Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Statistische uitspraken doen: betrouwbaarheid en steekproef

Een onderzoeker kan zelden de hele populatie meten, dus trekt hij een aselecte steekproef en doet op grond daarvan een uitspraak over het geheel. In dit onderwerp leer je waarom een steekproef representatief en aselect moet zijn, hoe steekproefproporties door toeval rond de populatieproportie variëren, en hoe je met de HAVO-vuistregel voor de foutmarge (ongeveer 1 gedeeld door de wortel van de steekproefgrootte) een 95%-betrouwbaarheidsinterval opstelt en eerlijk interpreteert. Het hoort tot domein E (Statistiek en kansrekening) en is centraal-examenstof; de foutmarge 1/√n gebruik je daarbij als vuistregel, niet als exacte formule.

4Onderdelenca. 26min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3

T·131313 / 14

Examenprofiel

Het verschil tussen populatie en steekproef benoemen en beoordelen of een steekproef representatief en aselect is.De steekproefproportie berekenen en de toevalsvariatie ervan beredeneren: een grotere steekproef geeft minder spreiding (volgens 1/√n).Met de HAVO-vuistregel de foutmarge (ongeveer 1/√n) en het 95%-betrouwbaarheidsinterval van een proportie bepalen en interpreteren.Uit een betrouwbaarheidsinterval een voorzichtige conclusie trekken en betrouwbaarheid onderscheiden van zekerheid.

Operatoren:berekenberedeneerbeoordeelinterpreteerschat

basisniveau

Voor het CE: bereken met de vuistregel 1/√n de foutmarge en het 95%-betrouwbaarheidsinterval van een steekproefproportie, en trek er een voorzichtige conclusie uit.

verhoogd niveau

Verdieping/SE: beredeneer waarom de foutmarge met 1/√n daalt en hoe steekproefgrootte, betrouwbaarheid en nauwkeurigheid elkaar uitruilen, en beoordeel de representativiteit van een bron systematisch.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Statistische uitspraken doen: betrouwbaarheid en steekproef

Populatie, steekproef en representativiteit#

Basisexamenblad-nl

Van populatie naar uitspraak

Afb. 1De kern van statistische uitspraken: trek aselect een steekproef uit de populatie en generaliseer de uitkomst voorzichtig terug naar het geheel.

In de statistiek wil je vaak iets weten over een grote groep — alle HAVO-leerlingen van Nederland, alle kiezers, alle pakjes hagelslag van een fabriek. Die hele groep waarover je een uitspraak wilt doen, heet de populatie. Meestal is het onmogelijk, te duur of te traag om elk lid van de populatie te onderzoeken; daarom bekijk je een kleinere selectie eruit, de steekproef, en gebruik je wat je in die steekproef ziet om een uitspraak over de hele populatie te doen. Het hele onderwerp van statistische uitspraken draait om die ene sprong: van een gemeten steekproef naar een conclusie over de ongemeten populatie. In het schema hieronder staat die denklijn — populatie, steekproef, conclusie — die in elke paragraaf terugkomt.

Die sprong is alleen verantwoord als de steekproef een eerlijke afspiegeling van de populatie is: dat noemen we representatief. Een representatieve steekproef lijkt in alle relevante opzichten op het geheel — dezelfde verhouding mannen en vrouwen, dezelfde spreiding in leeftijd of opleiding — zodat wat je in de steekproef meet, ook voor de populatie geldt. Onderzoek je het beweeggedrag van Nederlanders door alleen mensen bij de uitgang van een sportschool te ondervragen, dan is je steekproef niet representatief: sporters bewegen nu eenmaal meer dan gemiddeld, en je conclusie wordt te rooskleurig. De kernvraag bij elke steekproef is dus: lijkt deze groep genoeg op de populatie om de uitkomst te mogen generaliseren? Zo niet, dan is geen enkele berekening achteraf nog te vertrouwen.

