Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Data en verdelingen: normale verdeling en vuistregels

De normale verdeling is het klokvormige model dat in domein E (Statistiek en kansrekening) centraal staat: veel grootheden uit economie, maatschappij en gezondheid zijn er bij benadering normaal verdeeld. In dit onderwerp leer je de vorm van een frequentieverdeling beschrijven, de normaalkromme met haar parameters μ (ligging) en σ (spreiding) doorgronden, en met de vuistregels (68%, 95%, 99,7%), de z-score en de grafische rekenmachine (normalcdf en invNorm) percentages, kansen en grenswaarden bepalen. De rode draad is steeds: de oppervlakte onder de kromme is de relatieve frequentie of kans.

4Onderdelenca. 29min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·121212 / 14

Examenprofiel

De vorm van een frequentieverdeling herkennen en beschrijven (symmetrisch, klokvormig, links- of rechtsscheef) uit een histogram of frequentiepolygoon.De normale verdeling en de normaalkromme beschrijven met de parameters μ (ligging) en σ (spreiding): symmetrie om μ, totale oppervlakte 1 en buigpunten op μ ± σ.De vuistregels (68%, 95%, 99,7%) en de symmetrie van de normaalkromme gebruiken om percentages en aantallen te schatten.Een z-score berekenen en met de grafische rekenmachine (normalcdf en invNorm) kansen, percentages en grenswaarden bij de normale verdeling bepalen.

Operatoren:berekenschatbepaalinterpreteerberedeneer

basisniveau

Voor het CE (domein E): herken de vorm van een verdeling, ken de rol van μ en σ in de normaalkromme, pas de vuistregels (68-95-99,7) met symmetrie toe en reken met de z-score en de grafische rekenmachine (normalcdf, invNorm).

verhoogd niveau

Verdieping: standaardiseer naar de standaardnormale verdeling om waarden uit verschillende verdelingen te vergelijken, en reken vlot heen en terug tussen een percentage en een grenswaarde met normalcdf en invNorm.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Data en verdelingen: normale verdeling en vuistregels

Frequentieverdeling, histogram en de vorm van een verdeling#

Basisexamenblad-nl

Histogram: lengte van 66 leerlingen (klokvormig)

Afb. 1Een symmetrisch, klokvormig histogram van de lengte van 66 leerlingen in klassen van 5 cm. De staven raken elkaar omdat de klassen aaneengesloten zijn; de hoogste staaf — de modale klasse — is [165, 170) met 22 leerlingen.

Wanneer je van een grote groep één getalsmatig kenmerk meet — de lengte van leerlingen, het cijfer voor een toets, de wachttijd bij een loket — krijg je een lange rij losse waarnemingen waarin met het blote oog geen patroon te zien is. Een frequentieverdeling brengt daar ordening in: je telt hoe vaak elke waarde (of elke groep van waarden) voorkomt. Die telling heet de frequentie. Door de frequenties in een tabel of grafiek te zetten zie je in één oogopslag welke waarden vaak voorkomen en welke zeldzaam zijn, en vooral: hoe de waarnemingen over de schaal verdeeld zijn. Het beschrijven van die verdeling — waar ligt het zwaartepunt, hoe breed is hij uitgewaaierd, en welke vorm heeft hij — is het beginpunt van de hele statistiek van dit onderwerp. In deze paragraaf leer je een frequentieverdeling aflezen en haar vorm benoemen; in de volgende paragrafen wordt één bijzondere vorm, de klokvorm, het wiskundige model dat de normale verdeling heet.

Bij een numerieke grootheid die heel veel verschillende waarden kan aannemen (zoals een lengte in centimeters) heeft het geen zin om elke afzonderlijke waarde te tellen; daarom verdeel je het meetbereik in gelijke klassen — bijvoorbeeld lengtes in klassen van 5 cm: [150, 155), [155, 160), enzovoort. Je telt per klasse hoeveel waarnemingen erin vallen en tekent boven elke klasse een staaf met die frequentie als hoogte. Zo ontstaat een histogram. Het beslissende verschil met een gewoon staafdiagram is dat de staven elkaar ráken: de klassen sluiten op elkaar aan op een doorlopende getallenas, terwijl de losse categorieën van een staafdiagram met tussenruimte staan. In het histogram hieronder zie je die aaneengesloten staven voor de lengte van 66 leerlingen. Let bij het aflezen altijd op de klassenbreedte en de astitels, want de hoogte van een staaf is de frequentie van de héle klasse, niet van één waarde.

