Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Toepassing van de afgeleide: extremen, raaklijnen en optimalisering

Met de afgeleide in handen kun je krachtige vragen beantwoorden. In dit onderwerp stel je de vergelijking van een raaklijn op met $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ , bepaal je de extremen van een functie via $f'(x) = 0$ en het tekenverloop, vind je de grootste en kleinste waarde op een interval (inclusief de randen), en los je optimaliseringsproblemen op waarin een grootheid maximaal of minimaal moet zijn. Dit is de bekroning van de differentiaalrekening: de afgeleide als probleemoplosser.

4Onderdelenca. 19min leestijd4VaardighedenNiveauStandaard 3 · Verdieping 1

T·121212 / 12

Examenprofiel

De vergelijking van de raaklijn aan een grafiek in een gegeven punt opstellen met y = f'(a)(x-a)+f(a).Extremen van een functie bepalen via f'(x) = 0 en de tekenwisseling van f'.De grootste en kleinste waarde van een functie op een interval bepalen, inclusief de randwaarden.Optimaliseringsproblemen oplossen door een doelfunctie op te stellen en te differentiëren.

Operatoren:stel opbepaalberekenoptimaliseertoon aanlos op

basisniveau

Bepaal extremen met $f'(x)=0$ en stel een raaklijn op met de afgeleide als richtingscoëfficiënt.

verhoogd niveau

Vertaal een toegepast probleem naar een doelfunctie, optimaliseer met de afgeleide en vergelijk met de randwaarden.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Toepassing van de afgeleide: extremen, raaklijnen en optimalisering

De raaklijn aan een grafiek opstellen#

Standardexamenblad-nl

Raaklijn aan f(x) = x² in x = 1,5

Afb. 1De raaklijn aan f(x) = x² in x = 1,5 heeft helling f′(1,5) = 3 en gaat door het raakpunt (1,5 ; 2,25). De raaklijnvergelijking is y = 3(x − 1,5) + 2,25 = 3x − 2,25.

De raaklijn aan de grafiek van

f

in een punt is de rechte lijn die de grafiek daar net aanraakt en dezelfde richting (helling) heeft als de kromme. De afgeleide levert precies de twee gegevens die je nodig hebt om die lijn vast te leggen. Voor een raakpunt met

x

-coördinaat

a

is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan

f'(a)

— de helling van de grafiek daar — en het raakpunt zelf is

\big(a, f(a)\big)

. Met een richtingscoëfficiënt en een punt ligt een lijn eenduidig vast, dus daarmee kun je de raaklijnvergelijking opstellen.

De handigste formule voor de raaklijn is

y = f'(a)\,(x - a) + f(a)

. Je herkent er de lijnvergelijking in:

f'(a)

is de richtingscoëfficiënt, en de term

+ f(a)

zorgt dat de lijn precies door het raakpunt gaat. Deze vorm is efficiënt omdat je

a

f(a)

f'(a)

rechtstreeks kunt invullen zonder eerst

b

apart uit te rekenen. Wil je toch de gebruikelijke vorm

y = ax + b

, dan werk je de haakjes weg en vereenvoudig je. In de figuur zie je dit voor

f(x) = x^2

x = 1{,}5

: het raakpunt is

(1{,}5;\ 2{,}25)

, de helling is

f'(1{,}5) = 3

, en de getekende raaklijn raakt de parabool daar netjes met richtingscoëfficiënt 3.

Het opstellen van een raaklijn verloopt dus in drie vaste stappen: bereken

f(a)

(de

y

-coördinaat van het raakpunt), bepaal de afgeleide

f'(x)

en reken

f'(a)

uit (de richtingscoëfficiënt), en vul beide in de raaklijnformule in. Voor

f(x) = x^2

a = 1{,}5

geeft dat

f(1{,}5) = 2{,}25

f'(x) = 2x

, dus

f'(1{,}5) = 3

, en de raaklijn

y = 3(x - 1{,}5) + 2{,}25 = 3x - 2{,}25

. Controleer altijd dat de raaklijn door het raakpunt gaat door

a

in te vullen; krijg je

f(a)

terug, dan klopt het.

