Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Lineaire verbanden, interpolatie en extrapolatie

Een lineair verband heeft de vorm y = a·x + b: de startwaarde b is het snijpunt met de verticale as en de richtingscoëfficiënt a is de vaste toename per stap, waardoor de grafiek een rechte lijn is. In dit onderwerp leer je zulke formules opstellen, de helling uit twee punten berekenen en met een lineair model interpoleren (schatten binnen de meetgegevens) en extrapoleren (voorspellen erbuiten). Je sluit af met het vergelijken van twee lineaire modellen via hun snijpunt — het omslag- of break-evenpunt — om een onderbouwd advies te geven.

4Onderdelenca. 28min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3

T·0666 / 14

Examenprofiel

Een lineair verband herkennen en de formule y = a·x + b opstellen vanuit een context, een tabel of een grafiek, met b als startwaarde en a als toename per eenheid.De richtingscoëfficiënt (helling) berekenen uit twee punten met a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) en interpreteren als verandering per eenheid, inclusief het onderscheid tussen een stijgende en een dalende lijn.Met een lineair model interpoleren binnen het meetgebied en extrapoleren erbuiten, en beoordelen hoe betrouwbaar zo'n voorspelling is.Het snijpunt van twee lineaire grafieken bepalen en gebruiken als omslag- of break-evenpunt om twee situaties te vergelijken en een advies te onderbouwen.

Operatoren:stel opberekenvoorspelinterpreteerberedeneer

basisniveau

Voor het CE: stel lineaire formules op uit een context, bereken de helling uit twee punten, lees of bereken functiewaarden af en gebruik een lineair model om te interpoleren en te extrapoleren.

verhoogd niveau

Voor verdieping: beoordeel kritisch wanneer extrapoleren met een lineair model nog verantwoord is en vergelijk twee lineaire modellen via hun snijpunt tot een onderbouwd advies.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Lineaire verbanden, interpolatie en extrapolatie

Het lineaire verband en zijn formule#

Basisexamenblad-nl

Lineair verband: het regenton-model

Afb. 1De grafiek van het regenton-model is een rechte lijn: hij start bij 5 op de verticale as en stijgt met 3 liter per uur.

Een verband heet lineair wanneer een grootheid met een vaste hoeveelheid per stap toe- of afneemt. In formulevorm schrijf je zo'n verband als

y = a\cdot x + b

. Hierin is

x

de invoer (bijvoorbeeld de tijd of het aantal stuks),

y

de uitkomst die daarvan afhangt, en zijn

a

b

twee getallen die het verband volledig vastleggen. Het kenmerkende van een lineair verband is dat gelijke stappen in

x

steeds dezelfde verandering in

y

geven: ga je van

x = 1

naar

x = 2

, dan verandert

y

evenveel als wanneer je van

x = 7

naar

x = 8

gaat. Juist die constante verandering zorgt ervoor dat de grafiek geen bocht maakt maar een kaarsrechte lijn is. Alle andere begrippen in deze paragraaf — startwaarde, helling, snijpunt met de as — zijn niets anders dan manieren om de twee getallen

a

b

te benoemen en af te lezen.

Het getal

b

heet de startwaarde of het constante deel, en je vindt het door

x = 0

in te vullen: dan valt

a\cdot x

weg en blijft

y = b

over. De startwaarde is dus de waarde van

y

op het moment dat

x

nog nul is — het vertrekpunt van de situatie. In een grafiek lees je

b

meteen af als het punt waar de lijn de verticale as (de

y

-as) snijdt; daarom heet

b

ook wel het snijpunt met de

y

-as. Denk aan een taxirit met een vast instaptarief: nog vóórdat je een meter hebt gereden, sta je al op dat instaptarief, en dat bedrag is de startwaarde

b

. Een positieve

b

tilt de hele lijn omhoog, een negatieve

b

schuift hem omlaag; de vorm van de lijn verandert daardoor niet, alleen zijn hoogte.

