Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Deze samenvatting gaat over het tekenen en aflezen van grafieken en over het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden met behulp van grafieken. Je leert een vergelijking f(x) = g(x) opvatten als het snijpunt van twee grafieken — in wiskunde A meestal bepaald met de grafische rekenmachine via „intersect” — en een ongelijkheid als de vraag voor welke x de ene grafiek boven de andere ligt. Tot slot leer je een grafiek interpreteren: waar hij stijgt of daalt, waar een maximum of minimum ligt en wat de bijzondere punten in een context betekenen.

4Onderdelenca. 25min leestijd5VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3

T·0555 / 14

Examenprofiel

Bij een formule de grafiek tekenen en aflezen: een functiewaarde bepalen en de x vinden die bij een gegeven y hoort.De snijpunten van een grafiek met de assen bepalen (verticale as: x = 0; horizontale as: y = 0).Een vergelijking f(x) = g(x) of f(x) = c oplossen als snijpunt, meestal met de grafische rekenmachine (intersect).Een ongelijkheid oplossen door af te lezen voor welke x de ene grafiek boven de andere ligt, en het antwoord als interval geven.Een grafiek interpreteren: stijgen en dalen, maxima en minima en de betekenis van bijzondere punten in een context.

Operatoren:los opberekenlees afschetsinterpreteer

basisniveau

Voor het CE: teken en lees grafieken af en los vergelijkingen en ongelijkheden op — vaak met de grafische rekenmachine via het snijpunt (intersect) of door in te klemmen.

verhoogd niveau

Verdieping: los eenvoudige (lineaire) vergelijkingen ook algebraïsch op en redeneer bewust over het verschil tussen een exacte en een benaderde oplossing.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Grafieken tekenen en aflezen#

Basisexamenblad-nl

Grafiek van V = 18 − 3t met de snijpunten met de assen

Afb. 1De grafiek snijdt de verticale as in (0, 18) en de horizontale as in (6, 0); bij t = 2 lees je V = 12 af.

Een grafiek is een beeld van een verband tussen twee grootheden. Je tekent hem in een assenstelsel: een horizontale as (vaak de x-as) en een verticale as (vaak de y-as), die elkaar snijden in de oorsprong (0, 0). Op de horizontale as zet je de grootheid die je zelf kiest of regelt — de onafhankelijke variabele, bijvoorbeeld de tijd of een prijs — en op de verticale as de grootheid die daarvan afhangt, de afhankelijke variabele. Hoort bij een formule als V = 18 − 3t een grafiek, dan reken je voor een paar handige t-waarden de bijbehorende V uit, zet je die paren als punten (t, V) in het assenstelsel en verbind je ze. Bij een lineair verband (een formule van de vorm y = a · x + b) liggen alle punten op één rechte lijn, dus zijn twee punten in principe al genoeg; bij andere formules teken je meer punten om de juiste kromming te krijgen. In wiskunde A laat je dat rekenwerk meestal aan de grafische rekenmachine over: je voert de formule in en de machine tekent de grafiek voor je.

Een grafiek aflezen betekent dat je bij een waarde op de ene as de bijbehorende waarde op de andere as opzoekt, en de richting waarin je leest bepaalt wat je vindt. Wil je de functiewaarde bij een gegeven x weten — de y die bij die x hoort — ga dan bij die x recht omhoog tot je de grafiek raakt en van daar recht opzij naar de verticale as; de waarde die je daar afleest is de functiewaarde. Andersom kun je bij een gegeven y de bijbehorende x zoeken: begin op de verticale as bij die y, ga recht opzij tot de grafiek en van daar recht naar beneden naar de horizontale as. Bij V = 18 − 3t hoort bijvoorbeeld bij t = 2 de waarde V = 18 − 6 = 12, en vraag je bij welke t de inhoud 6 liter is, dan los je 18 − 3t = 6 op, wat t = 4 geeft. Lees altijd zorgvuldig af tegen de schaalverdeling van de assen, want één hokje hoeft niet één eenheid te zijn.

