Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Integrales y cálculo de áreas

El cálculo integral cierra el bloque de Análisis de Matemáticas II: invierte el proceso de derivación mediante las primitivas y, a través del teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow, convierte ese cálculo en una herramienta de medida que da el área bajo una curva, el área entre curvas y el volumen de los sólidos de revolución alrededor del eje OX. Es uno de los contenidos más rentables y recurrentes de la fase de acceso de la Selectividad (PAU), pues combina técnica de integración (inmediatas, por partes, cambio de variable, racionales con raíces reales) con interpretación geométrica. Todo el tema está dentro del examen de Selectividad.

5seccionesca. 22min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 2 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0444 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la ciencia y la tecnología aplicando el concepto de integral al cálculo de áreas de superficies planas y de volúmenes de revolución.CE2 · Verificar la validez de las soluciones empleando el razonamiento y la argumentación: comprobar una primitiva por derivación, justificar el valor absoluto del integrando en un área y discutir el signo del resultado.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, reconociendo la integral definida como acumulación (espacio a partir de la velocidad, trabajo, masa) en física e ingeniería.

Operadores:calculaintegradeterminademuestrajustificainterpretarazonahallaaplicarepresenta

nivel básico

Las técnicas de integración (inmediatas, partes, cambio de variable y racionales con raíces reales del denominador), la regla de Barrow y el cálculo de áreas constituyen contenido exigible de la materia de modalidad Matemáticas II y aparecen casi en cada convocatoria.

nivel avanzado

La profundización de modalidad incluye encadenar la integración por partes (casos cíclicos y reductivos), combinar cambio de variable con descomposición en fracciones simples y resolver problemas completos de área entre varias curvas o de volumen de revolución que exigen modelizar antes de integrar.

Profundidad

Schrift

Inhalt · 5 secciones

Integrales y cálculo de áreas

Primitivas e integral indefinida: propiedades#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Concepto de primitiva y sus propiedades; relación entre dos primitivas de una misma función; dada una familia de primitivas, determinar aquella cuya gráfica pase por un punto dado.

La integración como proceso inverso de la derivación

Integrar es, esencialmente, derivar al revés. Una función F es una primitiva de f en un intervalo I si F es derivable en I y F'(x) = f(x) para todo x de I. Así, F(x) = x² es una primitiva de f(x) = 2x porque al derivar x² recuperamos 2x. Este apartado fija el lenguaje básico del cálculo integral y la idea, repetida en toda la unidad, de que la integración deshace la derivación.

Una función no tiene una única primitiva, sino infinitas. El resultado central es que dos primitivas cualesquiera de una misma función en un intervalo se diferencian en una constante: si F'(x) = G'(x) = f(x) en I, entonces (F − G)'(x) = 0, y una función con derivada nula en un intervalo es constante (consecuencia del teorema del valor medio, repaso de la unidad de derivadas). Por eso a la primitiva siempre se le suma una constante arbitraria C, llamada constante de integración.

Al conjunto de TODAS las primitivas de f se le llama integral indefinida y se escribe ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde F es una primitiva cualquiera y C ∈ ℝ. Geométricamente, esa familia es un haz de curvas paralelas verticales: cada valor de C traslada la gráfica de F hacia arriba o hacia abajo sin cambiar su forma, ya que todas comparten la misma pendiente en cada abscisa (Fig. 2).

La integral indefinida es un operador lineal: la integral de una suma es la suma de las integrales y las constantes multiplicativas salen fuera del signo integral, es decir ∫ [a·f(x) + b·g(x)] dx = a·∫ f(x) dx + b·∫ g(x) dx. Esta propiedad, que descompone integrales complicadas en otras inmediatas, se usará en absolutamente todos los apartados siguientes.

Un tipo de problema muy habitual es, dada la familia de primitivas, determinar aquella cuya gráfica pasa por un punto concreto. Se integra para obtener F(x) + C y después se impone la condición F(x₀) + C = y₀, lo que fija el valor de C. Esta misma idea, llamada problema de valores iniciales, es la que en física permite recuperar la posición a partir de la velocidad o la velocidad a partir de la aceleración.

\int f(x)\,dx = F(x) + C \iff F'(x) = f(x)

Definición de integral indefinida

F es una primitiva de f y C es una constante real arbitraria.

F'(x) = G'(x)\ \text{en } I \Rightarrow F(x) - G(x) = C

Relación entre dos primitivas

Dos primitivas de una misma función en un intervalo se diferencian en una constante.

\int \big[a\,f(x) + b\,g(x)\big]\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx

Linealidad

La integral indefinida es lineal: suma de integrales y constantes que salen fuera.