Het getal

a

heet de richtingscoëfficiënt, ook wel de helling genoemd. Het vertelt hoeveel

y

verandert telkens als

x

met

1

toeneemt. Is

a = 3

, dan komt er bij elke stap van

x

een

3

bij

y

bij; is

a = -2

, dan gaat er bij elke stap juist

2

af. De richtingscoëfficiënt bepaalt dus zowel de steilheid als de richting van de lijn: een grote

a

geeft een steile lijn, een

a

dicht bij

0

een bijna vlakke lijn, en het teken van

a

bepaalt of de lijn stijgt (positief) of daalt (negatief). Omdat

a

de verandering per eenheid is, draagt het in een context altijd een eenheid „per”: euro per stuk, liter per minuut, kilometer per uur. Wie

a

b

kent, kent de hele lijn, want samen leggen ze precies vast wáár de lijn begint en hóé snel hij stijgt of daalt.

Omdat de verandering per stap constant is, is de grafiek van een lineair verband altijd een rechte lijn — en omgekeerd hoort bij elke rechte, niet-verticale lijn een formule van de vorm

y = a\cdot x + b

. Dat maakt het tekenen eenvoudig: je hebt aan twee punten genoeg. Reken bijvoorbeeld de startwaarde

b

uit (het punt

(0,\ b)

) en nog één ander punt door een handige

x

in te vullen, zet beide punten in het assenstelsel en trek de lijn er recht doorheen. Andersom kun je uit een gegeven lijn de formule terugvinden: lees bij de

y

-as de startwaarde

b

af, en bepaal de helling

a

door te kijken hoeveel de lijn stijgt als je één stap naar rechts gaat. De grafiek en de formule zijn zo twee gezichten van hetzelfde verband.

Lineaire verbanden gebruik je overal waar iets met een vast bedrag of een vaste hoeveelheid per stap groeit of krimpt: abonnementskosten, het vollopen van een vat, de resterende afstand tijdens een rit met constante snelheid. Herken je in een context de woorden „een vast startbedrag” en „zoveel erbij of eraf per …”, dan past een lineair model bijna altijd, en kun je de situatie meteen in de vorm

y = a\cdot x + b

gieten. In de volgende paragrafen bouw je hierop voort: eerst leer je de helling

a

nauwkeurig berekenen uit twee gegeven punten, daarna gebruik je het opgestelde model om binnen en buiten de gegevens te voorspellen, en ten slotte vergelijk je twee lineaire modellen met elkaar. Telkens komt het neer op die ene basisgedachte: ken je

a

b

, dan beheers je het hele verband.

y = a\cdot x + b

lineair verband

Hierin is b de startwaarde (de waarde van y bij x = 0, het snijpunt met de y-as) en a de richtingscoëfficiënt (de vaste toename van y per stap van 1 in x).

y = 5 + 3\cdot x

regenton-model

Startwaarde b = 5 liter (water bij het begin) en richtingscoëfficiënt a = 3 liter per uur; dit is het verband uit het uitgewerkte voorbeeld en de figuur.

Uitgewerkt voorbeeld

Een formule opstellen uit startwaarde en helling

In een regenton zit aan het begin van een bui al 5 liter water. Tijdens de bui stroomt er 3 liter per uur bij. Stel een formule op voor de hoeveelheid water y (in liter) na x uur, en bereken hoeveel water er na 5 uur in de ton zit.

Stap 1 — Bepaal de startwaarde b
Kijk naar het begin van de situatie, het moment x = 0. Aan het begin van de bui zit er al 5 liter in de ton, dus de startwaarde is b = 5. Dat is meteen het snijpunt van de grafiek met de y-as.
$b = 5$
Stap 2 — Bepaal de richtingscoëfficiënt a
Bekijk hoeveel y per stap verandert. Er stroomt elk uur 3 liter bij — een vaste toename per uur — dus de richtingscoëfficiënt is a = 3 (liter per uur).
$a = 3$
Stap 3 — Stel de formule op
Vul a en b in het standaardverband y = a·x + b in. Met a = 3 en b = 5 ontstaat de formule voor de hoeveelheid water y na x uur.
$y = 3\cdot x + 5 = 5 + 3\cdot x$
Stap 4 — Bereken de hoeveelheid na 5 uur
Voorspel de hoeveelheid water na 5 uur door x = 5 in te vullen. Vermenigvuldig eerst (3 × 5 = 15) en tel daarna de startwaarde van 5 erbij op.
$y = 5 + 3\cdot 5 = 5 + 15 = 20$

Resultaat: De formule is y = 5 + 3x, met startwaarde b = 5 en richtingscoëfficiënt a = 3. Na 5 uur zit er 20 liter in de regenton; dat hoort bij het punt (5, 20) op de grafiek.