Verbind je de bovenkanten van de staven — telkens het punt midden boven een staaf — met lijnstukken, dan krijg je een frequentiepolygoon: een gebroken lijn die dezelfde verdeling toont, maar nu als één doorlopende vorm in plaats van losse blokken. De frequentiepolygoon is handig om de vorm in de gaten te krijgen en om twee verdelingen over elkaar heen te vergelijken. Belangrijker nog: hij maakt zichtbaar waar dit onderwerp naartoe werkt. Maak je de klassen steeds smaller en de groep steeds groter, dan worden de hoekjes van de polygoon steeds vloeiender, totdat er een gladde, klokvormige kromme overblijft — precies de normaalkromme uit de volgende paragraaf. Het histogram en de frequentiepolygoon zijn dus de brug tussen de ruwe data en het wiskundige model.

De vorm van een verdeling beschrijf je met een vast vocabulaire. Een verdeling is symmetrisch als de linker- en rechterhelft elkaars spiegelbeeld zijn: even veel waarnemingen links als rechts van het midden. Een symmetrische verdeling met een duidelijke top in het midden en flauw aflopende staarten aan beide kanten noem je klokvormig — dat is de vorm van het histogram hieronder. Is de verdeling niet symmetrisch, dan is hij scheef. Bij een rechtsscheve (positief scheve) verdeling ligt de top links en loopt er een lange, dunne staart naar rechts (denk aan inkomens: de meeste mensen verdienen bescheiden, een handvol heel veel). Bij een linksscheve verdeling is het omgekeerd: de top ligt rechts en de lange staart wijst naar links. Vuistregel voor de naamgeving: de scheefheid heet naar de kánt waar de lange staart wijst, niet naar de kant waar de top ligt.

Behalve de vorm lees je uit een frequentieverdeling ook concrete kengetallen af. De modale klasse is de klasse met de hoogste staaf — de meest voorkomende groep waarnemingen. Een handige aanvulling is de relatieve frequentie: deel je de frequentie van een klasse door het totale aantal waarnemingen (en vermenigvuldig met 100%), dan weet je welk aandeel van het geheel in die klasse valt. Dat aandeel zul je in de volgende paragrafen herkennen als de oppervlakte onder de normaalkromme. De vorm vertelt bovendien iets over de samenhang tussen gemiddelde en mediaan: bij een symmetrische, klokvormige verdeling vallen die vrijwel samen, terwijl bij een scheve verdeling de lange staart het gemiddelde naar zich toe trekt. Begin het aflezen van een histogram daarom altijd met dezelfde drie stappen: lees de astitels en de klassenbreedte, benoem de vorm, en bepaal pas daarna kengetallen als de modale klasse en de frequenties — zo voorkom je dat je het verkeerde getal of de verkeerde eenheid noteert.

\text{relatieve frequentie} = \frac{\text{frequentie}}{\text{totaal}}\cdot 100\%

relatieve frequentie van een klasse

Deel de frequentie van een klasse door het totale aantal waarnemingen en vermenigvuldig met 100%. Zo weet je welk aandeel van het geheel in die klasse valt; ditzelfde aandeel verschijnt later als de oppervlakte onder de normaalkromme.

Uitgewerkt voorbeeld

De vorm beschrijven en frequenties aflezen

Hieronder staat het histogram van de lengte van 66 leerlingen, ingedeeld in klassen van 5 cm. Beschrijf de vorm van de verdeling, bepaal de modale klasse en lees af hoeveel leerlingen tussen de 160 en 175 cm lang zijn.

Stap 1 — Lees assen en klassenbreedte
Op de horizontale as staat de lengte in cm, verdeeld in klassen van 5 cm; verticaal staat de frequentie (het aantal leerlingen per klasse). De staven raken elkaar, dus het is een histogram van een numerieke grootheid.
Stap 2 — Beschrijf de vorm
De staven zijn het hoogst in het midden en lopen vanuit het midden naar beide kanten gelijkmatig af; de linker- en rechterhelft zijn elkaars spiegelbeeld. De verdeling is dus symmetrisch en klokvormig — precies de vorm die naar de normaalkromme leidt.
Stap 3 — Bepaal de modale klasse
De modale klasse is de klasse met de hoogste staaf. Dat is de klasse [165, 170) met een frequentie van 22 leerlingen.
Stap 4 — Lees af tussen 160 en 175 cm
Het gebied van 160 tot 175 cm beslaat drie klassen: [160, 165) met 14, [165, 170) met 22 en [170, 175) met 14. Tel de frequenties op: 14 + 22 + 14 = 50 leerlingen.
$14 + 22 + 14 = 50$

Resultaat: De verdeling is symmetrisch en klokvormig, de modale klasse is [165, 170) met 22 leerlingen, en 50 van de 66 leerlingen (ongeveer 76%) zijn tussen 160 en 175 cm lang. Door eerst de vorm te benoemen en daarna de frequenties op te tellen, lees je het histogram betrouwbaar af.