De grafiek snijdt de verticale as (de y-as) in het punt waar x = 0. Dat punt vind je door in de formule x (of t) gelijk aan nul te nemen en uit te rekenen wat y dan is. Bij een lineair verband y = a · x + b is dat heel direct: vul x = 0 in en je houdt y = b over, dus b is precies de waarde waar de grafiek de verticale as snijdt. In een context heeft dit snijpunt vaak een duidelijke betekenis: het is de beginwaarde, de waarde „op tijdstip nul” of „bij nul stuks”. Bij V = 18 − 3t krijg je voor t = 0 de waarde V = 18, en dat is de hoeveelheid water waarmee het vat begint. Het snijpunt met de verticale as is daarom meestal het eerste wat je bepaalt als je een grafiek wilt begrijpen.

De grafiek snijdt de horizontale as (de x-as) op de plek waar y = 0. Die plek vind je door de formule gelijk aan nul te stellen en de bijbehorende x op te lossen: je zoekt de x waarvoor de functiewaarde nul is. Zo'n waarde heet ook wel een nulpunt van de functie. Bij V = 18 − 3t los je 18 − 3t = 0 op; dat geeft t = 6, dus na 6 minuten is het vat leeg en raakt de grafiek de horizontale as in (6, 0). In wiskunde A bepaal je zo'n nulpunt vaak met de grafische rekenmachine, door het snijpunt van de grafiek met de horizontale as (de lijn y = 0) op te zoeken, want lang niet elke vergelijking is met de hand netjes op te lossen. Houd het verschil tussen de twee assnijpunten scherp: voor de verticale as vul je x = 0 in, voor de horizontale as stel je y = 0.

Met deze vier handelingen — een grafiek tekenen bij een formule, een functiewaarde aflezen, de bijbehorende x zoeken en de snijpunten met beide assen bepalen — heb je het gereedschap in handen om elke grafiek in dit onderwerp te lezen. Ze keren steeds terug: in de volgende paragraaf gebruik je het aflezen van een snijpunt om een vergelijking op te lossen, daarna om een ongelijkheid op te lossen en ten slotte om een grafiek in een context te interpreteren. Het loont dus om deze basisvaardigheden zo vlot te beheersen dat ze vanzelf gaan; dan houd je bij de moeilijker opgaven je aandacht over voor de redenering in plaats van voor het aflezen zelf.

y = a\cdot x + b

lineair verband

Bij een lineair verband is b de waarde waar de grafiek de verticale as snijdt (vul x = 0 in) en a de richtingscoëfficiënt: de verandering van y bij een toename van x met 1.

Uitgewerkt voorbeeld

Een lineaire grafiek aflezen en de assnijpunten bepalen

Een vat bevat aan het begin 18 liter water; er stroomt elke minuut 3 liter weg, dus V = 18 − 3t (V in liter, t in minuten). Lees de inhoud na 2 minuten af, geef het snijpunt met de verticale as en bereken wanneer het vat leeg is.

Stap 1 — Lees de functiewaarde bij t = 2 af
Vul t = 2 in de formule in. In de grafiek vind je hetzelfde door bij t = 2 omhoog te gaan tot de lijn en opzij te lezen: na 2 minuten zit er 12 liter in het vat.
$V = 18 - 3\cdot 2 = 12$
Stap 2 — Bepaal het snijpunt met de verticale as
Het snijpunt met de verticale as hoort bij t = 0. Invullen geeft de beginhoeveelheid, dus de grafiek snijdt de V-as in (0, 18).
$V(0) = 18 - 3\cdot 0 = 18$
Stap 3 — Bepaal het snijpunt met de horizontale as
Het vat is leeg als V = 0. Los de vergelijking op: uit 18 − 3t = 0 volgt 3t = 18, dus t = 6. De grafiek snijdt de t-as in (6, 0): na 6 minuten is het vat leeg.
$18 - 3t = 0 \;\Rightarrow\; t = 6$

Resultaat: Na 2 minuten zit er 12 liter in het vat, de grafiek snijdt de verticale as in (0, 18) — de beginhoeveelheid — en de horizontale as in (6, 0): na 6 minuten is het vat leeg.