Veelgemaakte fouten

De rollen van $a$ en $b$ verwisselen: de startwaarde (het vaste bedrag, de waarde bij $x = 0$ ) hoort bij $b$ , en de verandering per stap hoort bij $a$ — niet andersom.
Het teken van $a$ vergeten bij een dalende situatie: als er per stap iets afgaat, is de richtingscoëfficiënt negatief, dus reken met een min (bijvoorbeeld $a = -2$ ) en niet met een plus.

Actieve herhaling

Een fietsenmaker rekent voor een reparatie 15 euro voorrijkosten plus 8 euro per kwartier arbeid. Stel een formule op voor de totale kosten y (in euro) bij x kwartier arbeid, benoem de startwaarde en de richtingscoëfficiënt, en bereken de kosten bij 3 kwartier arbeid.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De helling berekenen uit twee punten#

Standardexamenblad-nl

Helling uit twee punten

Afb. 2Tussen de punten (2, 240) en (5, 60) daalt de lijn met 60 km per uur; daarom is de helling negatief.

Vaak ken je niet meteen de startwaarde en de toename, maar wél twee punten van de lijn — bijvoorbeeld twee waarnemingen uit een tabel of twee afgelezen punten uit een grafiek. Uit twee punten

(x_1,\ y_1)

(x_2,\ y_2)

bereken je de richtingscoëfficiënt met de formule

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

. In woorden: deel de verandering in

y

(de „verticale” sprong) door de bijbehorende verandering in

x

(de „horizontale” sprong). De teller

y_2 - y_1

heet de toename van

y

, de noemer

x_2 - x_1

de toename van

x

; hun quotiënt is precies hoeveel

y

verandert per eenheid van

x

, en dat is de helling. De volgorde van de punten mag je zelf kiezen, als je maar in teller én noemer dezelfde volgorde aanhoudt.

Dat deze breuk klopt, volgt rechtstreeks uit wat „lineair” betekent. Omdat de lijn recht is, is de verhouding tussen de verticale en de horizontale sprong overal hetzelfde, welke twee punten je ook kiest. Stap je één eenheid naar rechts (

x

neemt met

1

toe), dan stijgt

y

met

a

; stap je

x_2 - x_1

eenheden naar rechts, dan stijgt

y

met dat aantal keer

a

, dus met

a\cdot(x_2 - x_1)

. Die totale stijging is juist

y_2 - y_1

. Deel je beide kanten door

x_2 - x_1

, dan houd je

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

over. De breuk is dus niets anders dan de gemiddelde verandering per eenheid — en bij een lineair verband is die gemiddelde verandering overal gelijk aan de constante helling.

In een context is de helling veel meer dan een getal: het is de snelheid waarmee de ene grootheid met de andere meebeweegt, mét een eenheid „per”. Beschrijft

y

de waterhoogte in centimeters en

x

de tijd in minuten, dan is

a

het aantal centimeter per minuut; gaat het over kosten in euro en aantal stuks, dan is

a

de prijs per stuk. Bij elke uitkomst hoort dus de vraag: verandering van wát, per wát? Een helling van

a = -60

bij een autorit betekent „

60

kilometer minder resterende afstand per uur” — het getal

60

is het tempo, de eenheid maakt de betekenis af. Door de helling altijd in de taal van de context te vertalen, laat je zien dat je niet alleen rekent, maar de situatie ook begrijpt.