De betrouwbaarste manier om een representatieve steekproef te krijgen, is aselect (willekeurig) trekken: elk lid van de populatie heeft daarbij een even grote kans om in de steekproef terecht te komen. Juist die gelijke kans voorkomt dat een bepaalde groep stelselmatig over- of ondervertegenwoordigd raakt. Trek je niet aselect — bijvoorbeeld door alleen je eigen vrienden te vragen, of door mensen zich vrijwillig te laten aanmelden (zelfselectie) — dan sluipt er een voorkeur in die je vooraf niet ziet. Aselect trekken is geen garantie dat één bepaalde steekproef perfect representatief is, maar het zorgt er wél voor dat er geen systematische scheefheid in de manier van trekken zit, en dat is de voorwaarde om eerlijk te kunnen generaliseren.

Naast de manier van trekken telt de omvang van de steekproef: het aantal onderzochte leden, dat we de steekproefgrootte noemen en met de letter n aanduiden. Een grotere n geeft een nauwkeuriger beeld van de populatie, want toevallige uitschieters middelen beter uit en de uitspraak die je doet wordt steviger (in de volgende paragrafen zie je dat de foutmarge met 1/√n krimpt). Toch lost een grote n het probleem van een scheve steekproef niet op: tienduizend sporters ondervragen blijft een vertekend beeld van álle Nederlanders. Eerst moet de steekproef aselect en representatief zijn; pás dan maakt een grotere n hem ook nauwkeuriger. Omvang en eerlijkheid zijn dus twee verschillende eisen, die je allebei moet bewaken.

Een steekproef kan op allerlei manieren vertekend (biased) raken, en het examen vraagt je die vertekening te herkennen. Selectievertekening ontstaat als de manier van werven al een groep uitsluit — een online enquête mist wie geen internet heeft, overdag bellen mist wie dan werkt. Zelfselectie treedt op als mensen zelf beslissen mee te doen, want wie een sterke mening heeft, reageert eerder. Daarnaast kan de vraagstelling sturen (een suggestieve vraag lokt een bepaald antwoord uit) en kan een te kleine steekproef toevallig scheef uitvallen. Bij het beoordelen van een onderzoek loop je daarom telkens dezelfde punten na: wie vormt de populatie, hoe is de steekproef getrokken, hoe groot is hij, en wie zou er stelselmatig buiten kunnen vallen? Pás als de bron deze toets doorstaat, hebben de cijfers die erop volgen betekenis.

Uitgewerkt voorbeeld

Beoordelen of een steekproef representatief en aselect is

Een supermarktketen wil weten hoe tevreden al haar klanten zijn. Ze legt op één drukke zaterdagmiddag in één vestiging aan iedereen die naar buiten loopt een tevredenheidsvraag voor en ondervraagt zo 200 klanten. Beoordeel of deze steekproef representatief en aselect is en leg uit hoe het beter kan.

Stap 1 — Bepaal populatie en steekproef
De populatie is álle klanten van de hele keten; de steekproef bestaat uit de 200 ondervraagde klanten in één vestiging op één zaterdagmiddag.
Stap 2 — Beoordeel de representativiteit
Eén vestiging en één moment vertegenwoordigen de keten niet: zaterdagmiddagklanten (gezinnen, weekendboodschappen) verschillen van doordeweekse of avondklanten, en de ene vestiging van de andere. Bepaalde klantgroepen vallen stelselmatig buiten de steekproef, dus de steekproef is niet representatief.
Stap 3 — Beoordeel of er aselect getrokken is
Er is niet aselect getrokken: niet elke klant van de keten had een even grote kans om gevraagd te worden — wie nooit op zaterdag of nooit in déze vestiging komt, had kans nul. De keuze van plaats en tijd bepaalt zo de uitkomst.
Stap 4 — Geef een betere opzet
Trek aselect uit alle klanten van alle vestigingen, gespreid over verschillende dagen en tijdstippen — bijvoorbeeld via een willekeurige greep uit het klantenbestand of uit bonnummers. Zo krijgt iedere klant een gelijke kans en wordt de steekproef representatief.

