Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Exponentiële verbanden, groeifactor en groeipercentage

Bij een exponentieel verband verandert een grootheid telkens met dezelfde groeifactor: je vermenigvuldigt elke stap met hetzelfde getal in plaats van er hetzelfde getal bij op te tellen. In dit onderwerp leer je de beginwaarde en de groeifactor uit een tabel, grafiek of percentage halen, vlot wisselen tussen groeifactor en groeipercentage, een groeifactor omrekenen naar een andere tijdseenheid en met de grafische rekenmachine verdubbelings- en halveringstijden bepalen. Exponentiële verbanden horen bij domein C (Verbanden) en zijn vaste examenstof bij wiskunde A op de HAVO.

4Onderdelenca. 23min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3

T·0777 / 14

Examenprofiel

De beginwaarde b en de groeifactor g van een exponentieel verband (N = b · g^t) herkennen en aflezen uit een tabel, grafiek of formule.Een groeipercentage omzetten in een groeifactor en omgekeerd, voor zowel toename als afname.Een groeifactor omrekenen naar een andere tijdseenheid en met de grafische rekenmachine verdubbelings- en halveringstijden bepalen.Exponentiële groei vergelijken met lineaire groei en de uitkomst in de context interpreteren.

Operatoren:berekenbepaaltoon aanvergelijkinterpreteer

basisniveau

Voor het CE: herken een exponentieel verband, bepaal de beginwaarde en de groeifactor, en reken vlot heen en weer tussen groeifactor en groeipercentage.

verhoogd niveau

Verdieping binnen het CE: reken groeifactoren om naar andere tijdseenheden, bepaal verdubbelings- en halveringstijden met de grafische rekenmachine en vergelijk exponentiële met lineaire groei.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Exponentiële verbanden, groeifactor en groeipercentage

Het exponentiële verband en de groeifactor#

Basisexamenblad-nl

Exponentiële groei met groeifactor 1,2

Afb. 1Bij groeifactor 1,2 wordt N elke stap 1,2 keer zo groot; de kromme start bij beginwaarde 100 en loopt steeds steiler omhoog.

Bij een lineair verband komt er elke tijdstap evenveel bij: je telt steeds hetzelfde getal op. Bij een exponentieel verband gebeurt iets anders — je vermenigvuldigt elke tijdstap met hetzelfde getal. Dat vaste getal heet de groeifactor en wordt aangeduid met

g

. Het verband schrijf je als

N = b \cdot g^{t}

, waarin

t

de tijd is (bijvoorbeeld in jaren of uren),

N

de hoeveelheid op tijdstip

t

b

de beginwaarde en

g

de groeifactor. De beginwaarde

b

is de hoeveelheid op het starttijdstip, want op dat moment is de macht gelijk aan 1 — elk grondtal tot de macht nul is immers 1 — zodat

N

gelijk wordt aan

b

. Het kenmerkende van exponentiële groei is dus niet „er komt steeds evenveel bij”, maar „het wordt steeds evenveel keer zo groot”.

De groeifactor vertelt je in één getal of iets groeit of juist afneemt, en hoe snel. Is

g > 1

, dan wordt

N

elke stap groter: er is sprake van groei. Is

0 < g < 1

, dan wordt

N

elke stap kleiner: er is sprake van afname (verval). Precies

g = 1

zou betekenen dat er niets verandert. Een groeifactor van 1,2 betekent bijvoorbeeld dat de hoeveelheid elke stap 1,2 keer zo groot wordt, en een groeifactor van 0,85 dat er na elke stap nog 0,85 keer — oftewel 85% — van over is. Let op dat een groeifactor nooit negatief kan zijn: je kunt niet „min zoveel keer” zo groot worden. De groeifactor ligt dus altijd boven nul, en de grens tussen groei en afname ligt precies bij 1.