Het teken van

a

vertelt of de lijn stijgt of daalt. Is

a

positief, dan loopt de grafiek van linksonder naar rechtsboven: bij toenemende

x

wordt

y

groter. Is

a

negatief, dan loopt de grafiek van linksboven naar rechtsonder: bij toenemende

x

wordt

y

kleiner. Een helling van

0

zou een horizontale lijn geven (geen verandering). Bij het berekenen via de breuk verschijnt het minteken vanzelf zodra de tweede

y

-waarde lager is dan de eerste: dan is de teller

y_2 - y_1

negatief, terwijl de noemer positief blijft, en is het quotiënt negatief. Reken je een negatieve helling per ongeluk positief uit, dan klopt de richting van je lijn niet meer met de situatie — een goede controle is dus altijd of het teken past bij „stijgt” of „daalt”.

Met de helling

a

heb je de lijn nog niet helemaal vast: je mist de startwaarde

b

. Die vind je door één van de twee punten in

y = a\cdot x + b

in te vullen en de vergelijking naar

b

op te lossen — beide punten geven dezelfde

b

, wat meteen een handige controle is. Zo komt de volledige formule tot stand: eerst

a

uit de twee punten, dan

b

door terug te substitueren. In het examen is dit het standaardrecept om „de formule van de lijn door deze twee punten” op te stellen. In de volgende paragraaf gebruik je zo'n opgestelde formule om voorspellingen te doen — en daar wordt het belangrijk of je nog binnen je waarnemingen blijft of er juist ver buiten treedt.

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

richtingscoëfficiënt uit twee punten

De verandering van y (teller) gedeeld door de bijbehorende verandering van x (noemer); kies in teller en noemer dezelfde volgorde van de punten.

a = \frac{60 - 240}{5 - 2} = \frac{-180}{3} = -60

helling van de autorit

Met de punten (2, 240) en (5, 60): de resterende afstand daalt met 60 km per uur, dus a is negatief.

Uitgewerkt voorbeeld

De helling berekenen en de formule opstellen

Een auto rijdt met constante snelheid naar een bestemming. Na 2 uur is de resterende afstand 240 km; na 5 uur is die nog 60 km. Bereken de richtingscoëfficiënt, interpreteer wat die in deze situatie betekent, en stel de formule voor de resterende afstand y (in km) na x uur op.

Stap 1 — Schrijf de gegevens als twee punten
Noteer de gegevens als coördinaten (x, y), met x de tijd in uur en y de resterende afstand in km. Na 2 uur is de afstand 240 km, na 5 uur nog 60 km.
$(x_1,\ y_1) = (2,\ 240), \quad (x_2,\ y_2) = (5,\ 60)$
Stap 2 — Bereken de richtingscoëfficiënt
Deel de verandering in y door de verandering in x. Houd in teller en noemer dezelfde volgorde aan (punt 2 min punt 1).
$a = \frac{60 - 240}{5 - 2} = \frac{-180}{3} = -60$
Stap 3 — Interpreteer de helling
De helling is −60. Het getal 60 betekent dat de resterende afstand met 60 km per uur afneemt; het minteken hoort bij een dalende grafiek — de auto rijdt naar de bestemming toe en komt dus dichterbij.
Stap 4 — Bepaal b en stel de formule op
Vul een van de punten, bijvoorbeeld (2, 240), in y = a·x + b in en los op naar b. Schrijf daarna de volledige formule.
$240 = -60\cdot 2 + b \;\Rightarrow\; b = 360, \quad y = 360 - 60\cdot x$

Resultaat: De richtingscoëfficiënt is a = −60 km per uur (de afstand daalt), en de formule is y = 360 − 60x. Bij x = 0 geeft de formule y = 360: de afstand aan het begin van de rit. Ter controle: bij x = 5 geeft de formule 360 − 300 = 60, precies het tweede gegeven punt.

Veelgemaakte fouten

Teller en noemer omdraaien — $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ rekenen in plaats van $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ; de verandering in y hoort bóven de breukstreep.
De volgorde van de punten in teller en noemer verschillend kiezen, bijvoorbeeld $y_2 - y_1$ delen door $x_1 - x_2$ ; dat geeft een verkeerd teken. Trek in teller en noemer steeds in dezelfde richting af.

