Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Matrices y determinantes

Las matrices son el lenguaje con el que el Álgebra Lineal organiza datos y relaciones, y los determinantes son el número que condensa la información esencial de una matriz cuadrada. Este tema, perteneciente a los sentidos numérico y algebraico de Matemáticas II, construye toda la herramienta de cálculo —operaciones, potencias, determinantes, inversa y rango— sobre la que después se apoyan los sistemas de ecuaciones lineales y la geometría del espacio. En la Selectividad / PAU es un bloque de presencia constante, tanto como pregunta propia (cálculo de inversas, determinantes con propiedades, rango con parámetro) como herramienta para resolver el resto del bloque de Álgebra.

5seccionesca. 25min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0555 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas aplicando estrategias: representación matricial de datos y de relaciones, y cálculo con matrices, determinantes, inversa y rango.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas: las matrices como modelo de grafos, de procesos cíclicos, de la economía y de la informática.CE7 · Reconocer el patrimonio matemático y su evolución, valorando la aportación de Cayley, Sylvester y Gauss a la teoría de matrices y de determinantes.

Operadores:calculaanalizajustificademuestrainterpretarazonarelacionatraducediscute

nivel básico

Como materia de modalidad, todo el contenido es exigible: domina con seguridad las operaciones, el cálculo de determinantes 2x2 y 3x3, la inversa y el rango, porque son la base operativa del resto del bloque de Álgebra.

nivel avanzado

Profundiza en las propiedades de los determinantes (efecto de las operaciones elementales sobre el valor del determinante), en las potencias en situaciones cíclicas y en la discusión del rango de matrices dependientes de uno o varios parámetros, que es donde la PAU exige razonamiento y no solo cálculo.

Profundidad

Schrift

Inhalt · 5 secciones

Matrices y determinantes

Tipos de matrices y operaciones#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico / Sentido algebraico — conjuntos de matrices: estructura y propiedades; tipos de matrices; adición, producto y producto por escalar

Una matriz de orden m×n es una tabla rectangular de números reales dispuestos en m filas y n columnas; el elemento que ocupa la fila i y la columna j se denota a_{ij}. Lejos de ser una simple tabla, una matriz es un objeto algebraico con operaciones propias: representa datos estructurados (ventas por producto y mes, conexiones de un grafo, coeficientes de un sistema) y, sobre todo, transformaciones. Comprender esta doble naturaleza —dato y operador— es la clave para entender todo el tema y su lugar dentro del bloque de Álgebra de Matemáticas II.

El currículo exige conocer y distinguir los tipos fundamentales de matrices (Fig. 1). Según la forma: matriz fila (1×n), matriz columna (m×1) y matriz cuadrada (n×n, con su diagonal principal a_{11}, a_{22}, …, a_{nn}). Entre las cuadradas destacan la matriz diagonal (todo cero fuera de la diagonal), la triangular superior o inferior (ceros por debajo o por encima de la diagonal), la matriz nula (todos los elementos cero) y la matriz identidad I_n (unos en la diagonal y ceros fuera), que actúa como elemento neutro del producto.

Tipos fundamentales de matrices cuadradas

La matriz traspuesta A^t se obtiene intercambiando filas por columnas: el elemento a_{ij} de A pasa a ocupar la posición ji en A^t. A partir de ella se definen dos tipos clave para la Selectividad: una matriz es simétrica si A^t = A (es simétrica respecto de la diagonal principal) y antisimétrica si A^t = −A (lo que obliga a tener ceros en la diagonal principal, pues a_{ii} = −a_{ii}). Conviene recordar que cualquier matriz cuadrada se descompone como suma de una simétrica y una antisimétrica.

