Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Bepaling van afgeleide functies en de rekenregels

Differentiëren met de definitie (de limiet van het differentiequotiënt) is omslachtig; gelukkig bestaan er rekenregels die het snel maken. In dit onderwerp leer je de machtsregel, de som- en constante-factorregel, de afgeleiden van de standaardfuncties, en de regels voor het differentiëren van producten, quotiënten en samengestelde functies (de productregel, de quotiëntregel en de kettingregel). Daarmee kun je de afgeleide van vrijwel elke functie uit wiskunde B bepalen.

5Onderdelenca. 21min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3 · Verdieping 1

T·111111 / 12

Examenprofiel

De machtsregel, de constante-factorregel en de somregel toepassen om polynomen te differentiëren.De afgeleiden van de standaardfuncties (machten, wortel, 1/x, \sin, \cos, exponentieel, logaritme) gebruiken.De productregel en de quotiëntregel toepassen om producten en breuken te differentiëren.De kettingregel toepassen om samengestelde functies te differentiëren.

Operatoren:differentieerbepaalleid afberekentoon aanpas toe

basisniveau

Beheers de machtsregel, de somregel en de constante-factorregel foutloos voor polynomen.

verhoogd niveau

Combineer de product-, quotiënt- en kettingregel met de standaardafgeleiden om samengestelde functies te differentiëren.

Diepte

Schrift

Inhalt · 5 onderdelen

Bepaling van afgeleide functies en de rekenregels

De machtsregel, somregel en constante-factorregel#

Basisexamenblad-nl

Afgeleide en raaklijn van f(x) = x² − 4x + 5

Afb. 1De afgeleide van f(x) = x² − 4x + 5 is f′(x) = 2x − 4. In x = 3 is de helling f′(3) = 2; de raaklijn in (3, 2) heeft inderdaad richtingscoëfficiënt 2.

De belangrijkste rekenregel is de machtsregel: de afgeleide van een macht

x^n

n\cdot x^{n-1}

. Je haalt de exponent naar voren als factor en verlaagt de exponent met 1. Zo is de afgeleide van

x^3

gelijk aan

3x^2

, van

x^5

gelijk aan

5x^4

, en van

x

(dus

x^1

) gelijk aan

1\cdot x^0 = 1

. De machtsregel volgt rechtstreeks uit de definitie: voor

x^2

gaf het differentiequotiënt

\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = 2x + h \to 2x

, precies

2\cdot x^{2-1}

. Voor hogere machten werkt dezelfde limietberekening, met telkens

n\cdot x^{n-1}

als uitkomst. De machtsregel is dus geen toverformule maar een ingepakte limiet.

Het mooie van de machtsregel is dat hij óók geldt voor negatieve en gebroken exponenten — precies de reden waarom je in het vaardighedenonderwerp leerde om wortels en breuken als machten te schrijven. De afgeleide van

\dfrac{1}{x} = x^{-1}

-1\cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}

, en de afgeleide van

\sqrt{x} = x^{1/2}

\dfrac12 x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

. De strategie is dus altijd: schrijf een breuk of wortel eerst als macht, pas dan de machtsregel toe, en schrijf het resultaat desgewenst terug als breuk of wortel. Wie deze omzetting beheerst, kan elke machtsfunctie differentiëren.

Twee aanvullende regels maken het differentiëren van samengestelde uitdrukkingen mogelijk. De constante-factorregel zegt dat een constante factor vóór de functie blijft staan bij het differentiëren: de afgeleide van

c\cdot f(x)

c\cdot f'(x)

. De afgeleide van

5x^3

is dus

5\cdot 3x^2 = 15x^2

. De somregel zegt dat je een som term voor term mag differentiëren: de afgeleide van

f(x) + g(x)

f'(x) + g'(x)

(en hetzelfde voor een verschil). Samen betekenen deze twee regels dat je een polynoom gewoon term voor term differentieert, elke term met de machtsregel. De afgeleide van een losse constante is daarbij nul, want een constante verandert niet (haar grafiek is een horizontale lijn met helling 0).

