Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Derivadas y aplicaciones

La derivada es la herramienta central del cálculo diferencial: mide la razón de cambio instantánea de una función y, geométricamente, la pendiente de la recta tangente. En Matemáticas II este tema articula la derivabilidad, las reglas de derivación (con la regla de la cadena como pieza clave), la regla de L'Hôpital, el estudio de la monotonía y la curvatura, y la resolución de problemas de optimización en contexto. Es uno de los bloques de mayor peso en la fase de acceso de la Selectividad / PAU, donde se evalúa tanto el cálculo correcto como la interpretación razonada de los resultados.

5seccionesca. 26min de lectura4competenciasNivelBásico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·0222 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la ciencia aplicando estrategias y formas de razonamiento, en particular problemas de optimización y de razón de cambio mediante la derivada.CE2 · Verificar la validez de las soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación (por ejemplo, comprobando con la segunda derivada que un punto crítico es realmente un máximo o un mínimo).CE3 · Formular y comprobar conjeturas sencillas utilizando el razonamiento, la abstracción y herramientas adecuadas, conectando el signo de f' y f'' con el comportamiento de la gráfica.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, interpretando la derivada como razón de cambio en física (velocidad, aceleración), economía (coste e ingreso marginal) y ciencias experimentales.

Operadores:calculaderivademuestrajustificainterpretaanalizaestudiarazonarelacionaoptimizadetermina

nivel básico

Domina con seguridad las reglas de derivación (suma, producto, cociente y, sobre todo, la regla de la cadena), el cálculo de tangentes y el estudio de monotonía y extremos: son contenidos comunes que aparecen en casi todos los exámenes de la fase de acceso.

nivel avanzado

Para la fase de admisión y los problemas de mayor nota, profundiza en la regla de L'Hôpital con indeterminaciones encadenadas, la derivabilidad de funciones definidas a trozos con parámetros y los problemas de optimización con modelización geométrica completa, justificando siempre el tipo de extremo.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Derivadas y aplicaciones

Derivada en un punto y función derivada: interpretación y reglas#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida · Distinción entre función derivada y valor de la derivada en un punto; dominio de derivabilidad; derivadas laterales; reglas de derivación

Pendiente de la tangente como límite de las secantes

La derivada de una función f en un punto x = a se define como el límite del cociente incremental f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)] / h, cuando dicho límite existe y es finito. Este número mide la razón de cambio instantánea de f en a y, geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)). Físicamente, si f(t) describe una posición, f'(t) es la velocidad instantánea; si f describe un coste, f'(x) es el coste marginal. Esta doble lectura —geométrica y física— es la idea central del tema y conviene tenerla siempre presente.

Hay que distinguir con cuidado dos objetos: el valor de la derivada en un punto, f'(a), que es un número concreto, y la función derivada, f', que asigna a cada punto donde f es derivable el valor de su derivada. El dominio de derivabilidad de f es el conjunto de puntos en los que ese límite existe; siempre está contenido en el dominio de f y puede ser estrictamente menor (por ejemplo, f(x) = |x| es continua en todo ℝ pero no es derivable en x = 0). Calcular f' como función nos permite después estudiar de golpe la monotonía, los extremos y la curvatura de f.

Las derivadas laterales precisan el concepto en puntos delicados: f'(a⁻) = lim_{h→0⁻} [f(a+h) − f(a)]/h y f'(a⁺) = lim_{h→0⁺} [f(a+h) − f(a)]/h. La función es derivable en a si y solo si ambas derivadas laterales existen, son finitas y coinciden. Esto es decisivo en funciones definidas a trozos y en puntos angulosos: en un «pico» como el de |x| las derivadas laterales valen −1 y +1, no coinciden, y por eso no hay tangente única. Conviene recordar también el teorema fundamental que enlaza este tema con el anterior: toda función derivable en un punto es continua en él (la derivabilidad es más fuerte que la continuidad), pero el recíproco es falso (Fig. 2).

