zijn zichtbaar en teken je doorgetrokken, terwijl de ribben die aan de achterkant wegvallen verborgen zijn en gestreept worden getekend. Bij een gewone balk zijn dat de drie ribben die in het achterste, van jou af gekeerde hoekpunt samenkomen. Door zichtbare en verborgen ribben te onderscheiden blijft de tekening leesbaar en zie je meteen welke kant naar voren wijst. Let er ook op dat evenwijdige ribben in het lichaam evenwijdig blijven in de tekening — dat is de kern van een parallelprojectie en meteen een handige controle: loopt een ribbe in je tekening niet evenwijdig aan zijn buren, dan heb je een fout gemaakt.

De twee representaties — aanzichten en ruimtelijke projectie — vullen elkaar aan en je moet vlot tussen beide kunnen schakelen. Uit een ruimtelijke tekening haal je de aanzichten door je in te denken dat je er van voren, van boven en van opzij naar kijkt; uit de aanzichten bouw je de ruimtelijke tekening op door de gedeelde maten in de schuine of isometrische richtingen uit te zetten. Bij het overbrengen van maten geldt: lengtes langs de hoofdrichtingen kloppen (bij isometrie in alle drie de richtingen, bij de schuine projectie in het voorvlak), maar diagonale afstanden en hoeken kun je niet zomaar uit de tekening aflezen — die bereken je met de afstands- en Pythagorasformules uit de rest van het domein. Zo wordt de ruimtelijke tekening een hulpmiddel om te zien wat er speelt, terwijl het echte rekenwerk via coördinaten en vectoren verloopt.

\text{parallelprojectie: evenwijdige ribben} \to \text{evenwijdige lijnen}

kerneigenschap

Zowel isometrische als schuine projectie houden evenwijdige ribben evenwijdig; er zijn geen vluchtpunten.

Uitgewerkt voorbeeld

Van aanzichten naar een ruimtelijke tekening

Gegeven zijn drie aanzichten van een lichaam: het vooraanzicht is een rechthoek $4 \times 3$ , het bovenaanzicht een rechthoek $4 \times 2$ en het zijaanzicht een rechthoek $2 \times 3$ . Wat voor lichaam is het, en hoe teken je het ruimtelijk?

Stap 1 — Lees de afmetingen uit de aanzichten
Het vooraanzicht geeft breedte $4$ en hoogte $3$ ; het bovenaanzicht geeft breedte $4$ en diepte $2$ ; het zijaanzicht geeft diepte $2$ en hoogte $3$ . Alle drie de aanzichten zijn rechthoeken.
$\text{breedte } 4, \quad \text{diepte } 2, \quad \text{hoogte } 3$
Stap 2 — Herken het lichaam
Drie rechthoekige aanzichten zonder sprongen horen bij een balk (rechthoekig blok) met deze drie afmetingen.
$\text{balk } 4 \times 2 \times 3$
Stap 3 — Teken ruimtelijk
Teken in schuine projectie eerst het voorvlak ( $4$ breed, $3$ hoog) op ware grootte, zet dan de diepte $2$ schuin (verkort) naar achteren uit en verbind de hoekpunten; de drie verborgen achterribben teken je gestreept.
$\text{voorvlak } 4 \times 3, \ \text{diepte } 2 \text{ schuin weg}$

Resultaat: Het lichaam is een balk van $4 \times 2 \times 3$ . In schuine projectie teken je het voorvlak op ware grootte en de diepte verkort schuin weg. De drie aanzichten en de ruimtelijke tekening beschrijven precies hetzelfde lichaam — je kunt vrij tussen beide heen en weer schakelen.

Veelgemaakte fouten

Een ruimtelijke tekening als echt perspectief opvatten met vluchtpunten; parallelprojecties houden evenwijdige ribben evenwijdig en kennen geen verkleining met de afstand.
In een schuine projectie het schuine (diepte-)maat op ware grootte tekenen in plaats van verkort, waardoor het lichaam te diep oogt.
Verborgen ribben doorgetrokken tekenen of weglaten, waardoor onduidelijk wordt welke kant naar voren wijst.