Ejemplo resuelto

La primitiva que pasa por un punto

Halla la función F(x) sabiendo que F'(x) = 3x² − 2x + 1 y que su gráfica pasa por el punto P(1, 4).

Integrar término a término (linealidad)
Aplicamos la integral inmediata de una potencia a cada sumando.
Imponer la condición del punto
La gráfica pasa por P(1, 4), de modo que F(1) = 4.
Despejar la constante
De 1 + C = 4 obtenemos el valor de C.
Comprobar derivando
Derivamos el resultado y debe recuperarse f(x).

Resultado: F(x) = x³ − x² + x + 3.

Errores frecuentes

Olvidar la constante de integración «+ C» al escribir una integral indefinida, lo que la convierte en una sola primitiva en lugar de toda la familia.
Confundir el operador integral con su inverso y derivar cuando se pide integrar (o viceversa), o creer que ∫ f·g dx = (∫ f dx)·(∫ g dx), igualdad que es FALSA.

Repaso activo

De la familia de primitivas de f(x) = 3x² − 2x + 1, determina aquella cuya gráfica pasa por el punto P(1, 4). Comprueba tu resultado derivándolo.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Métodos de integración: inmediatas, partes, cambio de variable y racionales#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Primitivas inmediatas; primitivas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales; método de integración por partes (aplicándolo reiteradamente); técnica de integración por cambio de variable.

Mapa de decisión: ¿qué método de integración aplicar?

Saber integrar es saber elegir el método. El currículo de Matemáticas II fija cuatro técnicas para esta unidad: las primitivas inmediatas (leer al revés la tabla de derivadas), la integración por partes, el cambio de variable y la descomposición de funciones racionales en fracciones simples cuando las raíces del denominador son reales. Reconocer a qué tipo pertenece el integrando es la mitad del problema.

Las primitivas inmediatas son las que se obtienen directamente invirtiendo una derivada conocida. Las imprescindibles son la regla de la potencia ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (con n ≠ −1), el caso logarítmico ∫ 1/x dx = ln|x| + C, la exponencial ∫ eˣ dx = eˣ + C y las trigonométricas básicas. Una variante muy útil es la integral cuasi-inmediata, en la que aparece la derivada del «interior»: ∫ f'(x)·[f(x)]ⁿ dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/(n+1) + C y ∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.

La integración por partes procede de la regla del producto de la derivada e invierte un producto que no se simplifica solo: ∫ u dv = u·v − ∫ v du. Se elige como u la parte que se simplifica al derivar y como dv el resto, que debe ser fácil de integrar; una regla mnemotécnica habitual para escoger u es el orden ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/cosenos). A veces hay que aplicarla varias veces de forma reiterada, o aparece de nuevo la integral original (caso cíclico) y se despeja como una incógnita (Fig. 3).

El cambio de variable (o sustitución) traduce la integral a otra más sencilla mediante una nueva variable u = g(x). Se sustituye g(x) por u y, sobre todo, g'(x) dx por du (no olvidar el diferencial). El cambio es eficaz cuando en el integrando aparece una función y su derivada; tras integrar en u se deshace el cambio para volver a x. Es la versión integral de la regla de la cadena.

Para integrar una función racional P(x)/Q(x) con raíces reales en el denominador, primero, si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se efectúa la división polinómica; después se factoriza Q(x) y se descompone la fracción restante en fracciones simples (una por cada factor (x − a), del tipo A/(x − a), y para raíces múltiples también A/(x − a)²). Cada fracción simple se integra como un logaritmo o como una potencia, lo que reduce el problema a casos inmediatos.

\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad (n \neq -1), \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

Inmediatas básicas

Regla de la potencia y caso logarítmico.

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

Integración por partes

Inversión de la regla del producto; elige u por el criterio ALPES.

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du,\quad u = g(x),\ du = g'(x)\,dx

Cambio de variable

Versión integral de la regla de la cadena; no olvides el diferencial du.

\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}

Fracciones simples (raíces reales simples)

Cada factor lineal aporta una fracción simple integrable como logaritmo.

Ejemplo resuelto

Por partes y por fracciones simples

Calcula: (a) ∫ x·eˣ dx por partes; (b) ∫ (3x+5)/(x²+x−2) dx descomponiendo en fracciones simples.