Las operaciones son tres. La adición A + B se hace elemento a elemento y solo entre matrices del mismo orden; es conmutativa y asociativa. El producto por un escalar λ·A multiplica cada elemento por λ. El producto de matrices A·B exige que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B: si A es m×n y B es n×p, el resultado es m×p, y el elemento de la posición ij es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B (Fig. 2). La advertencia capital del tema es que el producto de matrices NO es conmutativo: en general A·B ≠ B·A, e incluso uno de los dos productos puede no estar definido. Sí cumple la asociatividad y la distributividad respecto de la suma, y tiene a la identidad como neutro.

Mecanismo del producto fila por columna

Estas propiedades configuran una estructura algebraica rica pero llena de trampas respecto a la aritmética habitual: como el producto no es conmutativo, fórmulas como (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 son falsas en general (lo correcto es A^2 + AB + BA + B^2); además, A·B = 0 no implica que A = 0 o B = 0, de modo que no existe la «ley de cancelación» sin más. Manejar con soltura estas reglas es el cimiento de todo el bloque.

(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}

Producto de matrices

El elemento ij del producto es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B; exige que el número de columnas de A iguale el de filas de B.

(A^{t})_{ij} = a_{ji}, \qquad A \text{ simétrica} \iff A^{t}=A, \qquad A \text{ antisimétrica} \iff A^{t}=-A

Traspuesta, simetría y antisimetría

La traspuesta intercambia filas y columnas; una matriz simétrica coincide con su traspuesta y una antisimétrica es su opuesta (con diagonal nula).

A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A = A, \qquad A\cdot B \neq B\cdot A \text{ (en general)}

Identidad y no conmutatividad

La matriz identidad es el neutro del producto; el producto matricial es asociativo y distributivo, pero no conmutativo.

Ejemplo resuelto

Producto de matrices y no conmutatividad

Dadas A = (1 2 ; 3 1) y B = (2 0 ; 1 4), calcula A·B y B·A y comprueba que el producto no es conmutativo.

Plantear A·B
Cada elemento es la fila de A por la columna de B. Primera fila: (1·2 + 2·1, 1·0 + 2·4) = (4, 8). Segunda fila: (3·2 + 1·1, 3·0 + 1·4) = (7, 4).
Plantear B·A
Ahora la fila de B por la columna de A. Primera fila: (2·1 + 0·3, 2·2 + 0·1) = (2, 4). Segunda fila: (1·1 + 4·3, 1·2 + 4·1) = (13, 6).
Comparar
Los dos productos están bien definidos y dan resultados distintos, lo que confirma que el producto de matrices no es conmutativo.

Resultado: A·B = (4 8 ; 7 4) y B·A = (2 4 ; 13 6); como A·B ≠ B·A, el producto matricial no es conmutativo.

Errores frecuentes

Aplicar la conmutatividad del producto (escribir A·B = B·A) o usar identidades algebraicas del tipo (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 sin tener en cuenta que el producto matricial no conmuta.
Intentar multiplicar matrices con dimensiones incompatibles (columnas de A distintas de filas de B), o sumar matrices de órdenes diferentes.

Repaso activo

Dadas A = (1 2 ; 3 1) y B = (2 0 ; 1 4), calcula A·B y B·A, comprueba que A·B ≠ B·A y determina además A·B^t.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Potencias de matrices y situaciones cíclicas#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico — potencia de una matriz cuadrada: cálculo en situaciones cíclicas

Ciclo de potencias de período 4

La potencia de una matriz cuadrada se define del modo natural: A^n = A·A·…·A (n factores), con la convención A^0 = I. Como la matriz se multiplica por sí misma, el orden no plantea problema, pero el cálculo directo de A^n para n grande es inviable; por eso el currículo se centra precisamente en las llamadas situaciones cíclicas, en las que las potencias se repiten con un período fijo y permiten dar una fórmula cerrada de A^n para cualquier n.

Una matriz presenta comportamiento cíclico (o periódico) cuando existe un entero p tal que A^p = I (o, de forma más débil, A^p = A). A partir de ahí, las potencias se repiten: A^{p+1} = A, A^{p+2} = A^2, etc. La estrategia de la Selectividad consiste en calcular las primeras potencias A^2, A^3, A^4, … hasta detectar el patrón, identificar el período p y entonces reducir el exponente mediante el resto de la división: A^n = A^{r}, donde r es el resto de dividir n entre p (Fig. 1).

