Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Tabellen aflezen, opstellen en interpreteren

In wiskunde A is de tabel een van de vier manieren om een verband weer te geven, naast een formule, een grafiek en woorden. In dit onderwerp leer je waarden uit een tabel aflezen en tussenliggende waarden schatten door te interpoleren, zelf een tabel maken bij een formule (met de hand en met de grafische rekenmachine), en aan een tabel zien of een verband lineair of exponentieel is. Ten slotte lees je kruis- en frequentietabellen en leer je er voorzichtig conclusies uit te trekken — vaardigheden die in vrijwel elke contextopgave van het centraal examen terugkomen.

4Onderdelenca. 25min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 2 · Standaard 2

T·0444 / 14

Examenprofiel

Waarden uit een tabel aflezen en tussen twee tabelwaarden lineair interpoleren.Bij een gegeven formule een tabel opstellen met een passende stapgrootte, ook met de grafische rekenmachine.Aan de eerste differenties of de quotiënten in een tabel herkennen of een verband lineair of exponentieel is, en de toename of groeifactor bepalen.Kruis- en frequentietabellen lezen, relatieve frequenties berekenen en de uitkomsten voorzichtig interpreteren.

Operatoren:lees afstel opherkeninterpreteerbereken

basisniveau

Voor het CE: lees waarden en totalen uit een tabel af, interpoleer waar nodig, maak een tabel bij een formule en herken in een tabel een lineair of exponentieel verband.

verhoogd niveau

Verdieping: ga vlot heen en weer tussen tabel, formule en grafiek, beredeneer welk verband bij gegeven data past en formuleer bij kruistabellen zorgvuldige, niet te stellige conclusies.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Tabellen aflezen, opstellen en interpreteren

Tabellen aflezen en interpoleren#

Basisexamenblad-nl

Gemeten temperatuur per tijdstip

Afb. 1Bij elk tijdstip hoort één gemeten temperatuur. De temperatuur om 11:00 uur staat niet in de tabel, maar ligt tussen de metingen om 10:00 en 12:00 in en wordt geschat door te interpoleren.

Een tabel is een geordende manier om bij elke waarde van de ene grootheid de bijbehorende waarde van de andere grootheid te tonen. Bovenaan of links staan de koppen die vertellen wat in elke rij of kolom staat — bijvoorbeeld „tijd” en „temperatuur” — meestal met de eenheid erbij. Lees daarom altijd éérst de koppen, zodat je weet welke grootheid je voor je hebt en in welke eenheid. Een waarde opzoeken werkt dan als het kruisen van een rij en een kolom: je zoekt de invoer in de ene rij of kolom op en leest in de bijbehorende andere kolom of rij de uitvoer af. In de tabel hieronder hoort bij elke gemeten tijd precies één gemeten temperatuur; die koppeling tussen invoer en uitvoer is de kern van wat een tabel doet.

Het rechtstreeks aflezen lijkt simpel, maar juist hier gaan in een examen punten verloren door slordigheid. Wijs met je pen de juiste rij én de juiste kolom aan en controleer dat je in de goede kolom eindigt — verwissel de tijd en de temperatuur niet. Let ook op de eenheid en op de schaal: staat er boven een kolom „×1000”, „in miljoenen” of „in procenten”, dan moet je de afgelezen waarde nog omrekenen voordat je hem gebruikt. Een getal dat je letterlijk in de tabel terugvindt, noemen we een exacte tabelwaarde: daar hoef je niet voor te rekenen, alleen zorgvuldig voor te lezen.

Vaak vraagt een opgave naar een waarde die níét precies in de tabel staat, maar tussen twee tabelwaarden in ligt. Dan kun je die tussenliggende waarde schatten door te interpoleren. Het idee is eenvoudig: je doet alsof het verband tussen de twee dichtstbijzijnde tabelpunten een recht lijntje is, en je zoekt op dat lijntje de waarde die bij jouw invoer hoort. Hoe dichter de tabelpunten bij elkaar liggen, hoe betrouwbaarder die schatting is, want over een klein stukje lijkt bijna elk verband op een rechte lijn. Interpoleren levert dus een goede benadering, geen exacte uitkomst — zeg er in je antwoord dan ook bij dat het om een schatting gaat.

