Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Representación de funciones

Este tema integra todo el análisis de Matemáticas II —límites, continuidad y derivabilidad— en un único procedimiento: el estudio completo de una función y el esbozo razonado de su gráfica. Aprenderás a determinar el dominio, las simetrías, los cortes con los ejes, las asíntotas, la monotonía, los extremos, la curvatura y los puntos de inflexión, y a leer una gráfica en sentido inverso (de la función a su derivada y viceversa), apoyándote en herramientas digitales como GeoGebra o Desmos. Es uno de los contenidos más rentables de la fase de acceso de la Selectividad/PAU, porque condensa en una sola tarea casi todo el bloque de Análisis.

5seccionesca. 22min de lectura3competenciasNivelEstándar 3 · Profundización 2Revisado · 06/2026

T·0333 / 12

Perfil de examen

CE3 · Formular y comprobar conjeturas sencillas sobre el comportamiento de una función, utilizando el razonamiento, la abstracción y las herramientas tecnológicas.CE4 · Utilizar los principios del pensamiento computacional y la modelización con medios tecnológicos para representar y explorar funciones.CE8 · Comunicar conceptos, procedimientos y argumentos matemáticos usando el lenguaje gráfico y distintas representaciones.

Operadores:analizarepresentaesbozaestudiacalculajustificainterpretarazonarelacionalocaliza

nivel básico

El esbozo razonado de una función a partir de su dominio, asíntotas, monotonía y extremos es exigible a todo el alumnado de Matemáticas II como síntesis del bloque de Análisis.

nivel avanzado

Como materia de modalidad, se profundiza en el estudio completo (curvatura, puntos de inflexión, lectura inversa f↔f' y funciones definidas a trozos) y en el uso crítico de herramientas digitales, que apoyan pero no sustituyen el análisis.

Profundidad

Schrift

Inhalt · 5 secciones

Representación de funciones

El guion del estudio completo de una función#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida / Sentido algebraico

Representar una función no es «dibujarla a ojo»: es aplicar de forma ordenada todo lo aprendido sobre límites, continuidad y derivabilidad para obtener un esbozo fiel a sus propiedades globales y locales. El currículo de Matemáticas II fija un guion estándar que conviene memorizar y seguir siempre en el mismo orden, porque cada paso prepara al siguiente. La Fig. 1 muestra ese guion como una lista de verificación que debes recorrer entera antes de trazar la curva.

Guion de verificación del estudio de una función

El estudio completo consta de siete bloques: (1) dominio de definición; (2) simetrías (par o impar) y periodicidad; (3) cortes con los ejes y signo de la función; (4) asíntotas y comportamiento en el infinito (límites); (5) monotonía y extremos relativos (signo de la primera derivada f'); (6) curvatura —concavidad y convexidad— y puntos de inflexión (signo de la segunda derivada f''); y (7) síntesis: con toda esa información se dibuja la gráfica. El orden no es caprichoso: el dominio acota dónde tiene sentido todo lo demás, y las asíntotas más la monotonía bastan ya para un esbozo razonable.

Es esencial distinguir las propiedades globales —dominio, simetría, periodicidad, asíntotas, que describen el comportamiento «de lejos»— de las propiedades locales —cortes, extremos, inflexiones, que describen el comportamiento «de cerca» en puntos concretos. Una buena representación encaja ambas: el esqueleto global (asíntotas y ramas infinitas) y los detalles locales (picos, valles y cambios de curvatura). Cuando el dibujo final contradice algún dato calculado, hay un error en alguna parte del estudio; el esbozo es también una herramienta de autocomprobación.

