Apuntes · Matemáticas IIES · Selectividad

Vectores en el espacio

Los vectores libres de R³ son el lenguaje algebraico con el que se traducen y resuelven los problemas de geometría del espacio. Este tema cubre las operaciones básicas (suma y producto por un escalar), los conceptos de dependencia e independencia lineal, base y combinación lineal, y los tres productos fundamentales: el producto escalar (ángulos y ortogonalidad), el producto vectorial (vector normal y áreas) y el producto mixto (volúmenes). Es la base imprescindible del bloque de Geometría en la fase de acceso de la Selectividad / PAU y conecta directamente con la física (fuerzas, momentos y trabajo).

5seccionesca. 25min de lectura3competenciasNivelBásico 1 · Estándar 3 · Profundización 1Revisado · 06/2026

T·0777 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas geométricos en el espacio mediante vectores y coordenadas cartesianas: calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes traduciendo el enunciado al cálculo vectorial.CE5 · Establecer conexiones entre los diferentes elementos matemáticos, en particular entre el álgebra vectorial (operaciones, combinación lineal, productos) y la geometría del espacio (ortogonalidad, paralelismo, área y volumen).CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, interpretando los vectores y sus productos en la física (fuerza, trabajo W = F·d, momento de una fuerza M = r×F).

Operadores:calculademuestrajustificainterpretaanalizaestudiarazonarelacionadeterminacompruebaexpresa

nivel básico

Domina con seguridad las operaciones con vectores en coordenadas, el cálculo del módulo, el producto escalar para hallar ángulos y comprobar ortogonalidad, y el producto vectorial para obtener un vector perpendicular: son la base común que sostiene todo el bloque de geometría del espacio.

nivel avanzado

Para la fase de admisión y los problemas de mayor nota, profundiza en la discusión de la dependencia e independencia lineal con parámetros (mediante el determinante), en las aplicaciones del producto mixto (volumen de tetraedros y coplanariedad) y en el uso combinado de los tres productos dentro de un mismo problema de geometría métrica.

Profundidad

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Inhalt · 5 secciones

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio: operaciones y combinación lineal#

BasisBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico / espacial · Adición de vectores; producto de un escalar por un vector; expresión de un vector como combinación lineal de otros; resolución de problemas con coordenadas cartesianas y vectores

Suma de vectores en el espacio (regla del paralelogramo)

Un vector libre del espacio es una clase de segmentos orientados que tienen el mismo módulo (longitud), la misma dirección y el mismo sentido; representa, por ejemplo, una traslación o una fuerza. Fijada una base ortonormal canónica { i, j, k } asociada a un sistema de referencia cartesiano, todo vector queda determinado por sus tres coordenadas: u = (u₁, u₂, u₃) = u₁i + u₂j + u₃k. Dados dos puntos A(a₁, a₂, a₃) y B(b₁, b₂, b₃), el vector que va de A a B se obtiene restando coordenadas, AB = B − A = (b₁ − a₁, b₂ − a₂, b₃ − a₃); esta correspondencia entre puntos y vectores es la que permite hacer geometría con álgebra (Fig. 2).

Coordenadas de un vector en la base canónica

Las dos operaciones básicas se realizan coordenada a coordenada. La suma de dos vectores u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃) es u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) y geométricamente responde a la regla del paralelogramo (o, equivalentemente, a colocar un vector a continuación del otro). El producto de un número real λ (escalar) por un vector es λu = (λu₁, λu₂, λu₃): conserva o invierte la dirección según el signo de λ y multiplica el módulo por |λ|. Estas operaciones dotan al conjunto de los vectores libres de la estructura de espacio vectorial, con propiedades como la conmutativa y asociativa de la suma, el vector nulo 0 = (0, 0, 0) como elemento neutro y la distributiva λ(u + v) = λu + λv.

El módulo de un vector u = (u₁, u₂, u₃) es su longitud y se calcula como |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²), generalización directa del teorema de Pitágoras al espacio tridimensional. Un vector unitario es el que tiene módulo 1; para normalizar un vector no nulo, es decir, obtener un unitario con su misma dirección y sentido, se divide por su módulo: û = u / |u|. La distancia entre dos puntos A y B no es más que el módulo del vector AB, d(A, B) = |AB|, lo que enlaza el cálculo vectorial con la medida de longitudes en el espacio.