Veelgemaakte fouten

De assen verwisselen: x = 0 hoort bij het snijpunt met de verticale as en y = 0 bij het snijpunt met de horizontale as — niet andersom.
De schaalverdeling negeren en aannemen dat één hokje één eenheid is; lees de waarden altijd af tegen de getallen die bij de assen staan.

Actieve herhaling

Een vat bevat V liter water, met V = 18 − 3t en t de tijd in minuten. Schets de grafiek, lees de inhoud bij t = 2 af, bepaal het snijpunt met de verticale as en bereken na hoeveel minuten het vat leeg is (het snijpunt met de horizontale as).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Vergelijkingen oplossen met het snijpunt van twee grafieken#

Standardexamenblad-nl

Snijpunt van f(x) = 2 + x en g(x) = 8 − x

Afb. 2De oplossing van f(x) = g(x) is de x-coördinaat van het snijpunt (3, 5), dus x = 3.

Een vergelijking van de vorm f(x) = g(x) vraagt: voor welke x zijn de twee functies even groot? Grafisch betekent dat: waar snijden de grafieken van f en g elkaar? Op een snijpunt hebben de twee grafieken immers dezelfde x én dezelfde y, dus daar geldt f(x) = g(x). De x-coördinaat van het snijpunt is daarom de oplossing van de vergelijking, en de y-coördinaat is de gemeenschappelijke functiewaarde op dat punt. Deze manier van kijken is in wiskunde A heel belangrijk, want veel vergelijkingen zijn niet of slechts moeizaam met algebra op te lossen; door beide kanten als een aparte grafiek op te vatten, vind je de oplossing toch — namelijk als snijpunt.

In de praktijk los je f(x) = g(x) in wiskunde A meestal op met de grafische rekenmachine. Je voert f in als de ene functie (bijvoorbeeld y1) en g als de andere (y2), tekent beide grafieken en gebruikt de functie „intersect” (snijpunt) om de coördinaten van het snijpunt te laten berekenen. De machine vraagt vaak in de buurt van welk snijpunt je zoekt; je kiest dan een x dicht bij het snijpunt dat je op het scherm ziet. De x-waarde die de machine teruggeeft, is de oplossing van de vergelijking. Belangrijk is dat je een venster (window) instelt waarin het snijpunt zichtbaar is: zie je geen snijpunt, dan pas je eerst het bereik van de assen aan totdat de grafieken elkaar in beeld kruisen.

Een bijzonder geval is de vergelijking f(x) = c, waarbij c een vast getal is. Je lost die op door de horizontale lijn y = c te tekenen — een rechte lijn die overal de hoogte c heeft — en te kijken waar die de grafiek van f snijdt; de x-coördinaat van dat snijpunt is de oplossing. Dit is precies dezelfde gedachte als bij f(x) = g(x), alleen is g nu de eenvoudige constante functie g(x) = c. Wil je bijvoorbeeld weten voor welke x geldt dat f(x) = 7, teken dan de lijn y = 7 en lees het snijpunt met de grafiek van f af. Op de rekenmachine voer je y2 = 7 in en gebruik je opnieuw „intersect”. Zo wordt de vraag „bij welke x heeft de grafiek hoogte c?” een gewone snijpuntvraag.