Conviene apoyarse en una tabla de signos: una recta numérica donde marcas los puntos «especiales» (los que anulan o no definen f, f' o f'') y, en cada intervalo, anotas el signo de f' (crece ↗ / decrece ↘) y el de f'' (convexa ∪ / cóncava ∩). Esa tabla traduce los cálculos en información visual directa. El objetivo del tema es que sepas hacer este recorrido tanto a mano —razonándolo— como con apoyo digital, entendiendo que GeoGebra o Desmos confirman el resultado pero no eximen del análisis.

f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ creciente}; \quad f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ decreciente}

Criterio de monotonía

El signo de la primera derivada determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

f''(x)>0 \Rightarrow f \text{ convexa } (\cup); \quad f''(x)<0 \Rightarrow f \text{ cóncava } (\cap)

Criterio de curvatura

El signo de la segunda derivada determina la concavidad/convexidad, según el convenio del currículo (f''>0 convexa).

Ejemplo resuelto

Plantear el estudio de una función polinómica

Dada f(x) = x³ − 3x, indica el dominio, estudia su simetría y calcula los cortes con los ejes, dejando preparado el estudio para los pasos siguientes.

Dominio
Es una función polinómica, definida y continua en todo R.
Simetría
f(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −f(x): la función es impar, simétrica respecto del origen.
Cortes con OX
x³ − 3x = x(x² − 3) = 0 ⇒ x = 0, x = ±√3.
Corte con OY
f(0) = 0; la gráfica pasa por el origen, coherente con la simetría impar.

Resultado: Dom f = R; función impar; cortes con OX en x = −√3, 0, √3 y corte con OY en (0, 0). Queda preparado el estudio de asíntotas (no las hay, es polinómica), monotonía y curvatura.

Errores frecuentes

Empezar a dibujar antes de calcular el dominio, situando trazos donde la función ni siquiera está definida.
Confundir el orden de las derivadas: usar f'' para la monotonía o f' para la curvatura. La primera derivada da crecimiento; la segunda, concavidad.

Repaso activo

Enumera, en orden, los siete pasos del estudio completo de una función y, para cada uno, indica qué herramienta del análisis lo proporciona (límites, primera derivada o segunda derivada).

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Dominio, simetrías, periodicidad y cortes con los ejes#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico

El primer paso, y el más decisivo, es el dominio: el conjunto de valores de x para los que f(x) existe. Cada tipo de función tiene sus restricciones características que debes reconocer de inmediato. En una función racional se excluyen los valores que anulan el denominador; en una raíz cuadrada (índice par) se exige radicando ≥ 0; en un logaritmo se exige argumento estrictamente positivo. Las funciones polinómicas, exponenciales (base positiva) y las trigonométricas seno y coseno están definidas en todo R. La Fig. 2 resume estas restricciones por familias.

Restricciones del dominio por familias de funciones

Las simetrías permiten estudiar solo «medio dominio» y reflejar el resto, ahorrando trabajo y evitando errores. Una función es par si f(−x) = f(x), y entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY (como x², cos x); es impar si f(−x) = −f(x), y entonces es simétrica respecto del origen (como x³, sen x, la del apartado anterior). La mayoría de las funciones no presentan ninguna de las dos simetrías; comprobarlo es un cálculo de un renglón que nunca debe omitirse. La periodicidad —f(x + T) = f(x)— aparece sobre todo en las funciones trigonométricas: sen x y cos x tienen periodo 2π, y tan x periodo π, lo que permite reducir su estudio a un solo periodo.

Los cortes con los ejes son puntos concretos por los que pasa la curva. El corte con el eje OY es siempre único (si 0 está en el dominio) y se obtiene evaluando f(0). Los cortes con el eje OX —las raíces de la función— se obtienen resolviendo f(x) = 0; pueden ser varios o ninguno. Entre raíces consecutivas la función conserva el signo, de modo que los cortes con OX, junto con los puntos no definidos, dividen el dominio en intervalos donde f es siempre positiva o siempre negativa. Determinar ese signo (por ejemplo, evaluando f en un punto de cada intervalo) ubica la curva por encima o por debajo del eje.

Estos datos preliminares ya restringen mucho el dibujo: el dominio dice dónde puede haber curva, la simetría dice cómo se refleja, los cortes la clavan a los ejes y el signo la sitúa arriba o abajo. Combinados con las asíntotas del siguiente apartado, suelen bastar para anticipar la forma global de la gráfica antes incluso de derivar.