Veelgemaakte fouten

Een histogram met losse staven tekenen of lezen alsof het een staafdiagram is; bij een histogram raken de staven elkaar, omdat de klassen aaneengesloten zijn op een doorlopende getallenas.
„Rechtsscheef” en „linksscheef” verwisselen: de scheefheid heet naar de kant waar de lange, dunne staart wijst, niet naar de kant waar de top (de meeste waarnemingen) ligt.
De hoogte van een staaf lezen als de frequentie van één waarde in plaats van die van de hele klasse, of de klassengrens verwarren met de frequentie.

Actieve herhaling

Een histogram toont de lengte van 66 leerlingen in klassen van 5 cm. De hoogste staaf hoort bij de klasse [165, 170) en vanuit die middelste staaf nemen de staven naar beide kanten gelijkmatig af. Benoem de modale klasse, beschrijf de vorm van de verdeling en lees af hoeveel leerlingen een lengte tussen 165 en 170 cm hebben.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De normale verdeling en de normaalkromme#

Standardexamenblad-nl

De normaalkromme met top op μ en buigpunten op μ ± σ

Afb. 2De klokvormige normaalkromme is symmetrisch om het gemiddelde μ (hier 0); de top staat boven μ en de buigpunten liggen op μ − σ en μ + σ (hier −1 en 1). Een grotere σ maakt deze klok breder en lager, een kleinere σ smaller en hoger.

Maak je bij een symmetrische, klokvormige verdeling de klassen steeds smaller en meet je een steeds grotere groep, dan gaan de toppen van de staven over in één vloeiende, klokvormige kromme: de normaalkromme. De normale verdeling is het wiskundige model dat door die kromme wordt beschreven. Het is geen toevallige vorm: heel veel grootheden die door talloze kleine, onafhankelijke invloeden samen ontstaan — lichaamslengtes, meetfouten, vulgewichten van een machine, scores op een grote toets — blijken bij benadering normaal verdeeld. Juist daarom is de normale verdeling zo bruikbaar: één model met vaste eigenschappen past op een groot aantal praktijksituaties. In deze paragraaf leer je die eigenschappen kennen; in de volgende paragrafen reken je er percentages en kansen mee.

De normaalkromme is volledig symmetrisch om het gemiddelde μ (de Griekse letter ‘mu’): de top van de kromme staat recht boven μ, en de linkerhelft is het spiegelbeeld van de rechterhelft. Omdat de verdeling symmetrisch is, vallen bij een normale verdeling het gemiddelde, de mediaan en de modus alle drie samen in dat ene punt μ. Twee getallen leggen de kromme volledig vast: het gemiddelde μ en de standaardafwijking σ (de Griekse letter ‘sigma’). Ken je μ en σ, dan ligt de hele kromme vast — vorm, plaats en breedte. Daarom draait alle rekenwerk met de normale verdeling om deze twee parameters: μ zegt wáár de verdeling ligt, σ zegt hoe ver de waarnemingen uitwaaieren.

De twee parameters hebben elk een eigen, zichtbaar effect op de kromme. Het gemiddelde μ bepaalt de ligging: verander je μ, dan schuift de héle kromme als geheel naar links of rechts, zonder dat de vorm verandert. De standaardafwijking σ bepaalt de spreiding, en dus de breedte: een grote σ betekent dat de waarnemingen ver van het gemiddelde verspreid liggen, zodat de kromme breed en laag wordt; een kleine σ betekent dat de waarnemingen dicht om het gemiddelde klitten, zodat de kromme smal en hoog wordt. In de figuur hieronder markeert de verticale lijn het gemiddelde μ, waar de kromme haar top bereikt. Onthoud het beeld: μ verschuift, σ rekt uit of knijpt samen.