Resultaat: De steekproef is niet representatief en niet aselect: één vestiging op één zaterdagmiddag sluit hele klantgroepen uit, zodat niet elke klant een gelijke kans had. Een eerlijke uitspraak vereist een aselecte greep uit alle klanten van alle vestigingen, gespreid over dagen en tijden.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een héél grote steekproef vanzelf representatief is; omvang verhelpt geen scheefheid — tienduizend sporters blijven een vertekend beeld van alle Nederlanders.
Een steekproef van vrijwilligers (zelfselectie) zonder meer als aselect beschouwen, terwijl juist mensen met een uitgesproken mening zich aanmelden.
De populatie en de steekproef door elkaar halen: de populatie is de hele groep waarover je een uitspraak doet, de steekproef is de onderzochte selectie eruit.

Actieve herhaling

Een schoolkrant wil weten welk percentage van alle leerlingen vóór een latere starttijd is en zet een poll op de website die leerlingen vrijwillig invullen; 380 leerlingen reageren, 70% is vóór. Beoordeel of deze steekproef representatief en aselect is, benoem ten minste één bron van vertekening en leg uit hoe de school de steekproef eerlijker kan trekken.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De steekproefproportie en haar toevalsvariatie#

Standardexamenblad-nl

Verdeling van steekproefproporties

Afb. 2Veel aselecte steekproeven geven steekproefproporties die klokvormig en symmetrisch rond de populatieproportie (hier 40%) liggen; uitkomsten ver van het midden zijn zeldzaam.

Vaak gaat een uitspraak over een fractie: het deel van de populatie met een bepaald kenmerk — het percentage kiezers vóór een partij, of het deel van de pakjes met te weinig inhoud. Dat onbekende deel in de populatie heet de populatieproportie. In je steekproef tel je hoeveel van de n onderzochte leden het kenmerk hebben en je deelt door n; die uitkomst is de steekproefproportie, vaak genoteerd als p-dakje. Vind je in een steekproef van 200 kiezers er 90 vóór, dan is de steekproefproportie 90/200 = 0,45, oftewel 45%. De steekproefproportie is je beste schatting van de onbekende populatieproportie — maar, en dat is de kern van deze paragraaf, het is een schatting die per steekproef verschilt.

Trek je twee keer aselect een steekproef uit dezelfde populatie, dan vind je vrijwel nooit precies dezelfde proportie. De ene keer zitten er toevallig wat meer voorstanders in je greep, de andere keer wat minder; de steekproefproportie springt daardoor van steekproef tot steekproef een beetje heen en weer rond de echte populatieproportie. Dat heet toevalsvariatie (of steekproeffluctuatie), en het is geen meetfout maar een onvermijdelijk gevolg van het feit dat je maar een deel van de populatie bekijkt. Het belangrijke inzicht is dat de steekproefproportie zélf een toevalsgrootheid is. Daarom kun je nooit zeggen „de proportie is precies 0,45”; je kunt alleen zeggen hoe dicht je schatting waarschijnlijk bij de waarheid ligt — en daarvoor heb je de spreiding van die variatie nodig.

De grootte van die toevalsvariatie hangt af van de steekproefgrootte n. Bij een kleine steekproef kan één toevallige uitschieter de proportie flink verschuiven, dus springen de uitkomsten ver uiteen; bij een grote steekproef middelen de toevalligheden veel beter uit en liggen de steekproefproporties dicht op elkaar rond de populatieproportie. De spreiding van de steekproefproportie neemt dus af naarmate n groeit — en wel volgens dezelfde wortelregel die je in de volgende paragraaf voor de foutmarge terugziet: de spreiding is omgekeerd evenredig met de wortel van n. Dat heeft een praktisch gevolg dat veel mensen verrast: om de spreiding te hálveren moet je de steekproef niet twee keer maar vier keer zo groot maken, want pas een factor 2 in de noemer (de wortel van 4) halveert de spreiding.

Zou je heel veel aselecte steekproeven van dezelfde grootte trekken en alle steekproefproporties in een histogram zetten, dan ontstaat een herkenbare vorm: een klokvormige, bij benadering normale verdeling die symmetrisch rond de populatieproportie ligt. Het histogram hieronder schetst dat beeld — de meeste steekproeven geven een proportie dicht bij de werkelijke waarde (hier 40%), en hoe verder van het midden, hoe zeldzamer. Twee dingen zijn essentieel: het midden van die verdeling is de populatieproportie (de steekproefproportie is dus zuiver, ze schiet gemiddeld niet te hoog of te laag), en de breedte ervan is de spreiding, die met een grotere n kleiner wordt. Dat de verdeling klokvormig en normaal is, is precies wat het straks mogelijk maakt om met de bekende 95%-vuistregel een betrouwbaarheidsinterval te bouwen.

