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Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales traduce a lenguaje algebraico un conjunto de condiciones que ligan varias incógnitas; resolverlo y, sobre todo, discutirlo (decidir cuántas soluciones tiene) es uno de los pilares del bloque de Álgebra de Matemáticas II. Apoyándose en las matrices y los determinantes estudiados en el tema anterior, este apunte desarrolla la escritura matricial y la matriz ampliada, la clasificación de los sistemas, el teorema de Rouché-Frobenius, los métodos de Gauss y de Cramer, la discusión de sistemas con parámetro y las ecuaciones matriciales, además de su lectura geométrica como intersección de planos. Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU, donde el problema de «discutir y resolver un sistema según un parámetro» es uno de los clásicos del examen.

5seccionesca. 30min de lectura3competenciasNivelBásico 2 · Estándar 2 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·0666 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la ciencia traduciéndolos a un sistema de ecuaciones lineales, eligiendo y aplicando la estrategia de resolución adecuada (Gauss, Cramer, matriz inversa) e interpretando la solución en su contexto.CE2 · Verificar la validez de las soluciones de un sistema empleando el razonamiento y la argumentación: clasificar el sistema (compatible determinado o indeterminado, incompatible) y justificar el resultado mediante el teorema de Rouché-Frobenius y el estudio de rangos.CE4 · Utilizar el pensamiento computacional y la modelización (operaciones elementales por filas, cálculo de rangos y determinantes) para discutir y resolver sistemas lineales, posiblemente dependientes de uno o varios parámetros.

Operadores:analizadiscuteclasificaresuelvecalculajustificainterpretarazonarelacionatraduce

nivel básico

El nivel exigible consiste en plantear un sistema lineal a partir de un enunciado, escribirlo en forma matricial, resolverlo por el método de Gauss o por Cramer cuando es compatible determinado, y clasificarlo correctamente comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

nivel avanzado

Como materia de modalidad, Matemáticas II profundiza en la discusión completa de sistemas dependientes de un parámetro (anulando determinantes y estudiando los rangos en cada caso), en la resolución de ecuaciones matriciales con la inversa, en la descripción de las soluciones de un sistema compatible indeterminado mediante parámetros y en la interpretación geométrica como posiciones relativas de planos en el espacio.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas lineales: forma matricial y matriz ampliada#

BasisBOE-A-2022-5521 · Matemáticas II · Anexo II · Sentido algebraico — Técnicas y uso de matrices para modelizar situaciones en las que aparezcan sistemas de ecuaciones linealesSaber básico: expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada

Una ecuación lineal con incógnitas x₁, x₂, …, xₙ es toda igualdad de la forma a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ = b, donde los coeficientes aᵢ y el término independiente b son números reales conocidos y las incógnitas aparecen siempre elevadas a la primera potencia, sin productos entre ellas ni dentro de funciones. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones de ese tipo que han de cumplirse simultáneamente; resolverlo significa hallar todas las n-uplas (x₁, …, xₙ) que satisfacen a la vez todas las ecuaciones. Esta es la herramienta natural para modelizar situaciones en las que varias magnitudes están ligadas por relaciones de proporcionalidad y suma, tal como pide el currículo (véase Fig. 1, donde un mismo sistema se contempla en sus tres lenguajes).

Un sistema en sus tres lenguajes: ecuaciones, forma matricial y matriz ampliada

La gran idea del tema es que todo sistema lineal se puede empaquetar en una sola igualdad matricial. Si llamamos A a la matriz de los coeficientes (de orden m×n), X a la matriz columna de las incógnitas (n×1) y B a la matriz columna de los términos independientes (m×1), el sistema completo se escribe de forma compacta como A·X = B. Esta escritura no es un mero adorno: convierte la pregunta «¿tiene solución el sistema?» en preguntas sobre las matrices A y B (sus rangos, su determinante, su inversa), y es la puerta de entrada a todos los métodos matriciales que vienen después.

Junto a la matriz de coeficientes A se define la matriz ampliada A (también escrita A|B o (A | B)): es la matriz que se obtiene añadiendo a A, como última columna, la columna B de los términos independientes; tiene por tanto orden m×(n+1). La matriz ampliada contiene toda la información del sistema —los coeficientes y los términos independientes— y es la pieza central para clasificarlo, porque comparar lo que «sabe» A con lo que «sabe» A nos dirá si las ecuaciones son o no compatibles entre sí.

Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son nulos, es decir, cuando B es la matriz columna de ceros y el sistema se escribe A·X = 0. Todo sistema homogéneo admite siempre, al menos, la solución trivial x₁ = x₂ = ⋯ = xₙ = 0, de modo que nunca puede ser incompatible: la única duda es si esa solución trivial es la única (sistema compatible determinado) o si existen además soluciones no triviales (compatible indeterminado). Este caso particular es muy frecuente en los exámenes y conviene tenerlo presente desde el principio.

Dos sistemas se llaman equivalentes cuando tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. Las transformaciones que permiten pasar de un sistema a otro equivalente —y que justifican todos los métodos de resolución— son las operaciones elementales: intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número distinto de cero, y sustituir una ecuación por su suma con otra (o con un múltiplo de otra). Sobre la matriz ampliada, estas tres operaciones se traducen en las operaciones elementales por filas, base del método de Gauss del apartado correspondiente.

A \cdot X = B \quad\text{con}\quad A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\; X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

Forma matricial de un sistema

Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se escribe como un único producto matricial A·X = B, donde A es la matriz de coeficientes (m×n), X la columna de incógnitas (n×1) y B la columna de términos independientes (m×1).

A^{*} = (A \mid B) = \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)

Matriz ampliada

La matriz ampliada A* se obtiene añadiendo a la matriz de coeficientes A la columna B de los términos independientes; es la matriz que se utiliza para clasificar el sistema mediante el teorema de Rouché-Frobenius.

Ejemplo resuelto

De las ecuaciones a la forma matricial y a la ampliada

Considera el sistema 2x + 3y − z = 5, x − y + 4z = −2, 3x + 2z = 7. Escríbelo en forma matricial A·X = B, indica el orden de A, X y B, y construye la matriz ampliada A*.

Ordenar las incógnitas y completar coeficientes
Se escriben todas las ecuaciones con las incógnitas en el mismo orden (x, y, z); si una incógnita no aparece, su coeficiente es 0. La tercera ecuación es 3x + 0·y + 2z = 7.
Identificar A, X y B
La matriz de coeficientes recoge, fila a fila, los coeficientes; X es la columna de incógnitas y B la de términos independientes.
Indicar los órdenes
A es de orden 3×3 (cuadrada), X es 3×1 y B es 3×1. El producto A·X resulta 3×1, coherente con B.
Formar la matriz ampliada
Se añade B como cuarta columna de A.

Resultado: El sistema equivale a A·X = B con A de orden 3×3, X y B de orden 3×1; su matriz ampliada A* es de orden 3×4 e incluye, como última columna, los términos independientes (5, −2, 7). No es homogéneo, pues B ≠ 0.

Errores frecuentes

Confundir la matriz de coeficientes A con la matriz ampliada A*: olvidar añadir la columna de términos independientes (o añadirla cuando se pide solo A) falsea por completo la comparación de rangos.
Tratar como lineal una ecuación que no lo es: la presencia de términos como x·y, x², √x o 1/x rompe la linealidad, y entonces no se le puede aplicar nada de lo estudiado en este tema.

Repaso activo

Ejercicio de práctica: dado el sistema 3x − 2y + z = 4, x + y − z = 1, 2x − y = 5, escríbelo en forma matricial A·X = B, indica el orden de cada matriz y forma la matriz ampliada A*. Razona si el sistema es o no homogéneo.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Clasificación: compatibles (determinados/indeterminados) e incompatibles#

BasisBOE-A-2022-5521 · Matemáticas II · Anexo II · Sentido algebraico — Sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatiblesSaber básico: sistemas de ecuaciones, modelización de situaciones en diversos contextos

Las tres clases de sistema y su lectura geométrica (dos incógnitas)

Antes de resolver un sistema conviene saber qué tipo de respuesta esperamos. Atendiendo al número de soluciones, todo sistema lineal pertenece a una de tres categorías mutuamente excluyentes, que es imprescindible nombrar con precisión en el examen (la Fig. 1 las resume con su lectura geométrica en dos incógnitas). El esquema mental es: o no hay solución, o hay exactamente una, o hay infinitas; no existe ningún sistema lineal con, por ejemplo, dos o tres soluciones aisladas.