Met deze drie regels — machtsregel, constante factor, somregel — differentieer je elk polynoom in één doorloop. Voor

f(x) = x^3 - 4x^2 + 5

pak je elke term apart:

x^3

wordt

3x^2

-4x^2

wordt

-8x

, en de constante

5

wordt

0

. Samen:

f'(x) = 3x^2 - 8x

. Dit is de meest voorkomende differentieertaak op het examen, en met enige oefening doe je het vrijwel automatisch. Let alleen op de constante: vergeet niet dat haar afgeleide nul is, zodat ze in

f'

verdwijnt — een veelgemaakte fout is om de constante mee te slepen.

Eenmaal je de afgeleide

f'

hebt, kun je er meteen hellingen mee uitrekenen. De helling van de grafiek in een punt

x = a

f'(a)

, en dat is precies de richtingscoëfficiënt van de raaklijn daar. In de figuur zie je de parabool

f(x) = x^2 - 4x + 5

met afgeleide

f'(x) = 2x - 4

; in

x = 3

is de helling

f'(3) = 2

, en de getekende raaklijn in

(3, 2)

heeft inderdaad richtingscoëfficiënt 2. Zo verbinden de rekenregels het algebraïsch differentiëren met de meetkundige betekenis van de afgeleide: een formule voor de helling overal, en een concrete raaklijn in elk punt.

\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}

machtsregel

Haal de exponent naar voren als factor en verlaag de exponent met 1; geldt ook voor negatieve en gebroken exponenten.

(c\cdot f)' = c\cdot f', \qquad (f + g)' = f' + g', \qquad \frac{d}{dx}\,c = 0

constante-factor-, som- en constanteregel

Een constante factor blijft staan, een som differentieer je term voor term, en de afgeleide van een losse constante is nul.

Uitgewerkt voorbeeld

Een polynoom differentiëren en een helling bepalen

Differentieer $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5$ en bepaal de helling van de grafiek in $x = 1$ .

Stap 1 — Differentieer term voor term
Pas op elke term de machtsregel toe; de constante 5 valt weg.
$f'(x) = 3x^2 - 4\cdot 2x + 0 = 3x^2 - 8x$
Stap 2 — Vul x = 1 in de afgeleide in
De helling in een punt is de afgeleide ingevuld in dat punt.
$f'(1) = 3\cdot 1^2 - 8\cdot 1 = 3 - 8 = -5$
Stap 3 — Interpreteer de uitkomst
Een negatieve helling betekent dat de grafiek in x = 1 daalt.
$f'(1) = -5 < 0 \ \Rightarrow\ f \text{ daalt in } x = 1$

Resultaat: Resultaat: $f'(x) = 3x^2 - 8x$ en $f'(1) = -5$ . De grafiek daalt in $x = 1$ met een raaklijn van richtingscoëfficiënt $-5$ . De constante 5 verdween bij het differentiëren, want haar afgeleide is nul.

Veelgemaakte fouten

De exponent niet verlagen of niet naar voren halen: de afgeleide van $x^3$ is $3x^2$ , niet $x^2$ of $3x^3$ .
De afgeleide van een constante niet op nul stellen, zodat de constante ten onrechte in $f'$ blijft staan.
Een breuk of wortel proberen te differentiëren zonder hem eerst als macht te schrijven.

Actieve herhaling

Differentieer $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5$ en bepaal de helling van de grafiek in $x = 1$ . Differentieer ook $g(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{x}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De afgeleiden van de standaardfuncties#

Standardexamenblad-nl

Tabel van standaardafgeleiden

Afb. 2De standaardafgeleiden die je bij wiskunde B paraat moet hebben. De wortel- en breukregel zijn speciale gevallen van de machtsregel; de goniometrische afgeleiden gelden in radialen.

Naast de machtsfuncties hebben ook de andere standaardfuncties een vaste afgeleide die je paraat moet hebben. Voor de goniometrische functies geldt: de afgeleide van

\sin(x)

\cos(x)

, en de afgeleide van

\cos(x)

-\sin(x)

. Let op het minteken bij de cosinus — dat is de meest vergeten finesse. Deze mooie, eenvoudige afgeleiden gelden alléén wanneer je in radialen werkt; in graden zou er een lelijke extra factor bij komen. Dit is precies de reden waarom radialen de natuurlijke hoekmaat zijn: ze maken het differentiëren van sinus en cosinus elegant.