Een raaklijn met een gegeven richting vind je door de voorwaarde op de helling te vertalen naar de afgeleide. Zoek je het punt waar de raaklijn horizontaal is, dan los je

f'(x) = 0

op (de helling is dan nul) — precies de extremen uit de volgende paragraaf. Zoek je waar de raaklijn een bepaalde helling

m

heeft, dan los je

f'(x) = m

op. Zo gebruik je de afgeleide niet alleen om in een gegeven punt de raaklijn te vinden, maar ook andersom: om het punt te vinden waar de raaklijn een gewenste richting heeft. Deze flexibiliteit maakt de afgeleide tot een veelzijdig meetkundig gereedschap.

De raaklijn aan een grafiek is de analytische tegenhanger van de raaklijn aan een cirkel uit de meetkunde met coördinaten, maar nu voor een willekeurige kromme. Waar je bij de cirkel de loodrechte stand op de straal gebruikte, gebruik je hier de afgeleide als richtingscoëfficiënt — algemener en krachtiger, want het werkt voor elke functie. Het opstellen van een raaklijn komt op het examen vaak voor, soms als doel op zich, soms als tussenstap (bijvoorbeeld om een snijpunt van een raaklijn met een as te vinden, of om twee grafieken die elkaar raken te onderzoeken). Het is daarmee een kernvaardigheid van de toegepaste differentiaalrekening.

y = f'(a)\,(x - a) + f(a)

raaklijn in het punt (a, f(a))

f′(a) is de richtingscoëfficiënt en + f(a) zorgt dat de lijn door het raakpunt gaat.

Uitgewerkt voorbeeld

Een raaklijn opstellen

Gegeven is $f(x) = x^2$ . Stel de raaklijn op in $x = 1{,}5$ .

Stap 1 — Bereken het raakpunt
Vul a = 1,5 in de functie in voor de y-coördinaat van het raakpunt.
$f(1{,}5) = 1{,}5^2 = 2{,}25 \ \Rightarrow\ \text{raakpunt } (1{,}5;\ 2{,}25)$
Stap 2 — Bepaal de richtingscoëfficiënt
Differentieer en vul a in de afgeleide in.
$f'(x) = 2x \ \Rightarrow\ f'(1{,}5) = 3$
Stap 3 — Vul in de raaklijnformule in
Gebruik y = f′(a)(x − a) + f(a) en werk de haakjes weg.
$y = 3(x - 1{,}5) + 2{,}25 = 3x - 2{,}25$

Resultaat: Resultaat: de raaklijn is $y = 3x - 2{,}25$ . Ze heeft helling $f'(1{,}5) = 3$ en gaat door het raakpunt $(1{,}5;\ 2{,}25)$ ; de $x$ -as snijdt ze waar $3x - 2{,}25 = 0$ , dus in $x = 0{,}75$ .

Veelgemaakte fouten

De functiewaarde $f(a)$ als richtingscoëfficiënt gebruiken in plaats van de afgeleide $f'(a)$ .
Bij het opstellen vergeten de term $+ f(a)$ mee te nemen, zodat de lijn niet door het raakpunt gaat.
$f'(a)$ verwarren met $f'(x)$ : de richtingscoëfficiënt is de afgeleide ingevuld in het raakpunt, een getal.

Actieve herhaling

Gegeven is $f(x) = x^2$ . Stel de vergelijking op van de raaklijn in $x = 1{,}5$ en bepaal waar de raaklijn de $x$ -as snijdt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Extremen bepalen met de afgeleide#

Standardexamenblad-nl

Horizontale raaklijnen in de extremen

Afb. 2In de top (−1, 2) en het dal (1, −2) van f(x) = x³ − 3x is de raaklijn horizontaal: daar is f′(x) = 3x² − 3 = 0. Het tekenverloop van f′ onderscheidt de top (+ → −) van het dal (− → +).

