Statistiek met ICT (schoolexamen)

De cijfers van 8 leerlingen op een toets zijn: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9. Bepaal met je grafische rekenmachine of spreadsheet het gemiddelde en de standaardafwijking $\sigma$, en geef de vijfgetallensamenvatting. Controleer je antwoord.

1. 01Stap 1 — Data invoeren

   Typ de acht cijfers in één lijst van de grafische rekenmachine (bijvoorbeeld in L1) of in één kolom van een spreadsheet. Controleer dat je precies 8 getallen hebt ingevoerd en niets dubbel of verkeerd staat.

2. 02Stap 2 — De statistiekfunctie uitvoeren

   Kies de functie voor 1-variabele-statistiek (vaak „1-Var Stats”) en wijs de lijst aan. In een spreadsheet gebruik je een gemiddelde-functie voor $\overline{x}$ en de functie voor de populatie-standaardafwijking voor $\sigma$.

3. 03Stap 3 — Kengetallen aflezen

   De rekenmachine toont $\overline{x} = 6{,}5$, de populatie-standaardafwijking $\sigma_x = 1{,}5$ (gebruik níét $S_x \approx 1{,}6$) en $n = 8$. De vijfgetallensamenvatting is: minimum 4, Q1 = 5,5, mediaan 6,5, Q3 = 7,5, maximum 9.

   $$\overline{x} = \frac{4+5+6+6+7+7+8+9}{8} = \frac{52}{8} = 6{,}5$$
4. 04Stap 4 — Controleren

   Reken een ruwe controle: het gemiddelde 6,5 ligt netjes tussen 4 en 9, dus dat is plausibel. De som van de gekwadrateerde afwijkingen tot het gemiddelde is 18, dus de standaardafwijking is de wortel van 18 gedeeld door 8. Dat geeft 1,5, gelijk aan wat de rekenmachine toont.

   $$\sigma = \sqrt{\frac{18}{8}} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$$

Resultaat: Het gemiddelde is $\overline{x} = 6{,}5$ en de standaardafwijking is $\sigma = 1{,}5$. De vijfgetallensamenvatting is 4 — 5,5 — 6,5 — 7,5 — 9. De handcontrole (som 52 gedeeld door 8 is 6,5; wortel van 2,25 is 1,5) bevestigt de uitkomst van de ICT.

Van 40 leerlingen is de reistijd naar school (in minuten) geturfd in klassen van 10 minuten breed: [0,10): 4, [10,20): 9, [20,30): 12, [30,40): 8, [40,50): 5, [50,60): 2. Maak met ICT een histogram, benoem je instellingen en interpreteer de verdeling.

1. 01Stap 1 — Data invoeren

   Voer de gegevens in. Heb je de losse meetwaarden, typ ze dan in één lijst. Heb je alleen de frequentietabel, voer dan de klassenmidden 5, 15, 25, 35, 45, 55 in één lijst in en de bijbehorende frequenties 4, 9, 12, 8, 5, 2 in een tweede lijst (de frequentielijst).

2. 02Stap 2 — Histogram en klassenbreedte instellen

   Kies bij de statistische plots het histogram. Stel het venster in: de horizontale as van 0 tot 60 met een stapgrootte van 10 — die stapgrootte bepaalt de klassenbreedte. Zet de verticale as van 0 tot ongeveer 13, zodat de hoogste balk past.

3. 03Stap 3 — Aflezen en controleren

   Teken het histogram en loop de balken langs (bijvoorbeeld met de trace-functie) om de frequenties te controleren: 4, 9, 12, 8, 5, 2 — samen 40, gelijk aan het aantal leerlingen. De hoogste balk hoort bij de klasse van 20 tot 30 minuten.

   $$\text{relatieve frequentie} = \frac{12}{40} = 0{,}30 = 30\%$$
4. 04Stap 4 — Interpreteren

   De modale klasse is 20–30 minuten (12 leerlingen, 30%). Er zijn weinig leerlingen met een lange reistijd, dus de staart loopt naar de hoge waarden: de verdeling is rechtsscheef. De meeste leerlingen reizen tussen 10 en 40 minuten.