Zet deze inzichten op een rij, want ze dragen de rest van het onderwerp. Eén steekproef levert één steekproefproportie, en die is door toevalsvariatie zelden exact gelijk aan de populatieproportie. Over veel steekproeven heen liggen die proporties klokvormig en symmetrisch rond de echte waarde, met een spreiding die als 1/√n afneemt. Daarom is een steekproefproportie nooit een hard feit, maar een schatting met een onzekerheid die je kunt becijferen. Precies die onzekerheid vertaal je in de volgende paragraaf naar een foutmarge en een betrouwbaarheidsinterval, zodat je niet alleen een getal noemt maar er eerlijk bij vertelt hoe nauwkeurig dat getal is.

\hat{p} = \frac{\text{aantal met kenmerk}}{n}

steekproefproportie

Tel hoeveel van de n onderzochte leden het kenmerk hebben en deel door n. Met 90 voorstanders op 200 ondervraagden is de steekproefproportie 90/200 = 0,45.

\text{spreiding} \propto \frac{1}{\sqrt{n}}

spreiding van de steekproefproportie

De spreiding van de steekproefproportie is omgekeerd evenredig met de wortel van de steekproefgrootte. Vier keer zo'n grote steekproef (de wortel van 4 is 2) halveert daarom de spreiding.

Uitgewerkt voorbeeld

Beredeneren hoe de spreiding met de steekproefgrootte verandert

Een poll met een steekproef van n = 100 kiezers geeft, telkens als hij herhaald wordt, nogal verschillende uitkomsten. Beredeneer wat er met de spreiding van de steekproefproportie gebeurt als de steekproef wordt vergroot naar n = 400, en daarna naar n = 900.

Stap 1 — Benoem waar de spreiding van afhangt
De spreiding van de steekproefproportie is omgekeerd evenredig met de wortel van n: een grotere n geeft een kleinere spreiding. Niet n zelf, maar de wortel van n staat in de noemer.
Stap 2 — Van n = 100 naar n = 400
De steekproef wordt vier keer zo groot. In de noemer komt de wortel van 400 (= 20) in plaats van de wortel van 100 (= 10), dus de spreiding wordt 10/20 = de helft. Vier keer zoveel waarnemingen halveert de spreiding.
$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{400}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
Stap 3 — Van n = 100 naar n = 900
Nu wordt de steekproef negen keer zo groot. De wortel van 900 is 30 tegen de wortel van 100 (= 10), dus de spreiding wordt 10/30 = een derde van de oorspronkelijke.
$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{900}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$
Stap 4 — Trek de conclusie
De spreiding daalt dus, maar steeds langzamer: voor halveren is vier keer zoveel data nodig, voor een derde negen keer. Elke extra stap nauwkeurigheid kost onevenredig veel meer waarnemingen.

Resultaat: Vergroten van n verkleint de spreiding volgens de wortelregel: van 100 naar 400 (×4) halveert de spreiding, van 100 naar 900 (×9) wordt ze een derde. De winst neemt af — grotere nauwkeurigheid vraagt steeds meer extra waarnemingen.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een grotere steekproef de spreiding evenredig verkleint: van n naar 2n halveert de spreiding niét, want alleen de wortel van 2 (ongeveer 1,4) komt in de noemer; pas vier keer zoveel data halveert de spreiding.
De steekproefproportie als een vast, exact kenmerk van de populatie opvatten in plaats van als een toevalsgrootheid die per steekproef rond de populatieproportie varieert.

Actieve herhaling

Een poll trekt aselect 100 kiezers en herhaalt dat een aantal keren; de gevonden steekproefproporties verschillen telkens. Beredeneer wat er met de spreiding van de steekproefproportie gebeurt als de steekproef wordt vergroot naar 400 en daarna naar 900 kiezers, en leg uit waarom de winst aan nauwkeurigheid steeds kleiner wordt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval en de foutmarge#

Standardexamenblad-nl

95%-betrouwbaarheidsinterval rond de steekproefproportie

Afb. 3De steekproefproportie (40%) ligt in het midden; de foutmarge van 5 procentpunt maakt het 95%-interval van 35% tot 45%.