\text{Par: } f(-x)=f(x) \;(\text{simetría respecto de } OY)

Función par

Su gráfica se refleja en el eje de ordenadas.

\text{Impar: } f(-x)=-f(x) \;(\text{simetría respecto del origen})

Función impar

Su gráfica se obtiene por simetría central respecto del punto (0,0).

\text{Racional: } \operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\{x : Q(x)=0\}; \quad \text{Raíz par: } R(x)\ge 0; \quad \text{Log: } A(x)>0

Restricciones del dominio

Reglas de dominio para funciones racionales, radicales de índice par y logarítmicas.

Ejemplo resuelto

Dominio, simetría y cortes de una función racional

Estudia el dominio, la simetría y los cortes con los ejes de la función f(x) = (2x² − 3)/(x² − 1).

Dominio
El denominador se anula en x² − 1 = 0 ⇒ x = ±1, que se excluyen.
Simetría
f(−x) = (2x²−3)/(x²−1) = f(x): la función es par, simétrica respecto del eje OY.
Cortes con OX
2x² − 3 = 0 ⇒ x² = 3/2 ⇒ x = ±√(3/2) ≈ ±1,22, ambos en el dominio.
Corte con OY
f(0) = (0 − 3)/(0 − 1) = (−3)/(−1) = 3.

Resultado: Dom f = R∖{−1, 1}; función par; cortes con OX en x = ±√(3/2) ≈ ±1,22 y corte con OY en (0, 3). El estudio de asíntotas continúa en el apartado siguiente.

Errores frecuentes

Olvidar excluir del dominio los puntos que anulan el denominador, o admitir radicandos negativos en una raíz de índice par.
Afirmar que una función es par o impar «porque lo parece», sin comprobar f(−x); muchas funciones no tienen ninguna simetría.

Repaso activo

Halla el dominio de las funciones f(x) = (x+2)/(x²−4), g(x) = √(9−x²) y h(x) = ln(x−1), y estudia la simetría de p(x) = x⁴ − 2x².

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Asíntotas y comportamiento en el infinito#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida

Los tres tipos de asíntota

Las asíntotas son rectas a las que la gráfica se aproxima indefinidamente; describen el comportamiento «en los extremos» (cerca de un punto problemático o en el infinito) y constituyen el esqueleto del esbozo. Se calculan mediante límites, conectando este tema con el de límites y continuidad. Hay tres tipos: verticales, horizontales y oblicuas. La Fig. 3 muestra g(x)=x²/(x−1) con su asíntota vertical (x=1) y su oblicua (y=x+1); el esquema posterior compara los tres tipos por separado, recordando que horizontal y oblicua nunca coexisten en la misma rama.

Función racional con asíntota vertical y oblicua señaladas

Una asíntota vertical en x = a aparece cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito (±∞); típicamente surge en los valores excluidos del dominio de una función racional (raíces del denominador que no anulan el numerador) o en el borde del dominio de un logaritmo. Para describirla con precisión conviene calcular los límites laterales, que pueden tender a +∞ o a −∞ por cada lado, indicando hacia dónde se «escapa» la curva. Una función puede tener varias asíntotas verticales.

Una asíntota horizontal y = L existe cuando el límite de f cuando x tiende a ±∞ es un número finito L; la curva se acerca a esa recta horizontal en sus ramas infinitas. En una función racional, comparar los grados del numerador y del denominador decide el caso: si el grado del numerador es menor, la asíntota horizontal es y = 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales; si el del numerador supera en uno al del denominador, no hay horizontal sino oblicua. Una asíntota oblicua y = mx + n se da cuando el límite de f(x)/x es un número m ≠ 0 finito; entonces n = límite de [f(x) − mx]. Horizontal y oblicua son excluyentes: si existe una, no existe la otra en la misma rama.

Conviene recordar que la gráfica puede cortar a una asíntota horizontal u oblicua (la condición es solo de aproximación en el infinito, no de no contacto), pero nunca corta a una vertical, porque allí la función ni siquiera está definida. Estudiar de qué lado de la asíntota queda la curva (mediante el signo de la diferencia f(x) menos la recta asíntota para x grandes) afina mucho el esbozo.