Het interpoleren zelf doe je met een verhouding. Stel je hebt twee tabelpunten met invoer x₁ en x₂ en bijbehorende uitvoer y₁ en y₂, en je zoekt de uitvoer bij een x die daartussen ligt. Dan bereken je welk deel van de stap van x₁ naar x₂ je hebt afgelegd, en je voegt datzelfde deel van het verschil in uitvoer toe aan y₁. In formulevorm staat dit hieronder. Een klein voorbeeld: liggen de punten (10, 17) en (12, 22) in de tabel en zoek je de waarde bij x = 11, dan ben je op de helft van de stap, dus tel je de helft van 22 − 17 = 5 bij 17 op: 17 + 2,5 = 19,5. Dezelfde redenering werkt voor elk tussenpunt; het afgelegde deel hoeft geen helft te zijn.

Aflezen en interpoleren zijn de meest basale tabelvaardigheden, en je gebruikt ze in vrijwel elke contextopgave: een tarief opzoeken, een gemeten grootheid op een tussentijdstip schatten, of een waarde uit een tabel halen om er verder mee te rekenen. Besef wel dat interpoleren een waarde schat bínnen het bereik van de tabel; ga je búíten de uiterste tabelwaarden een waarde voorspellen, dan heet dat extrapoleren en is de uitkomst veel onzekerder, want dan neem je aan dat het patroon zich ook buiten de gemeten gegevens voortzet. In de volgende paragrafen leer je niet alleen aflezen, maar ook zelf een tabel maken en uit een tabel het type verband afleiden.

y \approx y_1 + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\cdot (y_2 - y_1)

lineair interpoleren

Schat de uitvoer y bij een invoer x die tussen twee tabelpunten (x₁, y₁) en (x₂, y₂) in ligt: tel hetzelfde deel van het verschil in uitvoer bij y₁ op als het deel van de stap dat x heeft afgelegd.

Uitgewerkt voorbeeld

Een waarde aflezen en een tussenwaarde interpoleren

Gebruik de tabel met de gemeten temperatuur. Lees de temperatuur om 12:00 uur af, en schat met interpolatie de temperatuur om 11:00 uur.

Stap 1 — Lees de koppen en de gevraagde waarde af
De linkerkolom is de tijd in uren, de rechterkolom de temperatuur in °C. Zoek in de tijdkolom de waarde 12; in dezelfde rij staat 22. Om 12:00 uur is het dus 22 °C — een exacte tabelwaarde, daar hoef je niet voor te rekenen.
Stap 2 — Kies de twee punten rond 11:00 uur
De tijd 11 staat niet in de tabel, maar ligt tussen de metingen om 10:00 uur (17 °C) en om 12:00 uur (22 °C). Neem dus de tabelpunten (10, 17) en (12, 22).
Stap 3 — Bepaal welk deel van de stap is afgelegd
Van 10 naar 12 is een stap van 2 uur; het tijdstip 11 ligt op (11 − 10) / (12 − 10) = 0,5 van die stap, dus precies halverwege.
$\frac{11 - 10}{12 - 10} = 0{,}5$
Stap 4 — Interpoleer
Tel hetzelfde deel van het temperatuurverschil bij de ondergrens op. Het verschil is 22 − 17 = 5, en 0,5 · 5 = 2,5, dus de geschatte temperatuur is 17 + 2,5 = 19,5 °C.
$T \approx 17 + 0{,}5\cdot (22 - 17) = 17 + 2{,}5 = 19{,}5$

Resultaat: Om 12:00 uur is het 22 °C (afgelezen) en om 11:00 uur naar schatting 19,5 °C (geïnterpoleerd). Omdat 11:00 uur precies tussen twee metingen ligt, is 19,5 het gemiddelde van 17 en 22 — een handige controle op je interpolatie.

Veelgemaakte fouten

Rij en kolom verwisselen of in de verkeerde kolom eindigen, zodat je de juiste invoer bij de verkeerde uitvoer aanwijst — wijs beide expliciet aan en controleer de kop.
Bij interpoleren de verhouding omkeren of niet de twee waarden kiezen die de gezochte invoer insluiten; gebruik altijd het deel (x − x₁) / (x₂ − x₁) van het verschil y₂ − y₁.