Voor de exponentiële functie geldt dat de afgeleide van

a^x

gelijk is aan

a^x\cdot\ln(a)

: de functie zelf, vermenigvuldigd met de natuurlijke logaritme van het grondtal. Het bijzondere geval is het grondtal

e

(het getal van Euler, ongeveer

2{,}718

), want

\ln(e) = 1

, zodat de afgeleide van

e^x

gewoon

e^x

zelf is — de exponentiële functie die zijn eigen afgeleide is. Dat unieke gedrag maakt

e

tot het natuurlijke grondtal van de analyse. De afgeleide van de natuurlijke logaritme

\ln(x)

\dfrac{1}{x}

, een verrassend eenvoudige formule die de logaritme aan de machtsfunctie

x^{-1}

koppelt.

Het loont om de standaardafgeleiden niet los uit het hoofd te leren, maar als een tabel die je telkens raadpleegt (zie de figuur). In die tabel staan de machtsregel, de wortel- en breukafgeleide (die er speciale gevallen van zijn), de goniometrische afgeleiden en de exponentiële en logaritmische afgeleide netjes naast elkaar. Door ze als geheel te overzien, zie je patronen: de afgeleide van een machtsfunctie verlaagt de graad, terwijl sinus en cosinus „in elkaar overgaan” en de exponentiële functie nagenoeg zichzelf blijft. Deze tabel is het naslagwerk dat je bij elke differentieeropgave in gedachten houdt.

De standaardafgeleiden gebruik je vrijwel nooit kaal, maar in combinatie met de rekenregels. De constante-factor- en somregel laten je bijvoorbeeld

f(x) = 3\sin(x) - 2x^2

direct differentiëren tot

f'(x) = 3\cos(x) - 4x

. En zodra een standaardfunctie een „binnenkant” krijgt (zoals

\sin(2x)

e^{3x}

), heb je de kettingregel uit een latere paragraaf nodig. De standaardafgeleiden zijn dus de bouwstenen, en de rekenregels (constante factor, som, product, quotiënt, ketting) zijn de manieren om die bouwstenen samen te voegen. Beheers je beide, dan kun je vrijwel elke functie uit wiskunde B differentiëren.

Een praktische tip: controleer een afgeleide door na te gaan of het teken klopt met het verloop van de oorspronkelijke functie. Daalt de grafiek van

f

ergens, dan moet

f'

daar negatief zijn; heeft

f

een top, dan moet

f'

daar nul zijn. Voor de sinus is dit een mooie check:

\sin(x)

stijgt rond

x = 0

, en inderdaad is zijn afgeleide

\cos(0) = 1 > 0

;

\sin(x)

heeft een top in

x = \tfrac12\pi

, en inderdaad is

\cos(\tfrac12\pi) = 0

. Zulke controles vangen tekenfouten en verwisselingen (zoals de vergeten min bij de cosinus) af voordat ze je antwoord verpesten.

(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x

goniometrische afgeleiden (in radialen)

De afgeleide van de sinus is de cosinus; de afgeleide van de cosinus is min de sinus. Geldt alleen in radialen.

(a^x)' = a^x\ln a, \qquad (e^x)' = e^x, \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}

exponentiële en logaritmische afgeleiden

De afgeleide van aˣ is aˣ keer ln a; voor grondtal e is dat eˣ zelf; de afgeleide van ln x is 1/x.

Uitgewerkt voorbeeld

Standaardafgeleiden combineren met de rekenregels

Differentieer $f(x) = 3\sin(x) - 2x^2 + e^x$ en bepaal $f'(0)$ .

Stap 1 — Differentieer term voor term
Gebruik de standaardafgeleiden met de constante-factor- en somregel: 3·(sin)′, −2·(x²)′ en (eˣ)′.
$f'(x) = 3\cos(x) - 4x + e^x$
Stap 2 — Vul x = 0 in
Bereken f′(0) met cos(0) = 1 en e⁰ = 1.
$f'(0) = 3\cos(0) - 4\cdot 0 + e^0 = 3 + 0 + 1 = 4$
Stap 3 — Controleer het teken
f′(0) = 4 > 0, dus de grafiek stijgt in x = 0. Dat klopt: 3 sin(x) en eˣ stijgen daar beide.
$f'(0) = 4 > 0 \ \Rightarrow\ f \text{ stijgt in } x = 0$

Resultaat: Resultaat: $f'(x) = 3\cos(x) - 4x + e^x$ en $f'(0) = 4$ . De grafiek stijgt in $x = 0$ , wat het positieve teken bevestigt; let op de cosinus (zonder min, want $\sin$ wordt $\cos$ ).