Niet elke oplossing komt als een rond getal uit de rekenmachine. Soms is de oplossing exact — bijvoorbeeld x = 3 — en soms is ze een onafgerond kommagetal dat je moet afronden, bijvoorbeeld ongeveer 2,7. Een exacte oplossing krijg je alleen door algebraïsch te werken, dus de vergelijking met de hand te herleiden tot je x precies hebt, en dat lukt in wiskunde A vooral bij eenvoudige (lineaire) gevallen. In de meeste situaties geeft de grafische rekenmachine een benaderde oplossing, die je afrondt op de in de opgave gevraagde nauwkeurigheid. Een verwante techniek is inklemmen: met een tabel of door in te zoomen probeer je steeds nauwkeuriger waarden uit, tot je de oplossing tussen twee dicht bij elkaar liggende getallen hebt opgesloten. Vermeld bij je antwoord of het exact of benaderd is, en rond pas in de laatste stap af.

f(x) = g(x)

vergelijking als snijpunt

Op het snijpunt van de grafieken van f en g zijn beide functiewaarden gelijk; de x-coördinaat van dat snijpunt is de oplossing van de vergelijking.

Uitgewerkt voorbeeld

Een vergelijking oplossen als snijpunt

Los op: 2 + x = 8 − x. Vat de linker- en de rechterkant op als de grafieken f(x) = 2 + x en g(x) = 8 − x en bepaal het snijpunt.

Stap 1 — Vat beide kanten op als een grafiek
Noem de linkerkant f(x) = 2 + x (een stijgende lijn) en de rechterkant g(x) = 8 − x (een dalende lijn). De oplossing van de vergelijking is de x waar deze twee grafieken elkaar snijden.
Stap 2 — Bepaal het snijpunt
Met de grafische rekenmachine voer je y1 = 2 + x en y2 = 8 − x in en gebruik je „intersect” (kies een startwaarde dicht bij x = 3, waar de grafieken kruisen). De machine geeft het snijpunt (3, 5). Hier kan het algebraïsch ook: uit 2 + x = 8 − x volgt 2x = 6.
$2 + x = 8 - x \;\Rightarrow\; 2x = 6 \;\Rightarrow\; x = 3$
Stap 3 — Lees de oplossing en de y-waarde af
De x-coördinaat van het snijpunt is de oplossing: x = 3. De bijbehorende y-waarde vind je door x = 3 in te vullen: f(3) = 5, en g(3) = 8 − 3 = 5 geeft hetzelfde. Het snijpunt is dus (3, 5).
$f(3) = 2 + 3 = 5$

Resultaat: De oplossing van 2 + x = 8 − x is x = 3; op dat punt hebben beide grafieken de waarde 5, dus ze snijden elkaar in (3, 5). Hier is de oplossing exact; bij ingewikkelder vergelijkingen geeft de rekenmachine een benaderde waarde die je afrondt.

Veelgemaakte fouten

De y-coördinaat van het snijpunt als oplossing geven; de oplossing van f(x) = g(x) is de x-coördinaat van het snijpunt, niet de hoogte y.
Een venster kiezen waarin het snijpunt niet zichtbaar is en dan concluderen dat er geen oplossing is; pas eerst het bereik van de assen aan zodat de grafieken elkaar in beeld kruisen.

Actieve herhaling

Gegeven zijn f(x) = 2 + x en g(x) = 8 − x. Los de vergelijking f(x) = g(x) op met behulp van het snijpunt van de twee grafieken en geef ook de bijbehorende y-waarde.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Ongelijkheden oplossen met grafieken#

Standardexamenblad-nl

Gebied waar f(x) = 2 + x boven g(x) = 8 − x ligt

Afb. 3Rechts van het snijpunt (3, 5) ligt f boven g; daar geldt f(x) > g(x), dus voor x > 3.

Een ongelijkheid als f(x) > g(x) vraagt niet om één x, maar om álle x-waarden waarvoor de ene functie groter is dan de andere. Grafisch betekent f(x) > g(x): voor welke x ligt de grafiek van f hoger dan de grafiek van g? Je kijkt dus niet naar één punt, maar naar een heel gebied op de horizontale as. Het keerpunt is steeds het snijpunt van de twee grafieken: daar zijn f en g even groot (f(x) = g(x)), en links en rechts van dat snijpunt wisselt het welke grafiek bovenligt. Daarom begin je het oplossen van een ongelijkheid bijna altijd met het bepalen van het snijpunt; dat snijpunt verdeelt de horizontale as in stukken waarin telkens dezelfde grafiek bovenligt.

