La Terre, un astre singulier

Sur le même méridien, deux villes A et B distantes de 600 km présentent, le même jour à midi, des hauteurs du Soleil qui diffèrent de 5,4°. En reprenant la méthode d'Ératosthène, calcule la circonférence de la Terre puis son rayon, et compare aux valeurs admises (C ≈ 40 075 km, R ≈ 6 371 km).

1. 01Identifier l'angle au centre

   La différence de hauteur du Soleil entre A et B (5,4°) est égale à l'angle des verticales, donc à l'angle au centre α de la Terre entre A et B.

   $$\alpha = 5{,}4^{\circ}$$
2. 02Écrire la proportionnalité arc / circonférence

   L'arc de méridien AB (d = 600 km) est à la circonférence C ce que l'angle α est à 360°.

   $$\dfrac{d}{C} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$$
3. 03Calculer la circonférence

   On isole C : C = d × 360° / α = 600 × 360 / 5,4 = 40 000 km.

   $$C = 600\ \mathrm{km} \times \dfrac{360^{\circ}}{5{,}4^{\circ}} = 40\,000\ \mathrm{km}$$
4. 04En déduire le rayon

   On utilise R = C / (2π) ≈ 40 000 / 6,283 ≈ 6 366 km.

   $$R = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{40\,000}{2\pi} \approx 6\,366\ \mathrm{km}$$

Résultat : C ≈ 40 000 km et R ≈ 6 366 km, en très bon accord avec les valeurs modernes (≈ 40 075 km et ≈ 6 371 km) : la méthode antique, fondée sur une simple proportionnalité, est étonnamment précise.

Un document rappelle l'estimation de Kelvin (Terre solide se refroidissant par conduction depuis un état chaud : ~20 à 40 millions d'années) et la valeur radiochronologique actuelle (~4,54 milliards d'années). Explique l'origine de l'écart (un facteur de l'ordre de 100) et juge si Kelvin a commis une erreur de calcul.

1. 01Comparer les ordres de grandeur

   Kelvin : ≈ 3×10^7 ans. Valeur actuelle : ≈ 4,54×10^9 ans. Le rapport est d'environ 4,54×10^9 / 3×10^7 ≈ 150, donc Kelvin sous-estime l'âge d'un facteur d'environ 100 à 150.

2. 02Examiner le modèle de Kelvin

   Son modèle suppose que toute la chaleur interne provient d'un état initial chaud et se dissipe par conduction, sans aucune source d'énergie pour entretenir cette chaleur. Plus la Terre est ancienne, plus elle devrait être froide ; un flux de chaleur encore élevé impose alors un âge « jeune ».

3. 03Identifier l'hypothèse manquante

   La désintégration des éléments radioactifs (U, Th, K) du manteau et de la croûte libère continûment de la chaleur. Cette source interne, inconnue de Kelvin, entretient le flux thermique : la Terre peut donc être beaucoup plus vieille tout en restant chaude.

4. 04Conclure sur la démarche

   Le calcul de Kelvin n'est pas faux en lui-même ; c'est une donnée physique absente (la radioactivité) qui invalide une hypothèse du modèle. La radiochronologie, qui exploite précisément cette radioactivité, fournit la mesure correcte.

Résultat : Kelvin n'a pas commis d'erreur de calcul : son résultat découle logiquement de ses hypothèses, mais l'une d'elles (absence de chaleur interne entretenue) est fausse car il ignorait la radioactivité. La valeur correcte, ~4,54 milliards d'années, est obtenue par radiochronologie.

Un fragment d'os contient encore 25 % de son carbone-14 initial. La demi-vie du carbone-14 vaut environ 5 730 ans. Détermine l'âge de l'échantillon par lecture du nombre de demi-vies, puis confirme par le calcul t = T × log₂(N0/N).

1. 01Exprimer le rapport N/N0

   Il reste 25 % du carbone-14, donc N/N0 = 0,25 = 1/4.

   $$\dfrac{N}{N_0} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4}$$
2. 02Compter les demi-vies

   Comme 1/4 = (1/2)^2, il s'est écoulé exactement n = 2 demi-vies (N0 → N0/2 → N0/4).