Veelgemaakte fouten

Het minteken bij de afgeleide van $\cos(x)$ vergeten; de afgeleide is $-\sin(x)$ .
Sinus en cosinus differentiëren met de rekenmachine in graden, zodat de eenvoudige afgeleiden niet kloppen.
Denken dat de afgeleide van $a^x$ gelijk is aan $x\cdot a^{x-1}$ (de machtsregel); bij een variabele in de exponent geldt $a^x\ln(a)$ .

Actieve herhaling

Differentieer $f(x) = 3\sin(x) - 2x^2 + e^x$ en controleer met een teken-argument dat $f'$ in $x = 0$ positief is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De productregel#

Standardexamenblad-nl

Soms is een functie een product van twee deelfuncties die je niet handig kunt uitvermenigvuldigen, zoals

f(x) = x^2\sin(x)

. Je mag dan níét zomaar de twee afgeleiden vermenigvuldigen — dat is een klassieke en hardnekkige fout. In plaats daarvan gebruik je de productregel: de afgeleide van een product

f(x)\cdot g(x)

f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)

. In woorden: de afgeleide van het eerste maal het tweede, plus het eerste maal de afgeleide van het tweede. Je differentieert dus om de beurt één van de twee factoren en laat de andere staan, en telt de twee resultaten op.

De productregel is geen willekeurige afspraak maar volgt uit het differentiequotiënt. Verander je

x

met een kleine

h

, dan verandert het product

f\cdot g

ongeveer doordat

f

verandert (term

f'\cdot g

) én doordat

g

verandert (term

f\cdot g'

); in de limiet blijven precies die twee bijdragen over. Je hoeft die afleiding niet uit het hoofd te kennen, maar het inzicht „beide factoren dragen apart bij aan de verandering van het product” maakt de structuur van de regel logisch en helpt je hem correct te onthouden: twee termen, in elk precies één factor gedifferentieerd.

Het toepassen gaat in vaste stappen. Benoem eerst duidelijk de twee factoren

f

g

, bepaal hun afgeleiden

f'

g'

apart, en vul ze daarna in de regel

f'g + fg'

in. Voor

h(x) = x^2\sin(x)

neem je

f = x^2

(met

f' = 2x

) en

g = \sin(x)

(met

g' = \cos(x)

), zodat

h'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)

. Het netjes opschrijven van de twee factoren en hun afgeleiden vóór het invullen voorkomt verwarring, vooral als de factoren zelf samengesteld zijn.

Een belangrijke vraag is wanneer je de productregel kíest. Als je de twee factoren makkelijk kunt uitvermenigvuldigen tot een polynoom, is dat meestal sneller:

(x+1)(x-3)

differentieer je eerder door eerst

x^2 - 2x - 3

te maken en dan term voor term te differentiëren. De productregel komt pas echt van pas wanneer uitvermenigvuldigen niet kan of onhandig is — bijvoorbeeld bij een product met een sinus, een exponentiële functie of een wortel. Kijk dus eerst of uitvermenigvuldigen lukt; zo niet, grijp dan naar de productregel.

De productregel breidt je differentieergereedschap uit naar een hele klasse functies die je daarvoor niet aankon. Samen met de standaardafgeleiden differentieer je nu producten als

x\cdot e^x

x^2\sin(x)

\sqrt{x}\cos(x)

. In de volgende paragrafen komen de quotiëntregel (voor breuken) en de kettingregel (voor samengestelde functies) erbij, en die drie regels samen — plus de standaardafgeleiden — vormen het complete arsenaal. De kunst wordt dan om bij een gegeven functie de júiste regel of combinatie van regels te herkennen, en dat is precies wat een wiskunde-B-vraag van je vraagt.

\big(f(x)\cdot g(x)\big)' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)

productregel

Differentieer om de beurt één factor en laat de andere staan; tel de twee resultaten op.

