Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Afgeleide functies en de hellinggrafiek

De afgeleide functie $f'$ geeft voor elke $x$ de helling van de grafiek van $f$ in dat punt — de momentane veranderingssnelheid. In dit onderwerp maak je de stap van de afgeleide in één punt naar de afgeleide als nieuwe functie, je leert de hellinggrafiek (de grafiek van $f'$ ) tekenen en lezen, en je gebruikt het teken van $f'$ om te bepalen waar $f$ stijgt, daalt of een top of dal heeft. Daarmee wordt de afgeleide een gereedschap om het verloop van een functie volledig te beschrijven.

3Onderdelenca. 15min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 2

T·101010 / 12

Examenprofiel

De afgeleide functie f' begrijpen als de functie die in elk punt de helling van f geeft.De hellinggrafiek (grafiek van f') tekenen en aflezen bij een gegeven functie f.Met het teken van f' bepalen waar f stijgt, daalt of een horizontale raaklijn heeft.De samenhang tussen kenmerken van f en kenmerken van f' herkennen en gebruiken.

Operatoren:bepaalschetstekenlees afberedeneerleg uit

basisniveau

Lees uit een grafiek af waar de helling positief, negatief of nul is en koppel dat aan stijgen, dalen en toppen.

verhoogd niveau

Schets de hellinggrafiek bij een gegeven functie en redeneer over de samenhang tussen f en f'.

Diepte

Schrift

Inhalt · 3 onderdelen

Afgeleide functies en de hellinggrafiek

Van helling in één punt naar de afgeleide functie#

Basisexamenblad-nl

In het vorige onderwerp heb je de momentane veranderingssnelheid in één punt

a

bepaald als de limiet van het differentiequotiënt:

f'(a) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

. Dat getal is de helling van de raaklijn aan de grafiek in

(a, f(a))

. De cruciale volgende stap is om dit níét voor één vast punt

a

te doen, maar voor élk punt

x

tegelijk. Dan ontstaat een nieuwe functie die bij elke

x

de helling van

f

in dat punt teruggeeft. Die nieuwe functie heet de afgeleide functie van

f

en noteer je als

f'(x)

(lees: „

f

accent van

x

”). De afgeleide is dus zelf een functie, geen los getal.

Voor

f(x) = x^2

heb je in feite al gezien hoe dit werkt. Het differentiequotiënt in een willekeurig punt

x

\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h

, en de limiet voor

h \to 0

2x

. Dus

f'(x) = 2x

: de afgeleide functie van

x^2

. Wil je nu de helling in een concreet punt, dan vul je dat punt in de afgeleide in —

f'(3) = 2\cdot 3 = 6

f'(-1) = -2

, enzovoort. De afgeleide functie is daarmee een soort „hellingmachine”: stop er een

x

in, en je krijgt de helling van

f

in dat punt terug, zonder telkens opnieuw een limiet te hoeven berekenen.

Voor de afgeleide bestaan verschillende notaties, die allemaal hetzelfde betekenen. Naast

f'(x)

gebruik je vaak de Leibniz-notatie

\dfrac{dy}{dx}

\dfrac{df}{dx}

, die letterlijk „de verandering van

y

per verandering van

x

in de limiet” suggereert — het is de symbolische erfgenaam van

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

. Schrijf je

y = f(x)

, dan is

\dfrac{dy}{dx} = f'(x)

. De accent-notatie

f'(x)

is handig om snel een functiewaarde aan te geven (zoals

f'(2)

), terwijl de Leibniz-notatie de oorsprong uit het differentiequotiënt benadrukt. Het is goed om beide te herkennen, want het examen gebruikt ze door elkaar.

Het differentiëren — het bepalen van de afgeleide functie — doe je in de praktijk niet telkens met de limiet, maar met rekenregels die je in de volgende hoofdstukken leert (zoals de machtsregel, die direct

x^n \to n x^{n-1}

geeft). Maar het is belangrijk te blijven zien dat die regels niets anders zijn dan een snelle manier om de limiet

\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

uit te rekenen. De definitie blijft het fundament; de rekenregels zijn de gereedschappen. Wie begrijpt dat

f'(x)

uit deze limiet komt, snapt waaróm de afgeleide de helling meet, en kan een rekenregel altijd terugbrengen tot zijn betekenis.