\text{A. vertical en } x=a: \quad \lim_{x\to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty

Asíntota vertical

El límite (o un límite lateral) en x = a es infinito; la recta x = a es asíntota vertical.

\text{A. horizontal } y=L: \quad \lim_{x\to \pm\infty} f(x) = L \in \mathbb{R}

Asíntota horizontal

El límite en el infinito es un número finito L; la recta y = L es asíntota horizontal.

\text{A. oblicua } y=mx+n: \quad m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\quad n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)

Asíntota oblicua

Existe cuando m es finito y no nulo; entonces n se obtiene del segundo límite.

Ejemplo resuelto

Estudio completo de las asíntotas de una racional

Halla todas las asíntotas de la función f(x) = (2x² − 3)/(x² − 1), justificándolas con los límites correspondientes.

Asíntotas verticales
El denominador se anula en x = ±1 y el numerador no; en ambos casos el límite es infinito.
Rectas verticales
Por tanto, x = 1 y x = −1 son asíntotas verticales.
Asíntota horizontal
Numerador y denominador tienen el mismo grado (2); el límite en el infinito es el cociente de coeficientes principales 2/1.
Recta horizontal y conclusión
Existe asíntota horizontal y = 2; al haberla, no hay oblicua.

Resultado: Asíntotas verticales x = −1 y x = 1; asíntota horizontal y = 2; no hay asíntota oblicua.

Errores frecuentes

Buscar a la vez asíntota horizontal y oblicua en la misma rama: son incompatibles; si hay una, no hay la otra.
Olvidar los límites laterales en una asíntota vertical y, por tanto, no saber si la curva sube a +∞ o baja a −∞ por cada lado.

Repaso activo

Determina todas las asíntotas (verticales, horizontal u oblicua) de la función f(x) = (x² + 1)/(x − 2), calculando los límites que las justifican.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión#

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Tabla de signos de f' y f''

Llegamos al corazón del estudio local, que aporta los rasgos «de cerca» de la gráfica: dónde crece o decrece, dónde están sus picos y valles, y cómo se curva. Todo ello se obtiene de las derivadas. La primera derivada f' gobierna la monotonía y los extremos relativos; la segunda derivada f'' gobierna la curvatura y los puntos de inflexión. La Fig. 5 superpone f, f' y f'' para que veas la conexión: donde f' cambia de signo, f tiene un extremo; donde f'' cambia de signo, f tiene una inflexión.

Comparativa de f, f' y f'' en un mismo plano

Para la monotonía se calcula f' y se estudia su signo. En los intervalos donde f'(x) > 0 la función es creciente; donde f'(x) < 0, decreciente. Los puntos donde f'(x) = 0 son puntos críticos candidatos a extremo. Un extremo relativo se confirma cuando f' cambia de signo al pasar por el punto: de + a − hay un máximo relativo; de − a + un mínimo relativo (criterio de la primera derivada). Alternativamente, en un punto crítico c puede usarse el criterio de la segunda derivada: si f''(c) > 0 hay mínimo, si f''(c) < 0 hay máximo; si f''(c) = 0 el criterio no decide y hay que volver al signo de f'.

Para la curvatura se calcula f'' y se estudia su signo, con el convenio del currículo: donde f''(x) > 0 la función es convexa (∪, «sonríe»), y donde f''(x) < 0 es cóncava (∩, «entristece»). Un punto de inflexión es aquel en el que la función cambia de curvatura; es candidato cualquier punto con f''(x) = 0, y se confirma si f'' cambia de signo al atravesarlo. En los puntos de inflexión la recta tangente «cruza» la gráfica, separando la parte cóncava de la convexa.