Continuidad y derivabilidad: un punto anguloso

Para calcular derivadas de manera eficaz se usan las reglas de derivación: la derivada de una suma es la suma de las derivadas, (f ± g)' = f' ± g'; la del producto, (f·g)' = f'g + fg'; y la del cociente, (f/g)' = (f'g − fg')/g². Estas reglas, combinadas con la tabla de derivadas elementales (potencias, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, repaso de 1.º), permiten derivar la inmensa mayoría de las funciones del curso. Históricamente, Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial de forma independiente en el siglo XVII, y la notación de Leibniz, dy/dx, sigue siendo la más extendida para subrayar la idea de cociente de incrementos infinitesimales.

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Derivada en un punto (cociente incremental)

Pendiente de la tangente y razón de cambio instantánea de f en a; el límite debe existir y ser finito.

(f \cdot g)' = f'g + f g' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - f g'}{g^{2}}

Reglas del producto y del cociente

Reglas básicas de derivación; en el cociente el numerador es f'g menos fg', en ese orden, y se divide por g al cuadrado.

f \text{ derivable en } a \;\Longrightarrow\; f \text{ continua en } a

Derivabilidad implica continuidad

La implicación solo va en este sentido: hay funciones continuas no derivables (por ejemplo, en un punto anguloso).

Ejemplo resuelto

Derivada por la definición y pendiente de la tangente

Sea f(x) = x² − 4x + 3. a) Calcula f'(x) usando la definición de derivada como límite del cociente incremental. b) Determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

Planteamos el cociente incremental
Calculamos f(x + h) y restamos f(x). Como f(x) = x² − 4x + 3, se tiene f(x + h) = (x + h)² − 4(x + h) + 3 = x² + 2xh + h² − 4x − 4h + 3.
Dividimos por h y simplificamos
Sacamos factor común h en el numerador y simplificamos con el denominador (h ≠ 0 al tomar el límite).
Tomamos el límite cuando h → 0
El término h desaparece y obtenemos la función derivada.
Evaluamos en x = 3
La pendiente de la tangente en ese punto es el valor de f' allí.

Resultado: f'(x) = 2x − 4 y la pendiente de la recta tangente en x = 3 es f'(3) = 2.

Errores frecuentes

Confundir el valor numérico f'(a) con la función f': escribir como respuesta la fórmula de f' cuando se pide la pendiente concreta en a, o viceversa.
Derivar mal el cociente invirtiendo el orden del numerador, es decir, escribir (fg' − f'g)/g² en lugar de (f'g − fg')/g²; un cambio de signo que arruina todo el ejercicio.

Repaso activo

Dada f(x) = (2x − 1) / (x² + 1), calcula f'(x) aplicando la regla del cociente, simplifica el resultado y halla el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Regla de la cadena y derivación de funciones a trozos#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida · Teorema de derivación para funciones compuestas (regla de la cadena); continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos

Esquema de la regla de la cadena por capas

La regla de la cadena es la herramienta para derivar funciones compuestas, esto es, funciones del tipo «función de otra función». Si y = f(u) y u = g(x), entonces la composición (f ∘ g)(x) = f(g(x)) tiene por derivada (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). En notación de Leibniz se lee con especial claridad como dy/dx = (dy/du)·(du/dx): se deriva la función «de fuera» evaluada en la «de dentro» y se multiplica por la derivada de la «de dentro». Esta regla es, con diferencia, la fuente más frecuente de errores y la que más conviene automatizar.

En la práctica conviene identificar capas: por ejemplo, en h(x) = sen(3x² + 1) la capa exterior es el seno y la interior es 3x² + 1, de modo que h'(x) = cos(3x² + 1) · 6x. Cuando hay varias capas anidadas, la regla se aplica reiteradamente, multiplicando una derivada por cada nivel. Casos especialmente útiles que conviene memorizar como consecuencia directa son [g(x)ⁿ]' = n·g(x)ⁿ⁻¹·g'(x), [e^{g(x)}]' = e^{g(x)}·g'(x) y [ln g(x)]' = g'(x)/g(x).