Actieve herhaling

In een tabel staat de gemeten waterhoogte (in cm) in een vijver op verschillende dagen: dag 0 → 40, dag 5 → 52, dag 10 → 61, dag 15 → 67. Lees de hoogte op dag 10 af en schat met interpolatie de hoogte op dag 8.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Een tabel opstellen bij een formule#

Basisexamenblad-nl

Tabel bij de formule L = 18 − 3t

Afb. 2De tabel is uit de formule L = 18 − 3t berekend door t = 0, 1, 2, 3, 4 in te vullen. De lengte daalt telkens met 3 cm per uur.

Een formule beschrijft een verband als rekenregel: vul je een waarde voor de invoer in, dan rekent de formule de bijbehorende uitvoer uit. Door dat voor een rij invoerwaarden te doen, bouw je een tabel. Zo'n tabel uit een formule is handig om snel een aantal uitkomsten naast elkaar te zien, om een grafiek voor te bereiden, of om te controleren hoe een grootheid zich gedraagt. Neem de formule voor de lengte van een opbrandende kaars, L = 18 − 3t, waarin t de tijd in uren is en L de lengte in centimeter: vul je t = 2 in, dan is L = 18 − 3 · 2 = 12. Elke ingevulde t levert zo één tabelwaarde.

Voordat je invult, kies je welke invoerwaarden in je tabel komen en met welke stapgrootte. Vaak neem je gelijke stappen — bijvoorbeeld t = 0, 1, 2, 3, 4 — omdat een vaste stap het patroon in de uitkomsten zichtbaar maakt en het tekenen van een grafiek vergemakkelijkt. De grootte van de stap kies je passend bij de context: gaat het om jaren, dan is een stap van 1 jaar logisch; verandert er over kleine stukjes veel, dan neem je een fijnere stap. Let ook op het toegestane gebied: een tijd of een aantal kan meestal niet negatief zijn, dus begin je bij t = 0.

Bij het invullen is de rekenvolgorde cruciaal: eerst machten, dan vermenigvuldigen en delen, en pas daarna optellen en aftrekken. In L = 18 − 3t bereken je dus eerst 3 · t en trek je dat resultaat daarna van 18 af; wie eerst 18 − 3 doet en dan met t vermenigvuldigt, krijgt een verkeerde uitkomst. Werk netjes per invoerwaarde en schrijf de tussenstap op. Een nuttige controle terwijl je invult: bij een lineaire formule als deze hoort bij elke stap van 1 in t een vaste verandering in L — hier telkens −3 — zodat je een rekenfout meteen ziet als die regelmaat wordt doorbroken.

In wiskunde A maak je een tabel ook snel en foutloos met de tabelfunctie van de grafische rekenmachine. Je voert de formule in als functie (bijvoorbeeld Y1 = 18 − 3X), zet de tabelinstellingen op een beginwaarde (TblStart = 0) en een stapgrootte (ΔTbl = 1), en de rekenmachine vult de hele tabel met X- en Y-waarden voor je in. Dit is niet alleen sneller dan met de hand, maar ook betrouwbaarder, en je mag de grafische rekenmachine bij het centraal examen gebruiken. Controleer wel of je beginwaarde en stapgrootte aansluiten bij de invoerwaarden die de opgave vraagt, anders begint je tabel op de verkeerde plek of maakt hij de verkeerde stappen.

Een tabel maken bij een formule verbindt twee van de manieren waarop wiskunde A een verband weergeeft: de formule (de regel) en de tabel (een aantal concrete waarden). Vanuit die tabel zet je vervolgens makkelijk de stap naar een grafiek, of naar de vraag wélk soort verband de formule beschrijft. Andersom geldt: heb je straks een tabel met meetwaarden zónder formule, dan gebruik je juist de regelmaat in de tabel om een passende formule op te stellen. Het vlot heen en weer kunnen tussen formule, tabel en grafiek is een kernvaardigheid voor het hele examen.

L = 18 - 3t

lineaire formule (voorbeeld)

De lengte L (cm) van een opbrandende kaars na t uur. Elke ingevulde t geeft één tabelwaarde, en elke stap van 1 uur verlaagt L met 3 cm.