Heb je het snijpunt eenmaal, dan lees je het oplossingsgebied af door te kijken welke grafiek waar bovenligt. Neem f(x) = 2 + x en g(x) = 8 − x, die elkaar snijden in (3, 5). Voor x groter dan 3 loopt de stijgende lijn f boven de dalende lijn g, dus daar geldt f(x) > g(x); voor x kleiner dan 3 is het net andersom en ligt g boven f. Je kunt dat controleren met een getal: bij x = 4 is f(4) = 6 en g(4) = 4, en inderdaad is 6 groter dan 4. De oplossing van f(x) > g(x) is dus x > 3. Het aflezen draait steeds om dezelfde vraag: aan welke kant van het snijpunt ligt de gevraagde grafiek bovenaan?

De oplossing van een ongelijkheid is een interval: een aaneengesloten stuk van de getallenlijn. Je schrijft het oplossingsgebied bijvoorbeeld als x > 3. Let goed op het verschil tussen „groter dan” (>) en „groter dan of gelijk aan” (≥). Bij f(x) > g(x) hoort het snijpunt zélf er niet bij — daar zijn f en g immers gelijk, en niet de een groter dan de ander — dus de grens is open en je schrijft x > 3. Bij f(x) ≥ g(x) telt de grens wél mee en schrijf je x ≥ 3. Op een getallenlijn teken je een open grens met een open bolletje en een gesloten grens met een dicht bolletje, met daarachter een arcering of pijl over het stuk dat tot de oplossing behoort.

Een ongelijkheid oplossen met grafieken gaat dus in drie stappen: teken (of voer in) beide grafieken, bepaal het snijpunt, en lees af aan welke kant het gevraagde gebied ligt. In wiskunde A doe je het tekenen en het snijpunt zoeken meestal met de grafische rekenmachine, net als bij een vergelijking; alleen de laatste stap — kijken welke grafiek bovenligt en het interval opschrijven — doe je zelf door naar het beeld te kijken. Twijfel je over de richting, kies dan een controlegetal aan één kant van het snijpunt en vul het in beide functies in; zo zie je meteen welke grafiek daar bovenligt. Schrijf het antwoord ten slotte netjes als een interval en wees nauwkeurig met open of gesloten grenzen.

f(x) > g(x)

ongelijkheid

Het oplossingsgebied bestaat uit alle x waarvoor de grafiek van f boven die van g ligt; de grens is het snijpunt, waar f(x) = g(x).

Oplossingsinterval van f(x) > g(x)

Afb. 4De oplossing x > 3 op de getallenlijn: een open grens bij 3 en het gebied rechts ervan hoort bij de oplossing (de grafiek loopt door naar rechts).

Uitgewerkt voorbeeld

Een ongelijkheid oplossen met het snijpunt

Gegeven f(x) = 2 + x en g(x) = 8 − x. Voor welke x geldt f(x) > g(x)? Geef het antwoord als een interval.

Stap 1 — Bepaal het snijpunt
f en g zijn even groot waar ze elkaar snijden. Uit 2 + x = 8 − x volgt x = 3 (met de rekenmachine geeft „intersect” het snijpunt (3, 5)). Het snijpunt ligt dus bij x = 3; dat is de grenswaarde.
$2 + x = 8 - x \;\Rightarrow\; x = 3$
Stap 2 — Kijk welke grafiek rechts van het snijpunt bovenligt
Kies een controlegetal rechts van 3, bijvoorbeeld x = 4: dan is f(4) = 6 en g(4) = 4. Omdat 6 groter is dan 4, ligt f daar boven g. Voor alle x groter dan 3 geldt dus f(x) > g(x).
$f(4) = 6 > 4 = g(4)$
Stap 3 — Schrijf de oplossing als interval
Het gebied waar f boven g ligt, is x > 3. Omdat het ongelijkteken streng is (>), hoort de grenswaarde x = 3 er niet bij: daar zijn f en g gelijk. De oplossing is dus x > 3, met een open grens bij 3.