Las funciones definidas a trozos requieren estudiar por separado la continuidad y la derivabilidad en los puntos de empalme (los valores donde cambia la definición). En el interior de cada trozo la función es tan regular como la expresión que la define; toda la dificultad se concentra en los puntos de unión. Para que sea continua en un punto de empalme a deben coincidir los límites laterales con el valor de la función: lim_{x→a⁻} f(x) = lim_{x→a⁺} f(x) = f(a). Para que además sea derivable allí, las derivadas laterales (calculadas con la expresión de cada trozo) deben coincidir: f'(a⁻) = f'(a⁺) (Fig. 4).

Función a trozos: empalme continuo y derivable

Un procedimiento ordenado para los frecuentes ejercicios con parámetros es el siguiente: primero se impone la continuidad en el punto de empalme, lo que suele dar una ecuación entre los parámetros; después se impone la igualdad de las derivadas laterales, que aporta otra ecuación; y se resuelve el sistema. Es imprescindible recordar que la derivabilidad solo se puede exigir si antes hay continuidad: una función discontinua nunca es derivable en el punto de la discontinuidad, así que el orden de las condiciones no es opcional.

(f \circ g)'(x) = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)

Regla de la cadena

Derivada de la composición: derivada de la función exterior evaluada en la interior, por la derivada de la interior.

\big[e^{g(x)}\big]' = e^{g(x)} \cdot g'(x) \qquad \big[\ln g(x)\big]' = \frac{g'(x)}{g(x)}

Consecuencias frecuentes de la regla de la cadena

Casos habituales con exponencial y logaritmo, muy útiles en la PAU.

\text{Continuidad: } \lim_{x \to a^{-}} f = \lim_{x \to a^{+}} f = f(a); \quad \text{Derivabilidad: } f'(a^{-}) = f'(a^{+})

Condiciones en un punto de empalme

Primero la continuidad, después la igualdad de derivadas laterales; el orden es obligatorio.

Ejemplo resuelto

Función a trozos: continuidad y derivabilidad con parámetros

Se considera la función f(x) = x² para x ≤ 1 y f(x) = ax + b para x > 1. Determina los valores de a y b para que f sea continua y derivable en x = 1.

Continuidad en x = 1
Igualamos el valor por la izquierda (con x²) y el límite por la derecha (con ax + b). Por la izquierda f(1) = 1² = 1; por la derecha el límite es a·1 + b = a + b.
Derivadas laterales en x = 1
Derivamos cada trozo: para x ≤ 1, f'(x) = 2x, luego f'(1⁻) = 2. Para x > 1, f'(x) = a, luego f'(1⁺) = a. La derivabilidad exige que coincidan.
Resolvemos el sistema
De la segunda condición a = 2; sustituyendo en la primera, 1 = 2 + b, de donde b = −1.
Comprobación
Con a = 2 y b = −1 el segundo trozo es 2x − 1, que en x = 1 vale 1 (continua) y tiene pendiente 2 (igual que 2x en x = 1), así que el empalme es suave.

Resultado: a = 2 y b = −1: con estos valores f es continua y derivable en x = 1.

Errores frecuentes

Olvidar multiplicar por la derivada de la función interior: escribir [sen(3x²)]' = cos(3x²) en lugar de cos(3x²)·6x.
Imponer la derivabilidad en un punto de empalme sin haber comprobado primero la continuidad, o usar la derivada de un trozo en un punto que no le corresponde.