Uitgewerkt voorbeeld

Een product differentiëren met de productregel

Differentieer $h(x) = x^2\sin(x)$ .

Stap 1 — Benoem de twee factoren en hun afgeleiden
Neem f = x² en g = sin(x). Bepaal hun afgeleiden apart.
$f = x^2,\ f' = 2x; \qquad g = \sin(x),\ g' = \cos(x)$
Stap 2 — Vul in de productregel in
Gebruik h′ = f′g + fg′.
$h'(x) = 2x\cdot\sin(x) + x^2\cdot\cos(x)$
Stap 3 — Schrijf het netjes op
Eventueel een gemeenschappelijke factor x buiten haakjes halen.
$h'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x) = x\big(2\sin(x) + x\cos(x)\big)$

Resultaat: Resultaat: $h'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$ . Omdat $x^2$ en $\sin(x)$ niet handig uit te vermenigvuldigen zijn, is de productregel hier de juiste keuze; let op dat het altijd een som van twee termen is.

Veelgemaakte fouten

De twee afgeleiden gewoon vermenigvuldigen ( $f'\cdot g'$ ) in plaats van de productregel $f'g + fg'$ toe te passen.
Eén van de twee termen vergeten; de productregel levert altijd een som van twee termen op.
De productregel gebruiken waar uitvermenigvuldigen sneller en minder foutgevoelig was.

Actieve herhaling

Differentieer $h(x) = x^2\sin(x)$ met de productregel, en differentieer $(x+1)(x-3)$ door eerst uit te vermenigvuldigen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De quotiëntregel#

Standardexamenblad-nl

Voor het differentiëren van een breuk waarvan teller en noemer beide functies van

x

zijn, gebruik je de quotiëntregel: de afgeleide van

\dfrac{f(x)}{g(x)}

\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\big(g(x)\big)^2}

. In woorden: de afgeleide van de teller maal de noemer, mín de teller maal de afgeleide van de noemer, alles gedeeld door het kwadraat van de noemer. Twee dingen zijn cruciaal en gaan vaak mis: de volgorde in de teller (er staat een mín, dus de volgorde is niet verwisselbaar) en het kwadraat van de noemer onderaan. De regel lijkt op de productregel, maar met een mín in plaats van een plus en een extra noemer-kwadraat.

Net als de productregel volgt de quotiëntregel uit het differentiequotiënt, en je kunt hem zelfs uit de productregel afleiden door

\dfrac{f}{g}

als

f\cdot g^{-1}

te schrijven. Maar belangrijker dan de afleiding is het correct onthouden, en daarbij helpt de structuur: de teller is „afgeleide-teller maal noemer min teller maal afgeleide-noemer”, precies als de productregel maar met een minteken; en de noemer is altijd het kwadraat van de oorspronkelijke noemer. De volgorde in de teller is essentieel vanwege dat minteken: verwissel je de twee termen, dan krijg je het tegengestelde teken en is je antwoord fout.

Het toepassen gaat opnieuw in stappen: benoem teller

f

en noemer

g

, bepaal

f'

g'

, en vul ze zorgvuldig in de regel in, lettend op de volgorde en het kwadraat. Voor

h(x) = \dfrac{x}{x+1}

neem je

f = x

(met

f' = 1

) en

g = x+1

(met

g' = 1

). Invullen geeft

h'(x) = \dfrac{1\cdot(x+1) - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{x + 1 - x}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}

. Merk op hoe de teller na vereenvoudigen netjes oplost; werk de teller dus altijd uit en vereenvoudig waar mogelijk.

Soms is er een handig alternatief voor de quotiëntregel. Is de noemer een eenvoudige macht van

x

, dan kun je de breuk vaak als een som van machten schrijven en met de machtsregel differentiëren — dat is minder foutgevoelig. Zo is

\dfrac{x^2 + 1}{x} = x + x^{-1}

, met afgeleide

1 - x^{-2}

, zonder dat je de quotiëntregel nodig hebt. Net als bij de productregel geldt: kijk eerst of een eenvoudiger herschrijving mogelijk is, en gebruik de quotiëntregel pas wanneer teller en noemer echte, niet te splitsen functies zijn (zoals

\dfrac{\sin x}{x}

\dfrac{x}{x+1}

De quotiëntregel completeert het rijtje regels voor het combineren van functies door de basisbewerkingen: optellen (somregel), vermenigvuldigen met een constante (constante-factorregel), vermenigvuldigen van functies (productregel) en delen van functies (quotiëntregel). De enige bewerking die nog rest is het samenstellen van functies — een functie in een functie stoppen — en daarvoor dient de kettingregel uit de volgende paragraaf. Met deze vier rekenregels plus de standaardafgeleiden heb je het volledige gereedschap om elke functie uit wiskunde B te differentiëren, hoe samengesteld ook.