Conviene reconocer dos patrones recurrentes. El primero, las potencias que vuelven a la identidad: por ejemplo, la matriz de un «giro» como (0 1 ; −1 0) cumple A^2 = −I, A^3 = −A, A^4 = I, de modo que su período es 4 y A^n depende solo de n módulo 4. El segundo, las matrices del tipo A = I + N donde N es nilpotente (alguna potencia de N es nula, N^k = 0): entonces el binomio de Newton —que SÍ es válido porque I y N conmutan— se trunca en pocos términos, y se obtiene una fórmula polinómica en n para A^n.

El binomio de Newton merece una advertencia explícita. La fórmula (A + B)^n = Σ C(n,k) A^{n−k} B^k SOLO es válida cuando A y B conmutan (A·B = B·A); en particular vale si una de ellas es la identidad o un múltiplo suyo. Cuando A = I + N, como I conmuta con todo, A^n = Σ C(n,k) N^k, y al ser N nilpotente la suma tiene muy pocos términos no nulos. Este es uno de los recursos más elegantes y más pedidos del tema.

Las potencias cíclicas no son un capricho: modelizan procesos que se repiten en el tiempo —rotaciones, permutaciones, transiciones de estados en un grafo, evolución periódica de un sistema—, lo que conecta directamente con la competencia CE6 (vínculos con la informática, la economía o la física).

A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{n}, \qquad A^{0}=I, \qquad A^{m+n}=A^{m}\cdot A^{n}

Definición de potencia

La potencia n-ésima es el producto de A por sí misma n veces; cumple las reglas usuales de exponentes porque A conmuta consigo misma.

\text{Si } A^{p}=I \ \Rightarrow\ A^{n}=A^{\,r}, \quad r = n \bmod p

Reducción cíclica del exponente

Si las potencias tienen período p, basta reducir el exponente al resto de dividir n entre p para conocer A^n.

(I+N)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} N^{k}, \qquad \text{válido porque } I N = N I

Binomio de Newton (matrices que conmutan)

Solo es lícito cuando los sumandos conmutan; con N nilpotente (N^k=0) la suma se trunca y da una fórmula cerrada de la potencia.

Ejemplo resuelto

Potencia n-ésima por el binomio de Newton

Sea A = (1 1 ; 0 1). Halla A^n para todo n natural.

Descomponer A
Escribimos A = I + N, con I la identidad 2x2 y N = (0 1 ; 0 0). Comprobamos que N es nilpotente: N^2 = (0 0 ; 0 0).
Aplicar el binomio
Como I conmuta con N, vale el binomio: A^n = (I+N)^n = Σ C(n,k) N^k. Al ser N^2 = 0, solo sobreviven los términos k=0 y k=1.
Escribir el resultado
Sumando I y nN obtenemos la matriz con un n en la esquina superior derecha.
Comprobar
Para n=2 da (1 2 ; 0 1) y para n=3 da (1 3 ; 0 1), que coinciden con el cálculo directo A^2 y A^3.

Resultado: A^n = (1 n ; 0 1) para todo n natural, obtenido con el binomio de Newton al ser N nilpotente.

Errores frecuentes

Aplicar el binomio de Newton (A+B)^n sin comprobar que A y B conmutan; con matrices generales la fórmula es falsa.
Detectar mal el período (confundir A^4 = I con A^3 = I) o equivocarse al calcular el resto del exponente, lo que da una potencia errónea.

Repaso activo

Sea A = (1 1 ; 0 1). Calcula A^2 y A^3, conjetura la forma de A^n y demuéstrala (puedes escribir A = I + N con N = (0 1 ; 0 0) y usar el binomio de Newton).