Un sistema es incompatible cuando no tiene ninguna solución: sus ecuaciones se contradicen entre sí. El caso más sencillo es el de dos rectas paralelas en el plano, como x + y = 1 y x + y = 3, que no se cortan en ningún punto; algebraicamente, al intentar resolverlo aparece una igualdad imposible del tipo 0 = 2. Reconocer esa contradicción es la señal inequívoca de incompatibilidad.

Un sistema es compatible cuando tiene al menos una solución, y dentro de los compatibles se distinguen dos subtipos. Es compatible determinado (abreviado SCD) cuando tiene una única solución; geométricamente, en dos incógnitas corresponde a dos rectas que se cortan en un solo punto. Es compatible indeterminado (SCI) cuando tiene infinitas soluciones; en dos incógnitas son dos rectas coincidentes (la misma recta escrita de dos maneras). En un SCI las soluciones no son arbitrarias: forman una familia que se describe en función de uno o varios parámetros, llamados grados de libertad del sistema.

El número de grados de libertad de un sistema compatible indeterminado es la diferencia entre el número de incógnitas y el «número de ecuaciones realmente independientes» (que más adelante identificaremos con el rango de la matriz de coeficientes). Así, un sistema con tres incógnitas cuyas soluciones dependen de un parámetro describe una recta en el espacio (un grado de libertad), y si dependen de dos parámetros describe un plano (dos grados de libertad). Saber traducir «infinitas soluciones» en «¿cuántos parámetros?» es una destreza clave de la modalidad.

Conviene anclar la clasificación a contextos reales, como exige el currículo. Por ejemplo, repartir cierto dinero entre tres personas con condiciones que lo determinan por completo da un SCD; un balance contable con una condición redundante (una ecuación que se deduce de las otras) da un SCI con soluciones parametrizadas; y un enunciado con datos contradictorios (que afirma a la vez dos hechos incompatibles) conduce a un sistema incompatible, señal de que el problema, tal como está planteado, no tiene solución.

\text{n.º de soluciones} = \begin{cases} 0 & \text{incompatible (S.I.)} \\ 1 & \text{compatible determinado (S.C.D.)} \\ \infty & \text{compatible indeterminado (S.C.I.)} \end{cases}

Las tres clases de sistema

Un sistema lineal solo puede tener cero, una o infinitas soluciones; nunca un número finito mayor que uno. La clasificación según ese número de soluciones es la base de todo el tema.

\text{grados de libertad de un S.C.I.} = n - r, \qquad r=\operatorname{rg}(A)

Parámetros de un sistema indeterminado

En un sistema compatible indeterminado de n incógnitas, el número de parámetros necesarios para describir todas sus soluciones es n − r, donde r es el rango de la matriz de coeficientes (el número de ecuaciones realmente independientes).

Ejemplo resuelto

Clasificar tres sistemas de dos incógnitas

Clasifica cada uno de los siguientes sistemas y, cuando proceda, escribe su solución: (a) x − y = 1, 2x + y = 5; (b) x + 2y = 3, 2x + 4y = 6; (c) x + 2y = 3, x + 2y = 7.

Sistema (a) por reducción
Sumando las dos ecuaciones se elimina y: (x − y) + (2x + y) = 1 + 5, es decir 3x = 6, luego x = 2; sustituyendo, 2 − y = 1, así que y = 1. Hay solución única.
Clasificar (a)
Una única solución (2, 1): el sistema es compatible determinado. Geométricamente, dos rectas secantes.
Sistema (b)
La segunda ecuación es exactamente el doble de la primera (2x + 4y = 6 es 2·(x + 2y = 3)). Solo hay una ecuación independiente: x + 2y = 3. Tomando y = λ se obtiene x = 3 − 2λ.
Clasificar (b)
Infinitas soluciones descritas por un parámetro: compatible indeterminado (rectas coincidentes), con 2 − 1 = 1 grado de libertad.
Sistema (c)
Las dos ecuaciones tienen el mismo primer miembro (x + 2y) pero distinto término independiente (3 y 7). Restándolas: 0 = 4, una contradicción. No hay solución.
Clasificar (c)
Sin solución: sistema incompatible (rectas paralelas).