Onder de normaalkromme geldt één allesbepalende afspraak: de totale oppervlakte onder de kromme is 1 (oftewel 100%). Die oppervlakte stelt het geheel van alle waarnemingen voor, en de oppervlakte bóven een bepaald interval is de relatieve frequentie — de kans — dat een waarneming in dat interval valt. Dit is het scharnierpunt van het hele onderwerp: een percentage of een kans bij de normale verdeling lees je af als een oppervlakte onder de kromme, nooit als de hoogte van de kromme. Door de symmetrie om μ valt de helft van de oppervlakte links van μ en de helft rechts: elk precies 0,5. Een waarde precies gelijk aan het gemiddelde splitst de verdeling dus netjes in twee gelijke helften.

De standaardafwijking is niet alleen een abstract getal, maar ook af te lezen aan de kromme zelf: de buigpunten — de plekken waar de kromme overgaat van hol naar bol — liggen precies op één standaardafwijking links en rechts van de top, dus op x = μ − σ en x = μ + σ. De afstand van de top tot een buigpunt is daarmee één σ. In de figuur hieronder staan die buigpunten gemarkeerd. Dit verbindt de getalswaarde σ met een zichtbaar kenmerk van de grafiek, en het is meteen de opmaat naar de volgende paragraaf: omdat elke normaalkromme dezelfde vorm heeft, is de oppervlakte tussen μ − σ en μ + σ altijd hetzelfde percentage. Die vaste percentages — de vuistregels — vormen het onderwerp van de volgende paragraaf.

x = \mu \pm \sigma

buigpunten van de normaalkromme

De normaalkromme heeft haar buigpunten precies op één standaardafwijking links en rechts van het gemiddelde. Zo lees je σ af uit de grafiek: het is de horizontale afstand van de top tot een buigpunt.

\text{totale oppervlakte onder de kromme} = 1

oppervlakte is kans

De hele oppervlakte onder de normaalkromme is 1 (100%). De oppervlakte boven een interval is de relatieve frequentie of kans dat een waarneming daarin valt; links en rechts van μ ligt elk 0,5.

Uitgewerkt voorbeeld

Het effect van een grotere σ schetsen en beschrijven

Een fabrikant vult pakken suiker. Bij machine A is het vulgewicht normaal verdeeld met μ = 1000 g en σ = 5 g; bij machine B met μ = 1000 g en σ = 12 g. Schets beide normaalkrommen in één assenstelsel en beschrijf hoe de grotere σ van machine B de vorm verandert. Wat betekent dit voor de spreiding van de vulgewichten?

Stap 1 — Zet de gemeenschappelijke top
Beide machines hebben μ = 1000 g, dus beide krommen zijn symmetrisch om x = 1000 en hun toppen staan recht boven elkaar op de lijn x = 1000. Het verschil zit dus niet in de ligging, maar uitsluitend in de breedte.
Stap 2 — Teken de smalle kromme (A, σ = 5)
Een kleine σ betekent weinig spreiding, dus een smalle en hoge klok. De buigpunten liggen op μ ± σ = 1000 ± 5, dus bij 995 g en 1005 g. De vulgewichten van machine A klitten dicht om 1000 g.
Stap 3 — Teken de brede kromme (B, σ = 12)
Een grotere σ betekent meer spreiding, dus een bredere en lagere klok. De buigpunten liggen nu op 1000 ± 12, dus bij 988 g en 1012 g. De kromme is láger dan die van A, want de totale oppervlakte blijft 1: dezelfde ‘hoeveelheid’ oppervlakte wordt over een breder bereik uitgesmeerd, dus de top moet zakken.
Stap 4 — Interpreteer voor de spreiding
Bij machine B liggen de vulgewichten verder van 1000 g af verspreid dan bij machine A. Machine A vult dus constanter (preciezer), machine B grilliger. De grotere σ is precies de maat voor die grotere onnauwkeurigheid.

Resultaat: Beide krommen zijn symmetrisch om 1000 g; machine A geeft een smalle, hoge klok (σ = 5, buigpunten bij 995 en 1005) en machine B een brede, lage klok (σ = 12, buigpunten bij 988 en 1012). Een grotere σ betekent meer spreiding: een bredere, lagere kromme — met dezelfde totale oppervlakte 1. Machine A vult het nauwkeurigst.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een grotere σ de kromme hóger maakt; een grotere σ maakt de kromme juist breder én lager, want de totale oppervlakte blijft altijd 1.
De oppervlakte onder de kromme verwarren met de hoogte van de kromme: percentages en kansen zijn oppervlakten boven een interval, geen functiewaarden.
μ en σ door elkaar halen: μ is de plaats van de top (de ligging), σ is de breedte (de spreiding) — af te lezen als de afstand van de top tot een buigpunt.