De overgang van „helling in één punt” naar „afgeleide als functie” is de geboorte van de differentiaalrekening als gereedschap. Zodra je de afgeleide functie

f'

in handen hebt, kun je alles over het verloop van

f

beantwoorden: waar is de helling positief (stijgen), waar negatief (dalen), waar nul (een horizontale raaklijn, mogelijk een top of dal)? Die vragen behandelt de rest van dit onderwerp. De afgeleide functie is daarmee niet het eindpunt maar het startpunt: een nieuw instrument waarmee je grafieken analyseert, extremen vindt en optimaliseringsproblemen oplost.

f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

definitie van de afgeleide functie

De afgeleide functie geeft voor elke x de helling van f; ze is de limiet van het differentiequotiënt, nu voor een variabele x in plaats van een vast punt.

y = f(x) \ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx} = f'(x)

notaties voor de afgeleide

f'(x) en dy/dx betekenen hetzelfde: de afgeleide functie; de Leibniz-notatie benadrukt de oorsprong uit Δy/Δx.

Uitgewerkt voorbeeld

Hellingen berekenen met de afgeleide functie

Gegeven is $f(x) = x^2$ met $f'(x) = 2x$ . Bereken de helling van $f$ in $x = -1$ , $x = 0$ en $x = 3$ .

Stap 1 — Vul x = −1 in de afgeleide in
De afgeleide functie geeft de helling; vul het punt in.
$f'(-1) = 2\cdot(-1) = -2 \ (\text{negatieve helling: } f \text{ daalt daar})$
Stap 2 — Vul x = 0 in
Bereken de helling in de oorsprong.
$f'(0) = 2\cdot 0 = 0 \ (\text{horizontale raaklijn})$
Stap 3 — Vul x = 3 in
Bereken de helling rechts van de top.
$f'(3) = 2\cdot 3 = 6 \ (\text{positieve helling: } f \text{ stijgt steil})$

Resultaat: Resultaat: de hellingen zijn $-2$ , $0$ en $6$ . De waarde $f'(0) = 0$ betekent dat de raaklijn in de oorsprong horizontaal is — precies de top (het minimum) van de parabool $f(x) = x^2$ .

Veelgemaakte fouten

De afgeleide $f'(x)$ verwarren met de functiewaarde $f(x)$ ; $f'$ geeft de hélling, niet de hoogte.
Denken dat $f'(a)$ een aparte functie is in plaats van de afgeleide functie $f'$ ingevuld in $x = a$ .
De Leibniz-notatie $\dfrac{dy}{dx}$ als een gewone breuk opvatten die je los kunt halen.

Actieve herhaling

Gegeven is $f(x) = x^2$ met afgeleide $f'(x) = 2x$ . Bereken de helling van de grafiek in $x = -1$ , $x = 0$ en $x = 3$ , en leg uit wat $f'(0) = 0$ betekent voor de grafiek.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De hellinggrafiek: de grafiek van f′#

Standardexamenblad-nl

Een functie en haar hellinggrafiek

Afb. 1De parabool f(x) = x² met haar hellinggrafiek f′(x) = 2x. Waar f′ onder de x-as ligt daalt f, waar f′ erboven ligt stijgt f, en in x = 0 (f′ = 0) ligt het minimum van f.

Omdat de afgeleide

f'

zelf een functie is, kun je er een grafiek van tekenen: de hellinggrafiek. Deze grafiek geeft op de verticale as niet de waarde van

f

weer, maar de hélling van

f

. Voor elke

x

lees je dus af hoe steil de oorspronkelijke functie daar loopt. De hellinggrafiek is een krachtig hulpmiddel om in één beeld het verloop van een functie te beoordelen: waar hij boven de

x

-as ligt, stijgt

f

; waar hij eronder ligt, daalt

f

; en waar hij de

x

-as snijdt, heeft

f

een horizontale raaklijn.