Omdat een steekproefproportie door toevalsvariatie zelden precies gelijk is aan de populatieproportie, is het oneerlijk om alleen dat ene getal te melden. Eerlijker is een heel interval rond de schatting, waarvan je met grote waarschijnlijkheid kunt zeggen dat de echte populatieproportie erin ligt. Zo'n interval heet een betrouwbaarheidsinterval, en in wiskunde A werk je vrijwel altijd met het 95%-betrouwbaarheidsinterval. De „95%” is het betrouwbaarheidsniveau: bij deze methode bevat het interval in ongeveer 95 van de 100 aselecte steekproeven de werkelijke populatieproportie. Je ruilt dus schijnzekerheid (één precies getal) in voor een eerlijk interval waarin de waarheid vrijwel zeker ligt.

De halve breedte van dat interval heet de foutmarge: het getal dat je zowel links als rechts van de steekproefproportie legt. Voor het 95%-interval van een proportie gebruikt HAVO wiskunde A een handige vuistregel: de foutmarge is ongeveer gelijk aan 1 gedeeld door de wortel van de steekproefgrootte, dus ongeveer 1/√n. Let op het woord vuistregel — dit is een afronding, geen exacte formule. De preçieze foutmarge hangt ook van de proportie zelf af en is meestal iets kleiner; de waarde 1/√n is de veilige bovengrens (ze hoort bij de ongunstigste proportie van 0,50, waar de marge het grootst is). Voor het examen reken je met 1/√n, maar je moet weten dat het een benadering is die de onzekerheid eerder iets over- dan onderschat.

Met de foutmarge bouw je het interval in één stap: neem de steekproefproportie, trek de foutmarge eraf voor de ondergrens en tel hem erbij op voor de bovengrens. In woorden is het 95%-interval dus de steekproefproportie plus en min de foutmarge 1/√n. Vind je in een steekproef van 400 mensen een proportie van 0,40 met een foutmarge van 1/√400 = 0,05, dan loopt het interval van 0,40 − 0,05 = 0,35 tot 0,40 + 0,05 = 0,45 — oftewel van 35% tot 45%. Op de getallenlijn hieronder zie je de steekproefproportie als punt in het midden en het interval als het stuk eromheen. De steekproefproportie ligt altijd precies in het midden van haar eigen betrouwbaarheidsinterval, en het interval is twee keer de foutmarge breed.

Een betrouwbaarheidsinterval lees je voorzichtig. Bij het interval van 35% tot 45% mag je zeggen: „we zijn er 95% zeker van dat de werkelijke populatieproportie tussen 35% en 45% ligt”. Wat je niét mag zeggen, is dat de proportie met 95% kans precies 40% is, of dat 95% van de mensen tussen 35% en 45% scoort — het interval gaat over één onbekend populatiegetal, niet over individuen, en de 95% slaat op de betrouwbaarheid van de methode. De breedte van het interval (hier 10 procentpunt) vertelt je bovendien hoe nauwkeurig de schatting is: een breed interval betekent veel onzekerheid, een smal interval weinig. Daarom hoort bij een eerlijke uitspraak altijd niet alleen het getal, maar ook het interval eromheen.

Het betrouwbaarheidsinterval is het werkpaard van statistische uitspraken: telkens als een onderzoek een percentage uit een steekproef meldt, hoort daar in feite een interval omheen. De vorige paragraaf verklaart waarom de vuistregel werkt: omdat de steekproefproporties klokvormig en normaal rond de populatieproportie liggen, vangt een marge van 1/√n aan weerszijden ongeveer de middelste 95% van die verdeling op. En omdat n via de wortel in de marge zit, kun je de marge sturen met de steekproefgrootte — wil je een smaller, nauwkeuriger interval, dan heb je een grotere n nodig. Hoeveel groter precies, en waarom dat steeds duurder wordt, werk je uit in de laatste paragraaf, waar je ook de meest gemaakte interpretatiefouten leert vermijden.

m \approx \frac{1}{\sqrt{n}}

foutmarge — HAVO-vuistregel (95%)

Vuistregel voor de foutmarge van het 95%-betrouwbaarheidsinterval van een proportie: ongeveer 1 gedeeld door de wortel van de steekproefgrootte. Het is een veilige benadering (de bovengrens bij proportie 0,50), geen exacte formule.