Resultado: (a) compatible determinado, solución única (2, 1); (b) compatible indeterminado, soluciones (3 − 2λ, λ) con λ ∈ ℝ; (c) incompatible, sin solución.

Errores frecuentes

Confundir «compatible indeterminado» con «incompatible»: el primero tiene infinitas soluciones y el segundo ninguna; son situaciones opuestas, y el error de nomenclatura penaliza mucho.
Creer que un sistema compatible indeterminado «vale cualquier número»: sus soluciones forman una familia precisa descrita por parámetros, no un conjunto arbitrario; hay que escribir esa familia correctamente.

Repaso activo

Ejercicio de práctica: clasifica razonadamente, sin usar todavía rangos, los tres sistemas siguientes resolviéndolos por sustitución o reducción: (a) x + y = 4, x − y = 2; (b) x + y = 4, 2x + 2y = 8; (c) x + y = 4, x + y = 1. Indica en cada caso el número de soluciones y, si es indeterminado, descríbelas con un parámetro.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Teorema de Rouché-Frobenius y discusión por rangos#

StandardBOE-A-2022-5521 · Matemáticas II · Anexo II · Sentido algebraico — Teorema de Rouché-FrobeniusSaber básico: discusión de sistemas lineales, posiblemente dependientes de un parámetro, mediante el método de Gauss o por estudio directo de rangos

Árbol de decisión del teorema de Rouché-Frobenius

El teorema de Rouché-Frobenius es el resultado central del tema: convierte la clasificación de cualquier sistema en una comparación de números —los rangos de dos matrices— y nos permite decidir el tipo de sistema sin necesidad de resolverlo. Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché y del alemán Ferdinand Georg Frobenius, que precisaron y completaron el criterio a finales del siglo XIX. El esquema de la Fig. 1 condensa todo su enunciado en un diagrama de decisión que conviene memorizar.

El enunciado, para un sistema de m ecuaciones con n incógnitas escrito como A·X = B, dice: el sistema es compatible (tiene solución) si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada, es decir, rg(A) = rg(A). Si los rangos son distintos —y entonces siempre rg(A) = rg(A) + 1—, el sistema es incompatible. La razón intuitiva es que la columna de términos independientes B «no encaja» en el espacio generado por las columnas de A: añade información nueva e incompatible.

Cuando el sistema es compatible (rg(A) = rg(A) = r), el segundo paso es comparar ese rango común r con el número de incógnitas n. Si r = n, el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Si r < n, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, que se describen con n − r parámetros. Así, los dos números r y n deciden por completo el tipo de sistema: primero rg(A) frente a rg(A) para la compatibilidad, después r frente a n para la unicidad.

El rango de cada matriz se calcula con las herramientas del tema de matrices: por el método de Gauss (escalonando y contando filas no nulas) o mediante menores y determinantes (el rango es el orden del mayor menor no nulo). En la práctica de la Selectividad, para sistemas 3×3 lo más rápido suele ser empezar por el determinante de A: si det(A) ≠ 0, entonces rg(A) = 3 = rg(A*) = n y el sistema es directamente compatible determinado; solo cuando det(A) = 0 hay que afinar los rangos con menores de orden inferior.

El caso homogéneo (B = 0) tiene una lectura especialmente limpia con este teorema. Como la columna de ceros nunca añade rango, siempre rg(A) = rg(A*), de modo que un sistema homogéneo es siempre compatible (lo sabíamos: admite la solución trivial). La única cuestión es comparar rg(A) = r con n: si r = n solo existe la solución trivial (SCD), y si r < n existen además infinitas soluciones no triviales (SCI). En particular, un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene soluciones distintas de la trivial.

\boxed{\;\text{compatible}\;\iff\; \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})\;}

Teorema de Rouché-Frobenius (compatibilidad)

El sistema A·X = B tiene solución si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada. Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible.

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=r:\quad \begin{cases} r=n & \Rightarrow\ \text{S.C.D. (solución única)} \\ r<n & \Rightarrow\ \text{S.C.I. (} \infty \text{ sol., } n-r \text{ parámetros)} \end{cases}

Determinado o indeterminado

Una vez comprobada la compatibilidad, se compara el rango común r con el número de incógnitas n: si coinciden la solución es única; si r es menor, hay infinitas soluciones con n − r parámetros.