Expresar un vector como combinación lineal de otros consiste en escribirlo en la forma w = α·u + β·v + γ·z, donde α, β y γ son escalares. Esta idea es central en todo el tema: cuando los vectores se dan en coordenadas, hallar los coeficientes de la combinación lineal equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales (una ecuación por coordenada). El estudio del cálculo vectorial moderno se debe en gran parte a William Rowan Hamilton, que introdujo los cuaterniones en el siglo XIX, y a Josiah Willard Gibbs, que sistematizó el análisis vectorial tal como lo usamos hoy.

\vec{AB} = B - A = (b_1 - a_1,\; b_2 - a_2,\; b_3 - a_3)

Vector que une dos puntos

Se restan las coordenadas del extremo menos las del origen del vector; su sentido va de A a B.

\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1,\, u_2+v_2,\, u_3+v_3) \qquad \lambda\vec{u} = (\lambda u_1,\, \lambda u_2,\, \lambda u_3)

Suma y producto por un escalar

Ambas operaciones se hacen coordenada a coordenada; la suma sigue la regla del paralelogramo.

|\vec{u}| = \sqrt{u_1^{2} + u_2^{2} + u_3^{2}} \qquad \hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}

Módulo y vector unitario

El módulo es la longitud del vector (Pitágoras en 3D); normalizar es dividir por el módulo para obtener un unitario.

Ejemplo resuelto

Vector que une dos puntos, módulo, unitario y combinación lineal

Dados los puntos A(2, −1, 2) y B(4, 1, 1): a) halla el vector AB, su módulo y un vector unitario en su dirección. b) Expresa, si es posible, el vector w = (3, 4, 5) como combinación lineal de u = (1, 0, 1) y v = (0, 1, 1).

Vector AB
Restamos las coordenadas del extremo menos las del origen: AB = B − A = (4 − 2, 1 − (−1), 1 − 2).
Módulo y unitario
Calculamos el módulo con la fórmula de Pitágoras en el espacio y dividimos el vector por él para normalizarlo.
Planteamos la combinación lineal
Imponemos w = α·u + β·v, lo que iguala coordenada a coordenada: α = 3 (primera), β = 4 (segunda) y α + β = 5 (tercera).
Resolvemos y comprobamos la compatibilidad
De las dos primeras ecuaciones α = 3 y β = 4; la tercera exige α + β = 5, pero 3 + 4 = 7 ≠ 5. El sistema es incompatible.

Resultado: AB = (2, 2, −1), con |AB| = 3 y unitario (2/3, 2/3, −1/3). En cambio, w = (3, 4, 5) NO es combinación lineal de u y v (el sistema resulta incompatible).

Errores frecuentes

Restar mal el vector que une dos puntos: escribir AB = A − B en lugar de AB = B − A, lo que invierte el sentido del vector.
Olvidar la raíz cuadrada o un sumando al calcular el módulo en el espacio, por ejemplo, escribir |u| = u₁² + u₂² + u₃² o usar solo dos coordenadas como si se tratara del plano.

Repaso activo

Dados los puntos A(1, −2, 3) y B(4, 0, −1), calcula el vector AB, su módulo y un vector unitario con su misma dirección y sentido. A continuación, expresa el vector w = (5, 1, 0) como combinación lineal de u = (1, 1, 0) y v = (0, 1, 1) si es posible.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Dependencia, independencia lineal y bases#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico · Conceptos de base y de dependencia e independencia lineal; dependencia e independencia lineal de conjuntos de vectores en el espacio

Dependencia lineal: dos paralelos, tres coplanarios

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás; en caso contrario, se dice linealmente independiente. La definición formal y operativa es la siguiente: los vectores u, v, w son linealmente independientes si la única manera de obtener el vector nulo como combinación suya, α·u + β·v + γ·w = 0, es con todos los coeficientes nulos, α = β = γ = 0. Si existe alguna combinación con coeficientes no todos nulos que dé el vector cero, entonces son dependientes. Esta idea separa la información geométrica «redundante» de la «esencial».

En el espacio R³ la dependencia lineal tiene una lectura geométrica muy clara. Dos vectores son linealmente dependientes si y solo si son paralelos (proporcionales, es decir, uno es múltiplo del otro); en ese caso «apuntan a lo largo de la misma recta». Tres vectores son linealmente dependientes si y solo si son coplanarios (están en un mismo plano); si son independientes, no caben en ningún plano común y «llenan» el espacio. Además, cualquier conjunto de cuatro o más vectores en R³ es necesariamente dependiente, porque la dimensión del espacio es 3.