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Determinantes: definición, cálculo y propiedades#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico — determinantes: definición, propiedades y cálculo (regla de Sarrus, adjuntos)

Regla de Sarrus para un determinante 3x3

El determinante es un número real que se asigna a cada matriz CUADRADA y que condensa información esencial sobre ella: si vale cero, la matriz es singular (no tiene inversa, sus filas son linealmente dependientes); si es distinto de cero, la matriz es regular (invertible y de rango máximo). Geométricamente, el determinante mide el factor por el que la matriz dilata las áreas (en 2×2) o los volúmenes (en 3×3), lo que explica por qué reaparece en el cálculo de áreas y volúmenes con vectores.

Para una matriz 2×2, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria: |A| = a·d − b·c. Para una matriz 3×3 disponemos de la regla de Sarrus, que suma los tres productos «descendentes» (la diagonal principal y sus paralelas) y resta los tres «ascendentes» (la diagonal secundaria y sus paralelas), como muestra la Fig. 1. La regla de Sarrus es exclusiva del orden 3: NO se puede extender a 4×4.

El método general, válido para cualquier orden, es el desarrollo por adjuntos (o por cofactores, teorema de Laplace): se elige una fila o columna y se desarrolla el determinante como suma de cada elemento por su adjunto. El menor complementario M_{ij} es el determinante que queda al suprimir la fila i y la columna j; el adjunto es A_{ij} = (−1)^{i+j} M_{ij}, donde el signo sigue el «tablero de ajedrez» de signos alternados. Conviene desarrollar siempre por la fila o columna con más ceros, porque cada cero anula un sumando entero.

Las propiedades de los determinantes son tan importantes como el cálculo, y la Selectividad las explota a fondo. Las principales: el determinante de la traspuesta coincide con el de la matriz (|A^t| = |A|); si se intercambian dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por un escalar λ, el determinante queda multiplicado por λ (y por tanto |λA| = λ^n |A| en orden n); si dos filas son iguales o proporcionales el determinante es cero; el determinante no varía si a una fila le sumamos una combinación lineal de las otras (clave para «hacer ceros» antes de desarrollar); y el determinante del producto es el producto de los determinantes: |A·B| = |A|·|B|.

De estas propiedades se deduce inmediatamente una relación muy útil: |A^{-1}| = 1/|A| (tomando determinantes en A·A^{-1} = I). Además, un determinante de una matriz triangular es simplemente el producto de los elementos de su diagonal principal, lo que sugiere una estrategia muy eficaz: triangular la matriz mediante operaciones que no alteren (o alteren de forma controlada) el determinante, y multiplicar la diagonal.

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc

Determinante de orden 2

Producto de la diagonal principal menos el de la secundaria.

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}

Regla de Sarrus (orden 3)

Suma de los tres productos descendentes menos los tres ascendentes; exclusiva del orden 3.

\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,(-1)^{i+j}M_{ij}

Desarrollo por adjuntos (fila i)

Cada elemento por su adjunto, con el signo del tablero de ajedrez; M_{ij} es el menor complementario. Válido para cualquier orden.

|A^{t}|=|A|, \quad |A\cdot B|=|A|\cdot|B|, \quad |\lambda A|=\lambda^{n}|A|, \quad |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}

Propiedades clave

El determinante respeta la trasposición y el producto, escala con la potencia n del escalar y se invierte al invertir la matriz.

Ejemplo resuelto

Determinante 3x3 por Sarrus y por adjuntos

Calcula el determinante de A = (2 1 −1 ; 0 3 2 ; 1 0 4).

Regla de Sarrus — descendentes
Productos descendentes: 2·3·4 + 1·2·1 + (−1)·0·0 = 24 + 2 + 0 = 26.
Regla de Sarrus — ascendentes
Productos ascendentes (que se restan): (−1)·3·1 + 2·2·0 + 1·0·4 = −3 + 0 + 0 = −3.
Combinar
El determinante es la suma de descendentes menos ascendentes: 26 − (−3) = 29.
Comprobar por adjuntos (1ª columna)
Desarrollando por la primera columna: 2·det(3 2 ; 0 4) − 0·(…) + 1·det(1 −1 ; 3 2) = 2·(12) + 1·(2−(−3)) = 24 + 5 = 29. Coincide.