Resultaat: Voor x > 3 ligt de grafiek van f boven die van g, dus de oplossing van f(x) > g(x) is x > 3. De grenswaarde 3 (het snijpunt) telt niet mee, want daar geldt f(x) = g(x).

Veelgemaakte fouten

Het snijpunt wél meetellen bij een strenge ongelijkheid; bij f(x) > g(x) hoort de grenswaarde er niet bij, want daar zijn f en g precies gelijk — de grens is dus open.
De verkeerde kant van het snijpunt kiezen; controleer met een getal in het gebied (bijvoorbeeld x = 4) of de gevraagde grafiek daar werkelijk bovenligt.

Actieve herhaling

Gegeven f(x) = 2 + x en g(x) = 8 − x. Bepaal met behulp van de grafieken voor welke x geldt dat f(x) > g(x). Geef het antwoord als een interval en geef aan of de grenswaarde meetelt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Een grafiek interpreteren: stijgen, dalen en toppen#

Standardexamenblad-nl

Winstgrafiek W = 20 − (x − 4)² met de top

Afb. 5De grafiek heeft een maximum in de top (4, 20): de hoogste winst is 20 (duizend euro) bij een prijs van 4 euro.

Een grafiek interpreteren begint met kijken hoe hij loopt: stijgt hij, daalt hij, of blijft hij gelijk? Een grafiek stijgt op een stuk als de functiewaarde (de y) groter wordt naarmate je naar rechts gaat, dus naarmate x toeneemt; hij daalt als de functiewaarde juist kleiner wordt. In een context vertaalt zich dat direct: een stijgend stuk betekent dat de ene grootheid toeneemt als de andere toeneemt, een dalend stuk dat ze afneemt. Bij de winstgrafiek W = 20 − (x − 4)² stijgt de winst zolang de prijs onder de 4 euro ligt en daalt hij zodra de prijs daarboven komt. Het is goed om bij elk stuk van een grafiek de vraag te stellen: gaat de grootheid op de verticale as hier omhoog of omlaag, en wat betekent dat voor de situatie?

Op de plek waar een grafiek van stijgen overgaat in dalen, ligt een hoogste punt: een maximum, ook wel de top van een bergparabool. Daar is de functiewaarde groter dan in de directe omgeving. Omgekeerd ligt op de plek waar een grafiek van dalen overgaat in stijgen een laagste punt: een minimum, het dal. Het aflezen van zo'n uiterste waarde gebeurt in wiskunde A vaak met de grafische rekenmachine, die een functie „maximum” of „minimum” heeft waarmee je de coördinaten van de top vindt. De x-coördinaat van de top zegt wáár (bij welke waarde van de horizontale grootheid) het uiterste optreedt; de y-coördinaat zegt hóe groot die hoogste of laagste waarde is. Beide zijn belangrijk: een vraag als „wat is de maximale winst en bij welke prijs?” vraagt om allebei de coördinaten.

De bijzondere punten van een grafiek — de snijpunten met de assen en de toppen — krijgen in een context een concrete betekenis, en juist daarnaar wordt op het examen vaak gevraagd. Het snijpunt met de verticale as is de beginwaarde; een snijpunt met de horizontale as is de waarde waarbij de grootheid nul wordt (het vat is leeg, de winst is nul, het break-evenpunt is bereikt). Een top is een maximale of minimale waarde: de hoogste winst, de laagste kosten, het grootste aantal. Het snijpunt van twéé grafieken betekent dat de twee grootheden op dat moment even groot zijn — denk aan twee abonnementen die bij een bepaald verbruik evenveel kosten. Interpreteren is precies dit: zo'n wiskundig punt vertalen naar een zin over de situatie, met de juiste eenheden erbij.