El criterio práctico para decidir la dependencia de tres vectores en coordenadas es el determinante de la matriz formada por sus componentes. Si ese determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes; si es cero, son dependientes (coplanarios). Para dos vectores basta comprobar la proporcionalidad de sus coordenadas. Este criterio del determinante es la herramienta de cálculo más rápida y la que se espera en la PAU, y reaparecerá como el producto mixto en el último apartado del tema (Fig. 9).

Una base de R³ es cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes; su número, tres, es la dimensión del espacio. La propiedad fundamental de una base es que todo vector del espacio se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de la base, y los coeficientes de esa combinación son las coordenadas del vector en dicha base. La base canónica { i, j, k } = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } es la más cómoda porque es ortonormal (sus vectores son perpendiculares dos a dos y de módulo 1), pero cualquier terna independiente sirve como base.

\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0} \;\Longleftrightarrow\; \alpha = \beta = \gamma = 0 \;\;(\text{independientes})

Definición de independencia lineal

Son independientes si la única combinación que da el vector nulo es la trivial (todos los coeficientes cero).

\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix} \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} \text{ es base de } \mathbb{R}^{3}

Criterio del determinante

Determinante distinto de cero: independientes y base; determinante nulo: dependientes (coplanarios).

\vec{x} = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + x_3\vec{e}_3 \quad (\text{coordenadas únicas en la base } \{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\})

Coordenadas en una base

En una base todo vector se escribe de forma única; los coeficientes son sus coordenadas en esa base.

Tres vectores independientes que forman una base de R³

Ejemplo resuelto

Discusión de la independencia lineal con un parámetro

Dados los vectores u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1) y w = (1, m, 1), estudia según los valores del parámetro m si son linealmente independientes e indica para qué valores forman una base de R³.

Planteamos el determinante
Colocamos las coordenadas de los tres vectores como filas de una matriz 3×3; su determinante decide la dependencia.
Desarrollamos por la primera fila
D = 1·(0·1 − 1·m) − 1·(2·1 − 1·1) + 0·(2·m − 0·1) = (−m) − (1) + 0.
Imponemos la dependencia
Los vectores son dependientes (coplanarios) cuando el determinante se anula. Resolvemos D = 0.
Concluimos
Si m = −1 el determinante es cero, así que los vectores son linealmente dependientes. Para cualquier otro valor de m el determinante es distinto de cero y son independientes, formando base de R³.

Resultado: Para m = −1 los vectores son linealmente dependientes (coplanarios); para todo m ≠ −1 son linealmente independientes y forman una base de R³.

Errores frecuentes

Confundir los conceptos: pensar que «determinante cero» significa independencia, cuando es justo al revés (determinante cero ⇒ dependientes; determinante distinto de cero ⇒ independientes y, por tanto, base).
Concluir que dos vectores son dependientes sin comprobar la proporcionalidad de TODAS sus coordenadas, o tratar de aplicar un determinante 3×3 a solo dos vectores.

Repaso activo

Estudia, según los valores del parámetro m, la dependencia o independencia lineal de los vectores u = (1, 2, 1), v = (0, 1, −1) y w = (1, m, 0). Indica para qué valores de m forman una base de R³.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Producto escalar: ángulos y ortogonalidad#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial · Producto escalar de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones (módulos, ángulos y ortogonalidad)

Signo del producto escalar según el ángulo

El producto escalar de dos vectores es un número (un escalar, no un vector) que mide cómo de «alineados» están. Tiene dos expresiones equivalentes que conviene dominar a la vez. La definición geométrica es u · v = |u|·|v|·cos α, donde α es el ángulo que forman los dos vectores; la expresión analítica en coordenadas es u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃, suma de los productos de las componentes homólogas. Igualar ambas expresiones es lo que permite calcular ángulos, y por eso el producto escalar es la herramienta de medida angular del tema.

El producto escalar cumple propiedades que facilitan su manejo: es conmutativo (u · v = v · u), distributivo respecto de la suma y homogéneo respecto del producto por escalares (λu · v = λ(u · v)). Una consecuencia directa fundamental es que el producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo: u · u = |u|², de donde |u| = √(u · u). Esta relación enlaza el producto escalar con el cálculo de longitudes y es la base de muchas demostraciones.