Resultado: |A| = 29 (coincide por Sarrus y por desarrollo por adjuntos).

Errores frecuentes

Aplicar la regla de Sarrus a matrices que no son 3×3 (no existe Sarrus para orden 4) o equivocar los signos de las diagonales ascendentes.
Olvidar el signo (−1)^{i+j} del adjunto, o creer que |A+B| = |A| + |B| (falso: el determinante no es lineal respecto de la suma de matrices).

Repaso activo

Calcula el determinante de la matriz A = (2 1 −1 ; 0 3 2 ; 1 0 4) por la regla de Sarrus y, después, por desarrollo por la primera columna, comprobando que coinciden.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Matriz inversa: cálculo por adjuntos y por Gauss#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico — matriz inversa: definición, propiedades y cálculo

Pasos del cálculo de la inversa por adjuntos

La matriz inversa de una matriz cuadrada A es la única matriz A^{-1} que cumple A·A^{-1} = A^{-1}·A = I. No toda matriz cuadrada la tiene: una matriz es invertible (regular) si y solo si su determinante es distinto de cero; si |A| = 0 se llama singular y carece de inversa. La inversa es la pieza que permite «despejar» en las ecuaciones matriciales y resolver sistemas de forma compacta, por lo que es uno de los contenidos más rentables del bloque de Álgebra.

El primer método es el cálculo por adjuntos. Se construye la matriz de adjuntos o cofactores (cuyos elementos son A_{ij} = (−1)^{i+j} M_{ij}) y su traspuesta se divide por el determinante. La fórmula es A^{-1} = (1/|A|)·(Adj A)^t, donde (Adj A) es la matriz cuyos elementos son los adjuntos A_{ij} = (−1)^{i+j} M_{ij}. El procedimiento ordenado es: (1) comprobar |A| ≠ 0; (2) calcular todos los menores complementarios; (3) aplicar el tablero de signos para obtener los adjuntos; (4) trasponer; (5) dividir por |A| (Fig. 1). El orden de los pasos (trasponer y dividir) es donde más errores se cometen.

El segundo método es la inversa por el método de Gauss-Jordan. Se forma la matriz ampliada (A | I) y, mediante operaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra), se transforma A en la identidad; las mismas operaciones convierten la I de la derecha en A^{-1}: (A | I) → (I | A^{-1}). Es especialmente eficiente para órdenes 3 y superiores, donde el método de adjuntos se vuelve laborioso. Si en el proceso aparece una fila de ceros en la parte izquierda, la matriz no es invertible.

Las propiedades de la inversa estructuran su uso. La inversa de un producto invierte el orden: (A·B)^{-1} = B^{-1}·A^{-1} (otra manifestación de la no conmutatividad). Además, (A^{-1})^{-1} = A, (A^t)^{-1} = (A^{-1})^t y |A^{-1}| = 1/|A|. La regla de inversión del orden en el producto es decisiva al resolver ecuaciones matriciales: hay que multiplicar por la inversa por el lado correcto (por la izquierda o por la derecha), porque el producto no conmuta.

La inversa es la herramienta natural para resolver ecuaciones matriciales del tipo A·X = B o X·A = B: si A es invertible, se despeja X = A^{-1}·B (multiplicando por la izquierda) o X = B·A^{-1} (multiplicando por la derecha), respetando siempre el lado. Esta técnica enlaza directamente con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la expresión matricial AX = b, que se estudia en el tema siguiente.

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I, \qquad A^{-1} \text{ existe} \iff |A|\neq 0

Definición y condición de existencia

La inversa es el neutro multiplicativo por ambos lados; existe exactamente cuando el determinante no se anula.

A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^{t}

Inversa por adjuntos

Se construye la matriz de adjuntos (cofactores con signo), se traspone y se divide por el determinante.