De belangrijkste vaardigheid is de groeifactor uit een tabel halen, en dat doe je door te DELEN, niet door af te trekken. Deel elke waarde door de waarde ervoor: als die uitkomst steeds dezelfde is, is het verband exponentieel en is die uitkomst de groeifactor. Staat er bijvoorbeeld 250, dan 300, dan 360, dan reken je 300 gedeeld door 250 is 1,2 en 360 gedeeld door 300 is 1,2 — telkens 1,2, dus de groeifactor is 1,2. Het verschil met een lineair verband zit precies hier: bij lineair is het VERSCHIL tussen opeenvolgende waarden constant (je telt steeds hetzelfde op), bij exponentieel is het QUOTIËNT constant (je vermenigvuldigt steeds met hetzelfde). Een handige controle is dus: zijn de verschillen gelijk, dan lineair; zijn de quotiënten gelijk, dan exponentieel. Vergeet niet dat de waarden in de tabel even ver uit elkaar moeten liggen in de tijd (gelijke tijdstappen), anders mag je niet zomaar delen.

De beginwaarde

b

lees je af op het tijdstip nul. Staat de waarde bij

t = 0

in de tabel, dan is dat meteen

b

; in de grafiek is het de hoogte waar de kromme de verticale as snijdt. Soms begint een tabel niet bij

t = 0

— dan kun je met de groeifactor terugrekenen: deel net zo vaak door

g

tot je bij tijdstip nul bent. De grafiek van een exponentieel verband heeft altijd dezelfde herkenbare vorm: bij groei een kromme die steeds steiler omhoog loopt, bij afname een kromme die steeds vlakker naar de horizontale as daalt zonder die ooit te raken. Die as is een horizontale asymptoot. Zodra je

b

g

kent, ligt het hele verband vast en kun je elke gewenste waarde berekenen door de tijd in

N = b \cdot g^{t}

in te vullen.

N = b \cdot g^{t}

Exponentieel verband

N is de hoeveelheid op tijdstip t, b de beginwaarde (de waarde op t = 0) en g de groeifactor.

g = \frac{N_{t+1}}{N_{t}}

Groeifactor uit opeenvolgende waarden

Deel elke waarde door de vorige; bij een exponentieel verband is die uitkomst steeds dezelfde en gelijk aan g.

Uitgewerkt voorbeeld

Beginwaarde en groeifactor uit een tabel

Een webshop houdt het aantal bezoekers per maand bij. Bij t = 0 zijn het er 250, bij t = 1 maand 300, bij t = 2 maanden 360 en bij t = 3 maanden 432. Toon aan dat de groei exponentieel is, bepaal de beginwaarde en de groeifactor, en stel de formule voor het aantal bezoekers op.

Stap 1 — Controleer of het exponentieel is
Deel elke waarde door de vorige. Dat geeft 300 gedeeld door 250 is 1,2, daarna 360 gedeeld door 300 is 1,2 en 432 gedeeld door 360 is 1,2. De quotiënten zijn steeds gelijk, dus de groei is exponentieel; bij een lineair verband zouden juist de verschillen gelijk moeten zijn.
$\frac{300}{250} = 1{,}2, \quad \frac{360}{300} = 1{,}2, \quad \frac{432}{360} = 1{,}2$
Stap 2 — Lees de beginwaarde af
De beginwaarde is de waarde op het tijdstip nul. In de tabel staat daar 250, dus de beginwaarde is 250.
$b = 250$
Stap 3 — Bepaal de groeifactor en stel de formule op
Het constante quotiënt is de groeifactor: g = 1,2 (het aantal bezoekers groeit met 20% per maand). Met beginwaarde 250 en groeifactor 1,2 wordt de formule N = 250 · 1,2^t.
$N = 250 \cdot 1{,}2^{t}$

Resultaat: De groei is exponentieel met beginwaarde 250 en groeifactor 1,2; de formule is N = 250 · 1,2^t. Daarmee bereken je elk gewenst aantal bezoekers, bijvoorbeeld na 6 maanden: 250 · 1,2^6 ≈ 746 bezoekers.

Veelgemaakte fouten

De groeifactor bepalen door waarden van elkaar af te trekken in plaats van te delen; het verschil hoort bij lineaire verbanden, het quotiënt bij exponentiële.
De beginwaarde verwarren met de eerste waarde in de tabel terwijl die niet bij het tijdstip nul hoort; reken in dat geval met de groeifactor terug naar t = 0.
Denken dat een groeifactor tussen 0 en 1 „geen groei” betekent, terwijl het juist een afname is.