A\cdot X = 0:\quad \det(A)\neq 0 \Rightarrow \text{solo } X=0;\qquad \det(A)=0 \Rightarrow \exists\, X\neq 0

Sistema homogéneo cuadrado

Un sistema homogéneo n×n tiene únicamente la solución trivial cuando el determinante de A es distinto de cero, y tiene soluciones no triviales (infinitas) cuando el determinante de A se anula.

Ejemplo resuelto

Discutir un sistema 3×3 con el teorema de Rouché-Frobenius

Discute, sin resolverlo, el sistema x + y + z = 3, 2x + 3y + z = 6, x + 2y = 3, indicando de qué tipo es y, si fuera indeterminado, cuántos parámetros tendrían sus soluciones.

Escribir A y A*
La matriz de coeficientes y la ampliada son las del sistema, con la tercera fila 1, 2, 0 | 3.
Calcular det(A)
Desarrollando: det(A) = 1·(3·0 − 1·2) − 1·(2·0 − 1·1) + 1·(2·2 − 3·1) = 1·(−2) − 1·(−1) + 1·(1) = −2 + 1 + 1 = 0. El determinante se anula, así que rg(A) < 3.
Hallar rg(A)
Hay un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo el formado por las dos primeras filas y columnas: |1 1; 2 3| = 3 − 2 = 1 ≠ 0. Por tanto rg(A) = 2.
Hallar rg(A*)
Se orla el menor anterior con la fila 3 y la columna de términos independientes: |1 1 3; 2 3 6; 1 2 3| = 1·(9−12) − 1·(6−6) + 3·(4−3) = −3 − 0 + 3 = 0. Como todos los orlados se anulan, rg(A*) = 2.
Aplicar Rouché-Frobenius
rg(A) = rg(A*) = 2 = r, luego el sistema es compatible. Como r = 2 < 3 = n, es compatible indeterminado, con n − r = 3 − 2 = 1 parámetro.

Resultado: Como rg(A) = rg(A*) = 2 y n = 3, el sistema es compatible indeterminado por el teorema de Rouché-Frobenius; sus soluciones dependen de un parámetro (un grado de libertad), es decir, describen una recta en el espacio.

Errores frecuentes

Comparar solo rg(A) con n olvidando comprobar antes la compatibilidad rg(A) = rg(A): si los rangos de A y A difieren, el sistema es incompatible aunque rg(A) parezca «suficiente».
Afirmar que un sistema homogéneo puede ser incompatible: nunca lo es, porque rg(A) = rg(A*) siempre (la columna de ceros no aporta rango); la solución trivial existe siempre.

Repaso activo

Ejercicio de práctica: aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, discute el sistema x + y + z = 0, 2x − y + z = 0, x − 2y = 0 (homogéneo) calculando rg(A) y comparándolo con el número de incógnitas. ¿Tiene soluciones distintas de la trivial?

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Resolución por Gauss y por la regla de Cramer#

StandardBOE-A-2022-5521 · Matemáticas II · Anexo II · Sentido algebraico — Resolución de sistemas lineales mediante el método de Gauss o empleando la regla de CramerSaber básico: discusión de sistemas lineales mediante el método de Gauss o por estudio directo de rangos

Eliminación de Gauss sobre la matriz ampliada

Una vez clasificado un sistema compatible, hay que resolverlo. El currículo recoge dos grandes métodos, complementarios: el método de Gauss, que es general (sirve para cualquier sistema, determinado o indeterminado) y se apoya en operaciones por filas, y la regla de Cramer, reservada a sistemas con tantas ecuaciones como incógnitas y determinante no nulo, que da las soluciones mediante cocientes de determinantes. La Fig. 1 sigue paso a paso una eliminación de Gauss sobre la matriz ampliada.

El método de Gauss (eliminación gaussiana), debido a Carl Friedrich Gauss, consiste en transformar la matriz ampliada en una matriz escalonada mediante operaciones elementales por filas, que no alteran el conjunto de soluciones. El objetivo es conseguir ceros por debajo de la diagonal, de modo que la última ecuación quede con una sola incógnita; después, por sustitución hacia atrás (remontando de abajo arriba), se despejan sucesivamente todas las incógnitas. Su gran ventaja es que la propia forma escalonada revela el tipo de sistema: una fila del tipo (0 0 … 0 | k) con k ≠ 0 delata incompatibilidad, y una fila completamente nula indica una ecuación redundante (grado de libertad).