\hat{p} \pm \frac{1}{\sqrt{n}}

95%-betrouwbaarheidsinterval

Neem de steekproefproportie en leg er aan beide kanten de foutmarge omheen: de ondergrens is p-dakje min de marge, de bovengrens p-dakje plus de marge.

Uitgewerkt voorbeeld

De foutmarge en het 95%-interval berekenen

In een aselecte steekproef van n = 400 kiezers blijkt 40% (een proportie van 0,40) vóór een voorstel te zijn. Bereken met de vuistregel de foutmarge en stel het 95%-betrouwbaarheidsinterval op. Interpreteer daarna wat het interval betekent.

Stap 1 — Bepaal de steekproefproportie
Van de 400 ondervraagden is 40% vóór, dus de steekproefproportie is 0,40. Dat getal vormt het midden van het interval.
Stap 2 — Bereken de foutmarge met de vuistregel
Gebruik m ≈ 1/√n met n = 400. De wortel van 400 is 20, dus de foutmarge is 1/20 = 0,05, oftewel 5 procentpunt.
$m \approx \frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05$
Stap 3 — Stel het interval op
Leg de foutmarge aan beide kanten van de proportie: 0,40 − 0,05 = 0,35 als ondergrens en 0,40 + 0,05 = 0,45 als bovengrens. Het 95%-interval loopt dus van 0,35 tot 0,45.
$0{,}35 \le p \le 0{,}45$
Stap 4 — Interpreteer het interval
Conclusie: we zijn er 95% zeker van dat de werkelijke populatieproportie tussen 35% en 45% ligt. We mogen niet zeggen dat precies 40% vóór is; de schatting heeft een marge van 5 procentpunt naar beide kanten.

Resultaat: De foutmarge is 1/√400 = 0,05 (5 procentpunt), dus het 95%-betrouwbaarheidsinterval loopt van 0,35 tot 0,45. We zijn er 95% zeker van dat de populatieproportie tussen 35% en 45% ligt — niet dat die precies 40% is.

Veelgemaakte fouten

De foutmarge maar aan één kant gebruiken; de marge komt zowel van de proportie áf (ondergrens) als erbíj (bovengrens), zodat het interval twee keer de foutmarge breed is.
1/√n als een exacte formule presenteren; het is de HAVO-vuistregel voor het 95%-interval (de veilige bovengrens bij proportie 0,50), geen precieze waarde.
Vergeten n te wortelen: de foutmarge is 1/√n, niet 1/n — bij n = 400 is de marge 1/20 = 0,05, niet 1/400.

Actieve herhaling

In een aselecte steekproef van 100 leerlingen geeft 60% aan genoeg te slapen; de steekproef schat de populatieproportie dus op 0,60. Bereken met de vuistregel de foutmarge en het 95%-betrouwbaarheidsinterval, en interpreteer de uitkomst in één zin. Leg ook uit waarom dit interval breder is dan dat van een steekproef van 400 leerlingen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Conclusies trekken en interpretatievalkuilen#

Standardexamenblad-nl

Foutmarge tegen steekproefgrootte

Afb. 4De foutmarge 1/√n daalt steil voor kleine n en vlakt daarna af. Van n = 100 (marge 0,10) naar n = 400 (marge 0,05) halveert de marge — vier keer zoveel waarnemingen.

Een betrouwbaarheidsinterval is pas nuttig als je er een conclusie uit trekt, en dat doe je door te kijken wélke waarden er wel en niet in vallen. Stel dat een partij 50% nodig heeft voor een meerderheid en je 95%-interval loopt van 52% tot 58%; dan ligt de drempel van 50% volledig buiten (onder) het interval, en mag je met 95% betrouwbaarheid concluderen dat de partij een meerderheid heeft. Loopt het interval daarentegen van 47% tot 53%, dan zit 50% er middenin: de data sluiten een meerderheid niet uit, maar bewijzen hem ook niet — je conclusie moet dan luiden dat het te dichtbij is om uitsluitsel te geven. Een interval beoordeel je dus niet op het middelpunt alleen, maar op de vraag of een betekenisvolle grenswaarde er binnen of buiten valt.