Actieve herhaling

Een tabel geeft het aantal leden van een sportclub: bij t = 0 zijn het er 200, bij t = 1 jaar 240, bij t = 2 jaar 288 en bij t = 3 jaar 345,6. Toon aan dat de groei exponentieel is, bepaal de beginwaarde en de groeifactor, en stel de formule voor het aantal leden op.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Van groeifactor naar groeipercentage en terug#

Standardexamenblad-nl

Percentage en groeifactor naast elkaar

Afb. 2Bij een toename tel je p/100 bij 1 op, bij een afname trek je p/100 van 1 af.

In het dagelijks leven praten we zelden over een groeifactor, maar des te vaker over een percentage: de prijs stijgt met 3%, het aantal daalt met 15%. Om met die percentages te kunnen rekenen, moet je ze kunnen vertalen naar een groeifactor. Bij een toename van

p

procent wordt de nieuwe waarde gelijk aan de oude waarde plus

p

procent daarvan, en dat is precies de oude waarde keer

\left(1 + \frac{p}{100}\right)

. De groeifactor bij een toename is dus

g = 1 + \frac{p}{100}

. Een stijging van 3% hoort bij een groeifactor van 1,03, een stijging van 25% bij 1,25 en een verdubbeling — een toename van 100% — bij

1 + \frac{100}{100} = 2

. Telkens tel je de „hele” beginhoeveelheid (de 1, oftewel 100%) op bij het deel dat erbij komt.

Bij een afname werkt het spiegelbeeldig: er gaat

p

procent áf, dus van de oorspronkelijke 100% blijft

(100 - p)

procent over. De groeifactor bij een afname is daarom

g = 1 - \frac{p}{100}

. Een daling van 15% hoort bij een groeifactor van 0,85, want er blijft 85% over; een daling van 50% bij 0,5 (de helft blijft over) en een daling van 8% bij 0,92. Merk op dat de groeifactor bij afname altijd tussen 0 en 1 ligt, in overeenstemming met wat je eerder zag:

0 < g < 1

betekent afname. Een veelgemaakte denkfout is hier een groeifactor van 0,15 nemen bij een daling van 15%; dat zou een daling van 85% zijn. Reken daarom altijd uit hoeveel procent er ÓVERblijft.

Andersom kun je uit een groeifactor het bijbehorende percentage terugrekenen met

p = (g - 1) \cdot 100

. Je kijkt dus hoeveel de groeifactor van 1 afligt en maakt daar een percentage van. Bij een groeifactor van 1,07 geeft dat

(1{,}07 - 1) \cdot 100 = 7

, dus een toename van 7%. Bij een groeifactor van 0,9 geeft dat

(0{,}9 - 1) \cdot 100 = -10

, en het minteken vertelt je dat het om een afname van 10% gaat. Deze ene formule werkt dus voor zowel groei als afname: een positieve uitkomst is een toename, een negatieve uitkomst een afname. Zo vertaal je een grafiek of formule die in groeifactoren gegeven is, terug naar de percentages waarmee je in de context praat.

Heb je het percentage eenmaal omgezet in een groeifactor, dan reken je over meerdere perioden gewoon met

N = b \cdot g^{t}

. Belangrijk is dat het percentage per periode geldt en elke periode opnieuw wordt toegepast op de inmiddels gegroeide hoeveelheid — dit heet groei-op-groei. Een bedrag dat 3% per jaar groeit, wordt na 10 jaar niet 30% groter (dat zou je krijgen met tien keer 3%), maar

1{,}03^{10} \approx 1{,}34

keer zo groot, dus ongeveer 34% meer. Hoe langer de looptijd, hoe groter het verschil tussen deze juiste, samengestelde berekening en het te simpele „percentage maal aantal jaren”. Wie spaarrente, prijsstijgingen of bevolkingsgroei berekent, moet daarom altijd met de macht

g^{t}

werken en niet de percentages bij elkaar optellen.

g = 1 + \frac{p}{100}

Groeifactor bij een toename van p%

Je telt het deel dat erbij komt (p procent) op bij de hele beginhoeveelheid (de 1).

g = 1 - \frac{p}{100}

Groeifactor bij een afname van p%

Bij een afname blijft (100 − p) procent over; de groeifactor ligt dan tussen 0 en 1.

p = (g - 1) \cdot 100

Percentage uit de groeifactor

Een positieve uitkomst is een toename, een negatieve uitkomst een afname.