Een extremum — een maximum (top) of minimum (dal) — is een punt waar een functie van stijgen naar dalen overgaat of omgekeerd. Precies daar is de raaklijn horizontaal, en dus is de helling nul. Dat geeft de centrale methode: extremen vind je door

f'(x) = 0

op te lossen. De oplossingen zijn de

x

-coördinaten van de punten met een horizontale raaklijn — de kandidaat-extremen. In de figuur zie je

f(x) = x^3 - 3x

met haar twee horizontale raaklijnen: in de top

(-1, 2)

en in het dal

(1, -2)

ligt de raaklijn vlak, want daar is

f'(x) = 3x^2 - 3 = 0

Niet elk nulpunt van

f'

is automatisch een extremum; je moet de aard ervan vaststellen met het tekenverloop van

f'

. Slaat

f'

bij het nulpunt om van positief naar negatief, dan ging

f

van stijgen naar dalen: een maximum. Slaat

f'

om van negatief naar positief, dan een minimum. Blijft het teken van

f'

aan beide kanten gelijk, dan is er geen extremum maar een buigpunt met horizontale raaklijn. Voor

f(x) = x^3 - 3x

f'

positief vóór

x = -1

, negatief tussen

-1

1

, en weer positief na

x = 1

: dus een maximum bij

-1

en een minimum bij

1

. Het tekenschema maakt dit systematisch en betrouwbaar.

Het bepalen van de complete coördinaten van een extremum gaat in twee stappen die je niet door elkaar moet halen. De

x

-coördinaat komt uit

f'(x) = 0

. De

y

-coördinaat — de extreme wáárde — krijg je door die

x

in te vullen in de oorspronkelijke functie

f

, níét in

f'

. Voor de top van

f(x) = x^3 - 3x

geeft

f'(x) = 0

de waarde

x = -1

, en invullen in

f

geeft

f(-1) = -1 + 3 = 2

, dus de top is

(-1, 2)

. Een veelgemaakte fout is de

x

-waarde in

f'

invullen (wat per definitie 0 oplevert) in plaats van in

f

Deze methode —

f'(x) = 0

, tekenverloop, dan

y

-waarde uit

f

— is een van de meest gebruikte procedures bij wiskunde B, en je past hem toe op elke functie waarvan je de toppen en dalen wilt weten. Hij werkt voor polynomen, maar ook voor samengestelde functies, mits je

f'

correct met de rekenregels hebt bepaald. Bij ingewikkelder functies kan

f'(x) = 0

een vergelijking opleveren die je met ontbinden, de abc-formule of de grafische rekenmachine oplost; de structuur van de aanpak blijft hetzelfde. Het tekenverloop is daarbij onmisbaar om maxima van minima (en van buigpunten) te onderscheiden.

Extremen bepalen is niet alleen een doel op zich, maar ook de motor achter optimalisering en grafiekanalyse. Zodra je de toppen en dalen van een functie kent, ken je haar globale verloop: waar ze het hoogst of laagst komt, en hoe ze daartussen stijgt en daalt. In de volgende paragrafen gebruik je dit om de grootste of kleinste waarde op een interval te vinden (waar je ook de randen meeneemt) en om praktische optimaliseringsproblemen op te lossen (waar je een grootheid maximaal of minimaal maakt). De horizontale-raaklijn-voorwaarde

f'(x) = 0

is daarmee de sleutel tot de hele toegepaste differentiaalrekening.

\text{horizontale raaklijn} \ \Leftrightarrow\ f'(x) = 0

extremumvoorwaarde

In een top of dal is de raaklijn horizontaal, dus de helling nul; los f′(x) = 0 op voor de kandidaat-extremen.

f' : +\to- \ (\text{maximum}), \qquad f' : -\to+ \ (\text{minimum})

aard van het extremum

De tekenwisseling van f′ bij het nulpunt bepaalt of het een maximum of een minimum is.

Uitgewerkt voorbeeld

De extremen van een functie bepalen

Bepaal de extremen van $f(x) = x^3 - 3x$ .

Stap 1 — Los f′(x) = 0 op
Differentieer en stel de afgeleide op nul.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \ \Rightarrow\ x^2 = 1 \ \Rightarrow\ x = -1 \ \text{of}\ x = 1$
Stap 2 — Bepaal de aard met het tekenverloop
Onderzoek het teken van f′ met proefwaarden in de drie intervallen.
$f'(-2)=9>0,\ f'(0)=-3<0,\ f'(2)=9>0 \ \Rightarrow\ x=-1 \text{ top},\ x=1 \text{ dal}$
Stap 3 — Bereken de extreme waarden uit f
Vul de x-waarden in de oorspronkelijke functie in.
$f(-1) = -1 + 3 = 2, \qquad f(1) = 1 - 3 = -2$

Resultaat: Resultaat: $f$ heeft een maximum in $(-1, 2)$ en een minimum in $(1, -2)$ . De $x$ -waarden volgen uit $f'(x) = 0$ , de hoogtes uit invullen in $f$ , en het tekenverloop bepaalt welke een top en welke een dal is.