Actieve herhaling

Van een lineair verband zijn twee punten bekend: bij x = 4 hoort y = 30 en bij x = 9 hoort y = 10. Bereken de richtingscoëfficiënt, beredeneer of de grafiek stijgt of daalt, en stel de formule y = a·x + b op.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Interpoleren en extrapoleren#

Standardexamenblad-nl

Interpoleren en extrapoleren

Afb. 3Binnen het meetgebied (jaar 0 tot 6) interpoleer je, zoals bij jaar 3; voorbij jaar 6 extrapoleer je, zoals bij jaar 10 — en dat laatste is onzeker.

Zodra je een formule of grafiek hebt die bij een rij waarnemingen past, kun je er waarden mee schatten die je niet rechtstreeks gemeten hebt. Daarbij maak je een belangrijk onderscheid. Schat je een waarde die tússen je waarnemingen in ligt — binnen het gebied waarover je gegevens hebt — dan heet dat interpoleren. Voorspel je daarentegen een waarde die buiten dat gebied valt — vóór de eerste of voorbij de laatste waarneming — dan heet dat extrapoleren. Het verschil zit dus niet in de rekenmethode (je vult in beide gevallen gewoon een

x

in de formule in of leest de grafiek af), maar in de vraag of die

x

binnen of buiten het bereik van je metingen valt. En juist dat onderscheid bepaalt hoeveel vertrouwen je in de uitkomst mag hebben.

Interpoleren is over het algemeen betrouwbaar. Je waarnemingen sluiten de geschatte waarde aan beide kanten in, en omdat de meetpunten netjes rond de lijn liggen, mag je aannemen dat ook de tussenliggende waarden dicht bij die lijn liggen. Stel dat je metingen hebt bij

x = 0,\ 2,\ 4

6

en je wilt de waarde bij

x = 3

weten: die

3

ligt midden tussen gemeten punten in, dus de lijn „overbrugt” daar slechts een klein, bekend gat. Interpoleren is daarmee het invullen van een ontbrekende tussenwaarde in een gebied waarvan je het gedrag al kent. De onzekerheid blijft klein, zeker als de meetpunten dicht bij elkaar liggen en goed op één lijn lijken te vallen.

Extrapoleren is veel riskanter, en het is belangrijk om te begrijpen waaróm. Als je buiten je metingen voorspelt, doe je stilzwijgend een aanname: dat het lineaire verband óók daar nog precies zo doorloopt. Maar voor dat gebied heb je geen enkele waarneming — je rekt de lijn uit naar onbekend terrein. In de werkelijkheid houdt een lineair verloop bijna nooit eindeloos stand. Een ledental loopt tegen een maximale capaciteit aan, een voorraad raakt op (en kan niet negatief worden), een lichaamslengte stopt met groeien. Hoe verder je voorbij je laatste meting voorspelt, hoe groter de kans dat de aanname „het blijft lineair” niet meer klopt en hoe groter de fout in je voorspelling kan worden. Een geëxtrapoleerde waarde is daarom altijd een voorzichtige schatting onder voorbehoud, geen zekerheid.

Bij het examen wordt vaak gevraagd om niet alleen te rekenen, maar ook te oordelen over de betrouwbaarheid van een voorspelling. Een goed antwoord benoemt drie dingen: of het om interpoleren of extrapoleren gaat, hoe ver de gevraagde

x

van het meetgebied af ligt, en welke aanname je daarbij doet. Ligt de waarde net buiten de metingen, dan is extrapoleren soms nog te verdedigen; ligt hij er ver buiten, dan moet je expliciet melden dat de uitkomst onzeker is, omdat het maar de vraag is of het lineaire verband zó ver blijft gelden. Vermijd stellige taal als „het worden er precies 200”: schrijf liever „volgens het model ongeveer 200, maar dat is een onzekere voorspelling omdat we buiten de metingen rekenen”.

Interpoleren en extrapoleren zijn zo twee kanten van hetzelfde gereedschap: een lineair model laat je waarden invullen die je niet hebt gemeten, maar de waarde van de uitkomst hangt af van wáár je hem invult. Binnen de gegevens sta je op stevige grond, erbuiten betreed je glad ijs. Deze gedachte keert terug zodra je modellen met elkaar gaat vergelijken: ook dan reken je met formules door tot waarden die je niet hebt gemeten, en blijft de vraag relevant of het model in dat gebied nog realistisch is. In de volgende paragraaf stel je zelf een lineair model op uit een situatie en gebruik je het snijpunt van twee zulke modellen om een keuze te onderbouwen.