Uitgewerkt voorbeeld

Bevolkingsgroei doorrekenen

Een dorp telt 8000 inwoners en het inwonertal groeit met 3% per jaar. Stel een formule op voor het aantal inwoners na t jaar en bereken het aantal inwoners na 10 jaar.

Stap 1 — Zet het percentage om in een groeifactor
Het gaat om een toename van 3% per jaar, dus de groeifactor is 1 + 3/100 = 1,03.
$g = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03$
Stap 2 — Stel de formule op
De beginwaarde is 8000 inwoners (op het tijdstip nul). Met groeifactor 1,03 wordt de formule N = 8000 · 1,03^t, met t in jaren.
$N = 8000 \cdot 1{,}03^{t}$
Stap 3 — Reken door naar t = 10
Vul t = 10 in. De rekenmachine geeft 1,03^10 ≈ 1,3439, dus N ≈ 8000 · 1,3439 ≈ 10751. Reken samengesteld met de macht; tien keer 3% (samen 30%) zou hier een te lage uitkomst geven.
$N = 8000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 10751$

Resultaat: Na 10 jaar telt het dorp ongeveer 10 751 inwoners. Dat is ruim 34% meer dan de beginwaarde, terwijl tien keer 3% (30%) een duidelijke onderschatting zou zijn — het gevolg van groei-op-groei.

Veelgemaakte fouten

Bij een afname van p procent de groeifactor g = p/100 nemen in plaats van g = 1 − p/100; reken altijd uit hoeveel procent er ÓVERblijft, namelijk (100 − p).
Het jaarpercentage met het aantal jaren vermenigvuldigen (3% per jaar wordt 30% in 10 jaar) in plaats van samengesteld te rekenen met de macht g^t.
Bij het terugrekenen vergeten dat een groeifactor kleiner dan 1 een afname is, en het minteken in het percentage weglaten.

Actieve herhaling

De huur van een woning is € 800 per maand en stijgt elk jaar met 4%. Bepaal de groeifactor, stel een formule op voor de huur na t jaar en bereken de huur na 6 jaar. Geef ook in procenten aan hoeveel de huur in die 6 jaar in totaal is gestegen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Een groeifactor omrekenen naar een andere tijdseenheid#

Standardexamenblad-nl

Jaargroeifactor en maandgroeifactor

Afb. 3Elke maandgroeifactor is de jaargroeifactor tot de macht een twaalfde; samen vermenigvuldigd over twaalf maanden geven ze weer de jaarwaarde.

Een groeifactor hoort altijd bij een bepaalde tijdseenheid: „1,05 per jaar” is iets anders dan „1,05 per maand”. Soms is een groeifactor per jaar gegeven, maar wil je weten wat er per maand gebeurt, of juist andersom. Daarvoor reken je de groeifactor om met de regel

g_{\text{nieuw}} = g_{\text{oud}}^{\,t_{\text{nieuw}}/t_{\text{oud}}}

, waarbij je in de exponent zet hoeveel van de oude tijdseenheid er in één nieuwe tijdseenheid past. Eén maand is

\frac{1}{12}

jaar, dus de maandgroeifactor is de jaargroeifactor tot de macht

\frac{1}{12}

g_{\text{maand}} = g_{\text{jaar}}^{1/12}

. Omgekeerd, van maand naar jaar, neem je de twaalfde macht, want een jaar bestaat uit twaalf maanden.

De grote valkuil is om een jaargroeifactor van 1,05 zomaar door 12 te delen, of het jaarpercentage van 5% door 12 te delen. Dat mag niet, en de reden is groei-op-groei. Twaalf maanden groei moeten SAMEN één jaar groei opleveren, en omdat je elke maand met de maandgroeifactor vermenigvuldigt, moeten die twaalf factoren met elkaar vermenigvuldigd de jaargroeifactor geven: de maandgroeifactor tot de macht 12 is gelijk aan de jaargroeifactor. De maandgroeifactor is dus de getalswaarde die twaalf keer met zichzelf vermenigvuldigd 1,05 oplevert — en dat is de twaalfdemachtswortel, oftewel 1,05 tot de macht een twaalfde, niet 1,05 gedeeld door 12. Wie wél deelt, telt de groei als het ware op in plaats van te vermenigvuldigen, en komt verkeerd uit.