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\big(g(x)\big)^2}

quotiëntregel

Afgeleide-teller maal noemer, min teller maal afgeleide-noemer, gedeeld door het kwadraat van de noemer; let op de volgorde en het kwadraat.

Uitgewerkt voorbeeld

Een breuk differentiëren met de quotiëntregel

Differentieer $h(x) = \dfrac{x}{x+1}$ .

Stap 1 — Benoem teller en noemer met hun afgeleiden
Neem f = x en g = x + 1.
$f = x,\ f' = 1; \qquad g = x+1,\ g' = 1$
Stap 2 — Vul in de quotiëntregel in
Let op de volgorde in de teller (f′g − fg′) en het kwadraat van de noemer.
$h'(x) = \frac{1\cdot(x+1) - x\cdot 1}{(x+1)^2}$
Stap 3 — Werk de teller uit en vereenvoudig
De x-termen in de teller vallen tegen elkaar weg.
$h'(x) = \frac{x + 1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$

Resultaat: Resultaat: $h'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ . De afgeleide is overal positief, wat klopt: $\dfrac{x}{x+1}$ is een stijgende gebroken functie. De mín in de teller en het kwadraat van de noemer zijn hierbij essentieel.

Veelgemaakte fouten

De twee termen in de teller verwisselen, zodat het teken omklapt (de mín maakt de volgorde belangrijk).
Het kwadraat van de noemer vergeten; onderaan staat $\big(g(x)\big)^2$ , niet $g(x)$ .
De quotiëntregel gebruiken waar de breuk eenvoudig als som van machten te schrijven was.

Actieve herhaling

Differentieer $h(x) = \dfrac{x}{x+1}$ met de quotiëntregel en vereenvoudig het resultaat.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De kettingregel#

Vertiefungexamenblad-nl

Raaklijn aan de samengestelde functie √(2x + 1)

Afb. 3De samengestelde functie f(x) = √(2x + 1) heeft via de kettingregel afgeleide f′(x) = 1/√(2x+1). In x = 4 is de helling f′(4) = ⅓; de raaklijn in (4, 3) bevestigt dat.

Veel functies zijn samengesteld: een functie zit ín een andere functie, zoals

\sqrt{2x + 1}

(de wortel van iets),

(3x - 5)^4

(iets tot de vierde) of

\sin(2x)

(de sinus van iets). Zo'n samenstelling schrijf je als

f(g(x))

, met een binnenfunctie

g

(de „binnenkant”, hier

2x+1

3x-5

2x

) en een buitenfunctie

f

(de bewerking eromheen: wortel, vierde macht, sinus). Voor het differentiëren van zulke functies gebruik je de kettingregel, die de twee afgeleiden aan elkaar koppelt. Zonder die regel zou je elke samengestelde functie eerst moeten uitwerken, wat bij een wortel of sinus onmogelijk is.

De kettingregel luidt: de afgeleide van

f(g(x))

f'(g(x))\cdot g'(x)

. In woorden: differentieer de buitenfunctie (met de binnenkant nog ongewijzigd erin), en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenfunctie. De naam „ketting” slaat op die vermenigvuldiging van de twee afgeleiden, als schakels in een keten. Het inzicht erachter is dat een kleine verandering van

x

eerst de binnenkant

g

verandert (factor

g'

), en die verandering werkt vervolgens door op de buitenkant

f

(factor

f'

); de twee effecten vermenigvuldigen. Vandaar de twee factoren.