In de figuur zie je

f(x) = x^2

samen met haar hellinggrafiek

f'(x) = 2x

. De hellinggrafiek is hier een rechte lijn door de oorsprong. Links van

x = 0

ligt

f'

onder de

x

-as (negatieve helling): daar daalt de parabool. Rechts van

x = 0

ligt

f'

erboven (positieve helling): daar stijgt de parabool. En precies in

x = 0

snijdt

f'

x

-as: daar is de helling nul, wat overeenkomt met de top (het minimum) van de parabool. Zo vertaalt elk kenmerk van

f

zich naar een kenmerk van

f'

, en andersom.

De vertaalregels tussen

f

en haar hellinggrafiek zijn de kern van dit onderwerp en het waard om uit het hoofd te kennen. Waar

f

stijgt, is

f' > 0

(de hellinggrafiek ligt boven de

x

-as); waar

f

daalt, is

f' < 0

(eronder); en waar

f

een top of dal heeft (een horizontale raaklijn), is

f' = 0

(de hellinggrafiek snijdt de

x

-as). Bovendien: hoe steiler

f

loopt, hoe verder de hellinggrafiek van de

x

-as af ligt. Een steile stijging geeft een hoge positieve waarde van

f'

, een flauwe daling een kleine negatieve waarde. Met deze regels kun je uit de grafiek van

f

de globale vorm van

f'

schetsen zonder

f'

te berekenen.

Het tekenen van een hellinggrafiek bij een gegeven functie gaat dan ook stap voor stap: bepaal waar

f

horizontale raaklijnen heeft (daar snijdt

f'

x

-as), bepaal op de intervallen ertussen of

f

stijgt of daalt (daar ligt

f'

boven of onder de as), en schat de steilheid in om de hoogte van

f'

te bepalen. Voor een dalende-dan-stijgende functie (met een dal) loopt

f'

van negatief, via nul in het dal, naar positief — dus stijgend door de

x

-as. Voor een functie met eerst een top en dan een dal kruist

f'

x

-as twee keer, eerst van boven naar onder (bij de top) en dan van onder naar boven (bij het dal).

De hellinggrafiek maakt de afgeleide visueel en intuïtief: ze is een „afgeleide in beeld”. Door

f

f'

naast of over elkaar te leggen, zie je in één oogopslag de samenhang tussen het verloop van een functie en haar helling. Dit beeld is niet alleen handig om te schetsen, maar ook om examenvragen te beantwoorden waarin je uit de grafiek van

f

iets over

f'

moet zeggen (of omgekeerd), zonder een formule. In de volgende paragraaf gebruiken we het teken van

f'

systematisch om stijgen, dalen en extremen te bepalen — de hellinggrafiek is daar de visuele onderbouwing van.

f \text{ stijgt} \Leftrightarrow f' > 0, \quad f \text{ daalt} \Leftrightarrow f' < 0, \quad f \text{ top/dal} \Leftrightarrow f' = 0

vertaalregels f ↔ hellinggrafiek

Het teken van de hellinggrafiek bepaalt of f stijgt of daalt; een nulpunt van f' hoort bij een horizontale raaklijn van f.

Uitgewerkt voorbeeld

Het verloop van f aflezen uit de hellinggrafiek

Gegeven is $f(x) = x^2$ met hellinggrafiek $f'(x) = 2x$ . Bepaal met de hellinggrafiek waar $f$ daalt, stijgt en een minimum heeft.