Je berekent zo'n omgerekende groeifactor met de machtsknop van de grafische rekenmachine: typ 1,05 tot de macht (1/12) en je krijgt ongeveer 1,00407. Reken de exponent altijd als breuk in — dus (1/12) — en rond hem niet eerst af tot 0,083, want kleine afrondingen in de exponent geven na verloop van tijd grote fouten. Een nuttige controle is de omgekeerde bewerking: verhef je maandgroeifactor tot de macht 12 en kijk of je weer ongeveer de jaargroeifactor terugkrijgt; hier geeft 1,00407 tot de macht 12 ongeveer 1,05, wat klopt. Zou je 1,05 door 12 hebben gedeeld, dan kreeg je 0,0875 — een onmogelijke groeifactor, kleiner dan 1 en dus zelfs een afname — waaraan je meteen ziet dat delen fout is.

Wil je het bijbehorende maandpercentage weten, dan reken je de omgerekende groeifactor terug naar een percentage met

p = (g - 1) \cdot 100

. Bij een maandgroeifactor van ongeveer 1,00407 geeft dat ongeveer

(1{,}00407 - 1) \cdot 100 \approx 0{,}41

, dus ongeveer 0,41% per maand. Merk op dat dit nét iets lager is dan 5% gedeeld door 12 (ongeveer 0,42%), precies omdat het samengestelde rekenen iets minder per maand vergt om in een jaar op 5% uit te komen. Dezelfde methode werkt voor elke omrekening: van jaar naar kwartaal neem je de macht

\frac{1}{4}

, van dag naar week de macht 7, van uur naar dag de macht 24. Steeds geldt dat in de exponent staat hoeveel oude eenheden er in één nieuwe eenheid passen, en dat je het percentage er pas op het eind weer uithaalt.

g_{\text{nieuw}} = g_{\text{oud}}^{\,t_{\text{nieuw}}/t_{\text{oud}}}

Omrekenen naar een andere tijdseenheid

In de exponent staat hoeveel oude tijdseenheden er in één nieuwe tijdseenheid passen.

g_{\text{maand}} = g_{\text{jaar}}^{1/12}

Van jaar naar maand

Eén maand is een twaalfde jaar, dus neem je de twaalfdemachtswortel van de jaargroeifactor.

g_{\text{maand}}^{12} = g_{\text{jaar}}

Controle (terug naar het jaar)

Twaalf maandgroeifactoren samen vermenigvuldigd geven de jaargroeifactor; zo controleer je je omrekening.

Uitgewerkt voorbeeld

Van jaarrente naar maandrente

Een spaarrekening levert 5% rente per jaar op. Bepaal de maandgroeifactor en het bijbehorende maandpercentage.

Stap 1 — Bepaal de jaargroeifactor
Een toename van 5% per jaar hoort bij een jaargroeifactor van 1 + 5/100 = 1,05.
$g_{\text{jaar}} = 1 + \frac{5}{100} = 1{,}05$
Stap 2 — Reken om naar één maand
Eén maand is een twaalfde jaar, dus neem je de macht 1/12: de maandgroeifactor is 1,05 tot de macht (1/12) ≈ 1,00407. Deel níét door 12 — door groei-op-groei moeten twaalf maandfactoren samen 1,05 opleveren, en 1,00407 tot de macht 12 is inderdaad ongeveer 1,05.
$g_{\text{maand}} = 1{,}05^{1/12} \approx 1{,}00407$
Stap 3 — Zet de maandgroeifactor om in een percentage
Met p = (g − 1) · 100 vind je (1,00407 − 1) · 100 ≈ 0,41. De rekening groeit dus met ongeveer 0,41% per maand — iets minder dan 5% gedeeld door 12 (ongeveer 0,42%), precies door het samengestelde effect.
$p = (1{,}00407 - 1) \cdot 100 \approx 0{,}41$

Resultaat: De maandgroeifactor is ongeveer 1,00407 en dat komt overeen met een toename van ongeveer 0,41% per maand. Ter controle: 1,00407 tot de macht 12 is ongeveer 1,05, precies de jaargroeifactor.