L = 50 + 15\cdot x

lineair model (x = aantal jaren)

Het ledenmodel uit het voorbeeld: startwaarde 50 leden en een toename van 15 leden per jaar; gebaseerd op metingen van jaar 0 tot en met jaar 6.

L = 50 + 15\cdot 10 = 200

extrapolatie naar jaar 10

Volgens het model 200 leden in jaar 10 — maar jaar 10 ligt buiten het meetgebied (tot jaar 6), dus dit is een onzekere voorspelling.

Uitgewerkt voorbeeld

Interpoleren en extrapoleren met een lineair model

Een sportvereniging telt aan het begin (jaar 0) 50 leden en groeit de eerste jaren met ongeveer 15 leden per jaar. De ledenaantallen zijn bijgehouden van jaar 0 tot en met jaar 6. Gebruik het model L = 50 + 15·x om het aantal leden in jaar 3 te schatten en in jaar 10 te voorspellen, en beredeneer welke van de twee schattingen betrouwbaarder is.

Stap 1 — Bepaal het meetgebied en wat gevraagd wordt
De ledenaantallen zijn bijgehouden van jaar 0 tot en met jaar 6. Jaar 3 valt binnen dat bereik (dat wordt interpoleren); jaar 10 valt erbuiten (dat wordt extrapoleren).
Stap 2 — Interpoleer voor jaar 3
Vul x = 3 in het model L = 50 + 15·x in. Omdat 3 tussen de metingen ligt, is dit een betrouwbare schatting.
$L = 50 + 15\cdot 3 = 50 + 45 = 95$
Stap 3 — Extrapoleer voor jaar 10
Vul x = 10 in hetzelfde model in. Let op: 10 ligt voorbij de laatste meting (jaar 6), dus dit is extrapoleren.
$L = 50 + 15\cdot 10 = 50 + 150 = 200$
Stap 4 — Beoordeel de betrouwbaarheid
De schatting voor jaar 3 (ongeveer 95 leden) is betrouwbaar, want hij ligt ingesloten tussen echte metingen. De voorspelling voor jaar 10 (200 leden) is onzeker: ze gaat ervan uit dat de groei van 15 leden per jaar onverminderd doorgaat, terwijl een vereniging een maximale omvang heeft en de groei in werkelijkheid kan afvlakken.

Resultaat: Jaar 3: ongeveer 95 leden — interpolatie, betrouwbaar. Jaar 10: volgens het model 200 leden — extrapolatie, onzeker omdat we aannemen dat het lineaire verband ook ver buiten de metingen blijft gelden. Interpoleren binnen het meetgebied is veiliger dan extrapoleren erbuiten.

Veelgemaakte fouten

Interpoleren en extrapoleren verwisselen: binnen het meetgebied schatten is interpoleren, erbuiten voorspellen is extrapoleren — controleer altijd waar de gevraagde x ligt ten opzichte van de eerste en de laatste meting.
Een geëxtrapoleerde uitkomst als harde zekerheid presenteren; noem altijd dat de voorspelling steunt op de aanname dat het lineaire verband doorloopt en dus onzeker is, zeker ver buiten de gegevens.

Actieve herhaling

Een webwinkel houdt het aantal bestellingen per week bij gedurende de eerste 8 weken na de start; dit groeit ongeveer lineair volgens B = 40 + 12·x, met x de week. Voorspel het aantal bestellingen in week 5 en in week 20. Geef bij elke schatting aan of je interpoleert of extrapoleert en hoe betrouwbaar ze is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Een lineair model in context en het omslagpunt#

Standardexamenblad-nl

Het omslagpunt van twee aanbieders

Afb. 4De twee kostenlijnen van aanbieder A en B snijden elkaar in het omslagpunt (10, 25): links daarvan is B goedkoper, rechts ervan A.