Veelgemaakte fouten

De $y$ -coördinaat van een extremum uit $f'$ halen (wat 0 geeft) in plaats van uit $f$ .
Aannemen dat elk nulpunt van $f'$ een extremum is, zonder de tekenwisseling te controleren (een buigpunt heeft ook $f' = 0$ ).
Het tekenverloop overslaan, zodat je maximum en minimum verwisselt.

Actieve herhaling

Bepaal de extremen van $f(x) = x^3 - 3x$ : los $f'(x) = 0$ op, stel het tekenverloop op en geef de coördinaten van de top en het dal.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Grootste en kleinste waarde op een interval#

Standardexamenblad-nl

Grootste en kleinste waarde op [0, 4]

Afb. 3Op [0, 4] heeft f(x) = x³ − 6x² + 9x een inwendige top (1, 4) en een inwendig dal (3, 0). Het rechterrandpunt (4, 4) evenaart de top, dus de grootste waarde is 4 en de kleinste 0 — de randen tellen mee.

Vaak vraagt een opgave naar de grootste of kleinste waarde van een functie op een begrensd interval

[a, b]

— bijvoorbeeld de maximale hoogte van een projectiel binnen een tijdvenster. Hier is een subtiel maar cruciaal punt: de grootste of kleinste waarde hoeft niet in een top of dal te liggen, maar kan ook op een ránd van het interval optreden. Een functie die op het hele interval blijft stijgen, heeft haar grootste waarde immers in het rechterrandpunt, zonder dat daar de afgeleide nul is. Daarom moet je bij dit type vraag altijd zowel de inwendige extremen áls de randwaarden onderzoeken.

De volledige werkwijze is daarmee: bepaal eerst de inwendige kandidaat-extremen door

f'(x) = 0

op te lossen (en alleen de oplossingen die bínnen het interval liggen meenemen), bereken vervolgens de functiewaarde in elk van die kandidaten én in de twee randpunten

a

b

, en vergelijk ten slotte al die waarden. De grootste daarvan is de grootste waarde (het globale maximum op het interval), de kleinste is de kleinste waarde. Zo mis je geen enkel kandidaat-punt: noch een inwendige top of dal, noch een randextremum.

In de figuur zie je

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

op het interval

[0, 4]

. De afgeleide

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)

is nul in

x = 1

x = 3

, beide binnen het interval. De functiewaarden in de kandidaten zijn

f(1) = 4

(een inwendige top) en

f(3) = 0

(een inwendig dal); de randwaarden zijn

f(0) = 0

f(4) = 4

. Vergelijk je deze vier waarden, dan is de grootste waarde 4 (bereikt in zowel de top

x = 1

als het rechterrandpunt

x = 4

) en de kleinste waarde 0 (in zowel het dal

x = 3

als het linkerrandpunt

x = 0

). Het rechterrandpunt evenaart hier de inwendige top — precies waarom je de randen niet mag overslaan.

Het verschil tussen een „lokaal” en een „globaal” extremum is hierbij verhelderend. Een inwendige top is een lokaal maximum: hoger dan de directe omgeving. Maar de grootste waarde op het hele interval (het globale maximum) kan elders liggen, bijvoorbeeld op een rand die nóg hoger reikt. Daarom is „de top zoeken met

f'(x) = 0

” alléén niet genoeg voor de grootste waarde op een interval; je vergelijkt de lokale extremen mét de randwaarden om het globale maximum en minimum te vinden. Vergeet je de randen, dan kun je de grootste of kleinste waarde mislopen.

Deze vaardigheid is de directe voorbereiding op de optimaliseringsproblemen in de volgende paragraaf, waar de doelfunctie meestal op een natuurlijk, begrensd interval is gedefinieerd (een lengte tussen 0 en een maximum, een tijd binnen een venster). Daar is de vraag „voor welke waarde is de grootheid maximaal?” precies een grootste-waarde-vraag op een interval, en pas je dezelfde methode toe: kandidaat-extremen via

f'(x) = 0

, plus de randen, plus vergelijken. Het systematisch meenemen van de randwaarden onderscheidt een volledig antwoord van een half antwoord.