Het toepassen gaat het soepelst met de vaste werkwijze „afgeleide van de buitenkant maal afgeleide van de binnenkant”. Bepaal eerst wat de binnenkant

g(x)

is en wat de buitenfunctie

f

. Differentieer dan de buitenfunctie alsof de binnenkant één variabele is, en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenkant. Voor

h(x) = (3x - 5)^4

is de binnenkant

3x - 5

(afgeleide 3) en de buitenfunctie de vierde macht (afgeleide

4\cdot(\ldots)^3

), zodat

h'(x) = 4(3x-5)^3\cdot 3 = 12(3x-5)^3

. De factor 3 — de afgeleide van de binnenkant — is precies wat je zou vergeten als je de kettingregel niet gebruikte.

In de figuur zie je de samengestelde functie

f(x) = \sqrt{2x + 1}

met haar raaklijn in het punt

(4, 3)

. De binnenkant is

2x + 1

(afgeleide 2) en de buitenfunctie is de wortel (afgeleide

\dfrac{1}{2\sqrt{\ldots}}

), dus

f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2 = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}

. In

x = 4

geeft dat

f'(4) = \dfrac{1}{\sqrt{9}} = \dfrac13

, en de getekende raaklijn heeft inderdaad helling

\tfrac13

. Zonder de factor 2 van de binnenkant zou je hier een verkeerde helling vinden; de kettingregel verzorgt precies die correctie.

De kettingregel is de laatste en vaak lastigste van de rekenregels, maar ook de meest gebruikte, omdat samengestelde functies overal opduiken. Hij combineert bovendien met de andere regels: een product van samengestelde functies vraagt om productregel én kettingregel, een breuk met een samengestelde teller om quotiëntregel én kettingregel. Het herkennen van de structuur van een functie — is het een som, een product, een breuk, een samenstelling, of een combinatie? — bepaalt welke regel(s) je inzet. Wie de vier rekenregels en de standaardafgeleiden beheerst en de structuur leert herkennen, kan elke functie uit wiskunde B differentiëren en is klaar voor de toepassingen: raaklijnen, extremen en optimalisering.

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\cdot g'(x)

kettingregel

Afgeleide van de buitenkant (met de binnenkant erin), maal de afgeleide van de binnenkant — de twee schakels van de ketting.

Uitgewerkt voorbeeld

Een samengestelde functie differentiëren met de kettingregel

Differentieer $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ en bepaal de helling in $x = 4$ .

Stap 1 — Herken binnen- en buitenfunctie
De binnenkant is g(x) = 2x + 1 (afgeleide 2); de buitenfunctie is de wortel, met afgeleide 1/(2√…).
$g(x) = 2x+1,\ g'(x) = 2; \qquad \text{buiten: } \sqrt{\ }\,,\ \text{afgeleide } \tfrac{1}{2\sqrt{\ }}$
Stap 2 — Pas de kettingregel toe
Differentieer de buitenkant (met de binnenkant erin) en vermenigvuldig met g′.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$
Stap 3 — Bepaal de helling in x = 4
Vul x = 4 in: 2·4 + 1 = 9 en √9 = 3.
$f'(4) = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

Resultaat: Resultaat: $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$ en $f'(4) = \dfrac13$ . De factor 2 (de afgeleide van de binnenkant) viel tegen de $\tfrac12$ van de wortelafgeleide weg; vergeet die factor nooit.

Veelgemaakte fouten

De afgeleide van de binnenkant ( $g'$ ) vergeten, zodat de extra factor (zoals de 2 bij $\sqrt{2x+1}$ of de 3 bij $(3x-5)^4$ ) ontbreekt.
De binnenkant bij het differentiëren van de buitenfunctie al „mee-veranderen” in plaats van hem ongewijzigd te laten staan.
De binnen- en buitenfunctie verwisselen, zodat de verkeerde afgeleide wordt genomen.

Actieve herhaling

Differentieer $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ met de kettingregel en bepaal de helling in $x = 4$ . Differentieer ook $(3x - 5)^4$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Bepaling van afgeleide functies en de rekenregels

Kernpunten

Een polynoom differentiëren en een helling bepalen

Kernpunten

Standaardafgeleiden combineren met de rekenregels

Kernpunten

Een product differentiëren met de productregel

Kernpunten

Een breuk differentiëren met de quotiëntregel

Kernpunten

Een samengestelde functie differentiëren met de kettingregel

Bronnen