In examenopgaven krijg je een situatie beschreven en moet je daar zelf een lineair model bij opstellen. De aanpak is steeds dezelfde: zoek het vaste deel en het deel-per-stap. Het vaste startbedrag — de kosten, hoeveelheid of waarde die er al is vóórdat er iets verandert — wordt de startwaarde

b

. Het bedrag of de hoeveelheid die er bij elke eenheid bij komt of af gaat, wordt de richtingscoëfficiënt

a

. Daarna kies je duidelijke variabelen (wat is

x

, wat is

y

, met welke eenheden?) en schrijf je het model als

y = a\cdot x + b

. Goede variabelen benoemen is geen formaliteit: het voorkomt dat je later eenheden door elkaar haalt, en het maakt je antwoord controleerbaar.

Zodra het model staat, kun je er voorspellingen mee doen door een

x

in te vullen, of omgekeerd een vraag beantwoorden als „bij welke

x

hoort deze

y

?” door de vergelijking

a\cdot x + b = y

op te lossen. Hierbij geldt alles uit de vorige paragraaf: blijf je binnen het realistische bereik, dan is je voorspelling betrouwbaar; reken je ver door, dan moet je je afvragen of het lineaire model daar nog past. Een model is een vereenvoudiging van de werkelijkheid — bruikbaar en handig, maar met grenzen. Het is goed gebruik om bij een uitkomst even te toetsen of die in de context redelijk is: kan een aantal negatief zijn? Past de waarde bij de schaal van het probleem?

Het wordt echt krachtig zodra je twee lineaire modellen vergelijkt — bijvoorbeeld de kosten van twee abonnementen, twee aanbieders of twee tarieven. Teken je beide grafieken in één assenstelsel, dan snijden ze elkaar (als hun hellingen verschillen) in precies één punt. Dat snijpunt is het omslagpunt, ook wel break-evenpunt genoemd: de

x

-waarde waarbij beide modellen dezelfde

y

opleveren. Links van dat punt is het ene model voordeliger, rechts ervan het andere. Het omslagpunt is dus de grens die bepaalt welke keuze het beste is, en het beantwoordt in één klap de vraag „vanaf wanneer loont de ene optie boven de andere?”.

Het snijpunt bereken je door beide formules aan elkaar gelijk te stellen:

a_1\cdot x + b_1 = a_2\cdot x + b_2

. Je brengt de

x

-termen naar de ene kant en de getallen naar de andere, en lost de vergelijking naar

x

op. Die

x

is de omslagwaarde; vul je hem in één van de twee formules in, dan krijg je de bijbehorende

y

(bijvoorbeeld de kosten op het omslagpunt). Op de grafische rekenmachine kun je hetzelfde doen door beide lijnen te plotten en het snijpunt te laten bepalen — handig als controle. Belangrijk is dat je het snijpunt altijd als coördinaat

(x,\ y)

noteert én in de context uitlegt wat

x

y

daar betekenen.

Het laatste, en op het examen vaak puntenrijke, onderdeel is het advies. Met het omslagpunt in de hand redeneer je welke optie wanneer voordeliger is: gebruik je minder dan de omslagwaarde, dan is de optie met de láágste startwaarde meestal gunstiger; gebruik je meer, dan wint de optie met het láágste tarief per eenheid (de kleinste helling). Onderbouw je advies met getallen — noem het omslagpunt, en eventueel een rekenvoorbeeld net onder en net boven die grens — zodat je keuze navolgbaar is. Daarmee sluit dit onderwerp de cirkel: van het herkennen van een lineair verband, via het berekenen van de helling en het voorspellen met een model, naar het vergelijken van twee modellen om een echte beslissing te onderbouwen — precies het soort toegepaste redeneren waar wiskunde A om draait.

K_A = 20 + 0{,}50\cdot x

kosten aanbieder A

Vaste kosten 20 euro plus 0,50 euro per eenheid; A heeft de hoogste startwaarde maar het laagste tarief per eenheid.

K_B = 10 + 1{,}50\cdot x

kosten aanbieder B

Vaste kosten 10 euro plus 1,50 euro per eenheid; B heeft de laagste startwaarde maar het hoogste tarief per eenheid.