Resultaat: Het histogram heeft een klassenbreedte van 10 minuten, een modale klasse van 20–30 minuten en een rechtsscheve vorm. De som van de frequenties is 40, gelijk aan het aantal leerlingen, en de relatieve frequentie van de modale klasse is 30%.

Van 8 leerlingen zijn het aantal uren dat ze voor een toets leerden (x) en hun cijfer (y) genoteerd: (1, 4), (2, 5), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 7), (7, 8), (8, 9). Onderzoek met ICT de samenhang: maak een spreidingsdiagram, bepaal de regressielijn en de correlatiecoëfficiënt, en beoordeel de uitkomst.

1. 01Stap 1 — Data invoeren en de puntenwolk maken

   Voer de uren in lijst L1 in en de cijfers in lijst L2. Kies de spreidingsdiagram-plot en stel een passend venster in. Je ziet een puntenwolk die van linksonder naar rechtsboven loopt: een positief verband.

2. 02Stap 2 — De regressielijn bepalen

   Kies de lineaire regressie (vaak „LinReg(ax+b)”). De rekenmachine geeft $a \approx 0{,}68$ en $b \approx 3{,}32$, dus de trendlijn is $y \approx 0{,}68x + 3{,}32$.

   $$y \approx 0{,}68\cdot x + 3{,}32$$
3. 03Stap 3 — De correlatie aflezen

   Bij de regressie toont de rekenmachine de correlatiecoëfficiënt $r \approx 0{,}99$ (zet zo nodig eerst de „diagnostics” aan). Omdat $r$ heel dicht bij $1$ ligt, is er een sterk positief lineair verband.

4. 04Stap 4 — Beoordelen

   De helling 0,68 betekent dat elk extra uur leren samengaat met gemiddeld ongeveer 0,7 punt hoger cijfer — bínnen het bereik van de data. Maar een sterke correlatie bewijst geen oorzaak: misschien zijn gemotiveerde leerlingen die meer leren ook om andere redenen beter. Trek dus geen causale conclusie en extrapoleer niet ver buiten 1 tot 8 uur.

Resultaat: Er is een sterk positief lineair verband ($r \approx 0{,}99$) met regressielijn $y \approx 0{,}68x + 3{,}32$. Meer leeruren gaan samen met hogere cijfers, maar daaruit volgt geen oorzakelijk verband: dat zou je alleen met aanvullend onderzoek mogen concluderen.

De inhoud van pakken vruchtensap is normaal verdeeld met gemiddelde $\mu = 1000$ ml en standaardafwijking $\sigma = 5$ ml. Bereken met ICT (normalcdf) welk percentage van de pakken tussen 995 ml en 1005 ml bevat, en controleer je antwoord met de 68%-vuistregel.

1. 01Stap 1 — Gegevens noteren

   Noteer $\mu = 1000$, $\sigma = 5$, de ondergrens 995 ml en de bovengrens 1005 ml. Je zoekt de oppervlakte onder de klok tussen die twee grenzen.

2. 02Stap 2 — normalcdf gebruiken

   Roep de functie normalcdf aan met de ondergrens, de bovengrens, het gemiddelde en de standaardafwijking: normalcdf(995, 1005, 1000, 5). In een spreadsheet trek je twee cumulatieve normale waarden af: het deel onder 1005 min het deel onder 995.

3. 03Stap 3 — De uitkomst aflezen

   De ICT geeft ongeveer 0,6827. Dat is een kans, dus vermenigvuldig met 100: ongeveer 68,3% van de pakken bevat tussen 995 en 1005 ml.

4. 04Stap 4 — Controleren met de vuistregel

   De grenzen 995 en 1005 zijn precies $\mu - \sigma$ en $\mu + \sigma$ (want 1000 − 5 = 995 en 1000 + 5 = 1005). De vuistregel zegt dat ongeveer 68% van de waarden binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ligt. De 68,3% van de ICT klopt dus met de vuistregel.

   $$995 = \mu - \sigma \quad\text{en}\quad 1005 = \mu + \sigma$$

Resultaat: Ongeveer 68% (preciezer 68,3%) van de pakken bevat tussen 995 ml en 1005 ml. Omdat dit precies het interval $\mu \pm \sigma$ is, bevestigt de 68%-vuistregel de ICT-uitkomst.