Betrouwbaarheid is nadrukkelijk geen zekerheid. Een 95%-betrouwbaarheidsinterval laat bewust 5% ruimte: in ongeveer 1 op de 20 aselecte steekproeven valt de echte populatieproportie búíten het berekende interval, zonder dat er iets fout is gegaan — dat is gewoon de prijs van werken met een steekproef in plaats van de hele populatie. „95% zeker” betekent daarom „zeer waarschijnlijk, maar niet gegarandeerd”. Wie meer zekerheid wil, kan een hoger betrouwbaarheidsniveau kiezen (bijvoorbeeld 99%), maar dat maakt het interval breder en dus minder scherp; of een grotere steekproef nemen, wat het interval juist smaller maakt. Volledige zekerheid — een interval dat de waarheid met 100% garandeert — zou de hele populatie vergen en bestaat bij een steekproef niet.

De foutmarge stuur je met de steekproefgrootte, maar door de wortel in 1/√n levert elke extra waarneming steeds minder op. De grafiek hieronder laat de foutmarge zien als functie van n: hij daalt snel zolang n klein is, maar vlakt daarna sterk af. Om de marge te hálveren moet je n niet verdubbelen maar verviervoudigen, want de wortel van 4 (= 2) in de noemer halveert de marge; van een marge van 0,05 naar 0,025 betekent dus een sprong van n = 400 naar n = 1600. De tabel hieronder maakt dat concreet: van 100 naar 400 waarnemingen (300 erbij) halveert de marge van 0,10 naar 0,05, maar de volgende halvering naar 0,025 kost er 1200 extra. Meer nauwkeurigheid is mogelijk, maar wordt per stap onevenredig duurder — een belangrijk inzicht bij het opzetten van onderzoek.

Rond betrouwbaarheidsintervallen leven hardnekkige misverstanden die het examen graag toetst. Ten eerste: de „95%” slaat op de betrouwbaarheid van de methode over veel steekproeven, niet op een kans dat de populatieproportie ‘rondspringt’ — die proportie is een vast, onbekend getal. Ten tweede gaat het interval over die populatieproportie, niet over individuen; uit „35% tot 45% is vóór” volgt niets over de score van één persoon. Ten derde verwarren mensen breedte met betrouwbaarheid: een smal interval is nauwkeuriger, maar niet automatisch betrouwbaarder — de betrouwbaarheid is het gekozen niveau (95%), de nauwkeurigheid is de breedte. En ten vierde mag je een steekproefuitspraak nooit zekerder maken dan ze is: een verschil dat binnen de foutmarges van twee intervallen valt, is geen aangetoond verschil.

Hiermee sluit het onderwerp zich. Je begon bij de populatie en de aselecte, representatieve steekproef; zag dat de steekproefproportie door toevalsvariatie rond de populatieproportie schommelt en klokvormig verdeeld is; vertaalde die onzekerheid met de vuistregel 1/√n naar een foutmarge en een 95%-betrouwbaarheidsinterval; en leert nu daaruit voorzichtig te concluderen. De rode draad is eerlijkheid met data: noem niet één schijnzeker getal maar een interval, vertel erbij hoe betrouwbaar en hoe nauwkeurig het is, en beweer nooit meer dan de steekproef draagt. Wie zo met statistische uitspraken omgaat, beantwoordt precies wat het centraal examen wiskunde A bij dit domein vraagt — en doorziet bovendien de stelligheid waarmee in het nieuws vaak over cijfers wordt bericht.

m \approx \frac{1}{\sqrt{n}}

foutmarge daalt met n

De foutmarge is omgekeerd evenredig met de wortel van n: hoe groter de steekproef, hoe kleiner de marge — maar door de wortel steeds langzamer.