Actieve herhaling

Twee normale verdelingen hebben hetzelfde gemiddelde μ = 50, maar verdeling A heeft σ = 5 en verdeling B heeft σ = 10. Schets beide krommen in één assenstelsel, leg uit welke kromme hoger en smaller is en waarom, en beredeneer waarom beide krommen toch dezelfde totale oppervlakte hebben.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De vuistregels: 68%, 95% en 99,7%#

Standardexamenblad-nl

Normaalkromme: 68% binnen μ ± σ

Afb. 3De oppervlakte onder de normaalkromme tussen μ − σ en μ + σ (hier z van −1 tot 1) is ongeveer 0,68: bij elke normale verdeling ligt zo'n 68% binnen één standaardafwijking van het gemiddelde.

Omdat elke normaalkromme dezelfde vorm heeft, vallen er altijd vaste percentages van de waarnemingen binnen vaste afstanden tot het gemiddelde, gemeten in standaardafwijkingen. Dat zijn de vuistregels, ook wel de 68-95-99,7-regel genoemd: ongeveer 68% van de waarnemingen ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde (tussen μ − σ en μ + σ), ongeveer 95% binnen twee standaardafwijkingen (tussen μ − 2σ en μ + 2σ), en ongeveer 99,7% — vrijwel alles — binnen drie standaardafwijkingen (tussen μ − 3σ en μ + 3σ). Het zijn oppervlakten onder de kromme: in de figuur hieronder is het gebied tussen μ − σ en μ + σ gearceerd, goed voor ongeveer 68% van de totale oppervlakte.

Dat de getallen 68, 95 en 99,7 universeel zijn — onafhankelijk van de concrete μ en σ — komt doordat elke normale verdeling dezelfde standaardvorm heeft, alleen verschoven door μ en uitgerekt of samengeknepen door σ. De oppervlakte tussen één standaardafwijking links en rechts van het gemiddelde verandert daardoor niet als je μ of σ wijzigt: hij blijft ongeveer 0,68. Juist daarom heten het vuistrégels: één keer onthouden, en je kunt ze op elke normaal verdeelde grootheid toepassen, of het nu om lengtes, gewichten of toetsscores gaat. De drie percentages horen bij grenzen die op een hele stap van σ liggen: één, twee of drie standaardafwijkingen van het gemiddelde.

Het echte rekenwerk doe je met de symmetrie van de kromme. Ligt 68% binnen μ ± σ, dan ligt de overige 32% in de twee staarten samen; door de symmetrie is dat aan elke kant de helft, dus 16% in de linkerstaart en 16% in de rechterstaart. Zo vind je in één stap dat ongeveer 16% van de waarnemingen gróter is dan μ + σ. Net zo: buiten μ ± 2σ ligt 5%, dus 2,5% in elke staart; en buiten μ ± 3σ ligt 0,3%, dus 0,15% in elke staart. Ook de halve gebieden volgen direct: van μ tot μ + σ is de helft van 68% = 34%, van μ tot μ + 2σ is de helft van 95% = 47,5%, en van μ tot μ + 3σ is de helft van 99,7% = 49,85%.

Met deze halve gebieden reken je elk symmetrisch deelgebied uit, zonder rekenmachine, door op te tellen of af te trekken. Het gebied tussen μ + σ en μ + 2σ is bijvoorbeeld 47,5% − 34% = 13,5%. Zo ontstaat een handig ‘blokjesschema’ van de percentages per σ-band aan elke kant van het gemiddelde: ongeveer 34% in de band van μ tot μ + σ, 13,5% in de band van μ + σ tot μ + 2σ, 2,35% in de band van μ + 2σ tot μ + 3σ en 0,15% in de staart voorbij μ + 3σ — en hetzelfde gespiegeld aan de linkerkant. Wie deze paar getallen paraat heeft, leest elk gevraagd percentage rechtstreeks af door de juiste banden bij elkaar te nemen.

