Notizen · MathematikDE · Abitur

Analysis — Integralrechnung

Stammfunktionen und unbestimmtes Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, bestimmtes Integral als orientierte Fläche, Mittelwert, Flächen zwischen Kurven, Rotationsvolumina und Anwendungen (Arbeit, mittlere Bestände). Auf eA-Niveau zusätzlich Substitution und partielle Integration.

6Abschnitteca. 8Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 1 · Standard 3 · Vertiefung 2Stand 05/2026

T·0444 / 10

Prüfungsprofil

L4 · Leitidee Funktionaler ZusammenhangK2 · Probleme mathematisch lösenK3 · Mathematisch modellieren

Operatoren:berechnenbestimmeninterpretierenmodellieren

grundlegendes Niveau

gA: Standardstammfunktionen, Hauptsatz, Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse, einfache Anwendungen wie mittlerer Wert oder Bestandsänderung.

erhöhtes Niveau

eA: Substitutionsregel und partielle Integration, Rotationsvolumina, uneigentliche Integrale, Anwendungen in der Stochastik (Dichtefunktion) und Physik (Arbeit).

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Analysis — Integralrechnung

Stammfunktion und unbestimmtes Integral#

BasisL4

Riemann-Summe — Annäherung des Integrals durch Rechtecke

Abb. 1Rechtecksumme (Riemann-Summe) aus n schmalen Rechtecken konvergiert für n → ∞ gegen das bestimmte Integral.

Eine Stammfunktion

F

erfüllt

F'(x) = f(x)

; sie ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.

Das unbestimmte Integral

\int f(x)\, dx = F(x) + C

ist die Menge aller Stammfunktionen.

Standardstammfunktionen:

\int x^{n}\, dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}

(

n \neq -1

\int \tfrac{1}{x}\, dx = \ln|x|

\int \mathrm{e}^{x}\, dx = \mathrm{e}^{x}

\int \sin x\, dx = -\cos x

Linearität:

\int (a f + b g)\, dx = a \int f\, dx + b \int g\, dx

Bei einfachen Verkettungen (lineare innere Funktion) gilt

\int f(ax+b)\, dx = \tfrac{1}{a} F(ax+b)

\int x^{n}\, dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\;(n \neq -1),\quad \int \tfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C,\quad \int \mathrm{e}^{x}\, dx = \mathrm{e}^{x} + C,\quad \int \sin x\, dx = -\cos x + C

Standard-Stammfunktionen

Typische Fehler

Konstante $C$ bei unbestimmtem Integral vergessen.
$\int 1/x\, dx$ wird zu $\ln(x)$ statt $\ln|x|$ verfälscht.
$\int (ax)^{n}$ wird ohne Faktor $1/a$ integriert.
Vorzeichen bei $-\cos$ verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Wenden Sie die Substitutionsregel $\int f(g(x))\,g'(x)\, dx = F(g(x)) + C$ auf $\int 2x\cdot \mathrm{e}^{x^{2}}\, dx$ an.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie eine Stammfunktion von $f(x) = 3x^{2} - 4x + \mathrm{e}^{2x}$ und führen Sie die Probe durch Ableiten.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Hauptsatz und bestimmtes Integral#

StandardL4

Bestimmtes Integral als orientierte Fläche

Abb. 2∫ₐᵇ f(x) dx misst die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Hauptsatz:

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)

verknüpft Differential- und Integralrechnung.

Geometrisch misst

\int_{a}^{b} f(x)\, dx

die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse — unterhalb der x-Achse negativ.

Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse:

A = \int_{a}^{b} |f(x)|\, dx

(Nullstellen aufteilen).

Fläche zwischen zwei Kurven

f

und

g

mit

f \geq g

auf

[a, b]

A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x))\, dx

Mittelwert einer Funktion auf

[a, b]

\bar{f} = \tfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx

Eigenschaften:

\int_{a}^{a} f = 0

\int_{a}^{b} f = -\int_{b}^{a} f

\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a),\quad \text{wobei } F'(x) = f(x)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Interaktive Grafik lädt…

Musterlösung

Fläche zwischen Kurve und x-Achse berechnen

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f(x) = 4 - x^{2}$ und der x-Achse.