Uitgewerkt voorbeeld

Een tabel opstellen uit een formule

Gegeven is L = 18 − 3t, met t de tijd in uren en L de lengte van een kaars in cm. Stel een tabel op voor t = 0, 1, 2, 3, 4.

Stap 1 — Kies de invoerwaarden en de opzet
De opgave geeft de invoerwaarden: t = 0, 1, 2, 3, 4, met een vaste stap van 1 uur. Maak een tabel met een kolom (of rij) voor t en een voor L.
Stap 2 — Vul in met de juiste rekenvolgorde
Bereken per t eerst 3 · t en trek dat van 18 af. t = 0 geeft L = 18 − 0 = 18; t = 1 geeft L = 18 − 3 = 15; t = 2 geeft L = 18 − 6 = 12; t = 3 geeft L = 18 − 9 = 9; t = 4 geeft L = 18 − 12 = 6.
$L = 18 - 3\cdot 2 = 18 - 6 = 12$
Stap 3 — Controleer met de regelmaat of de rekenmachine
Elke stap van 1 in t verlaagt L met 3 cm (18, 15, 12, 9, 6); die vaste afname bevestigt dat je goed gerekend hebt. Met de grafische rekenmachine krijg je dezelfde tabel via Y1 = 18 − 3X, TblStart = 0 en ΔTbl = 1.

Resultaat: De tabel is t = 0, 1, 2, 3, 4 met L = 18, 15, 12, 9, 6 (cm). De gelijke afname van 3 cm per uur laat zien dat het verband lineair is — precies het soort herkenning dat in de volgende paragraaf centraal staat.

Veelgemaakte fouten

De rekenvolgorde fout toepassen — eerst 18 − 3 doen en daarna met t vermenigvuldigen — in plaats van eerst 3 · t te berekenen en dat van 18 af te trekken.
De tabelinstellingen van de grafische rekenmachine verkeerd zetten (verkeerde TblStart of ΔTbl), zodat de tabel niet bij de gevraagde invoerwaarden begint of niet de juiste stappen maakt.

Actieve herhaling

Een bedrijf rekent voor een bezorging vaste kosten plus een bedrag per kilometer: K = 4 + 1,5 · d, waarbij d de afstand in kilometer is en K de kosten in euro. Stel een tabel op voor d = 0, 2, 4, 6, 8 km, met de hand of met de tabelfunctie van je grafische rekenmachine.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Lineair of exponentieel herkennen in een tabel#

Standardexamenblad-nl

Lineaire tabel met eerste differenties

Afb. 3De eerste differenties zijn telkens +4: gelijke verschillen, dus een lineair verband met een toename van 4 per stap.

Krijg je een tabel met meetwaarden zonder formule, dan is een veelgestelde examenvraag: welk soort verband zit hierin? De twee belangrijkste typen in wiskunde A zijn het lineaire en het exponentiële verband, en je kunt ze allebei direct aan de getallen in de tabel herkennen. Belangrijk vooraf: deze herkenning werkt alleen als de invoer (de x-waarden) met gelijke stappen oploopt, bijvoorbeeld 0, 1, 2, 3, 4 of 0, 5, 10, 15. Pas als de stappen in x gelijk zijn, mag je de uitkomsten met elkaar vergelijken om het patroon te vinden.

Een verband is lineair als gelijke stappen in x telkens dezelfde verandering in y geven. Je toetst dat met een verschiltabel: trek elke y-waarde af van de volgende en kijk of die verschillen — de eerste differenties — steeds gelijk zijn. Zijn ze dat, dan is het verband lineair en is dat vaste verschil precies de toename per stap. In de linkertabel hieronder gaat y van 7 naar 11 naar 15 naar 19 naar 23: de verschillen zijn telkens +4, dus het verband is lineair met een toename van 4 per stap. Het bijbehorende formuletype is y = a · x + b, waarbij a die constante toename is en b de waarde bij x = 0.

Een verband is exponentieel als gelijke stappen in x telkens een vermenigvuldiging met hetzelfde getal opleveren. Nu kijk je niet naar het verschil maar naar het quotiënt: deel elke y-waarde door de vorige en kijk of die uitkomst — de groeifactor g — steeds gelijk is. In de rechtertabel hieronder gaat y van 16 naar 24 naar 36 naar 54 naar 81; elk getal gedeeld door het vorige geeft 1,5 (24 : 16 = 1,5, 36 : 24 = 1,5, enzovoort), dus het verband is exponentieel met groeifactor 1,5. Het formuletype is y = b · g^x, waarbij b de beginwaarde bij x = 0 is en g de groeifactor. Is g groter dan 1, dan is er groei; ligt g tussen 0 en 1, dan is er afname.