(a) Elegir u y dv
Por ALPES, el polinomio se deriva: u = x y dv = eˣ dx, de donde du = dx y v = eˣ.
(a) Aplicar la fórmula
Sustituimos en ∫ u dv = u·v − ∫ v du.
(b) Factorizar el denominador
Las raíces de x²+x−2 son x = 1 y x = −2.
(b) Descomponer y hallar A y B
Imponemos 3x+5 = A(x+2) + B(x−1). Con x=1: 8 = 3A ⇒ A = 8/3. Con x=−2: −1 = −3B ⇒ B = 1/3.
(b) Integrar las fracciones simples
Cada sumando es un logaritmo.

Resultado: (a) ∫ x·eˣ dx = eˣ(x − 1) + C. (b) ∫ (3x+5)/(x²+x−2) dx = (8/3)·ln|x−1| + (1/3)·ln|x+2| + C.

Errores frecuentes

En el cambio de variable, sustituir g(x) por u pero olvidar cambiar dx por du/g'(x) (o el factor que corresponda), lo que invalida la integral.
Al descomponer en fracciones simples, equivocar el sistema de coeficientes o no hacer primero la división polinómica cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador.

Repaso activo

Calcula las siguientes primitivas, indicando en cada caso el método empleado: (a) ∫ x·ln(x) dx; (b) ∫ x/(x²+1) dx; (c) ∫ (2x−1)/((x−3)(x+1)) dx.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Integral definida, regla de Barrow y propiedades#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva; aplicación de la regla de Barrow; propiedad de linealidad de la integral respecto al integrando y aditividad respecto al intervalo de integración.

Aproximación del área por sumas de Riemann (rectángulos)

La integral definida nace de un problema de medida: ¿cuánto vale el área comprendida entre la gráfica de una función positiva, el eje OX y dos rectas verticales x = a, x = b? La idea de Riemann es aproximar esa región por rectángulos cada vez más finos; la suma de sus áreas, al hacer que la base tienda a cero, converge a un número que se escribe ∫ₐᵇ f(x) dx. En este límite, a y b son los límites de integración.

El puente entre el problema de área (integral definida) y el cálculo de primitivas (integral indefinida) es el teorema fundamental del cálculo: si f es continua en [a, b], la función área acumulada F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt es derivable y su derivada es la propia f, es decir F'(x) = f(x). Esto demuestra que derivar e integrar son operaciones inversas y que toda función continua tiene primitiva.

De ese teorema se deduce la herramienta de cálculo del tema, la regla de Barrow: para evaluar una integral definida basta hallar una primitiva cualquiera F de f y restar sus valores en los extremos, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Por eso, en una integral definida la constante de integración es irrelevante (se cancela en la resta) y el resultado es siempre un número, no una función.

La integral definida hereda la linealidad de la indefinida, ∫ₐᵇ [α·f + β·g] dx = α·∫ₐᵇ f dx + β·∫ₐᵇ g dx, y añade la propiedad de aditividad respecto al intervalo: si c está entre a y b, entonces ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫꜀ᵇ f dx. Esta última es clave para integrar funciones definidas a trozos o para separar tramos en los que la función cambia de signo.

Conviene distinguir el valor de la integral del área. La integral ∫ₐᵇ f(x) dx cuenta como negativa el área que queda por debajo del eje OX; coincide con el área solo cuando f ≥ 0 en todo [a, b]. Además ∫ₐᵃ f dx = 0 e invertir los límites cambia el signo: ∫ᵇₐ f dx = −∫ₐᵇ f dx. Tenerlo presente evita errores graves de signo en el apartado de cálculo de áreas.

\int_{a}^{x} f(t)\,dt = F(x),\qquad F'(x) = f(x)

Teorema fundamental del cálculo

La función área acumulada es una primitiva de f (f continua).

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a),\quad F \text{ primitiva de } f

Regla de Barrow

Evalúa la integral definida restando los valores de una primitiva en los extremos.

\int_{a}^{b} f\,dx = \int_{a}^{c} f\,dx + \int_{c}^{b} f\,dx

Aditividad respecto al intervalo

Permite descomponer el intervalo de integración por un punto intermedio c.

\int_{a}^{a} f\,dx = 0,\qquad \int_{b}^{a} f\,dx = -\int_{a}^{b} f\,dx

Propiedades de los límites

Intervalo nulo e inversión de límites.

Ejemplo resuelto

Regla de Barrow con cambio de signo y aditividad

Calcula el valor de la integral definida ∫₀² (x³ − 2x) dx y, a continuación, calcula el área que la curva y = x³ − 2x encierra con el eje OX en [0, 2].

Hallar una primitiva
Integramos por la regla de la potencia.
Aplicar Barrow para la integral
Restamos F(2) − F(0); F(2) = 16/4 − 4 = 0 y F(0) = 0.
Localizar el corte con OX
x³ − 2x = x(x² − 2) = 0 en [0,2] ⇒ x = 0 y x = √2; la función es negativa en (0, √2) y positiva en (√2, 2).
Calcular el área tramo a tramo
El área toma el valor absoluto de cada trozo. F(√2) = (4)/4 − 2 = −1, F(0)=0, F(2)=0.