Bij het interpreteren is de laatste — en vaak belangrijkste — stap dat je je antwoord opschrijft als een volzin die de vraag beantwoordt, met de juiste eenheden en een verstandige afronding. Een afgelezen of berekend getal als „20” zegt op zichzelf weinig; pas met de eenheid erbij („de maximale winst is 20 duizend euro, dus € 20.000”) en met de bijbehorende voorwaarde („bij een prijs van € 4”) wordt het een volledig antwoord. Let er ook op of de gevraagde grootheid op de verticale of de horizontale as staat: bij „wat is de maximale winst?” geef je de y-waarde van de top, bij „bij welke prijs?” de x-waarde. Wie de grafiek netjes afleest maar vergeet te interpreteren, laat punten liggen; in wiskunde A zit het antwoord bijna altijd in die vertaalslag naar de context.

W = 20 - (x - 4)^{2}

winst en optimale prijs

Een kwadraat is nooit negatief, dus W is het grootst als (x − 4)² gelijk is aan 0, en dat is bij x = 4; de top is dan (4, 20). De min vóór het kwadraat maakt het een bergparabool met een maximum.

Uitgewerkt voorbeeld

Het maximum aflezen en interpreteren

De winst W (in duizend euro) bij een verkoopprijs van x euro is W = 20 − (x − 4)². Lees de maximale winst af, bepaal bij welke prijs die wordt bereikt en interpreteer het resultaat.

Stap 1 — Herken de vorm van de grafiek
De grafiek van W = 20 − (x − 4)² is een bergparabool: door de min vóór de kwadraatterm opent de parabool naar beneden, dus de grafiek heeft een hoogste punt — een maximum.
Stap 2 — Bepaal de top
Een kwadraat is nooit negatief, dus (x − 4)² is het kleinst — namelijk 0 — als x = 4. Dan is W zo groot mogelijk: W = 20. De top ligt dus bij (4, 20). Met de grafische rekenmachine vind je hetzelfde via de functie „maximum”.
$(x-4)^{2} \ge 0 \;\Rightarrow\; W = 20 - (x-4)^{2} \le 20$
Stap 3 — Interpreteer in de context
De top (4, 20) betekent: de winst is maximaal bij een verkoopprijs van € 4, en die maximale winst bedraagt 20 duizend euro, dus € 20.000. Links van de top (voor x < 4) stijgt de winst nog als de prijs stijgt; rechts van de top (voor x > 4) daalt de winst weer.

Resultaat: De maximale winst is 20 (duizend euro), oftewel € 20.000, en die wordt bereikt bij een prijs van € 4 — de top (4, 20). Voor prijzen lager dan € 4 stijgt de winst nog; voor hogere prijzen daalt hij.

Veelgemaakte fouten

Alleen de y-waarde van een top geven terwijl ook gevraagd wordt bij welke x die optreedt (of andersom); een top heeft twee coördinaten met elk een eigen betekenis.
Een afgelezen getal zonder eenheid of zonder interpretatie opschrijven; vertaal het wiskundige resultaat altijd terug naar een zin over de context, met eenheden.

Actieve herhaling

De winst W (in duizend euro) bij een verkoopprijs van x euro is W = 20 − (x − 4)². Bepaal de maximale winst en de prijs waarbij die wordt bereikt, en leg uit voor welke prijzen de winst stijgt en voor welke hij daalt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Kernpunten

Een lineaire grafiek aflezen en de assnijpunten bepalen

Kernpunten

Een vergelijking oplossen als snijpunt

Kernpunten

Een ongelijkheid oplossen met het snijpunt

Kernpunten

Het maximum aflezen en interpreteren

Bronnen

Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Kernpunten

Een lineaire grafiek aflezen en de assnijpunten bepalen

Kernpunten

Een vergelijking oplossen als snijpunt

Kernpunten

Een ongelijkheid oplossen met het snijpunt

Kernpunten

Het maximum aflezen en interpreteren

Bronnen