\frac{1}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}} = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}

viervoudige n halveert de marge

Vervang n door 4n: omdat de wortel van 4n gelijk is aan 2 keer de wortel van n, wordt de foutmarge precies de helft. Een halvering van de marge vraagt dus vier keer zoveel waarnemingen.

Foutmarge bij toenemende steekproefgrootte

Afb. 5Elke halvering van de marge vergt ongeveer een verviervoudiging van n: 100 naar 400 halveert naar 0,05, pas 1600 halveert opnieuw naar 0,025.

Uitgewerkt voorbeeld

Beredeneren hoeveel groter de steekproef moet om de foutmarge te halveren

Een onderzoek met n = 100 heeft een foutmarge van 1/√100 = 0,10. De opdrachtgever wil de foutmarge halveren tot 0,05. Bereken welke steekproefgrootte daarvoor nodig is, en beredeneer waarom dat geen verdubbeling maar een verviervoudiging van n vergt.

Stap 1 — Bereken de huidige foutmarge
Bij n = 100 is de wortel 10, dus de foutmarge is 1/10 = 0,10.
$m \approx \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}10$
Stap 2 — Zoek de n bij de gewenste foutmarge
De gewenste marge is 0,05 = 1/20. Omdat de marge 1/√n is, moet de wortel van n gelijk zijn aan 20, dus n = 20 in het kwadraat = 400.
$\frac{1}{\sqrt{n}} = 0{,}05 \Rightarrow \sqrt{n} = 20 \Rightarrow n = 400$
Stap 3 — Beredeneer de factor 4
Van n = 100 naar n = 400 is een verviervoudiging, niet een verdubbeling. Dat klopt met de wortelregel: de marge bevat de wortel van n, en pas de wortel van 4 (= 2) in de noemer halveert de marge. Verdubbelen naar n = 200 zou de marge slechts delen door de wortel van 2 (ongeveer 1,4).
$\frac{400}{100} = 4$
Stap 4 — Trek de algemene conclusie
Elke halvering van de foutmarge kost dus vier keer zoveel waarnemingen. Wil je daarna van 0,05 naar 0,025, dan moet n opnieuw vier keer zo groot, van 400 naar 1600.

Resultaat: Om de foutmarge van 0,10 naar 0,05 te halveren is n = 400 nodig, vier keer zoveel als de oorspronkelijke 100. Door de wortel in 1/√n halveert pas een viervoudige steekproef de marge; nauwkeuriger meten wordt daardoor per stap onevenredig duurder.

Veelgemaakte fouten

Betrouwbaarheid met zekerheid verwarren: een 95%-interval kan in ongeveer 1 op de 20 steekproeven de populatieproportie missen — „95% zeker” is niet „gegarandeerd”.
Denken dat de foutmarge evenredig met n daalt: om de marge te halveren moet n niet twee keer maar vier keer zo groot, want de marge bevat de wortel van n.
Het interval op individuen betrekken: „35% tot 45% is vóór” gaat over de populatieproportie, niet over de score of de kans van één enkele persoon.

Actieve herhaling

Een peiling onder 400 kiezers geeft een partij 53%, met de vuistregel-foutmarge van 1/√400 = 0,05, dus een 95%-interval van 48% tot 58%. Beoordeel of de partij op grond hiervan zeker een meerderheid (meer dan 50%) heeft, en beredeneer hoe groot de steekproef ongeveer moet zijn om de foutmarge tot 0,025 terug te brengen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Statistische uitspraken doen: betrouwbaarheid en steekproef

Kernpunten

Beoordelen of een steekproef representatief en aselect is

Kernpunten

Beredeneren hoe de spreiding met de steekproefgrootte verandert

Kernpunten

De foutmarge en het 95%-interval berekenen

Kernpunten

Beredeneren hoeveel groter de steekproef moet om de foutmarge te halveren

Bronnen

Statistische uitspraken doen: betrouwbaarheid en steekproef

Kernpunten

Beoordelen of een steekproef representatief en aselect is

Kernpunten

Beredeneren hoe de spreiding met de steekproefgrootte verandert

Kernpunten

De foutmarge en het 95%-interval berekenen

Kernpunten

Beredeneren hoeveel groter de steekproef moet om de foutmarge te halveren

Bronnen