El procedimiento práctico es construir una tabla de signos sobre la recta real: se marcan los puntos críticos (de f') y los candidatos a inflexión (de f''), además de los excluidos del dominio, y en cada intervalo se anota el signo de f' (↗/↘) y de f'' (∪/∩). De esa tabla se leen directamente todos los rasgos locales. Con esta información, sumada al dominio y a las asíntotas, el esbozo final es ya casi automático y, sobre todo, justificado.

f'(c)=0 \;\text{y}\; f' \text{ pasa de } + \text{ a } - \;\Rightarrow\; \text{máximo en } c

Máximo relativo (criterio de f')

Punto crítico donde la primera derivada cambia de positiva a negativa.

f'(c)=0 \;\text{y}\; f' \text{ pasa de } - \text{ a } + \;\Rightarrow\; \text{mínimo en } c

Mínimo relativo (criterio de f')

Punto crítico donde la primera derivada cambia de negativa a positiva.

f''(c)>0 \Rightarrow \text{mín}; \quad f''(c)<0 \Rightarrow \text{máx} \quad (\text{en } c \text{ con } f'(c)=0)

Criterio de la segunda derivada

Clasifica un punto crítico según el signo de la segunda derivada.

f''(c)=0 \;\text{y}\; f'' \text{ cambia de signo en } c \;\Rightarrow\; \text{punto de inflexión}

Punto de inflexión

La curvatura cambia (de cóncava a convexa o viceversa) al atravesar c.

Ejemplo resuelto

Monotonía, extremos y curvatura de un polinomio

Para la función f(x) = x³ − 3x, estudia la monotonía y la curvatura, y clasifica sus extremos relativos y puntos de inflexión.

Primera derivada
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1); se anula en x = −1 y x = 1.
Monotonía
f'>0 en (−∞,−1)∪(1,+∞) (crece) y f'<0 en (−1,1) (decrece).
Extremos
En x=−1, f' pasa de + a − ⇒ máximo, f(−1)=−1+3=2. En x=1, f' pasa de − a + ⇒ mínimo, f(1)=1−3=−2.
Curvatura e inflexión
f''(x)=6x; f''<0 si x<0 (cóncava ∩) y f''>0 si x>0 (convexa ∪). En x=0, f'' cambia de signo ⇒ inflexión, f(0)=0.

Resultado: Crece en (−∞,−1) y (1,+∞); decrece en (−1,1). Máximo relativo en (−1, 2) y mínimo relativo en (1, −2). Cóncava en x<0, convexa en x>0, con punto de inflexión en (0, 0).

Errores frecuentes

Dar por hecho que todo punto con f'(x) = 0 es un extremo: si f' no cambia de signo (por ejemplo en x³ en x = 0), es un punto de inflexión con tangente horizontal, no un extremo.
Confundir el convenio de curvatura: con el criterio del currículo, f''>0 es convexa (∪) y f''<0 cóncava (∩); invertirlo cambia toda la lectura.

Repaso activo

Para la función f(x) = x³ − 3x, calcula f' y f'', estudia la monotonía y la curvatura, y clasifica todos sus puntos notables (extremos e inflexiones) con sus coordenadas.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Lectura de gráficas y representación con herramientas digitales#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico (representación con apoyo de herramientas digitales)

El currículo pide no solo dibujar una función a partir de su expresión, sino también el camino inverso: leer información de una gráfica dada (de f o incluso de su derivada f') y, recíprocamente, deducir rasgos de f' a partir de f. Esta «lectura inversa» demuestra comprensión profunda y aparece con frecuencia en la PAU. La Fig. 7 ilustra la traducción clave: los ceros de f' corresponden a los extremos de f, y el signo de f' indica si f crece o decrece.

Lectura inversa: de f a su derivada f'

Las reglas de lectura f → f' son: donde f tiene un máximo o un mínimo relativo, f' vale cero (tangente horizontal); donde f crece, f' es positiva; donde f decrece, f' es negativa; donde f es convexa (∪), f' crece, y donde f es cóncava (∩), f' decrece; y en un punto de inflexión de f, f' alcanza un extremo (su pendiente cambia de tendencia). A la inversa, dada la gráfica de f', los ceros de f' (con cambio de signo) señalan los extremos de f, los intervalos con f'>0 son de crecimiento de f y los tramos donde f' crece son de convexidad de f.