La aplicación estrella es el cálculo del ángulo entre dos vectores. Despejando el coseno de la definición geométrica se obtiene cos α = (u · v) / (|u|·|v|), fórmula que da directamente el ángulo (siempre entre 0° y 180°) sin más que conocer las coordenadas. La condición de ortogonalidad (perpendicularidad) se deduce de inmediato: dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, u · v = 0, porque cos 90° = 0. Esta es, con diferencia, la condición más utilizada en toda la geometría del espacio (Fig. 5).

El ángulo entre dos vectores y la ortogonalidad

El producto escalar tiene un significado físico claro: el trabajo realizado por una fuerza constante F al desplazar su punto de aplicación un vector d es W = F · d, de modo que solo la componente de la fuerza en la dirección del movimiento realiza trabajo (competencia CE6). También permite calcular la proyección de un vector sobre otro. Conviene recordar que el producto escalar puede ser positivo (ángulo agudo), cero (perpendiculares) o negativo (ángulo obtuso): su signo informa por sí solo del tipo de ángulo que forman los vectores.

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha

Producto escalar (analítico y geométrico)

Dos expresiones equivalentes del mismo número: la suma de productos de componentes y la del coseno del ángulo.

\cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}

Ángulo entre dos vectores

Se obtiene dividiendo el producto escalar entre el producto de los módulos; el ángulo queda entre 0° y 180°.

\vec{u} \perp \vec{v} \;\Longleftrightarrow\; \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \quad (\vec{u},\vec{v} \neq \vec{0})

Condición de ortogonalidad

Dos vectores no nulos son perpendiculares exactamente cuando su producto escalar se anula.

Ejemplo resuelto

Ángulo entre dos vectores y vector perpendicular

Sean u = (1, −2, 2) y v = (2, 2, 1). a) Calcula el producto escalar u · v y el ángulo que forman u y v. b) Halla el valor de k para que el vector w = (k, 1, 2) sea perpendicular a u.

Producto escalar
Sumamos los productos de las componentes homólogas: u · v = 1·2 + (−2)·2 + 2·1.
Interpretación y módulos
Como el producto escalar es 0 (y los vectores no son nulos), ya sabemos que son perpendiculares. Aun así calculamos los módulos: |u| = √(1+4+4) = 3 y |v| = √(4+4+1) = 3.
Ángulo
Aplicamos la fórmula del coseno: cos α = 0 / (3·3) = 0, de donde α = 90°.
Vector perpendicular a u
Imponemos w · u = 0: k·1 + 1·(−2) + 2·2 = 0, es decir, k − 2 + 4 = 0.

Resultado: u · v = 0, así que u y v forman un ángulo de 90° (son perpendiculares). Para que w = (k, 1, 2) sea perpendicular a u debe ser k = −2.

Errores frecuentes

Pensar que el resultado del producto escalar es un vector: el producto escalar SIEMPRE da un número, mientras que el vectorial (del siguiente apartado) da un vector.
Olvidar dividir por el producto de los módulos al calcular el coseno del ángulo, o tomar el ángulo como el del producto vectorial; el coseno se obtiene del producto escalar, no de otra operación.

Repaso activo

Dados los vectores u = (2, −1, 2) y v = (1, 2, 2), calcula su producto escalar, sus módulos y el ángulo que forman. Después, determina el valor de k para que el vector w = (k, 1, −1) sea perpendicular a u.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Producto vectorial: vector normal y áreas#

StandardBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial · Producto vectorial de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones (vector normal, áreas de paralelogramos y triángulos)

El producto vectorial y el área del paralelogramo

El producto vectorial de dos vectores u y v, que se escribe u × v, es un vector (a diferencia del producto escalar, que era un número). Su característica más útil es que el vector resultante es perpendicular simultáneamente a u y a v: por eso el producto vectorial es la herramienta para obtener un vector normal a un plano cuando se conocen dos vectores contenidos en él. Su dirección es la perpendicular al plano que determinan u y v, y su sentido lo da la regla de la mano derecha (o del sacacorchos que gira de u hacia v).

En coordenadas, el producto vectorial se calcula como un determinante simbólico 3×3 cuya primera fila son los vectores de la base canónica i, j, k y cuyas otras dos filas son las componentes de u y de v. Desarrollándolo se obtiene u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁). Conviene memorizar la estructura del determinante más que la fórmula desarrollada, porque desarrollar el determinante por la primera fila es menos propenso a errores de signo (Fig. 8).