Repaso activo

Considera la función f(x) = ax² + bx para x ≤ 1 y f(x) = ln x + 3 para x > 1. Determina los valores de a y b para que f sea continua y derivable en x = 1.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Recta tangente, recta normal y regla de L'Hôpital#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida · Ecuación de la recta tangente y de la recta normal; aplicación de la derivada al cálculo de límites (regla de L'Hôpital)

Indeterminaciones que se reducen a L'Hôpital

La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = a es la recta que pasa por (a, f(a)) y tiene por pendiente f'(a). Su ecuación, en forma punto-pendiente, es y = f(a) + f'(a)·(x − a). Esta recta es la mejor aproximación lineal de la función cerca de a: «se pega» a la curva en ese punto. Calcularla requiere solo dos datos, el valor f(a) y la pendiente f'(a), por lo que el procedimiento es siempre el mismo: evaluar la función y su derivada en el punto.

La recta normal es la perpendicular a la tangente en el mismo punto de contacto. Como el producto de pendientes de dos rectas perpendiculares es −1, la pendiente de la normal es −1/f'(a) (siempre que f'(a) ≠ 0). Su ecuación es y = f(a) − (1/f'(a))·(x − a). Hay que prestar atención a los casos particulares: si f'(a) = 0 la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical x = a; recíprocamente, si la tangente es vertical, la normal es horizontal (Fig. 5).

Recta tangente y recta normal a una curva

La regla de L'Hôpital aplica las derivadas al cálculo de límites con indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞. Establece que, bajo hipótesis adecuadas, lim [f(x)/g(x)] = lim [f'(x)/g'(x)], es decir, que se puede sustituir el cociente por el cociente de las derivadas. Es importante derivar el numerador y el denominador por separado (no es la derivada de un cociente) y verificar que se mantiene la indeterminación antes de aplicarla; si tras derivar sigue habiendo 0/0 o ∞/∞, la regla se puede volver a aplicar.

Muchas indeterminaciones que no son directamente 0/0 ni ∞/∞ se reducen a una de estas dos formas para poder usar L'Hôpital: la forma 0·∞ se transforma en cociente escribiendo el producto como una fracción; la forma ∞ − ∞ se reduce sacando factor común o combinando en una sola fracción; y las formas exponenciales 1^∞, 0⁰ e ∞⁰ se tratan tomando logaritmos (calculando primero el límite del logaritmo de la expresión). La regla lleva el nombre del marqués de L'Hôpital, que la publicó en 1696 en el primer tratado de cálculo diferencial, aunque su descubrimiento se atribuye a Johann Bernoulli.

\text{Tangente: } y = f(a) + f'(a)\,(x - a)

Recta tangente en x = a

Pasa por (a, f(a)) con pendiente f'(a).

\text{Normal: } y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}\,(x - a), \quad f'(a) \neq 0

Recta normal en x = a

Perpendicular a la tangente; su pendiente es la opuesta de la inversa de f'(a).

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad \left(\text{indet. } \tfrac{0}{0} \text{ o } \tfrac{\infty}{\infty}\right)

Regla de L'Hôpital

Se deriva numerador y denominador por separado; solo válida ante indeterminación 0/0 o ∞/∞.

Ejemplo resuelto

Recta tangente, recta normal y un límite por L'Hôpital

Sea f(x) = x³ − 3x + 2. a) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. b) Calcula lim_{x→0} (eˣ − 1 − x)/x².

Valor y derivada en x = 2
Evaluamos la función: f(2) = 2³ − 3·2 + 2 = 8 − 6 + 2 = 4. Derivamos: f'(x) = 3x² − 3, y f'(2) = 3·4 − 3 = 9.
Recta tangente
Aplicamos la fórmula punto-pendiente con pendiente 9 en el punto (2, 4).
Recta normal
La pendiente de la normal es −1/9, en el mismo punto (2, 4).
Límite: comprobamos la indeterminación
Al sustituir x = 0 el numerador da e⁰ − 1 − 0 = 0 y el denominador 0, luego es 0/0. Aplicamos L'Hôpital derivando arriba y abajo: (eˣ − 1)/(2x).
Segunda aplicación de L'Hôpital
El nuevo cociente vuelve a ser 0/0 en x = 0, así que derivamos otra vez: eˣ/2. Sustituyendo x = 0 obtenemos el resultado.