Veelgemaakte fouten

De groeifactor of het percentage door 12 delen om een maandwaarde te krijgen; door groei-op-groei moet je de macht 1/12 nemen, niet delen.
De exponent 1/12 eerst afronden tot 0,083 voordat je de macht uitrekent; reken 1/12 als breuk in, anders sluipen er afrondingsfouten in.
De macht verkeerd om gebruiken — tot de macht 12 in plaats van tot de macht 1/12 — bij het omrekenen van jaar naar maand.

Actieve herhaling

Een belegging groeit met 8% per jaar. Bepaal de maandgroeifactor en bereken met hoeveel procent de belegging per maand groeit. Controleer je antwoord door de maandgroeifactor tot de macht 12 te verheffen en te kijken of je weer op de jaargroeifactor uitkomt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Verdubbelingstijd, halveringstijd en groei vergelijken#

Standardexamenblad-nl

Halveringstijd bij exponentiële afname

Afb. 4De grootheid 800 · 0,85^t daalt; waar de kromme de lijn op 400 (de helft van 800) snijdt, ligt de halveringstijd van ongeveer 4,3 tijdseenheden.

Bij exponentiële groei is er een vaste tijd waarin de hoeveelheid telkens twee keer zo groot wordt: de verdubbelingstijd. Bij exponentiële afname is er net zo'n vaste tijd waarin telkens de helft overblijft: de halveringstijd. Het bijzondere is dat deze tijd niet afhangt van waar je begint — vanaf elk punt op de grafiek duurt het even lang om te verdubbelen of te halveren, omdat de groeifactor overal dezelfde is. Daarom kun je over „de” verdubbelingstijd of „de” halveringstijd van een verband spreken. Bij medicijnen in het bloed, radioactief verval of een spaarbedrag is deze ene tijd vaak het meest sprekende kengetal om de snelheid van de verandering te beschrijven.

Om de verdubbelingstijd te bepalen, zoek je de tijd waarvoor de hoeveelheid twee keer de beginwaarde is:

b \cdot g^{t} = 2b

. Deel je beide kanten door

b

, dan valt de beginwaarde weg en houd je

g^{t} = 2

over. Dat is mooi, want het betekent dat je de beginwaarde niet eens hoeft te kennen: de verdubbelingstijd hangt alleen van de groeifactor af. Voor de halveringstijd doe je hetzelfde met de helft:

b \cdot g^{t} = \tfrac{1}{2}b

geeft

g^{t} = 0{,}5

. Je lost dus telkens een vergelijking van de vorm

g^{t} = 2

g^{t} = 0{,}5

op, waarin alleen nog de groeifactor en de onbekende tijd voorkomen.

Zo'n vergelijking los je op met de grafische rekenmachine, want de tijd staat in de exponent en is niet zomaar „los te maken”. De handigste manier is met intersect: voer als eerste grafiek de groeifactor tot de macht X in en als tweede grafiek de waarde 2 (of 0,5), laat beide tekenen en bepaal het snijpunt; de X-waarde van het snijpunt is de gezochte tijd. Een alternatief is inklemmen: vul steeds grotere of kleinere waarden voor de tijd in tot je de 2 (of 0,5) van twee kanten dicht nadert. Voor een afname met groeifactor 0,85 geeft inklemmen bijvoorbeeld 0,85 tot de macht 4 ≈ 0,52 (nog te groot) en 0,85 tot de macht 5 ≈ 0,44 (al te klein), dus de halveringstijd ligt tussen 4 en 5; verfijn je verder, dan vind je ongeveer 4,3. Beide methoden geven dezelfde tijd; intersect is meestal sneller en nauwkeuriger.

Tot slot is het goed te beseffen hoe krachtig exponentiële groei is in vergelijking met lineaire groei. Een lineair verband groeit met een vaste hoeveelheid per stap; een exponentieel verband met een vast percentage, en dat percentage wordt elke stap over een grotere hoeveelheid berekend. In het begin kan een lineaire grafiek nog boven een exponentiële liggen — vooral als de exponentiële groei traag start — maar omdat de exponentiële kromme steeds steiler wordt, haalt ze de rechte lijn vroeg of laat altijd in en laat ze die daarna ver achter zich. In de tweede grafiek hieronder vertrekken beide vanuit dezelfde beginwaarde; de lineaire lijn ligt eerst hoger, maar de exponentiële kromme haalt haar in en schiet er daarna ruim overheen. Dit verklaart waarom „exponentieel” in het dagelijks spraakgebruik „heel snel” is gaan betekenen, en waarom je bij langetermijnvoorspellingen lineaire en exponentiële groei goed uit elkaar moet houden.