Actieve herhaling

Teken een balk met afmetingen $4$ (breed) $\times 2$ (diep) $\times 3$ (hoog) in schuine projectie met de diepte onder $45^\circ$ en verkort met factor $\tfrac{1}{2}$ . Trek de zichtbare ribben door en teken de verborgen ribben gestreept.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Uitslagen (netten) van ruimtefiguren#

Standardexamenblad-nl

Een uitslag — ook wel het net van een lichaam genoemd — ontstaat als je de buitenkant van een ruimtefiguur openknipt langs een aantal ribben en helemaal plat neerlegt. Je krijgt dan een vlakke figuur die je langs de vouwlijnen weer tot het lichaam kunt opvouwen. De uitslag is het scharnierpunt tussen ruimte en vlak: elk grensvlak van het lichaam komt er precies één keer, op ware grootte, in terug. Daarom is de uitslag hét gereedschap om de oppervlakte van een lichaam te bepalen — de totale oppervlakte is niets anders dan de som van de oppervlakten van alle stukken in de uitslag. Wie een verpakking, een doos of een bouwplaat ontwerpt, tekent in feite een uitslag: het platte materiaal dat je knipt en vouwt tot het uiteindelijke voorwerp.

Voor een balk of prisma bestaat de uitslag uit rechthoeken en (bij een prisma) twee congruente grondvlakken. Vouw een balk open, dan krijg je de zes rechthoekige grensvlakken plat naast elkaar, bijvoorbeeld in de bekende kruisvorm: de vier zijvlakken op een rij als een strook, met het deksel en de bodem als flappen. Omdat de zes vlakken paarsgewijs gelijk zijn, is de totale oppervlakte

2(lb + bh + lh)

, precies de formule die je in het onderwerp oppervlakte en inhoud tegenkwam. Bij een driezijdig prisma bestaat de uitslag uit twee driehoekige grondvlakken plus drie rechthoeken (de zijvlakken); de breedte van elke rechthoek is een zijde van de driehoek en de hoogte is de lengte van het prisma. De uitslag maakt zichtbaar waarom de mantel van een prisma één lange strook is met als breedte de omtrek van het grondvlak.

De uitslag van een piramide bestaat uit het grondvlak met daaromheen de zijvlakken, die alle driehoeken zijn. Bij een regelmatige vierzijdige piramide — een vierkant grondvlak met een top recht daarboven — is de uitslag een vierkant met aan elke zijde een gelijkbenige driehoek, samen een soort ster; zie Afb. 3. De hoogte van elke manteldriehoek is niet de hoogte

h

van de piramide, maar de apothema (de schuine hoogte langs een zijvlak): de afstand van de top tot het midden van een grondribbe. Die apothema

a

bereken je met Pythagoras uit de piramidehoogte

h

en de halve ribbe:

a = \sqrt{h^2 + (\tfrac{1}{2}z)^2}

, met

z

de lengte van een grondribbe. Het manteloppervlak is dan de som van de vier driehoeken, elk met oppervlakte

\tfrac{1}{2} z \cdot a

, en de totale oppervlakte krijg je door het grondvlak

z^2

erbij op te tellen.

Uitslag van een vierzijdige piramide

Afb. 3Afb. 3 — De uitslag (het net) van een regelmatige vierzijdige piramide: een vierkant grondvlak met aan elke zijde een manteldriehoek. De hoogte van elke driehoek is de apothema a, niet de piramidehoogte h.

Ook de gebogen lichamen hebben een uitslag, en juist daar zie je hoe een uitslag een formule verklaart. Knip de mantel van een cilinder langs één verticale lijn open en rol hem plat: je houdt een rechthoek over met hoogte

h

(de hoogte van de cilinder) en breedte

2\pi r

(de omtrek van de grondcirkel), plus de twee cirkels als deksel en bodem. Zo zie je meteen dat het manteloppervlak

2\pi r \cdot h

is. Bij een kegel wordt de opengeknipte mantel geen rechthoek maar een cirkelsector (een taartpunt) met straal gelijk aan de schuine zijde

s

en booglengte gelijk aan de omtrek

2\pi r

van de grondcirkel; het manteloppervlak van die sector is

\pi r s

. Deze uitslagen verbinden de ruimtemeetkunde met de vlakke meetkunde: de gebogen mantel wordt een plat, meetbaar stuk.