Resultado: Tangente: y = 9x − 14; normal: y = −(1/9)x + 38/9. El límite vale 1/2.

Errores frecuentes

Aplicar L'Hôpital derivando el cociente con la regla del cociente, en lugar de derivar numerador y denominador por separado.
Usar L'Hôpital sin que haya indeterminación (por ejemplo, en un límite que da 3/0 o 5/2), lo que produce un resultado falso.

Repaso activo

Dada la función f(x) = x³ − 6x + 4, halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa x = 1.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Monotonía, curvatura, extremos y puntos de inflexión#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida · Intervalos de crecimiento y decrecimiento; concavidad (f''<0) y convexidad (f''>0); puntos críticos; extremos relativos y absolutos

Tabla de signos de f' y f''

El signo de la primera derivada gobierna la monotonía de la función. Si f'(x) > 0 en un intervalo, la función es estrictamente creciente en él; si f'(x) < 0, es estrictamente decreciente. Por eso el primer paso para estudiar la monotonía es resolver f'(x) = 0 (los puntos críticos) y estudiar el signo de f' en los intervalos que esos puntos determinan en el dominio. Un cambio de signo de f' de positivo a negativo señala un máximo relativo, y un cambio de negativo a positivo, un mínimo relativo: es el llamado criterio de la primera derivada.

Los puntos críticos son los valores donde f'(x) = 0, candidatos a extremo relativo; pero no todo punto crítico es un extremo (por ejemplo, en f(x) = x³ se tiene f'(0) = 0 y, sin embargo, x = 0 no es ni máximo ni mínimo, sino un punto de inflexión con tangente horizontal). Además, los extremos pueden aparecer también en puntos donde f no es derivable. Por ello, el estudio honesto de los extremos exige considerar tanto los puntos de derivada nula como los puntos de no derivabilidad del dominio.

El signo de la segunda derivada describe la curvatura. Con el convenio del currículo (que conviene escribir explícitamente en el examen), donde f''(x) > 0 la función es convexa (curva con forma de ∪, «sonriente») y donde f''(x) < 0 es cóncava (forma de ∩, «triste»). Un punto de inflexión es aquel en el que la curvatura cambia de signo, es decir, donde f'' pasa de positiva a negativa o al revés; para localizarlos se resuelve f''(x) = 0 y se comprueba que efectivamente hay cambio de concavidad. La relación entre f, f' y f'' es el corazón del análisis: f crece donde f' es positiva, y f es convexa donde f'' es positiva (Fig. 7).

Relación entre f, f' y f'': monotonía, extremos y curvatura

El criterio de la segunda derivada ofrece una vía rápida para clasificar un punto crítico: si f'(a) = 0 y f''(a) < 0, entonces a es un máximo relativo; si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, es un mínimo relativo. Si f''(a) = 0 el criterio no decide y hay que recurrir al criterio de la primera derivada. Para los extremos absolutos en un intervalo cerrado [a, b] se aplica el teorema de Weierstrass: una función continua en un cerrado alcanza su máximo y su mínimo absolutos, que se buscan comparando los valores de f en los puntos críticos del interior y en los extremos a y b del intervalo. Pierre de Fermat fue pionero en el siglo XVII al observar que en los extremos la tangente es horizontal.

f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ creciente}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ decreciente}

Monotonía a partir de f'

El signo de la primera derivada determina si la función sube o baja.

f'(a) = 0,\; f''(a) < 0 \Rightarrow \text{máx.}; \qquad f'(a) = 0,\; f''(a) > 0 \Rightarrow \text{mín.}

Criterio de la segunda derivada

Clasifica un punto crítico según el signo de f'' allí; si f''(a)=0 el criterio no decide.

f''(x) > 0 \Rightarrow \text{convexa } (\cup); \qquad f''(x) < 0 \Rightarrow \text{cóncava } (\cap)

Curvatura a partir de f''

Convenio del currículo: segunda derivada positiva, convexa; negativa, cóncava; el cambio de signo da un punto de inflexión.