Gebruik de vuistregels voor snelle schattingen bij grenzen die op een hele σ-stap liggen (μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ). Ligt een grens er niet netjes op — bijvoorbeeld op μ + 1,5σ — dan schieten de vuistregels tekort en heb je de z-score en de grafische rekenmachine nodig (de volgende paragraaf). Houd ook in gedachten dat het benaderingen zijn: 68% is een afronding van 68,27%, en 95% van 95,45%. Wordt naar een aantal gevraagd in plaats van een percentage, vergeet dan niet het percentage met de groepsgrootte te vermenigvuldigen: 2,5% van een groep van 500 zijn er 0,025 × 500 = ongeveer 12 à 13. Met dit gereedschap kun je in een examencontext snel en betrouwbaar percentages en aantallen schatten.

P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0{,}68

68%-regel (binnen één σ)

Ongeveer 68% van de waarnemingen ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde. De overige 32% ligt in de twee staarten samen, dus 16% per staart.

P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95

95%-regel (binnen twee σ)

Ongeveer 95% ligt binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde; buiten μ ± 2σ ligt 5%, dus 2,5% per staart.

P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997

99,7%-regel (binnen drie σ)

Ongeveer 99,7% — vrijwel alles — ligt binnen drie standaardafwijkingen; buiten μ ± 3σ ligt nog maar 0,3%, dus 0,15% per staart.

Uitgewerkt voorbeeld

De vuistregels toepassen op lengtes

Neem aan dat de lengte van volwassen mannen in een grote groep bij benadering normaal verdeeld is met gemiddelde μ = 181 cm en standaardafwijking σ = 7 cm. (a) Welk percentage is langer dan 188 cm? (b) Welk percentage heeft een lengte tussen 174 cm en 195 cm? (c) Hoeveel van 500 mannen zijn naar verwachting langer dan 195 cm?

Stap 1 — Druk de grenzen uit in σ-stappen
Reken elke grens om naar een aantal standaardafwijkingen vanaf μ = 181: 188 = 181 + 7 = μ + σ; 174 = 181 − 7 = μ − σ; 195 = 181 + 14 = μ + 2σ. Alle grenzen liggen op hele σ-stappen, dus de vuistregels zijn bruikbaar.
Stap 2 — (a) Langer dan μ + σ
Binnen μ ± σ ligt 68%, dus erbuiten 32%. Door de symmetrie zit daarvan de helft in de rechterstaart: 16%. Ongeveer 16% van de mannen is dus langer dan 188 cm.
$\frac{100\% - 68\%}{2} = \frac{32\%}{2} = 16\%$
Stap 3 — (b) Tussen μ − σ en μ + 2σ
Splits het gebied bij μ. Van μ − σ tot μ is de helft van 68% = 34%; van μ tot μ + 2σ is de helft van 95% = 47,5%. Samen is dat 34% + 47,5% = 81,5%.
$34\% + 47{,}5\% = 81{,}5\%$
Stap 4 — (c) Aantal langer dan μ + 2σ
Buiten μ ± 2σ ligt 5%, dus in de rechterstaart 2,5%. Van 500 mannen is dat 0,025 × 500 = 12,5, dus ongeveer 12 à 13 mannen langer dan 195 cm.
$0{,}025 \cdot 500 = 12{,}5$

Resultaat: (a) Ongeveer 16% is langer dan 188 cm; (b) ongeveer 81,5% heeft een lengte tussen 174 en 195 cm; (c) ongeveer 2,5% van 500, dus 12 à 13 mannen, is langer dan 195 cm. Door de grenzen eerst in σ-stappen uit te drukken en daarna de symmetrie te gebruiken, vind je alles met de vuistregels.

Veelgemaakte fouten

Het hele percentage binnen μ ± σ (68%) aan één staart toekennen, in plaats van de overgebleven 32% door twee te delen; per staart is het 16%.
De vuistregels toepassen op een grens die niet op een hele σ-stap ligt (zoals μ + 1,5σ); dan moet je de z-score en de grafische rekenmachine gebruiken, niet 68/95/99,7.
Vergeten het gevonden percentage met de groepsgrootte te vermenigvuldigen wanneer naar een aantal wordt gevraagd.