Resultado: La integral vale 0 (el área bajo el eje cancela al área sobre el eje), pero el área encerrada es 2 unidades cuadradas.

Errores frecuentes

Confundir el valor de la integral con el área cuando la función toma valores negativos: una integral puede dar 0 o negativo y sin embargo el área encerrada ser positiva.
Evaluar mal la regla de Barrow restando F(a) − F(b) en lugar de F(b) − F(a), o equivocar el signo al sustituir los extremos.

Repaso activo

Calcula ∫₋₁³ (x² − 1) dx mediante la regla de Barrow e interpreta por qué el resultado obtenido NO coincide con el área que la curva encierra con el eje OX en [−1, 3].

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Cálculo de áreas entre curvas#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Cálculo de áreas mediante integrales definidas; técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de superficies planas.

La aplicación estrella de la integral definida es medir áreas planas. Para el área entre una curva y el eje OX hay que respetar el signo: el área es ∫ₐᵇ |f(x)| dx, lo que en la práctica obliga a localizar los puntos donde f corta al eje, partir el intervalo y sumar el valor absoluto de la integral en cada tramo. Tomar directamente la integral, sin valor absoluto, mide un área con signo, no el área geométrica.

Para el área de la región comprendida entre dos curvas y = f(x) e y = g(x), la fórmula es ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, donde a y b son las abscisas de los puntos de corte de ambas curvas (se resuelve la ecuación f(x) = g(x)). Dentro de cada tramo, la curva «de arriba» menos la «de abajo» da una diferencia positiva, de modo que el integrando |f − g| equivale a integrar (curva superior − curva inferior).

El procedimiento sistemático es siempre el mismo: (1) hallar los puntos de corte resolviendo f(x) = g(x); (2) determinar en qué tramos cada función está por encima de la otra (con un valor de prueba o un esbozo gráfico); (3) plantear la integral de la diferencia, tramo a tramo, con la función superior menos la inferior; (4) aplicar la regla de Barrow y sumar. Un esbozo de las gráficas evita casi todos los errores de signo.

Las áreas se expresan siempre en unidades cuadradas (u²) y nunca son negativas. Si al aplicar Barrow obtienes un valor negativo, es señal inequívoca de que has restado las curvas en el orden equivocado en ese tramo: basta cambiar el signo o reordenar superior e inferior. Cuando la región presenta simetría respecto a un eje, calcular media área y duplicar ahorra tiempo.

En ciertos problemas la región se describe mejor integrando respecto al eje OY, es decir tratando x como función de y e integrando entre límites en y. No obstante, el currículo de Matemáticas II y la PAU centran el cálculo en regiones acotadas por curvas y = f(x) integradas respecto a x; conviene dominar primero ese caso y reservar la integración en y para situaciones en que simplifique de forma evidente.

A = \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx

Área entre una curva y el eje OX

Hay que partir el intervalo en los cortes con OX y sumar el valor absoluto por tramos.

A = \int_{a}^{b} \big| f(x) - g(x) \big|\,dx

Área entre dos curvas

a y b son los puntos de corte f(x)=g(x); por tramos se integra (superior − inferior).

f(x) = g(x) \;\Rightarrow\; \text{abscisas de corte } a,\,b

Localización de los límites

Resolver la ecuación de corte da los extremos de integración.

Ejemplo resuelto

Área entre una parábola y una recta

Calcula el área de la región del plano limitada por la parábola y = −x² + 4x y la recta y = x.

Hallar los puntos de corte
Igualamos las dos funciones: −x² + 4x = x.
Decidir la curva superior
En x = 1, la parábola vale −1+4 = 3 y la recta vale 1; la parábola queda por encima en (0, 3).
Plantear la integral de la diferencia
Integramos la función superior menos la inferior entre 0 y 3.
Aplicar la regla de Barrow
La primitiva es −x³/3 + 3x²/2; evaluamos en 3 y en 0.

Resultado: El área de la región es 9/2 = 4,5 unidades cuadradas.

Errores frecuentes

Olvidar los puntos de corte y partir mal el intervalo, o integrar (f − g) sin comprobar qué función va por encima, obteniendo un área negativa.
Calcular el área entre dos curvas restando por separado las dos áreas respecto al eje OX en vez de integrar directamente la diferencia f − g, lo que complica el problema y suele provocar errores de signo.