De una gráfica también se leen propiedades que conectan con los temas anteriores: el dominio (dónde hay curva), la continuidad y los tipos de discontinuidad (saltos, huecos), las asíntotas (rectas a las que se arrima), los límites y límites laterales (a qué tiende la curva en los bordes) y la derivabilidad (la presencia de «picos» o tangentes verticales delata puntos no derivables). Saber extraer todo esto de un dibujo es una competencia comunicativa: traducir entre el lenguaje gráfico y el analítico.

Las herramientas digitales —GeoGebra, Desmos, calculadoras gráficas— son el apoyo natural para representar y explorar funciones: permiten conjeturar el comportamiento, comprobar asíntotas o visualizar a la vez f, f' y f''. Pero el currículo es claro: son un apoyo, no un sustituto del análisis. En la Selectividad el dibujo debe estar respaldado por los cálculos de límites y derivadas; la tecnología sirve para formular y verificar conjeturas, no para evitar razonar. La Fig. 8 esquematiza este flujo de trabajo: explorar con la herramienta, analizar a mano y comunicar el resultado justificado.

Flujo de trabajo con herramientas digitales

f'(c)=0 \;\Leftrightarrow\; f \text{ tiene tangente horizontal en } c \;(\text{candidato a extremo})

Ceros de f' ↔ extremos de f

Los puntos donde la gráfica de f' corta al eje X son los candidatos a máximo o mínimo de f.

f \text{ convexa} \;(\cup) \;\Leftrightarrow\; f' \text{ creciente} \;\Leftrightarrow\; f''>0

Curvatura de f y monotonía de f'

La convexidad de f equivale a que su derivada f' sea creciente.

Ejemplo resuelto

Deducir f a partir de la gráfica de su derivada

Se sabe que la derivada de una función f es f'(x) = 3x² − 12. Sin más datos, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y clasifica sus extremos relativos, razonando como si solo dispusieras de la gráfica de f'.

Ceros de f'
f'(x) = 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 0 ⇒ x = −2 y x = 2: ahí f tendrá tangente horizontal.
Signo de f'
Como f' es una parábola abierta hacia arriba, es positiva fuera de [−2, 2] y negativa dentro: f'>0 en (−∞,−2)∪(2,+∞), f'<0 en (−2,2).
Monotonía de f
f crece donde f'>0 y decrece donde f'<0.
Clasificación de extremos
En x=−2, f' pasa de + a − ⇒ máximo relativo. En x=2, f' pasa de − a + ⇒ mínimo relativo.

Resultado: Sin conocer f, leyendo solo su derivada: f crece en (−∞,−2) y (2,+∞), decrece en (−2,2), con máximo relativo en x = −2 y mínimo relativo en x = 2.

Errores frecuentes

Confundir la gráfica de f con la de f': por ejemplo, leer los cortes de f' con el eje OX como si fueran los ceros de f, cuando en realidad señalan los extremos de f.
Fiarse del dibujo de la herramienta digital sin verificar: un mal ajuste de la ventana puede ocultar asíntotas o extremos, y en el examen el esbozo debe estar justificado con cálculos.

Repaso activo

Se da la gráfica de la derivada f' de una función f, que es una parábola con ceros en x = −2 y x = 2 y abierta hacia arriba. Sin conocer la fórmula de f, deduce los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y clasifica sus extremos relativos.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Representación de funciones

Puntos clave

Plantear el estudio de una función polinómica

Puntos clave

Dominio, simetría y cortes de una función racional

Puntos clave

Estudio completo de las asíntotas de una racional

Puntos clave

Monotonía, extremos y curvatura de un polinomio

Puntos clave

Deducir f a partir de la gráfica de su derivada

Fuentes

Representación de funciones

Puntos clave

Plantear el estudio de una función polinómica

Puntos clave

Dominio, simetría y cortes de una función racional

Puntos clave

Estudio completo de las asíntotas de una racional

Puntos clave

Monotonía, extremos y curvatura de un polinomio

Puntos clave

Deducir f a partir de la gráfica de su derivada

Fuentes