In de praktijk doe je beide toetsen kort naast elkaar. Bereken de eerste differenties: zijn die constant, dan is het verband lineair. Zijn ze dat niet, bereken dan de quotiënten: zijn díé constant, dan is het exponentieel. Bij een lineair verband lopen de quotiënten juist niet gelijk, en bij een exponentieel verband lopen de verschillen juist op of af — dat zie je in de twee tabellen hieronder mooi terug. Voldoet een tabel aan geen van beide, dan is het verband geen van deze twee standaardtypen, en dat zeg je dan eerlijk. Reken de toets bij voorkeur over meer dan één stap door, zodat je niet op grond van één toevallig kloppend verschil te snel „lineair” of „exponentieel” concludeert.

De groeifactor verdient extra aandacht, omdat hij vaak verkeerd wordt gelezen. Een groeifactor g = 1,5 betekent dat elke stap met 1,5 wordt vermenigvuldigd, oftewel een toename van 50% per stap — niet 1,5%. Een groeifactor g = 0,8 betekent een afname tot 80%, dus 20% eraf per stap. Door uit de tabel de toename (bij lineair) of de groeifactor (bij exponentieel) te halen, kun je meteen de bijbehorende formule opstellen en daarmee verder rekenen of voorspellen. Zo sluit deze paragraaf de cirkel met de vorige: daar maakte je een tabel uít een formule, hier leid je het verband — en de formule — áf uit een tabel.

y = a\cdot x + b

lineair verband

Past bij een tabel met constante eerste differenties; a is de vaste toename per stap, b de waarde bij x = 0.

y = b\cdot g^{x}

exponentieel verband

Past bij een tabel met een constant quotiënt; b is de beginwaarde bij x = 0 en g de groeifactor (g > 1 betekent groei, 0 < g < 1 betekent afname).

g = \frac{y_{n+1}}{y_n}

groeifactor uit de tabel

Deel elke uitkomst door de vorige; is dit quotiënt steeds gelijk, dan is dat de groeifactor g.

Exponentiële tabel met groeifactor

Afb. 4Elk getal gedeeld door het vorige geeft 1,5: een constant quotiënt, dus een exponentieel verband met groeifactor 1,5.

Uitgewerkt voorbeeld

Lineair of exponentieel? Toename of groeifactor bepalen

Bij x = 0, 1, 2, 3, 4 hoort y = 16, 24, 36, 54, 81. De x-waarden lopen met gelijke stappen op. Beredeneer of het verband lineair of exponentieel is en geef de toename of de groeifactor.

Stap 1 — Controleer de stapgrootte in x
De x-waarden zijn 0, 1, 2, 3, 4: gelijke stappen van 1. Pas dan mag je de uitkomsten met elkaar vergelijken.
Stap 2 — Toets op lineair met de eerste differenties
Trek elke y van de volgende af: 24 − 16 = 8, 36 − 24 = 12, 54 − 36 = 18, 81 − 54 = 27. De verschillen 8, 12, 18, 27 zijn niet gelijk, dus het verband is niet lineair.
$24 - 16 = 8,\quad 36 - 24 = 12$
Stap 3 — Toets op exponentieel met de quotiënten
Deel elke y door de vorige: 24 : 16 = 1,5, 36 : 24 = 1,5, 54 : 36 = 1,5, 81 : 54 = 1,5. Het quotiënt is steeds 1,5, dus het verband is exponentieel met groeifactor 1,5.
$\frac{24}{16} = 1{,}5,\quad \frac{36}{24} = 1{,}5$
Stap 4 — Stel de formule op en controleer
De beginwaarde bij x = 0 is b = 16, dus de formule is y = 16 · 1,5^x. Controle bij x = 2: 16 · 1,5² = 16 · 2,25 = 36, precies de tabelwaarde.
$y = 16\cdot 1{,}5^{x},\quad 16\cdot 1{,}5^{2} = 36$

Resultaat: De eerste differenties (8, 12, 18, 27) zijn ongelijk, maar de quotiënten zijn alle 1,5. Het verband is dus exponentieel met groeifactor 1,5 (een toename van 50% per stap), met formule y = 16 · 1,5^x.