Producto vectorial como determinante simbólico

El módulo del producto vectorial tiene una interpretación geométrica muy clara: |u × v| = |u|·|v|·sen α, donde α es el ángulo entre u y v, y ese número coincide exactamente con el área del paralelogramo que determinan los dos vectores. De aquí se deduce que el área de un triángulo de vértices A, B y C es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados: área = ½·|AB × AC|. Esta es una de las aplicaciones más solicitadas en la PAU.

El producto vectorial cumple propiedades características que conviene no confundir con las del escalar: NO es conmutativo, sino anticonmutativo, u × v = −(v × u); es distributivo respecto de la suma; y el producto vectorial de dos vectores paralelos (o de un vector consigo mismo) es el vector nulo, porque entonces sen α = 0. De hecho, u × v = 0 es una condición de paralelismo entre vectores no nulos, complementaria a la de ortogonalidad del producto escalar. En física, el momento de una fuerza F respecto de un punto se define como M = r × F (competencia CE6).

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1)

Producto vectorial (determinante simbólico)

Da un vector perpendicular a u y a v; se calcula desarrollando el determinante por la primera fila i, j, k.

|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\operatorname{sen}\alpha = \text{Área del paralelogramo}

Módulo del producto vectorial = área

Su módulo es el área del paralelogramo definido por u y v; depende del seno del ángulo.

\text{Área}_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2}\,\big|\vec{AB} \times \vec{AC}\big| \qquad \vec{u} \times \vec{v} = -\,(\vec{v} \times \vec{u})

Área de un triángulo y anticonmutatividad

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados; el producto vectorial es anticonmutativo.

Ejemplo resuelto

Producto vectorial, vector normal y área de un triángulo

Se consideran los puntos A(1, 0, 0), B(2, 1, 0) y C(1, 1, 2). a) Calcula AB × AC y comprueba que es perpendicular a AB y a AC. b) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C.

Vectores de dos lados
Calculamos los vectores que parten de A: AB = B − A = (1, 1, 0) y AC = C − A = (0, 1, 2).
Producto vectorial AB × AC
Desarrollamos el determinante simbólico: componente i = 1·2 − 0·1 = 2; componente j = −(1·2 − 0·0) = −2; componente k = 1·1 − 1·0 = 1.
Comprobación de perpendicularidad
El producto escalar con cada lado debe ser cero: (2,−2,1)·(1,1,0) = 2 − 2 + 0 = 0 y (2,−2,1)·(0,1,2) = 0 − 2 + 2 = 0. Confirmado.
Módulo del producto vectorial
Calculamos la longitud del vector normal obtenido.
Área del triángulo
El área es la mitad del módulo del producto vectorial de los dos lados.

Resultado: AB × AC = (2, −2, 1), perpendicular a AB y a AC; el área del triángulo ABC es 3/2 = 1,5 unidades cuadradas.

Errores frecuentes

Confundir producto escalar y vectorial: dar como producto vectorial un número, o usar el escalar cuando se pide un vector perpendicular; recuerda que × da vector y · da número.
Equivocarse en los signos al desarrollar el determinante (sobre todo en la componente central, que lleva signo menos), o invertir el orden de los vectores y obtener el vector opuesto al pedido.

Repaso activo

Dados los vectores u = (1, 2, 0) y v = (0, 1, 3), calcula u × v y comprueba que es perpendicular a u y a v. Después, halla el área del paralelogramo que determinan ambos vectores.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Producto mixto: volúmenes y aplicaciones#

VertiefungBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial · Producto mixto de tres vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones (volumen de paralelepípedos y tetraedros, coplanariedad)

Del paralelepípedo al tetraedro: el factor 1/6

El producto mixto de tres vectores u, v y w, que se denota [u, v, w], combina los dos productos anteriores: se define como el producto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos, [u, v, w] = u · (v × w). El resultado es un número (un escalar), porque la última operación es un producto escalar. Es la herramienta del tema para medir volúmenes y para decidir si tres vectores son coplanarios, y cierra de forma natural la progresión escalar → vectorial → mixto.

La forma más cómoda de calcular el producto mixto en coordenadas es como el determinante 3×3 cuyas filas son las componentes de los tres vectores: [u, v, w] coincide con ese determinante. Esto enlaza directamente con el criterio de dependencia lineal del segundo apartado: el producto mixto es, literalmente, el determinante que allí usábamos para decidir si tres vectores forman base. Por eso muchos problemas de coplanariedad y de volumen comparten el mismo cálculo (Fig. 9).