   $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} = \dfrac{1}{4} \;\Longrightarrow\; n = 2$$
3. 03Calculer l'âge

   L'âge vaut t = n × T = 2 × 5 730 = 11 460 ans.

   $$t = n \times T = 2 \times 5\,730 = 11\,460\ \text{ans}$$
4. 04Vérifier par la formule générale (approfondissement)

   Hors programme de première, on peut confirmer par le calcul continu : avec N0/N = 4, t = T × log₂(4) = 5 730 × 2 = 11 460 ans, en accord avec la lecture directe. La méthode attendue reste le comptage des demi-vies entières.

   $$t = T\,\log_2\!\left(\dfrac{N_0}{N}\right) = 5\,730 \times \log_2(4) = 11\,460\ \text{ans}$$

Résultat : L'os a un âge d'environ 11 460 ans : c'est cohérent avec le domaine du carbone-14 (jusqu'à quelques dizaines de milliers d'années), donc le choix de ce radioélément est pertinent.

On donne pour trois planètes : Vénus (0,72 ua du Soleil, atmosphère épaisse de CO2, ~465 °C en surface), Terre (1,00 ua, atmosphère N2/O2, ~15 °C), Mars (1,52 ua, atmosphère ténue de CO2, ~ -60 °C). En t'appuyant sur ces données, explique pourquoi seule la Terre porte durablement de l'eau liquide en surface.

1. 01Repérer la fourchette de l'eau liquide

   L'eau est liquide, à pression usuelle, entre 0 °C et 100 °C environ. C'est ce domaine de température de surface qu'il faut viser.

2. 02Analyser Vénus

   Vénus est plus proche du Soleil et possède une atmosphère massive de CO2 : un effet de serre intense porte sa surface à ~465 °C. Trop chaud : l'eau ne peut exister qu'à l'état de vapeur.

3. 03Analyser Mars

   Mars est plus loin et de faible masse : son atmosphère ténue retient peu de chaleur, sa surface est à ~ -60 °C. Trop froid et pression trop basse : l'eau y est essentiellement gelée ou sublimée.

4. 04Positionner la Terre

   À 1 ua, avec une masse suffisante pour retenir une atmosphère modérée, la Terre a une température moyenne de ~15 °C, dans la fourchette de l'eau liquide. Distance, masse et atmosphère se conjuguent.

Résultat : Seule la Terre réunit la bonne distance au Soleil, une masse suffisante pour retenir une atmosphère et un effet de serre modéré : sa température de surface tombe dans le domaine de l'eau liquide, condition de sa singularité et du maintien de la vie.

On ramène les 4,54 milliards d'années de la Terre à une seule année de 365 jours (1er janvier 00 h 00 = formation, 31 décembre 24 h 00 = aujourd'hui). À quelle date tombe le début du Phanérozoïque (apparition des animaux), daté à environ 540 millions d'années ? Calcule et commente.

1. 01Calculer la fraction de temps écoulée depuis l'événement

   Le Phanérozoïque débute il y a 540 Ma = 0,540 Ga. Cela représente une fraction 0,540 / 4,54 ≈ 0,119 de l'histoire de la Terre, soit environ 11,9 % la plus récente.

   $$\dfrac{0{,}540}{4{,}54} \approx 0{,}119$$
2. 02Convertir en jours d'année

   Sur 365 jours, l'événement « passé » se place 0,119 × 365 ≈ 43 jours avant la fin de l'année.

   $$0{,}119 \times 365 \approx 43\ \text{jours avant la fin}$$
3. 03Situer la date

   43 jours avant le 31 décembre, on remonte d'environ 1 mois et 13 jours : on tombe aux alentours du 18 novembre.

   $$31\ \text{déc.} - 43\ \text{jours} \approx 18\ \text{novembre}$$

Résultat : Le Phanérozoïque, donc l'essentiel de la vie animale visible, ne commence que vers le 18 novembre de cette « année géologique » : la vie complexe n'occupe que les ~44 derniers jours, et l'humanité, à peine les dernières minutes. C'est l'image marquante de la démesure du temps géologique.