Ejemplo resuelto

Estudio de monotonía, curvatura, extremos e inflexión

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función f(x) = x³ − 3x.

Primera derivada y puntos críticos
Derivamos: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1). Igualando a cero, x² = 1, luego x = −1 y x = 1 son los puntos críticos.
Signo de f' y monotonía
En (−∞, −1) f' es positiva (crece), en (−1, 1) es negativa (decrece) y en (1, +∞) es positiva (crece). Por el cambio de signo, x = −1 es máximo y x = 1 es mínimo.
Valores de los extremos
Sustituimos en f: f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2 y f(1) = 1 − 3 = −2.
Segunda derivada y curvatura
f''(x) = 6x. Es negativa para x < 0 (cóncava, ∩) y positiva para x > 0 (convexa, ∪). En x = 0 cambia el signo: hay punto de inflexión.
Punto de inflexión
Evaluamos f(0) = 0³ − 3·0 = 0. La curvatura cambia de cóncava a convexa, así que (0, 0) es punto de inflexión.

Resultado: Crece en (−∞, −1) y (1, +∞), decrece en (−1, 1); máximo (−1, 2) y mínimo (1, −2); cóncava en (−∞, 0), convexa en (0, +∞), con punto de inflexión en (0, 0).

Errores frecuentes

Afirmar que todo punto con f'(x) = 0 es un extremo, olvidando los puntos de inflexión con tangente horizontal (como x³ en x = 0).
Intercambiar convexa y cóncava: con el convenio f'' > 0 la función es convexa (∪), no cóncava; conviene declarar el convenio usado.

Repaso activo

Dada la función f(x) = x⁴ − 4x² + 3, determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Problemas de optimización en contexto#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida · Resolución de problemas de optimización relacionados con la geometría o con las ciencias experimentales y sociales, e interpretación del resultado en su contexto

Volumen de la caja en función del lado recortado

La optimización aplica todo lo aprendido sobre derivadas para resolver problemas de la vida real en los que se busca el valor máximo o mínimo de una magnitud: el área mayor de un terreno con una valla dada, el volumen máximo de una caja, el coste mínimo de un envase, el tiempo o el recorrido más cortos. Es el contenido del tema con mayor peso interpretativo en la PAU, porque exige modelizar la situación, calcular y, además, interpretar el resultado en su contexto. Conecta directamente las matemáticas con la física, la economía y las ciencias experimentales (competencia CE6).

El método de resolución sigue siempre los mismos pasos. Primero se identifica la magnitud que se quiere optimizar y se escribe su fórmula (la función objetivo), que normalmente depende de dos variables. Segundo, se usa la condición o ligadura del enunciado (un perímetro fijo, un volumen dado, una relación geométrica) para expresar una variable en función de la otra y reducir la función objetivo a una sola variable. Tercero, se determina el dominio realista de esa variable (las longitudes y áreas deben ser positivas, por ejemplo).

Una vez se tiene la función objetivo de una sola variable, se deriva, se iguala la derivada a cero y se resuelven los puntos críticos. A continuación —y este paso es imprescindible para una respuesta completa— se justifica que el punto hallado es realmente un máximo o un mínimo, mediante el criterio de la segunda derivada (signo de f'') o el estudio del signo de la primera derivada. Por último se calcula el valor óptimo de la magnitud y se interpreta la solución respondiendo exactamente a lo que pregunta el enunciado, con sus unidades (Fig. 9).