Veelgemaakte fouten

Differenties of quotiënten vergelijken terwijl de x-stappen ongelijk zijn — de toetsen gelden uitsluitend bij een gelijke stapgrootte in de invoer.
De groeifactor verwarren met de procentuele toename (g = 1,5 is +50%, niet +1,5%) of het quotiënt omkeren door oud door nieuw te delen in plaats van nieuw door oud.
Te snel „lineair” concluderen omdat y gestaag stijgt, zonder te controleren of de toenames zélf gelijk zijn; alleen gelijke verschillen maken een verband lineair.

Actieve herhaling

In een tabel hoort bij t = 0, 1, 2, 3 achtereenvolgens N = 200, 170, 144,5, 122,825. De t-waarden lopen met gelijke stappen op. Onderzoek of het verband lineair of exponentieel is, en geef de toename of de groeifactor.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Kruistabellen lezen en interpreteren#

Standardexamenblad-nl

Kruistabel met rij- en kolomtotalen

Afb. 5Van de meisjes (rijtotaal 80) doen er 48 aan sport; dat is 48 : 80 = 60%. Het eindtotaal is 200 leerlingen.

Een kruistabel (een frequentietabel met twee kenmerken) ordent gegevens naar twee categorische variabelen tegelijk. De rijen horen bij de ene indeling — bijvoorbeeld geslacht — en de kolommen bij de andere — bijvoorbeeld wel of geen sport. In elke cel staat de frequentie: het aantal eenheden dat in die rij én die kolom valt. Aan de randen staan de rij- en kolomtotalen, de marginalen, en rechtsonder het eindtotaal: het totale aantal onderzochte eenheden. In de tabel hieronder is de cel bij „meisje” en „sport: ja” gelijk aan 48, is het rijtotaal van de meisjes 80, en is het eindtotaal 200.

Lees in een kruistabel altijd eerst wat een getal precies betekent: een cel is een aantal binnen één rij én één kolom, een rijtotaal het aantal in die hele rij, een kolomtotaal het aantal in die hele kolom. Een handige controle is dat de cellen van een rij optellen tot het rijtotaal en de cellen van een kolom tot het kolomtotaal; alle rijtotalen samen én alle kolomtotalen samen geven bovendien hetzelfde eindtotaal. In de tabel hieronder kloppen de jongens (78 + 42 = 120) en de sporters (78 + 48 = 126). Wie een cel snel verkeerd afleest, ontdekt dat vaak via deze optelcontrole.

Vaak vraagt een opgave niet naar een aantal maar naar een deel: welk percentage van een groep heeft een bepaald kenmerk? Zo'n relatieve frequentie bereken je door het aantal in de cel te delen door een totaal en met 100% te vermenigvuldigen — maar het hangt helemaal van de vraag af wélk totaal je in de noemer zet. „Welk deel van de meisjes doet aan sport?” vraagt om delen door het rijtotaal van de meisjes (48 : 80 = 0,60 = 60%). „Welk deel van álle leerlingen doet aan sport?” vraagt om delen door het eindtotaal (126 : 200 = 0,63 = 63%). „Welk deel van de sporters is meisje?” vraagt om delen door het kolomtotaal van de sporters (48 : 126 ≈ 0,38 = 38%). Steeds een ander totaal, en dus steeds een ander antwoord.

Met de percentages in de hand kun je groepen vergelijken en de tabel interpreteren, maar doe dat voorzichtig. Vergelijk je het aandeel sporters onder de jongens (78 : 120 = 65%) met dat onder de meisjes (60%), dan is dat aandeel in dit onderzoek onder de jongens hoger. Let op je formulering: zeg „in deze steekproef” of „onder de onderzochte leerlingen”, want één onderzoek bewijst niet dat het overal zo is. En een verband in een kruistabel is geen oorzaak: dat twee kenmerken samen vaker voorkomen, betekent niet dat het ene het andere veroorzaakt. Een examenantwoord dat netjes het juiste percentage noemt én een voorzichtige conclusie trekt, scoort het best.