Si tras escalonar quedan menos ecuaciones no triviales que incógnitas, el sistema es compatible indeterminado: se eligen como parámetros las incógnitas «libres» (las que no encabezan ninguna fila, llamadas incógnitas no principales o secundarias) y se despejan las principales en función de ellas. Conviene elegir como parámetro una incógnita que simplifique los cálculos y escribir la solución en forma paramétrica ordenada, indicando que el parámetro recorre todos los números reales.

La regla de Cramer se aplica a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas cuyo determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero (sistema de Cramer); por Rouché-Frobenius, ese sistema es siempre compatible determinado. Cada incógnita se obtiene como el cociente entre dos determinantes: en el numerador, el determinante de la matriz que resulta de sustituir en A la columna de esa incógnita por la columna B de términos independientes; en el denominador, el determinante de A. Es un método muy sistemático y especialmente cómodo para sistemas 2×2 y 3×3, y útil cuando se necesita una sola de las incógnitas.

La elección del método es estratégica. Para sistemas pequeños con det(A) ≠ 0, Cramer suele ser rápido y limpio. Para sistemas grandes, con muchos parámetros o cuando se sospecha que son indeterminados o incompatibles, Gauss es preferible porque clasifica y resuelve a la vez. En la práctica de la Selectividad muchos problemas piden primero discutir (rangos / Rouché-Frobenius) y después resolver (Cramer en los casos de determinante no nulo, Gauss en los casos límite con parámetro), de modo que dominar ambos es imprescindible.

x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad i=1,2,\dots,n \quad (\det(A)\neq 0)

Regla de Cramer

En un sistema de Cramer (cuadrado, con det(A) ≠ 0), la incógnita xᵢ es el cociente entre el determinante de Aᵢ —la matriz A con su columna i-ésima sustituida por B— y el determinante de A.

\left(\begin{array}{ccc|c} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \end{array}\right) \xrightarrow{\;\text{ops. por filas}\;} \left(\begin{array}{ccc|c} \bullet & * & * & * \\ 0 & \bullet & * & * \\ 0 & 0 & \bullet & * \end{array}\right)

Forma escalonada (método de Gauss)

El método de Gauss transforma la matriz ampliada en una forma escalonada (triangular) mediante operaciones elementales por filas; los pivotes (•) marcan las incógnitas principales y permiten la sustitución hacia atrás.

Ejemplo resuelto

Resolver un sistema 3×3 por Cramer y por Gauss

Resuelve el sistema x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. Calcula la solución por la regla de Cramer y confírmala razonando la coherencia con el método de Gauss.

Comprobar que es de Cramer
Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes: det(A) = 1·((−1)(−1) − 1·2) − 1·(2·(−1) − 1·1) + 1·(2·2 − (−1)·1) = 1·(1 − 2) − 1·(−2 − 1) + 1·(4 + 1) = −1 + 3 + 5 = 7 ≠ 0. Como det(A) ≠ 0, es un sistema de Cramer (compatible determinado).
Determinante para x
Se sustituye la primera columna por B = (6, 3, 2): det(A₁) = 7. Por tanto x = 7/7 = 1.
Determinante para y
Se sustituye la segunda columna por B: det(A₂) = 14, luego y = 14/7 = 2.
Determinante para z
Se sustituye la tercera columna por B: det(A₃) = 21, así que z = 21/7 = 3.
Comprobar (coherencia con Gauss)
Sustituyendo (1, 2, 3) en las tres ecuaciones: 1 + 2 + 3 = 6 ✓; 2·1 − 2 + 3 = 3 ✓; 1 + 4 − 3 = 2 ✓. Por Gauss se llegaría a la misma solución única, pues det(A) ≠ 0 garantiza rg(A) = rg(A*) = 3 = n.

Resultado: El sistema es compatible determinado y su única solución es x = 1, y = 2, z = 3, obtenida por Cramer (cocientes 7/7, 14/7, 21/7) y verificada por sustitución, coherente con lo que daría el método de Gauss.