20 + 0{,}50\cdot x = 10 + 1{,}50\cdot x

omslagpunt: kosten gelijkstellen

Stel de twee kostenformules aan elkaar gelijk om de omslagwaarde van x te vinden.

Uitgewerkt voorbeeld

Het omslagpunt bepalen en een advies geven

Twee aanbieders rekenen voor hetzelfde aantal eenheden x verschillend af. Aanbieder A: 20 euro vaste kosten plus 0,50 euro per eenheid. Aanbieder B: 10 euro vaste kosten plus 1,50 euro per eenheid. Bepaal bij welk aantal eenheden beide even duur zijn (het omslagpunt) en adviseer welke aanbieder voordeliger is.

Stap 1 — Stel beide formules op
Aanbieder A heeft 20 euro vaste kosten en 0,50 euro per eenheid; aanbieder B heeft 10 euro vaste kosten en 1,50 euro per eenheid. Met x het aantal eenheden en K de kosten in euro geeft dat twee lineaire modellen.
$K_A = 20 + 0{,}50\cdot x, \quad K_B = 10 + 1{,}50\cdot x$
Stap 2 — Stel de kosten gelijk
Het omslagpunt is het aantal eenheden waarbij beide aanbieders evenveel kosten. Stel daarvoor de kosten van A gelijk aan die van B.
$20 + 0{,}50\cdot x = 10 + 1{,}50\cdot x$
Stap 3 — Los de vergelijking op
Breng de x-termen naar één kant en de getallen naar de andere. Trek 0,50·x van beide kanten af en 10 van beide kanten, en deel daarna.
$20 - 10 = 1{,}50\cdot x - 0{,}50\cdot x \;\Rightarrow\; 10 = 1\cdot x \;\Rightarrow\; x = 10$
Stap 4 — Bereken de kosten en adviseer
Vul x = 10 in één van de formules in voor de kosten op het omslagpunt; beide geven 25 euro. Vergelijk daarna links en rechts van het omslagpunt: bij minder dan 10 eenheden is B goedkoper (laagste startwaarde), bij meer dan 10 eenheden is A goedkoper (laagste tarief per eenheid).
$K_A = 20 + 0{,}50\cdot 10 = 25 \;=\; 10 + 1{,}50\cdot 10 = K_B$

Resultaat: Het omslagpunt is (10, 25): bij 10 eenheden kosten beide aanbieders 25 euro. Advies: gebruik je structureel minder dan 10 eenheden, kies dan aanbieder B (lagere vaste kosten); gebruik je er meer dan 10, kies dan aanbieder A (lager tarief per eenheid).

Veelgemaakte fouten

Bij het gelijkstellen van twee formules de x-termen en de constanten door elkaar halen; breng eerst alle x-termen naar één kant en alle getallen naar de andere voordat je naar x oplost.
Wel het snijpunt berekenen maar geen advies geven, of het advies omdraaien; onthoud dat onder het omslagpunt de optie met de laagste startwaarde wint en erboven de optie met de laagste prijs per eenheid.

Actieve herhaling

Sportschool A vraagt 25 euro inschrijfgeld plus 20 euro per maand; sportschool B vraagt geen inschrijfgeld maar 30 euro per maand. Stel voor beide een formule voor de totale kosten y na x maanden op, bereken het omslagpunt en adviseer welke sportschool voordeliger is voor wie een jaar (12 maanden) wil sporten.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Lineaire verbanden, interpolatie en extrapolatie

Kernpunten

Een formule opstellen uit startwaarde en helling

Kernpunten

De helling berekenen en de formule opstellen

Kernpunten

Interpoleren en extrapoleren met een lineair model

Kernpunten

Het omslagpunt bepalen en een advies geven

Bronnen

Lineaire verbanden, interpolatie en extrapolatie

Kernpunten

Een formule opstellen uit startwaarde en helling

Kernpunten

De helling berekenen en de formule opstellen

Kernpunten

Interpoleren en extrapoleren met een lineair model

Kernpunten

Het omslagpunt bepalen en een advies geven

Bronnen