Caja abierta a partir de una lámina cuadrada (modelización)

Conviene cuidar dos aspectos que distinguen una buena respuesta. Por un lado, no se debe olvidar comprobar los extremos del dominio cuando el intervalo es cerrado o cuando la función pudiera alcanzar el óptimo en una frontera. Por otro, la interpretación en contexto: si el problema pregunta por las dimensiones de la caja, no basta con dar el valor de x que anula la derivada, sino que hay que traducirlo a las medidas pedidas y, si procede, al valor óptimo de la magnitud (el volumen, el área, el coste). Una solución sin justificación del tipo de extremo y sin interpretación final se considera incompleta.

\text{1) Función objetivo } \to \text{2) Ligadura } \to \text{3) Una variable}

Plan de un problema de optimización

Modelizar la magnitud a optimizar, usar la condición del enunciado y reducir a una sola variable.

f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x_0; \qquad f''(x_0) < 0 \;(\text{máx.}) \;\text{ o }\; f''(x_0) > 0 \;(\text{mín.})

Resolución y justificación del extremo

Se hallan los puntos críticos y se clasifica el óptimo con la segunda derivada.

Ejemplo resuelto

Volumen máximo de una caja sin tapa

De una lámina cuadrada de cartón de 12 cm de lado se recortan en las cuatro esquinas cuadrados iguales de lado x y, plegando las pestañas, se forma una caja abierta (sin tapa). Determina el valor de x que hace máximo el volumen de la caja y calcula dicho volumen máximo, justificando que se trata de un máximo.

Función objetivo
Al recortar x en cada esquina, la base de la caja mide (12 − 2x) por (12 − 2x) y la altura es x. El volumen es el producto de base por altura.
Dominio realista
El lado recortado debe ser positivo y la base no puede anularse: 12 − 2x > 0, es decir, 0 < x < 6.
Derivamos e igualamos a cero
Desarrollando, V(x) = 144x − 48x² + 4x³, de donde V'(x) = 144 − 96x + 12x². Igualando a cero y dividiendo entre 12: x² − 8x + 12 = 0, cuyas soluciones son x = 2 y x = 6.
Descartamos y justificamos el máximo
x = 6 queda fuera del dominio (la base se anularía), así que el único candidato es x = 2. Usamos la segunda derivada: V''(x) = 24x − 96, y V''(2) = 48 − 96 = −48 < 0, luego x = 2 es un máximo.
Volumen máximo
Sustituimos x = 2 en la función objetivo: la base mide 12 − 4 = 8 cm y la altura 2 cm.

Resultado: El volumen es máximo recortando cuadrados de x = 2 cm; la caja resultante (8 × 8 × 2 cm) tiene un volumen máximo de 128 cm³.

Errores frecuentes

No justificar que el punto crítico es un máximo o un mínimo (omitir el criterio de la segunda derivada o el estudio del signo de f'), dando por hecho el tipo de extremo.
Olvidar la ligadura y trabajar con dos variables, o no comprobar que la solución cae dentro del dominio realista del problema.

Repaso activo

Se quiere construir un depósito en forma de cilindro recto sin tapa con un volumen de 1000 cm³. Determina el radio de la base y la altura que minimizan la cantidad de chapa empleada (la superficie total: base más lateral), justificando que se trata de un mínimo.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Derivadas y aplicaciones

Puntos clave

Derivada por la definición y pendiente de la tangente

Puntos clave

Función a trozos: continuidad y derivabilidad con parámetros

Puntos clave

Recta tangente, recta normal y un límite por L'Hôpital

Puntos clave

Estudio de monotonía, curvatura, extremos e inflexión

Puntos clave

Volumen máximo de una caja sin tapa

Fuentes

Derivadas y aplicaciones

Puntos clave

Derivada por la definición y pendiente de la tangente

Puntos clave

Función a trozos: continuidad y derivabilidad con parámetros

Puntos clave

Recta tangente, recta normal y un límite por L'Hôpital

Puntos clave

Estudio de monotonía, curvatura, extremos e inflexión

Puntos clave

Volumen máximo de una caja sin tapa

Fuentes