Actieve herhaling

De wachttijd bij een telefonische helpdesk is bij benadering normaal verdeeld met μ = 4 minuten en σ = 1 minuut. Bepaal met de vuistregels welk percentage van de bellers tussen 3 en 6 minuten wacht, en welk percentage langer dan 6 minuten wacht. Reken bij 800 bellers ook uit hoeveel er naar verwachting langer dan 6 minuten wachten.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De z-score en de grafische rekenmachine#

Vertiefungexamenblad-nl

Rechterstaart van de standaardnormale verdeling vanaf z = 1,57

Afb. 4De gearceerde rechterstaart vanaf z = 1,57 heeft een oppervlakte van ongeveer 0,058: zo'n 5,8% van de waarnemingen scoort hóger. Deze oppervlakte vind je met normalcdf.

Lang niet elke grens ligt netjes op een hele σ-stap, en dan schieten de vuistregels tekort. De z-score lost dat op door precies te meten hoeveel standaardafwijkingen een waarde x van het gemiddelde af ligt: z = (x − μ) / σ. Een positieve z hoort bij een waarde boven het gemiddelde, een negatieve z bij een waarde eronder, en z = 0 bij een waarde precies gelijk aan μ. Een voorbeeld: bij μ = 181 cm en σ = 7 cm hoort bij een man van 192 cm de z-score (192 − 181) / 7 = 11 / 7 ≈ 1,57. Hij is dus ruim anderhalve standaardafwijking langer dan gemiddeld. De z-score is de sleutel om elke willekeurige grens te kunnen behandelen.

Door een waarde naar haar z-score om te rekenen, standaardiseer je: je vertaalt elke normale verdeling naar één en dezelfde standaardnormale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Dat heeft twee voordelen. Ten eerste worden waarden uit verschillende verdelingen vergelijkbaar: een z van 2 betekent in élke verdeling ‘bij de hoogste paar procent’, of het nu om lengtes of om toetsscores gaat. Ten tweede laat het zien dat de vuistregels eigenlijk uitspraken over z zijn: μ ± σ is hetzelfde als |z| ≤ 1, μ ± 2σ als |z| ≤ 2, en μ ± 3σ als |z| ≤ 3. De z-score en de vuistregels zijn dus twee kanten van dezelfde medaille.

Voor het bijbehorende percentage of de kans gebruik je de grafische rekenmachine. De functie normalcdf(ondergrens, bovengrens, μ, σ) geeft de oppervlakte onder de normaalkromme tussen twee grenzen — en die oppervlakte is precies de gevraagde kans of relatieve frequentie. Wil je een staart (‘meer dan’ of ‘minder dan’), dan vul je voor de ontbrekende grens een heel groot of heel klein getal in, bijvoorbeeld 10^99 of −10^99. Je mag rechtstreeks met de x-waarden werken (door μ en σ in te voeren) of eerst standaardiseren en met z-waarden rekenen (μ = 0, σ = 1); beide leveren hetzelfde antwoord. Het is verstandig om altijd eerst een schetsje van de kromme te maken en het gevraagde gebied te arceren, zodat je de juiste grenzen kiest.

Soms is het omgekeerde gevraagd: niet het percentage bij een grens, maar de grens bij een gegeven percentage. Daarvoor dient invNorm(oppervlakte links, μ, σ), dat de grenswaarde teruggeeft waaronder een gegeven deel van de oppervlakte ligt. Let goed op: invNorm rekent met de oppervlakte links van de grens. Vraagt een opgave naar de grens waarboven de hoogste 10% valt, dan ligt links van die grens 90%, dus voer je 0,90 in. Bij μ = 181 en σ = 7 geeft invNorm(0,90; 181; 7) ≈ 190 cm: de langste 10% van de mannen is langer dan ongeveer 190 cm. Met normalcdf ga je dus van een grens naar een percentage, en met invNorm van een percentage terug naar een grens.

Een vaste werkwijze voorkomt fouten. (1) Schrijf op wat gegeven is (μ en σ) en wat gevraagd wordt: een percentage of kans, of juist een grenswaarde. (2) Maak een schetsje van de normaalkromme en arceer het gevraagde gebied — zo zie je meteen welke grenzen je nodig hebt en of een uitkomst aannemelijk is. (3) Is een percentage gevraagd, gebruik normalcdf; is een grens gevraagd, gebruik invNorm (met de oppervlakte links). (4) Reken zo nodig het percentage om naar een aantal door met de groepsgrootte te vermenigvuldigen. De z-score blijft daarbij een handige controle: een z groter dan 3 hoort bij een heel klein percentage. Hiermee beheers je de volledige gereedschapskist van de normale verdeling, van snelle schatting tot nauwkeurige berekening.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

z-score (afstand tot μ in standaardafwijkingen)

De z-score zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde x boven (z > 0) of onder (z < 0) het gemiddelde ligt. Standaardiseren met de z-score maakt waarden uit verschillende normale verdelingen vergelijkbaar.

x = \mu + z\cdot\sigma

van z-score terug naar de waarde

Ken je een z-score, dan vind je de bijbehorende waarde door μ op te tellen bij z keer σ. Zo reken je een gestandaardiseerde grens terug naar de oorspronkelijke schaal.