Errores frecuentes

Aplicar la regla de Cramer cuando det(A) = 0: la regla solo es válida si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero; con determinante nulo hay que recurrir al estudio de rangos y a Gauss.
Equivocar el numerador de Cramer sustituyendo la columna que no corresponde, o dividir por el determinante equivocado: cada incógnita usa su propia columna sustituida por B, dividida siempre por det(A).

Repaso activo

Ejercicio de práctica: resuelve el sistema x + 2y − z = 2, 2x − y + z = 3, x + y + z = 6 por el método de Gauss y comprueba el resultado de la incógnita x mediante la regla de Cramer.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Sistemas con parámetro, ecuaciones matriciales e interpretación geométrica#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Matemáticas II · Anexo II · Sentido algebraico — Discusión y resolución de sistemas lineales dependientes de un parámetro; resolución de ecuaciones matriciales mediante la matriz inversaBOE-A-2022-5521 · Matemáticas II · Anexo II · Sentido espacial — Interpretar un problema de posiciones relativas de planos y/o rectas como análisis de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

Árbol de discusión de un sistema con parámetro

El problema estrella de la Selectividad es discutir un sistema dependiente de un parámetro (habitualmente llamado m, a o k): se pide determinar, para cada valor del parámetro, de qué tipo es el sistema y, después, resolverlo en los casos que se indiquen. La estrategia canónica para un sistema cuadrado consiste en estudiar el determinante de A como función del parámetro: se calcula det(A), se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante, obteniendo los valores «conflictivos» del parámetro. Para todos los demás valores, det(A) ≠ 0 y el sistema es compatible determinado; los valores que anulan el determinante se analizan después uno a uno con rangos. El árbol de la Fig. 1 organiza esta discusión.

En los valores conflictivos (los que anulan det(A)) el rango de A baja, y entonces hay que comparar cuidadosamente rg(A) con rg(A) sustituyendo el parámetro por cada valor concreto. Si en ese valor rg(A) = rg(A) < n el sistema es compatible indeterminado; si rg(A) < rg(A*) es incompatible. La discusión completa debe presentar, de forma ordenada, todos los casos: el caso general (det(A) ≠ 0, SCD) y cada valor especial con su clasificación, sin olvidar ninguno.

Las ecuaciones matriciales son otra forma de presentar un sistema: ecuaciones cuya incógnita es una matriz X, del tipo A·X = B o X·A = B, con A, B conocidas. Cuando A es cuadrada y regular (det(A) ≠ 0, es decir, A invertible), se resuelven despejando con la matriz inversa, respetando el orden del producto: de A·X = B se obtiene X = A⁻¹·B (multiplicando por A⁻¹ por la izquierda), mientras que de X·A = B resulta X = B·A⁻¹ (multiplicando por la derecha). Esta es una aplicación directa de la matriz inversa estudiada en el tema anterior.

Toda ecuación matricial A·X = B con A invertible equivale, además, a resolver el sistema lineal asociado: si X es una columna de incógnitas, A·X = B es literalmente un sistema, y puede resolverse por Gauss o Cramer en lugar de invertir A. Esta doble vía —matriz inversa o transformación en sistema lineal— está explícitamente recogida en el currículo y conviene dominar ambas, eligiendo la más cómoda según el tamaño y la forma de las matrices.

La interpretación geométrica conecta este tema con la geometría del espacio (Sentido espacial). En tres incógnitas, cada ecuación lineal ax + by + cz = d representa un plano, de modo que un sistema 3×3 es la búsqueda de los puntos comunes a tres planos, y clasificar el sistema equivale a describir su posición relativa. Si el sistema es compatible determinado (rg = 3), los tres planos se cortan en un único punto (la solución; véase Fig. 2). Si es compatible indeterminado con un parámetro (rg(A) = rg(A*) = 2), su intersección es una recta (los planos forman un haz o dos coinciden y el tercero los corta en una recta). Si es compatible indeterminado con dos parámetros (rg = 1), los tres planos coinciden. Y si es incompatible, no hay punto común: los planos son paralelos, o se cortan dos a dos formando una superficie prismática, o dos son paralelos. Leer las soluciones de un sistema como posiciones relativas de planos es una destreza expresamente pedida.