In opgaven werkt de uitslag twee kanten op. Vooruit: gegeven een lichaam, teken (of denk) de uitslag, bereken de oppervlakte van elk stuk en tel op tot de totale oppervlakte. Achteruit: gegeven een uitslag of een gedeelte ervan, reconstrueer welk lichaam eruit ontstaat en welke afmetingen het heeft. Een klassieke valkuil is het verwarren van de piramidehoogte

h

met de apothema

a

: in het volume

V = \tfrac{1}{3}G h

staat de loodrechte hoogte, maar in de manteldriehoeken van de uitslag staat de schuine apothema. Reken bij uitslagen zo lang mogelijk exact — laat wortels als

\sqrt{h^2+(\tfrac{1}{2}z)^2}

staan en rond pas op het eind af. Met de uitslag als tussenstap wordt een oppervlakteberekening overzichtelijk: je knipt het lichaam open, legt de stukken plat en telt gewone vlakke oppervlakten op.

a = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{1}{2}z\right)^2}

apothema (schuine hoogte) van een regelmatige piramide

De schuine hoogte langs een zijvlak volgt uit Pythagoras met de piramidehoogte $h$ en de halve grondribbe $\tfrac{1}{2}z$ .

A = z^2 + 4 \cdot \tfrac{1}{2} z \, a = z^2 + 2 z a

oppervlakte van een vierzijdige piramide via de uitslag

Het grondvlak $z^2$ plus de vier gelijkbenige manteldriehoeken, elk met oppervlakte $\tfrac{1}{2} z a$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Oppervlakte van een piramide via de uitslag

Een regelmatige vierzijdige piramide heeft een grondribbe $z = 6$ cm en een hoogte $h = 4$ cm. Bereken de totale oppervlakte.

Stap 1 — Bereken de apothema met Pythagoras
De apothema $a$ is de schuine hoogte van een manteldriehoek; gebruik de hoogte $h = 4$ en de halve ribbe $\tfrac{1}{2}z = 3$ .
$a = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{1}{2}z\right)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$
Stap 2 — Oppervlakte van de vier manteldriehoeken
Elke driehoek heeft basis $z = 6$ en hoogte $a = 5$ ; er zijn er vier.
$4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}^2$
Stap 3 — Tel het grondvlak erbij op
Het grondvlak is een vierkant met zijde $z = 6$ , dus $6^2 = 36$ ; tel dit bij het manteloppervlak.
$A = 36 + 60 = 96 \text{ cm}^2$

Resultaat: De totale oppervlakte is $96 \text{ cm}^2$ . De sleutel is de apothema $a = 5$ (via Pythagoras uit $h = 4$ en $\tfrac{1}{2}z = 3$ ): die schuine hoogte hoort in de manteldriehoeken, terwijl de piramidehoogte $h = 4$ alleen in het volume zou staan.

Veelgemaakte fouten

In de manteldriehoeken van een piramide de loodrechte hoogte $h$ gebruiken in plaats van de apothema $a = \sqrt{h^2 + (\tfrac{1}{2}z)^2}$ .
Een vlak van het lichaam in de uitslag dubbel of juist niet meetellen; elk grensvlak komt precies één keer op ware grootte terug.
De uitslag van de cilindermantel als vierkant tekenen; het is een rechthoek met breedte $2\pi r$ (de omtrek) en hoogte $h$ .

Actieve herhaling

Een regelmatige vierzijdige piramide heeft een grondribbe van $6$ cm en een hoogte van $4$ cm. Teken de uitslag, bereken de apothema en bepaal de totale oppervlakte (grondvlak plus vier manteldriehoeken).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Doorsneden van ruimtefiguren#

Vertiefungexamenblad-nl

Een doorsnede ontstaat als je een ruimtefiguur met een plat vlak doorsnijdt: de figuur die het snijvlak binnen het lichaam vormt, is de doorsnede. Denk aan een mes dat door een kubus of een brood gaat — het snijvlak dat je overhoudt is een platte figuur, en juist die vorm en afmetingen wil je bepalen. Doorsneden zijn belangrijk omdat ze een driedimensionaal probleem terugbrengen tot een tweedimensionaal probleem: zodra je de doorsnede kent, reken je verder met gewone vlakke meetkunde (Pythagoras, oppervlakte van een driehoek of rechthoek). Ze duiken op in de techniek (de dwarsdoorsnede van een balk of buis), in de aardwetenschappen (een profieldoorsnede door een landschap) en in de medische beeldvorming (een CT-scan is letterlijk een reeks doorsneden van het lichaam).