\text{vergelijk } f(\text{inwendige extrema}) \text{ met } f(a) \text{ en } f(b)

grootste/kleinste waarde op [a, b]

De grootste of kleinste waarde op een interval ligt in een inwendig extremum óf op een randpunt; bereken en vergelijk al deze waarden.

Uitgewerkt voorbeeld

De grootste en kleinste waarde op een interval

Bepaal de grootste en kleinste waarde van $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ op $[0, 4]$ .

Stap 1 — Bepaal de inwendige kandidaten
Differentieer en los f′(x) = 0 op; beide oplossingen liggen binnen [0, 4].
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) = 0 \ \Rightarrow\ x = 1,\ x = 3$
Stap 2 — Bereken alle kandidaatwaarden, inclusief de randen
Vul de kandidaten én de randpunten 0 en 4 in f in.
$f(0)=0,\quad f(1)=4,\quad f(3)=0,\quad f(4)=4$
Stap 3 — Vergelijk de waarden
De grootste van alle waarden is de grootste waarde, de kleinste de kleinste.
$\text{grootste } = 4 \ (x=1 \text{ en } x=4), \qquad \text{kleinste } = 0 \ (x=0 \text{ en } x=3)$

Resultaat: Resultaat: op $[0, 4]$ is de grootste waarde 4 (bereikt in de top $x = 1$ én op de rand $x = 4$ ) en de kleinste waarde 0 (in het dal $x = 3$ én op de rand $x = 0$ ). Zonder de randwaarden mee te nemen had je de grootste waarde op $x = 4$ gemist.

Veelgemaakte fouten

Alleen de inwendige extremen onderzoeken en de randwaarden vergeten, zodat je een randextremum mist.
Oplossingen van $f'(x) = 0$ die búiten het interval liggen toch meenemen.
De grootste waarde verwarren met de hoogste lokale top, terwijl een rand hoger kan reiken.

Actieve herhaling

Bepaal de grootste en kleinste waarde van $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ op het interval $[0, 4]$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Optimaliseringsproblemen#

Vertiefungexamenblad-nl

Maximale oppervlakte van een rechthoek

Afb. 4De oppervlakte A(x) = 10x − x² van een rechthoek met omtrek 20 is maximaal in de top (5, 25): bij lengte 5 (en breedte 5, dus een vierkant) is de oppervlakte het grootst, namelijk 25.

Optimalisering is de meest praktische toepassing van de differentiaalrekening: je zoekt de waarde van een variabele waarvoor een grootheid maximaal of minimaal is. Denk aan de grootste oppervlakte bij een gegeven hoeveelheid hek, de kortste reistijd, de laagste kosten of het grootste volume bij een gegeven hoeveelheid materiaal. De kern is om het probleem te vertalen naar een doelfunctie — een functie die de te optimaliseren grootheid uitdrukt in één variabele — en die vervolgens met de afgeleide te maximaliseren of minimaliseren. De wiskunde is bekend (extremen via

f'(x) = 0

); de uitdaging zit in het opstellen van de juiste doelfunctie.

Het opstellen van de doelfunctie verloopt in een paar stappen die je los van het rekenen moet beheersen. Benoem eerst de variabele waarvan alles afhangt, en druk de te optimaliseren grootheid daarin uit. Vaak zijn er twee onbekenden gekoppeld door een nevenvoorwaarde (een vaste omtrek, een vast volume); gebruik die voorwaarde om de ene onbekende in de andere uit te drukken, zodat je doelfunctie nog maar één variabele heeft. Voor een rechthoek met omtrek 20 en lengte

x

is de breedte

10 - x

(want

2x + 2\cdot\text{breedte} = 20

), zodat de oppervlakte

A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2

wordt — een functie van alleen

x

Eenmaal de doelfunctie staat, optimaliseer je met de vertrouwde methode: differentieer, los

f'(x) = 0

op, en controleer met het tekenverloop dat je werkelijk een maximum (of minimum) hebt. Voor

A(x) = 10x - x^2

A'(x) = 10 - 2x

, dus

A'(x) = 0

geeft

x = 5

; omdat

A'

daar van positief naar negatief slaat, is het een maximum. In de figuur zie je deze parabool met haar top in

(5, 25)

: de maximale oppervlakte is

A(5) = 25

, bereikt bij lengte 5 (en dus breedte 5, een vierkant). Vergeet niet het antwoord in de context terug te vertalen: niet alleen „

x = 5

”, maar „de oppervlakte is maximaal

25

bij een lengte van 5”.