El producto mixto y el volumen del paralelepípedo

La interpretación geométrica del producto mixto es su valor más característico: el valor absoluto del producto mixto |[u, v, w]| es el volumen del paralelepípedo que tienen por aristas los tres vectores. De aquí se obtiene el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D, que es la sexta parte de ese paralelepípedo: V = (1/6)·|[AB, AC, AD]|. Estas dos fórmulas, paralelepípedo y tetraedro, son de las aplicaciones de geometría métrica con mayor presencia en la PAU.

El producto mixto proporciona además un criterio limpio de coplanariedad: tres vectores son coplanarios (linealmente dependientes) si y solo si su producto mixto es cero, [u, v, w] = 0, porque entonces el paralelepípedo «aplastado» tiene volumen nulo. Conviene recordar sus propiedades de signo: el producto mixto cambia de signo al intercambiar dos vectores y es invariante ante permutaciones cíclicas; por eso, cuando se usa para volúmenes, siempre se toma su valor absoluto. Históricamente, el cálculo vectorial que reúne estos tres productos fue sistematizado por Josiah Willard Gibbs a finales del siglo XIX a partir de los cuaterniones de Hamilton.

[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}

Producto mixto (escalar y determinante)

Es el producto escalar de un vector por el producto vectorial de los otros dos; en coordenadas, el determinante de sus componentes.

V_{\text{paralelepípedo}} = \big|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\big| \qquad V_{\text{tetraedro}} = \tfrac{1}{6}\,\big|[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]\big|

Volúmenes con el producto mixto

El valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo; el del tetraedro es su sexta parte.

\vec{u},\vec{v},\vec{w} \text{ coplanarios} \;\Longleftrightarrow\; [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 0

Criterio de coplanariedad

Tres vectores son coplanarios (dependientes) exactamente cuando su producto mixto se anula (volumen cero).

Ejemplo resuelto

Volumen de un tetraedro y comprobación de coplanariedad

Se consideran los puntos A(1, 0, 1), B(3, 1, 1), C(1, 2, 2) y D(2, 1, 4). Calcula, mediante el producto mixto, el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D, y comprueba que los cuatro puntos no son coplanarios.

Vectores desde un vértice
Tomamos A como origen y calculamos los tres vectores arista: AB = B − A = (2, 1, 0), AC = C − A = (0, 2, 1) y AD = D − A = (1, 1, 3).
Producto mixto como determinante
Disponemos las componentes como filas de un determinante 3×3 y lo desarrollamos por la primera fila.
Cálculo del determinante
Desarrollamos: 2·(2·3 − 1·1) − 1·(0·3 − 1·1) + 0·(0·1 − 2·1) = 2·(6 − 1) − 1·(0 − 1) + 0 = 2·5 − 1·(−1) = 10 + 1.
Coplanariedad
Como el producto mixto vale 11 ≠ 0, los tres vectores son linealmente independientes, así que los cuatro puntos NO son coplanarios.
Volumen del tetraedro
Aplicamos la fórmula con el valor absoluto y el factor un sexto.

Resultado: El producto mixto vale 11, luego los cuatro puntos no son coplanarios, y el volumen del tetraedro ABCD es 11/6 ≈ 1,83 unidades cúbicas.

Errores frecuentes

Olvidar el factor 1/6 al calcular el volumen de un tetraedro, dando como respuesta el volumen del paralelepípedo entero, o tomar 1/2 (confundiéndolo con el área del triángulo).
No tomar el valor absoluto del producto mixto al calcular un volumen, dando un volumen negativo, que carece de sentido geométrico.

Repaso activo

Dados los puntos A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 3, 0) y D(1, 1, 4), calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D mediante el producto mixto. Comprueba además que los cuatro puntos no son coplanarios.

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Vectores en el espacio

Puntos clave

Vector que une dos puntos, módulo, unitario y combinación lineal

Puntos clave

Discusión de la independencia lineal con un parámetro

Puntos clave

Ángulo entre dos vectores y vector perpendicular

Puntos clave

Producto vectorial, vector normal y área de un triángulo

Puntos clave

Volumen de un tetraedro y comprobación de coplanariedad

Fuentes

Vectores en el espacio

Puntos clave

Vector que une dos puntos, módulo, unitario y combinación lineal

Puntos clave

Discusión de la independencia lineal con un parámetro

Puntos clave

Ángulo entre dos vectores y vector perpendicular

Puntos clave

Producto vectorial, vector normal y área de un triángulo

Puntos clave

Volumen de un tetraedro y comprobación de coplanariedad

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