(A\mid I) \xrightarrow{\;\text{operaciones de fila}\;} (I\mid A^{-1})

Inversa por Gauss-Jordan

Las operaciones elementales que llevan A a la identidad transforman la identidad en la inversa.

(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}, \qquad (A^{-1})^{-1}=A, \qquad (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}

Propiedades de la inversa

La inversa de un producto invierte el orden de los factores; la inversa es involutiva y conmuta con la trasposición.

Ejemplo resuelto

Inversa de una matriz 3x3 por adjuntos

Calcula la inversa de C = (1 0 1 ; 2 1 0 ; 1 1 1) por el método de los adjuntos.

Determinante
Por adjuntos sobre la primera fila: |C| = 1·(1·1 − 0·1) − 0 + 1·(2·1 − 1·1) = 1·1 + 1·1 = 2 ≠ 0, así que C es invertible.
Matriz de adjuntos
Calculamos los nueve adjuntos A_{ij} = (−1)^{i+j}M_{ij}: A11=1, A12=−2, A13=1; A21=1, A22=0, A23=−1; A31=−1, A32=2, A33=1.
Trasponer
Trasponemos la matriz de adjuntos intercambiando filas por columnas.
Dividir por |C|
Dividimos cada elemento por el determinante (2) para obtener la inversa.
Verificar
Multiplicando C·C^{-1} se obtiene la identidad I, lo que confirma el resultado.

Resultado: C^{-1} = (1/2)·(1 1 −1 ; −2 0 2 ; 1 −1 1), es decir (0,5 0,5 −0,5 ; −1 0 1 ; 0,5 −0,5 0,5).

Errores frecuentes

Olvidar trasponer la matriz de adjuntos (o trasponer al final en vez de antes de dividir), y descuidar los signos (−1)^{i+j} de los cofactores.
Despejar mal en una ecuación matricial multiplicando por la inversa por el lado equivocado (escribir X = A^{-1}B cuando la ecuación es XA = B, donde lo correcto es X = BA^{-1}).

Repaso activo

Dada la matriz C = (1 0 1 ; 2 1 0 ; 1 1 1), comprueba que es invertible y calcula su inversa por el método de los adjuntos; verifica el resultado comprobando que C·C^{-1} = I.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Rango de una matriz (con y sin parámetros)#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico / Sentido algebraico — cálculo del rango de una matriz, posiblemente dependiente de parámetros, por Gauss o por determinantes; matrices para representar datos y situaciones de contexto real

Cálculo del rango por el método de Gauss

El rango de una matriz es el número de filas (equivalentemente, de columnas) linealmente independientes que contiene. Es una medida de la «información efectiva» de la matriz y resulta ser el concepto que articula todo el bloque de Álgebra: el rango decide si una matriz es invertible (una matriz n×n es regular si y solo si su rango es n) y, mediante el teorema de Rouché-Frobenius del tema siguiente, decide la compatibilidad y el tipo de solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Hay dos métodos para calcularlo. Por menores (determinantes): el rango es el orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de la matriz; se busca, de forma orlada, un menor de orden 1 no nulo, luego uno de orden 2 que lo contenga, y así sucesivamente, hasta que no haya ningún menor de orden superior distinto de cero. Por el método de Gauss: se escalona la matriz mediante operaciones elementales por filas (que no alteran el rango) y se cuenta el número de filas no nulas (escalones) que quedan (Fig. 1). En la práctica, Gauss suele ser más rápido para matrices grandes y los menores son cómodos cuando hay un parámetro.

El contenido estrella de la Selectividad es la discusión del rango de una matriz que depende de uno o varios parámetros. La estrategia con determinantes es: tomar el mayor menor posible (si la matriz es cuadrada, su propio determinante), igualarlo a cero y resolver la ecuación en el parámetro; esos valores son los «valores críticos». Para los valores del parámetro que NO anulan el determinante, el rango es máximo; para cada valor crítico se sustituye y se recalcula el rango con un menor de orden inferior. Así se obtiene una discusión completa, normalmente por casos.