Repaso activo

Calcula el área de la región del plano limitada por las curvas y = x² − 2x e y = x. Haz un esbozo, localiza los puntos de corte y plantea la integral de la diferencia.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Volúmenes de revolución alrededor del eje OX#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de volúmenes de revolución al girar alrededor del eje OX.

Método de los discos: rebanada perpendicular al eje OX

Cuando una región plana situada bajo la gráfica de y = f(x) gira una vuelta completa alrededor del eje OX, genera un sólido de revolución, como un cono, una esfera o un paraboloide. El currículo de Matemáticas II limita explícitamente este contenido al giro alrededor del eje OX, que es el único caso exigible en la PAU.

La idea para medir su volumen es cortar el sólido en rebanadas perpendiculares al eje de giro. Cada rebanada, de grosor infinitesimal dx, es un disco circular de radio f(x), cuya área es π·[f(x)]². Sumando (integrando) el volumen de todos esos discos finos entre x = a y x = b se obtiene el método de los discos, base de la fórmula del tema.

La fórmula del volumen de revolución alrededor del eje OX es, por tanto, V = π·∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Es esencial recordar que la función va elevada al cuadrado (porque el área del disco depende del radio al cuadrado) y que ese cuadrado se calcula DENTRO de la integral, antes de integrar, no después. El resultado se expresa en unidades cúbicas (u³) y es siempre positivo.

El procedimiento práctico consiste en: (1) identificar la función f(x) cuya gráfica gira y los límites a y b; (2) escribir el integrando [f(x)]²; (3) desarrollar el cuadrado y obtener una primitiva; (4) aplicar la regla de Barrow y multiplicar por π. Con esta fórmula se reobtienen las fórmulas clásicas de volumen: girando la recta y = (r/h)·x se recupera el volumen del cono V = (1/3)πr²h y girando el semicírculo y = √(r² − x²) se recupera el de la esfera V = (4/3)πr³, lo que conecta el cálculo integral con la geometría elemental.

Conviene no confundir esta fórmula con la del área: el área usa ∫ |f| dx (lineal en f), mientras que el volumen usa π·∫ f² dx (cuadrático en f). Por la presencia del cuadrado, en un volumen de revolución no hay problema de cambio de signo del integrando: [f(x)]² es siempre no negativo, de modo que un tramo de la curva por debajo del eje OX contribuye igual que si estuviera por encima.

V = \pi \int_{a}^{b} \big[\,f(x)\,\big]^{2}\,dx

Volumen de revolución (eje OX, método de los discos)

Cada rebanada es un disco de radio f(x) y área π·[f(x)]²; se integra entre a y b.

dV = \pi\,[f(x)]^{2}\,dx

Volumen del disco elemental

Disco de grosor dx perpendicular al eje OX cuyo radio es f(x).

V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^{2} h, \qquad V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}

Casos clásicos recuperados

Se obtienen aplicando la fórmula a la recta y al semicírculo, respectivamente.

Ejemplo resuelto

Volumen al girar y = √x alrededor de OX

Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje OX la región limitada por la curva y = √x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4.

Plantear la fórmula de los discos
El radio de cada disco es f(x) = √x; integramos su cuadrado entre 0 y 4.
Simplificar el integrando
El cuadrado de la raíz es la propia x.
Hallar la primitiva
Integramos x por la regla de la potencia.
Aplicar la regla de Barrow
Evaluamos entre 0 y 4 y multiplicamos por π.

Resultado: El volumen del sólido de revolución es 8π ≈ 25,13 unidades cúbicas.

Errores frecuentes

Olvidar elevar al cuadrado la función (o elevar al cuadrado fuera de la integral), o no incluir el factor π en el resultado.
Aplicar la fórmula del área (∫ |f| dx) cuando se pide un volumen de revolución, o intentar girar alrededor de un eje distinto de OX (no exigido en el currículo de Matemáticas II).

Repaso activo

Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje OX la región limitada por la curva y = x + 1, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Integrales y cálculo de áreas

Puntos clave

La primitiva que pasa por un punto

Puntos clave

Por partes y por fracciones simples

Puntos clave

Regla de Barrow con cambio de signo y aditividad

Puntos clave

Área entre una parábola y una recta

Puntos clave

Volumen al girar y = √x alrededor de OX

Fuentes

Integrales y cálculo de áreas

Puntos clave

La primitiva que pasa por un punto

Puntos clave

Por partes y por fracciones simples

Puntos clave

Regla de Barrow con cambio de signo y aditividad

Puntos clave

Área entre una parábola y una recta

Puntos clave

Volumen al girar y = √x alrededor de OX

Fuentes