Stap 1 — Zoek waar f′ negatief is
f′(x) = 2x is negatief voor x < 0. Daar is de helling negatief, dus daalt f.
$f'(x) = 2x < 0 \ \Leftrightarrow\ x < 0 \ \Rightarrow\ f \text{ daalt}$
Stap 2 — Zoek waar f′ positief is
f′(x) = 2x is positief voor x > 0. Daar stijgt f.
$f'(x) = 2x > 0 \ \Leftrightarrow\ x > 0 \ \Rightarrow\ f \text{ stijgt}$
Stap 3 — Zoek waar f′ = 0
De hellinggrafiek snijdt de x-as in x = 0. Daar slaat dalen om in stijgen, dus ligt een minimum.
$f'(0) = 0, \quad f \text{ gaat van dalen naar stijgen} \ \Rightarrow\ \text{minimum in } (0,0)$

Resultaat: Resultaat: $f$ daalt voor $x < 0$ , stijgt voor $x > 0$ en heeft een minimum in $(0, 0)$ . De hellinggrafiek $f'(x) = 2x$ vertelt dit volledig via haar teken en haar nulpunt.

Veelgemaakte fouten

De hellinggrafiek verwarren met de grafiek van $f$ zelf; $f'$ toont de helling, niet de hoogte van $f$ .
Bij een top van $f$ denken dat $f'$ ook een top heeft; bij een top van $f$ snijdt $f'$ juist de $x$ -as.
De steilheid negeren: een steile helling van $f$ hoort bij een grote (ver van de $x$ -as gelegen) waarde van $f'$ .

Actieve herhaling

Gegeven is $f(x) = x^2$ . Teken de hellinggrafiek $f'(x) = 2x$ en geef met behulp daarvan aan waar $f$ daalt, stijgt en een minimum heeft.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Het teken van de afgeleide: stijgen, dalen en extremen#

Standardexamenblad-nl

f(x) = x³ − 3x met haar afgeleide

Afb. 2De functie f(x) = x³ − 3x met haar afgeleide f′(x) = 3x² − 3. De nulpunten van f′ (x = −1 en x = 1) horen bij de top (−1, 2) en het dal (1, −2); ertussen is f′ < 0 (f daalt), erbuiten f′ > 0 (f stijgt).

Het teken van de afgeleide is het centrale gereedschap om het verloop van een functie te bepalen. De regel is eenvoudig en fundamenteel: op een interval waar

f'(x) > 0

stijgt

f

, op een interval waar

f'(x) < 0

daalt

f

, en waar

f'(x) = 0

heeft

f

een horizontale raaklijn. Die horizontale raaklijn is de kandidaat voor een extreem (een top of dal). Om het verloop van een functie volledig te beschrijven, bepaal je dus eerst de afgeleide, zoek je de nulpunten van

f'

(de kandidaat-extremen), en onderzoek je daartussen het teken van

f'

Een nulpunt van

f'

is een kandidaat voor een extremum, maar niet elk nulpunt ís een extremum — het hangt af van de tekenwisseling. Slaat

f'

bij een nulpunt om van positief naar negatief, dan gaat

f

van stijgen naar dalen: daar ligt een maximum (top). Slaat

f'

om van negatief naar positief, dan gaat

f

van dalen naar stijgen: daar ligt een minimum (dal). Verandert

f'

rond het nulpunt níét van teken (blijft hij bijvoorbeeld aan beide kanten positief), dan is er geen extremum maar een buigpunt met horizontale raaklijn. De tekénwisseling, niet alleen het nulpunt zelf, bepaalt dus of en wat voor extremum er is.

Dit onderzoek voer je systematisch uit met een tekenschema (tekenverloop) van

f'

. Zet de nulpunten van

f'

op een getallenlijn, kies in elk interval ertussen een proefwaarde, en bepaal het teken van

f'

daar. Uit het tekenpatroon lees je het stijgen en dalen van

f

af en daarmee de extremen. In de figuur zie je dit voor

f(x) = x^3 - 3x

, met afgeleide

f'(x) = 3x^2 - 3

. De nulpunten van

f'

zijn

x = -1

x = 1

. Voor

x < -1

f' > 0

(f stijgt), voor

-1 < x < 1

f' < 0

(f daalt), en voor

x > 1

f' > 0

(f stijgt). Dus bij

x = -1

een top en bij

x = 1

een dal.