Let bij optimalisering goed op het geldige domein van de doelfunctie, want de variabele heeft meestal een natuurlijke begrenzing. Een lengte kan niet negatief zijn en bij omtrek 20 ook niet groter dan 10, dus

0 \le x \le 10

. Binnen dat domein zoek je het optimum, en net als bij de vorige paragraaf moet je controleren of het optimum inwendig ligt (waar

f'(x) = 0

) of op een rand. Bij de rechthoek ligt het maximum netjes inwendig bij

x = 5

, maar bij andere problemen kan het optimum op een rand vallen — onderzoek dat altijd. Het domein voorkomt ook onzinnige oplossingen, zoals een negatieve lengte die wiskundig wel uit

f'(x) = 0

kan rollen.

Optimaliseringsproblemen zijn de bekroning van de hele leerlijn van wiskunde B: ze combineren het opstellen van een formule (uit het vaardigheden- en functieonderwerp), het werken met een nevenvoorwaarde (algebra), en het bepalen van extremen (differentiaalrekening) tot één samenhangende oplossing van een realistisch vraagstuk. Ze tonen waar al die techniek voor dient: om concrete, praktische vragen — wat is het grootst, het kleinst, het snelst, het goedkoopst? — exact te beantwoorden. Wie de stappen beheerst — vertaal naar een doelfunctie, optimaliseer met de afgeleide, controleer domein en randen, en vertaal terug — kan elk standaard-optimaliseringsprobleem op het examen aan.

A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2, \qquad A'(x) = 10 - 2x = 0 \ \Rightarrow\ x = 5

doelfunctie en optimalisatie

Stel de doelfunctie in één variabele op (hier de oppervlakte van een rechthoek met omtrek 20) en bepaal het maximum met de afgeleide.

Uitgewerkt voorbeeld

De maximale oppervlakte van een rechthoek bepalen

Van een rechthoek is de omtrek 20. Bepaal de lengte waarvoor de oppervlakte maximaal is en de bijbehorende maximale oppervlakte.

Stap 1 — Stel de doelfunctie op met de nevenvoorwaarde
Noem de lengte x. Uit de omtrek 2x + 2·breedte = 20 volgt breedte = 10 − x. De oppervlakte is lengte maal breedte.
$A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2, \qquad 0 \le x \le 10$
Stap 2 — Differentieer en los A′(x) = 0 op
Bepaal de afgeleide en stel die op nul.
$A'(x) = 10 - 2x = 0 \ \Rightarrow\ x = 5$
Stap 3 — Controleer en bereken de maximale oppervlakte
A′ slaat in x = 5 om van positief naar negatief, dus een maximum. Vul x = 5 in A in.
$A(5) = 10\cdot 5 - 5^2 = 50 - 25 = 25$

Resultaat: Resultaat: de oppervlakte is maximaal bij lengte $x = 5$ (en breedte $10 - 5 = 5$ , dus een vierkant), met een maximale oppervlakte van 25. Onder alle rechthoeken met een vaste omtrek heeft het vierkant de grootste oppervlakte — een mooi en algemeen resultaat.

Veelgemaakte fouten

De doelfunctie met twee variabelen laten staan in plaats van met de nevenvoorwaarde tot één variabele te herleiden.
Het geldige domein negeren, zodat een onzinnige (bijvoorbeeld negatieve) oplossing wordt geaccepteerd.
Vergeten met het tekenverloop te controleren of het gevonden punt echt een maximum (of minimum) is, of het antwoord niet in de context terugvertalen.

Actieve herhaling

Van een rechthoek is de omtrek 20. Druk de oppervlakte uit in de lengte $x$ , en bepaal voor welke $x$ de oppervlakte maximaal is en hoe groot die maximale oppervlakte dan is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Toepassing van de afgeleide: extremen, raaklijnen en optimalisering

Kernpunten

Een raaklijn opstellen

Kernpunten

De extremen van een functie bepalen

Kernpunten

De grootste en kleinste waarde op een interval

Kernpunten

De maximale oppervlakte van een rechthoek bepalen

Bronnen