Het construeren van een doorsnede is een kwestie van snijpunten en snijlijnen zorgvuldig bepalen. Je zoekt eerst de punten waar het snijvlak de ribben van het lichaam kruist; die snijpunten zijn de hoekpunten van de doorsnede. Vervolgens verbind je twee snijpunten met een lijnstuk telkens wanneer ze op hetzelfde grensvlak van het lichaam liggen — want de doorsnede van het snijvlak met een plat grensvlak is altijd een recht lijnstuk. Zo bouw je de rand van de doorsnede op, ribbe voor ribbe. Een handige regel daarbij: als het snijvlak twee evenwijdige grensvlakken van het lichaam doorsnijdt, dan zijn de twee snijlijnen op die vlakken onderling evenwijdig. Met deze principes construeer je de doorsnede stap voor stap, ook bij minder voor de hand liggende snijvlakken.

De vorm van de doorsnede hangt af van de stand van het snijvlak. Snijd je een kubus loodrecht op een ribbe, dan is de doorsnede een vierkant; snijd je schuin, dan krijg je een rechthoek, een driehoek of zelfs een zeshoek, afhankelijk van hoeveel grensvlakken het snijvlak raakt. Bekijk als voorbeeld de diagonale doorsnede in Afb. 4: een kubus met ribbe

a

, doorsneden door het vlak dat door twee tegenover elkaar liggende onderribben en de bijbehorende bovenribben gaat. De doorsnede is een rechthoek. De ene zijde is een ribbe van de kubus, dus lengte

a

; de andere zijde is een zijvlaksdiagonaal, en die bereken je met Pythagoras:

\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}

. De diagonale doorsnede is dus een rechthoek van

a

bij

a\sqrt{2}

— groter dan een gewoon zijvlak, wat je met een enkele blik op de ruimtelijke tekening niet meteen zou vermoeden.

Diagonale doorsnede van een kubus

Afb. 4Afb. 4 — De diagonale doorsnede ABGH van een kubus met ribbe a is een rechthoek. De ene zijde is een ribbe (lengte a), de andere een zijvlaksdiagonaal (lengte a√2), dus de oppervlakte is a²√2.

Om de afmetingen van een doorsnede te berekenen, plaats je het lichaam bij voorkeur in een coördinatenstelsel en gebruik je de afstandsformule. Ken je de coördinaten van de hoekpunten van de doorsnede, dan volgt elke zijde uit

|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

, en de oppervlakte bereken je met de gewone formules voor een driehoek of rechthoek. Voor de kubus met ribbe

a

en hoekpunten in

O(0,0,0)

tot

(a,a,a)

is de diagonale doorsnede bijvoorbeeld de rechthoek met hoekpunten

(0,0,0)

(a,0,0)

(a,a,a)

(0,a,a)

: de ene zijde heeft lengte

a

, de andere

\sqrt{0 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}

, en de oppervlakte is

a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}

. Zo verbindt de doorsnede de ruimtemeetkunde met de coördinaten en vectoren uit de rest van het domein.

Doorsneden brengen alle vaardigheden van dit onderwerp samen. Je gebruikt de aanzichten om te zien waar het snijvlak de ribben kruist, je gebruikt de ruimtelijke tekening om de doorsnede in te tekenen, en je gebruikt de coördinaten en Pythagoras om de afmetingen exact te berekenen. In examens is een doorsnede-opgave vaak een keten: eerst de doorsnede construeren (welke punten, welke lijnstukken), dan de afmetingen bepalen (met de afstandsformule), en ten slotte de oppervlakte of een hoek berekenen. Werk daarbij netjes en systematisch, en laat je niet verrassen door de vorm: een schuine doorsnede door een eenvoudig lichaam kan een verrassend grote of onverwacht gevormde figuur opleveren. Wie de doorsnede eenmaal als platte figuur voor zich heeft, rekent verder met de vertrouwde vlakke meetkunde — en juist die overgang van ruimte naar vlak is de kern van dit hele onderwerp.