Met dit tekenschema bepaal je niet alleen wáár de extremen liggen, maar ook hun coördinaten. De

x

-waarden komen uit

f'(x) = 0

; de bijbehorende

y

-waarden krijg je door die

x

-waarden in de oorspronkelijke functie

f

in te vullen (níét in

f'

!). Voor

f(x) = x^3 - 3x

geeft dat als top

\big(-1, f(-1)\big) = (-1, 2)

en als dal

\big(1, f(1)\big) = (1, -2)

, zoals de figuur laat zien. Een veelgemaakte fout is om de extreme waarde uit

f'

te halen; maar

f'

geeft alleen de plek (waar de helling nul is), terwijl de hoogte uit

f

komt.

Het teken van de afgeleide verbindt dit hele onderwerp en is de opstap naar de toepassingen. Met

f'

beschrijf je het complete verloop van een functie: de stijgende en dalende intervallen (de monotonie) en de extremen. Dit is precies wat je nodig hebt om grafieken te analyseren, om de grootste of kleinste waarde van een grootheid te vinden, en om optimaliseringsproblemen op te lossen — de onderwerpen waar de differentiaalrekening naartoe werkt. De afgeleide is daarmee uitgegroeid van „helling in één punt” tot een volwaardig instrument om functies te doorgronden.

f'(x) = 0 \ \Rightarrow\ \text{kandidaat-extremum}; \quad \text{tekenwisseling}\ +\to-\ (\text{top}), \ -\to+\ (\text{dal})

extremen via het teken van f′

Extremen liggen bij nulpunten van f′ met een tekenwisseling; van + naar − een maximum, van − naar + een minimum.

x_{\text{top/dal}} \text{ uit } f'(x)=0, \qquad y_{\text{top/dal}} = f(x_{\text{top/dal}})

coördinaten van een extremum

De x-coördinaat komt uit f′ = 0, de y-coördinaat uit invullen in de oorspronkelijke functie f.

Uitgewerkt voorbeeld

Stijgen, dalen en extremen met een tekenschema

Gegeven is $f(x) = x^3 - 3x$ met $f'(x) = 3x^2 - 3$ . Bepaal de extremen en de stijgende en dalende intervallen.

Stap 1 — Bepaal de nulpunten van f′
Stel de afgeleide op nul en los op (deel door 3, dan een verschil van kwadraten).
$3x^2 - 3 = 0 \ \Rightarrow\ x^2 = 1 \ \Rightarrow\ x = -1 \ \text{of}\ x = 1$
Stap 2 — Maak een tekenschema met proefwaarden
Onderzoek het teken van f′ in elk interval met een proefwaarde.
$f'(-2)=9>0, \quad f'(0)=-3<0, \quad f'(2)=9>0$
Stap 3 — Bepaal de extremen en hun hoogte
Bij x = −1 slaat + om in − (top), bij x = 1 slaat − om in + (dal). Vul in f in voor de y-waarden.
$f(-1) = -1 + 3 = 2, \qquad f(1) = 1 - 3 = -2$

Resultaat: Resultaat: $f$ stijgt voor $x < -1$ en $x > 1$ , en daalt voor $-1 < x < 1$ . De top ligt in $(-1, 2)$ , het dal in $(1, -2)$ . De $x$ -waarden komen uit $f' = 0$ , de hoogtes uit invullen in $f$ .

Veelgemaakte fouten

De extreme waarde (de $y$ -coördinaat) uit $f'$ halen in plaats van uit $f$ ; $f'$ geeft alleen de plaats.
Aannemen dat elk nulpunt van $f'$ een extremum is, terwijl een uitblijvende tekenwisseling een buigpunt geeft.
Het teken van $f'$ in een interval gokken in plaats van met een proefwaarde te controleren.

Actieve herhaling

Gegeven is $f(x) = x^3 - 3x$ met $f'(x) = 3x^2 - 3$ . Bepaal met een tekenschema waar $f$ stijgt en daalt en geef de coördinaten van de top en het dal.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Afgeleide functies en de hellinggrafiek

Kernpunten

Hellingen berekenen met de afgeleide functie

Kernpunten

Het verloop van f aflezen uit de hellinggrafiek

Kernpunten

Stijgen, dalen en extremen met een tekenschema

Bronnen