Uitgewerkt voorbeeld

Een z-score en normalcdf, en terugrekenen met invNorm

Voor de lengteverdeling van volwassen mannen geldt μ = 181 cm en σ = 7 cm. (a) Bereken de z-score van een man van 192 cm en bepaal met normalcdf welk percentage langer is dan 192 cm. (b) Boven welke lengte vallen de 10% langste mannen? Gebruik invNorm.

Stap 1 — (a) Bereken de z-score
De z-score meet de afstand tot het gemiddelde in standaardafwijkingen: z = (192 − 181) / 7 = 11 / 7 ≈ 1,57. De man is dus ongeveer 1,57 standaardafwijking langer dan gemiddeld — een grens die niet op een hele σ-stap ligt, dus de vuistregels volstaan niet.
$z = \frac{192 - 181}{7} = \frac{11}{7} \approx 1{,}57$
Stap 2 — (a) Bepaal het percentage met normalcdf
Gevraagd is ‘langer dan 192’, dus de rechterstaart. Voer in: normalcdf(192, 10^99, 181, 7) ≈ 0,058, oftewel ongeveer 5,8%. Met de z-score levert normalcdf(1,57; 10^99; 0; 1) hetzelfde op, want standaardiseren verandert de oppervlakte niet.
$\text{normalcdf}(192,\ 10^{99},\ 181,\ 7) \approx 0{,}058$
Stap 3 — (b) Vertaal ‘10% langste’ naar een oppervlakte links
Bij de 10% langste mannen ligt boven de gezochte grens 10% van de oppervlakte. invNorm rekent echter met de oppervlakte links, en links van de grens ligt dan 100% − 10% = 90%, oftewel 0,90.
Stap 4 — (b) Bepaal de grens met invNorm
Voer in: invNorm(0,90; 181; 7) ≈ 190. De 10% langste mannen zijn dus langer dan ongeveer 190 cm.
$\text{invNorm}(0{,}90,\ 181,\ 7) \approx 190$

Resultaat: (a) De z-score is ongeveer 1,57 en met normalcdf is ongeveer 5,8% langer dan 192 cm. (b) Met invNorm vallen de 10% langste mannen boven ongeveer 190 cm. normalcdf gaat van een grens naar een percentage, invNorm van een percentage terug naar een grens — samen dekken ze elke vraag over de normale verdeling af.

Veelgemaakte fouten

In de z-score teller en noemer verwisselen of het teken vergeten; reken (x − μ) / σ, zodat een waarde boven het gemiddelde een positieve z geeft.
Bij invNorm de oppervlakte réchts invoeren in plaats van links; invNorm vraagt de oppervlakte links van de grens, dus voor de hoogste 10% voer je 0,90 in.
Bij een staart de ‘oneindige’ grens vergeten of als 0 invullen; gebruik een heel groot getal (10^99) of −10^99 als boven- of ondergrens.

Actieve herhaling

De scores op een toets zijn bij benadering normaal verdeeld met μ = 65 punten en σ = 12 punten. (a) Bereken de z-score van een score van 80 punten en bepaal met normalcdf welk percentage hoger scoort dan 80. (b) De beste 15% krijgt een certificaat; bepaal met invNorm de minimale score die daarvoor nodig is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Data en verdelingen: normale verdeling en vuistregels

Kernpunten

De vorm beschrijven en frequenties aflezen

Kernpunten

Het effect van een grotere σ schetsen en beschrijven

Kernpunten

De vuistregels toepassen op lengtes

Kernpunten

Een z-score en normalcdf, en terugrekenen met invNorm

Bronnen

Data en verdelingen: normale verdeling en vuistregels

Kernpunten

De vorm beschrijven en frequenties aflezen

Kernpunten

Het effect van een grotere σ schetsen en beschrijven

Kernpunten

De vuistregels toepassen op lengtes

Kernpunten

Een z-score en normalcdf, en terugrekenen met invNorm

Bronnen