Kruistabellen zijn de brug tussen het lezen van tabellen en de statistiek die later in wiskunde A volgt. Dezelfde vaardigheden — het juiste totaal kiezen, relatieve frequenties berekenen en zorgvuldig formuleren — gebruik je straks bij grotere datasets, bij kansen die je uit frequenties schat, en bij de vraag of een gevonden verschil werkelijk iets betekent. Wie een kruistabel goed kan lezen, legt daarmee de basis voor het verantwoord omgaan met data, een van de rode draden van het hele examenprogramma.

\text{percentage} = \frac{\text{deel}}{\text{totaal}}\cdot 100\%

relatieve frequentie

Deel het aantal in de cel door het juiste totaal — rijtotaal, kolomtotaal of eindtotaal, afhankelijk van de vraag — en vermenigvuldig met 100%.

Uitgewerkt voorbeeld

Een percentage uit een kruistabel halen en interpreteren

Gebruik de kruistabel van geslacht (jongen / meisje) tegen sport (ja / nee), met eindtotaal 200. Bereken welk deel (in procenten) van de meisjes aan sport doet en welk deel van álle leerlingen aan sport doet, en vergelijk dit met de jongens.

Stap 1 — Zoek de juiste getallen op
Voor de meisjes: de cel „meisje, sport: ja” is 48 en het rijtotaal van de meisjes is 80. Voor alle leerlingen: het kolomtotaal „sport: ja” is 126 en het eindtotaal is 200.
Stap 2 — Percentage van de meisjes
Deel door het rijtotaal van de meisjes: 48 : 80 = 0,60, dus 60% van de meisjes doet aan sport.
$\frac{48}{80} = 0{,}60 = 60\%$
Stap 3 — Percentage van alle leerlingen
Deel het kolomtotaal van de sporters door het eindtotaal: 126 : 200 = 0,63, dus 63% van alle leerlingen doet aan sport.
$\frac{126}{200} = 0{,}63 = 63\%$
Stap 4 — Vergelijk met de jongens en interpreteer
Bij de jongens: 78 : 120 = 0,65 = 65%. Onder de jongens (65%) doet dus een groter deel aan sport dan onder de meisjes (60%); over alle leerlingen samen is het 63%. Formuleer voorzichtig: dit geldt voor deze onderzochte groep.
$\frac{78}{120} = 0{,}65 = 65\%$

Resultaat: Van de meisjes doet 60% aan sport, van alle leerlingen 63% en van de jongens 65%. Het juiste totaal in de noemer verschilt per vraag (rijtotaal, eindtotaal, rijtotaal), en de conclusie „de jongens sporten hier vaker” geldt voor deze steekproef, niet als algemene wet.

Veelgemaakte fouten

Delen door het verkeerde totaal: een „percentage van de rij” verwarren met een „percentage van de kolom” of van het geheel — lees nauwkeurig welk totaal de vraag bedoelt.
Uit een verband in de kruistabel een te stellige of oorzakelijke conclusie trekken; een verschil in de steekproef is nog geen bewijs, en samenhang is geen oorzaak.

Actieve herhaling

Een kruistabel verdeelt 150 klanten naar leeftijdsgroep (jong / oud) en aankoop (online / in de winkel). Van de jongeren (90 in totaal) kochten er 63 online; van de ouderen (60 in totaal) 24 online. Bereken welk percentage van de jongeren online kocht, welk percentage van de ouderen online kocht, en welk percentage van álle klanten online kocht. Interpreteer het verschil voorzichtig.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Tabellen aflezen, opstellen en interpreteren

Kernpunten

Een waarde aflezen en een tussenwaarde interpoleren

Kernpunten

Een tabel opstellen uit een formule

Kernpunten

Lineair of exponentieel? Toename of groeifactor bepalen

Kernpunten

Een percentage uit een kruistabel halen en interpreteren

Bronnen

Tabellen aflezen, opstellen en interpreteren

Kernpunten

Een waarde aflezen en een tussenwaarde interpoleren

Kernpunten

Een tabel opstellen uit een formule

Kernpunten

Lineair of exponentieel? Toename of groeifactor bepalen

Kernpunten

Een percentage uit een kruistabel halen en interpreteren

Bronnen