d_{\text{zijvlak}} = a\sqrt{2}, \qquad d_{\text{ruimte}} = a\sqrt{3}

diagonalen van een kubus met ribbe a

De zijvlaksdiagonaal volgt uit Pythagoras in één vlak ( $\sqrt{a^2+a^2}$ ), de ruimtediagonaal uit de uitgebreide stelling ( $\sqrt{a^2+a^2+a^2}$ ).

A_{\text{doorsnede}} = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}

oppervlakte van de diagonale doorsnede van een kubus

De diagonale doorsnede is een rechthoek met een ribbe $a$ en een zijvlaksdiagonaal $a\sqrt{2}$ als zijden.

Uitgewerkt voorbeeld

Oppervlakte van een diagonale doorsnede

Een kubus met ribbe $a = 6$ wordt doorsneden door het vlak dat door twee tegenoverliggende onderribben en de bijbehorende bovenribben gaat. Bereken de oppervlakte van de doorsnede exact en afgerond op één decimaal.

Stap 1 — Herken de vorm van de doorsnede
Het snijvlak gaat door vier hoekpunten van de kubus en snijdt twee evenwijdige grensvlakken; de doorsnede is een rechthoek. De ene zijde is een ribbe (lengte $a$ ), de andere een zijvlaksdiagonaal.
$\text{rechthoek met zijden } a \text{ en } a\sqrt{2}$
Stap 2 — Bereken de zijvlaksdiagonaal met Pythagoras
De diagonaal van een vierkant zijvlak met zijde $a = 6$ volgt uit $\sqrt{a^2 + a^2}$ .
$d = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$
Stap 3 — Bereken de oppervlakte van de rechthoek
Vermenigvuldig de ribbe $a = 6$ met de zijvlaksdiagonaal $6\sqrt{2}$ .
$A = 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \approx 50{,}9$

Resultaat: De doorsnede is een rechthoek van $6$ bij $6\sqrt{2}$ met oppervlakte $36\sqrt{2} \approx 50{,}9$ . Merk op dat deze diagonale doorsnede groter is dan een gewoon zijvlak ( $6 \times 6 = 36$ ): de factor $\sqrt{2}$ komt van de zijvlaksdiagonaal, die je met Pythagoras berekent.

Veelgemaakte fouten

Snijpunten verbinden die niet op hetzelfde grensvlak liggen; een zijde van de doorsnede is de snijlijn van het snijvlak met één plat grensvlak.
De zijvlaksdiagonaal $a\sqrt{2}$ (of ruimtediagonaal $a\sqrt{3}$ ) verwarren met een gewone ribbe $a$ bij het berekenen van de doorsnede.
Aannemen dat een doorsnede altijd dezelfde vorm heeft als een grensvlak; afhankelijk van de stand van het snijvlak kan het een driehoek, rechthoek, vijf- of zeshoek zijn.

Actieve herhaling

Een kubus $ABCD.EFGH$ heeft ribbe $a = 6$ . Construeer de doorsnede door het vlak $ABGH$ (twee onderribben en de tegenoverliggende bovenribben) en bereken de oppervlakte van deze doorsnede.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Aanzichten, uitslagen en doorsneden van ruimtelijke objecten

Kernpunten

Aanzichten van een balk met een opstaand deel

Kernpunten

Van aanzichten naar een ruimtelijke tekening

Kernpunten

Oppervlakte van een piramide via de uitslag

Kernpunten

Oppervlakte van een diagonale doorsnede

Bronnen

Aanzichten, uitslagen en doorsneden van ruimtelijke objecten

Kernpunten

Aanzichten van een balk met een opstaand deel

Kernpunten

Van aanzichten naar een ruimtelijke tekening

Kernpunten

Oppervlakte van een piramide via de uitslag

Kernpunten

Oppervlakte van een diagonale doorsnede

Bronnen