Las operaciones elementales por filas conservan el rango: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra no cambian el número de filas independientes. Esto justifica el método de Gauss y, además, permite simplificar una matriz antes de calcular menores. Conviene recordar que el rango de A coincide con el rango de su traspuesta (rg A = rg A^t), de modo que se puede trabajar indistintamente por filas o por columnas.

Una matriz es invertible exactamente cuando su rango es máximo (igual a su orden) o, equivalentemente, cuando su determinante es no nulo: las tres condiciones —determinante ≠ 0, rango máximo, filas linealmente independientes— son distintas formas de decir lo mismo. Esta equivalencia es la columna vertebral del álgebra lineal de Matemáticas II y enlaza este tema con la inversa, los sistemas y la geometría. Las matrices, por lo demás, sirven para representar datos estructurados y situaciones reales —matrices de adyacencia de grafos, tablas de transición, datos económicos—, donde el rango informa de cuánta «independencia» real hay en esos datos (competencias CE1 y CE6).

\operatorname{rg}(A)=\text{orden del mayor menor no nulo}=\text{n.º de filas no nulas tras escalonar}

Dos definiciones operativas del rango

Por menores: el mayor orden con determinante no nulo. Por Gauss: el número de escalones (filas no nulas) tras escalonar.

A_{n\times n} \text{ invertible} \iff |A|\neq 0 \iff \operatorname{rg}(A)=n

Rango máximo e invertibilidad

Para una matriz cuadrada, tener rango máximo equivale a determinante no nulo y a ser invertible.

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{t}), \qquad \text{las operaciones elementales por filas conservan el rango}

Invariancia del rango

El rango por filas y por columnas coincide, y no cambia bajo operaciones elementales por filas.

Ejemplo resuelto

Discusión del rango de una matriz con parámetro

Discute, según los valores del parámetro real m, el rango de M = (1 1 1 ; 1 m 1 ; 1 1 m).

Calcular el determinante
Desarrollando (por ejemplo restando la primera fila a las otras dos) se obtiene un determinante factorizado. El cálculo da |M| = (m−1)^2.
Valores críticos
Igualamos a cero: (m−1)^2 = 0 ⟹ m = 1. Ese es el único valor crítico.
Caso m ≠ 1
Si m ≠ 1, el determinante es distinto de cero, luego la matriz tiene rango máximo: rg(M) = 3.
Caso m = 1
Sustituyendo m = 1, las tres filas son iguales a (1, 1, 1). Solo hay una fila independiente, así que rg(M) = 1.

Resultado: Si m ≠ 1, rg(M) = 3; si m = 1, rg(M) = 1.

Errores frecuentes

Olvidar discutir los casos críticos: dar solo el rango genérico sin sustituir los valores del parámetro que anulan el determinante para recalcular el rango en cada uno.
Realizar operaciones por filas que no conservan el rango (por ejemplo multiplicar una fila por 0) o confundir una fila de ceros con un escalón válido al contar el rango por Gauss.

Repaso activo

Discute, según los valores del parámetro real m, el rango de la matriz M = (1 1 1 ; 1 m 1 ; 1 1 m).

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Matrices y determinantes

Puntos clave

Producto de matrices y no conmutatividad

Puntos clave

Potencia n-ésima por el binomio de Newton

Puntos clave

Determinante 3x3 por Sarrus y por adjuntos

Puntos clave

Inversa de una matriz 3x3 por adjuntos

Puntos clave

Discusión del rango de una matriz con parámetro

Fuentes

Matrices y determinantes

Puntos clave

Producto de matrices y no conmutatividad

Puntos clave

Potencia n-ésima por el binomio de Newton

Puntos clave

Determinante 3x3 por Sarrus y por adjuntos

Puntos clave

Inversa de una matriz 3x3 por adjuntos

Puntos clave

Discusión del rango de una matriz con parámetro

Fuentes