g^{t} = 2

Vergelijking voor de verdubbelingstijd

De beginwaarde valt weg; je zoekt de tijd waarvoor de hoeveelheid twee keer zo groot is.

g^{t} = 0{,}5

Vergelijking voor de halveringstijd

Hier zoek je de tijd waarvoor nog de helft over is; los op met de grafische rekenmachine.

Exponentiële groei haalt lineaire groei in

Afb. 5Vanuit dezelfde beginwaarde 100 ligt de lineaire lijn eerst hoger, maar de exponentiële kromme (groeifactor 1,3) wordt steeds steiler en haalt de lijn rond t = 6 in.

Uitgewerkt voorbeeld

De halveringstijd van een medicijn bepalen

Een medicijn heeft een beginconcentratie van 800 mg in het bloed. De concentratie daalt met 15% per uur. Bepaal de halveringstijd: na hoeveel uur is nog de helft van de beginconcentratie over?

Stap 1 — Bepaal de groeifactor
Een afname van 15% per uur hoort bij een groeifactor van 1 − 15/100 = 0,85; per uur blijft 85% over. De concentratie is dus C = 800 · 0,85^t, met de tijd t in uren.
$C = 800 \cdot 0{,}85^{t}$
Stap 2 — Stel de halveringsvergelijking op
De helft van 800 is 400. Je zoekt dus de tijd waarvoor 800 · 0,85^t = 400. Deel beide kanten door 800, dan valt de beginwaarde weg en houd je 0,85^t = 0,5 over — de halveringstijd hangt dus niet van de beginconcentratie af.
$0{,}85^{t} = 0{,}5$
Stap 3 — Los op met de grafische rekenmachine
Voer als eerste grafiek 0,85 tot de macht X in en als tweede grafiek 0,5, en bepaal het snijpunt. Inklemmen kan ook: 0,85 tot de macht 4 ≈ 0,52 (nog te groot) en 0,85 tot de macht 5 ≈ 0,44 (al te klein), dus de tijd ligt tussen 4 en 5. Verfijnen geeft ongeveer 4,3.
$t \approx 4{,}3$

Resultaat: De halveringstijd is ongeveer 4,3 uur: elke 4,3 uur halveert de concentratie, ongeacht het beginniveau. Na ongeveer 4,3 uur is dus nog 400 mg over, na nog eens 4,3 uur 200 mg, enzovoort.

Veelgemaakte fouten

Denken dat je de beginwaarde nodig hebt voor de verdubbelings- of halveringstijd; bij g^t = 2 of g^t = 0,5 valt de beginwaarde juist weg.
De tijd uit g^t = 2 willen halen door te delen (zoals „door 2”) in plaats van de vergelijking met de rekenmachine op te lossen; de tijd staat in de exponent en haal je eruit met intersect of inklemmen.
Concluderen dat lineaire groei een exponentiële blijvend voorblijft omdat ze in het begin hoger ligt; op den duur haalt exponentiële groei elke lineaire groei in.

Actieve herhaling

Een belegging van € 5000 groeit met 6% per jaar. Bepaal met de grafische rekenmachine in hoeveel jaar de belegging is verdubbeld. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig en leg uit waarom de beginwaarde van € 5000 voor deze vraag niet uitmaakt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Exponentiële verbanden, groeifactor en groeipercentage

Kernpunten

Beginwaarde en groeifactor uit een tabel

Kernpunten

Bevolkingsgroei doorrekenen

Kernpunten

Van jaarrente naar maandrente

Kernpunten

De halveringstijd van een medicijn bepalen

Bronnen

Exponentiële verbanden, groeifactor en groeipercentage

Kernpunten

Beginwaarde en groeifactor uit een tabel

Kernpunten

Bevolkingsgroei doorrekenen

Kernpunten

Van jaarrente naar maandrente

Kernpunten

De halveringstijd van een medicijn bepalen

Bronnen