A\cdot X = B,\ \det(A)\neq 0:\ X=A^{-1}B; \qquad X\cdot A = B,\ \det(A)\neq 0:\ X=B\,A^{-1}

Ecuaciones matriciales con la inversa

Si A es regular, una ecuación matricial se resuelve multiplicando por A⁻¹ por el lado adecuado: por la izquierda en A·X = B (da X = A⁻¹B) y por la derecha en X·A = B (da X = B·A⁻¹), pues el producto de matrices no es conmutativo.

\text{3 incógnitas: } \operatorname{rg}=3 \to \text{punto};\ \operatorname{rg}=2 \to \text{recta};\ \operatorname{rg}=1 \to \text{plano}

Lectura geométrica (intersección de planos)

En un sistema compatible con tres incógnitas, el rango común r determina la dimensión de la intersección de los tres planos: r = 3 un punto, r = 2 una recta, r = 1 un plano (planos coincidentes). Si es incompatible, no hay intersección común.

Ejemplo resuelto

Discusión completa de un sistema con parámetro

Discute, según los valores del parámetro m, el sistema mx + y + z = 1, x + my + z = m, x + y + mz = m², y resuélvelo en el caso compatible indeterminado.

Determinante de A en función de m
Desarrollando y factorizando el determinante de la matriz de coeficientes se obtiene una expresión factorizada cómoda de anular.
Valores que anulan el determinante
det(A) = 0 ⟺ (m − 1)²(m + 2) = 0 ⟺ m = 1 o m = −2. Para cualquier otro valor de m, det(A) ≠ 0.
Caso general (m ≠ 1 y m ≠ −2)
Como det(A) ≠ 0, se tiene rg(A) = rg(A*) = 3 = n. El sistema es compatible determinado, con solución única (que podría darse por Cramer).
Caso m = −2
Sustituyendo m = −2, rg(A) = 2 pero la ampliada alcanza rango 3 (la columna de términos independientes añade rango). Como rg(A) = 2 < 3 = rg(A*), el sistema es incompatible.
Caso m = 1
Sustituyendo m = 1, las tres ecuaciones se reducen a una sola, x + y + z = 1, de modo que rg(A) = rg(A*) = 1 < 3. El sistema es compatible indeterminado con 3 − 1 = 2 parámetros.
Resolver el caso m = 1
Queda la única ecuación x + y + z = 1. Tomando y = λ, z = μ como parámetros, se despeja x = 1 − λ − μ.

Resultado: Discusión: si m ≠ 1 y m ≠ −2, el sistema es compatible determinado (tres planos que se cortan en un punto); si m = −2, es incompatible (sin punto común); si m = 1, es compatible indeterminado con dos parámetros y solución (1 − λ − μ, λ, μ), λ, μ ∈ ℝ (los tres planos coinciden en uno solo).

Errores frecuentes

Al despejar una ecuación matricial, equivocar el lado por el que se multiplica por A⁻¹: de A·X = B se obtiene X = A⁻¹B (por la izquierda) y de X·A = B se obtiene X = B·A⁻¹ (por la derecha); el producto de matrices no es conmutativo.
En la discusión con parámetro, dar solo el caso general y olvidar analizar uno a uno los valores que anulan el determinante (donde el sistema puede volverse indeterminado o incompatible), que son justamente los casos que más puntúan.

Repaso activo

Ejercicio de práctica: discute, según los valores del parámetro a, el sistema ax + y + z = 1, x + ay + z = 1, x + y + az = 1, y resuélvelo en el caso a = 0. Interpreta geométricamente cada caso de la discusión en términos de tres planos.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Sistemas de ecuaciones lineales

Puntos clave

De las ecuaciones a la forma matricial y a la ampliada

Puntos clave

Clasificar tres sistemas de dos incógnitas

Puntos clave

Discutir un sistema 3×3 con el teorema de Rouché-Frobenius

Puntos clave

Resolver un sistema 3×3 por Cramer y por Gauss

Puntos clave

Discusión completa de un sistema con parámetro

Fuentes

Sistemas de ecuaciones lineales

Puntos clave

De las ecuaciones a la forma matricial y a la ampliada

Puntos clave

Clasificar tres sistemas de dos incógnitas

Puntos clave

Discutir un sistema 3×3 con el teorema de Rouché-Frobenius

Puntos clave

Resolver un sistema 3×3 por Cramer y por Gauss

Puntos clave

Discusión completa de un sistema con parámetro

Fuentes