Schritt 1 — Nullstellen ermitteln
$4 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ als Integrationsgrenzen.
Schritt 2 — Stammfunktion
$F(x) = 4x - \tfrac{x^{3}}{3}$ .
Schritt 3 — Hauptsatz anwenden
$\int_{-2}^{2} (4 - x^{2})\, dx = F(2) - F(-2) = (8 - \tfrac{8}{3}) - (-8 + \tfrac{8}{3}) = 16 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3}$ .
$A = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}67$

Ergebnis: Flächeninhalt $A = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ FE.

Typische Fehler

Vorzeichen unterhalb der x-Achse wird übernommen statt Betrag genutzt.
Bei Fläche zwischen Kurven $|f - g|$ wird vergessen, wenn die Reihenfolge wechselt.
Mittelwert wird ohne $\tfrac{1}{b-a}$ angegeben.
Schreibweise $\int f(x) dx$ bei bestimmtem Integral ohne Grenzen.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie das uneigentliche Integral $\int_{1}^{\infty} \tfrac{1}{x^{2}}\, dx$ und interpretieren Sie das Ergebnis als endliche Fläche unter einer unbeschränkten Kurve.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f(x) = x^{2}$ und $g(x) = 2x$ im Bereich der Schnittstellen.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Anwendungen — Rotationsvolumen, Arbeit, Bestand#

StandardL4K3

Rotationsvolumen um die x-Achse:

V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\, dx

Arbeit einer ortsabhängigen Kraft:

W = \int_{a}^{b} F(s)\, ds

Aus Änderungsrate gewinnt man den Bestand:

B(t) = B(t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} r(s)\, ds

— z. B. Wasservolumen aus Zufluss.

Stochastische Anwendung: Wahrscheinlichkeit unter Dichtefunktion

P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} \varphi(x)\, dx

Modellinterpretation: Einheit des Integrals ist Produkt der Einheiten von Integrand und Variable (z. B. m/s · s = m).

Musterlösung

Rotationsvolumen um die x-Achse

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph von $f(x) = \sqrt{x}$ für $0 \leq x \leq 4$ um die x-Achse rotiert.

Schritt 1 — Volumenformel
Rotationsvolumen $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\, dx$ .
Schritt 2 — Quadrat der Funktion
$[f(x)]^{2} = x$ .
Schritt 3 — Integral auswerten
$V = \pi \int_{0}^{4} x\, dx = \pi \cdot \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \pi \cdot 8 = 8\pi$ .
$V = 8\pi \approx 25{,}13$

Ergebnis: Rotationsvolumen $V = 8\pi \approx 25{,}13$ VE.

Typische Fehler

Quadrat in $V = \pi \int f^{2}$ vergessen.
Einheit nicht angepasst (Volumen in $\text{m}^{2}\cdot \text{m} = \text{m}^{3}$ ).
Bestand wird nur durch Integral angegeben, Startwert fehlt.
Negative Werte der Änderungsrate werden bei Bestand übersehen (Abfluss).

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn $f(x) = \sin x$ auf $[0, \pi]$ um die x-Achse rotiert (Ansatz: $V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^{2} x\, dx$ , $\sin^{2} x = \tfrac{1-\cos(2x)}{2}$ ).

Aktive Wiederholung

Eine Wassermenge fließt mit Rate $r(t) = 5 - 0{,}2t$ (in $\text{l}/\text{min}$ ) in einen Tank. Bestimmen Sie das nach 10 Minuten zugeflossene Volumen.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Integrationstechniken — Substitution und partielle Integration#

VertiefungL4

Substitutionsregel:

\int f(g(x))\,g'(x)\, dx = \int f(u)\, du

mit

u = g(x)

Partielle Integration:

\int u\,v'\, dx = u\,v - \int u'\,v\, dx

— Umkehrung der Produktregel.

Auswahl der Substitution: Term mit Ableitung als Faktor erkennen (

g'(x)

im Integranden).

Bei partieller Integration

u

als „differenzierfreundlich" wählen (

u = x

u = \ln x

v'

als „integrierfreundlich".

Bestimmtes Integral mit Substitution: Grenzen mit transformieren (

x = a \to u = g(a)

Wiederholung: bei zweimaliger partieller Integration auf

\int \mathrm{e}^{ax}\sin(bx)\, dx

-Typ achten — am Ende Originalintegral zurückbekommen.

\int u(x)\,v'(x)\, dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\,v(x)\, dx

Partielle Integration

Typische Fehler

Bei Substitution wird $du = g'(x)\, dx$ vergessen.
Grenzen werden nicht transformiert.
Partielle Integration mit falscher Rollenverteilung $u \leftrightarrow v'$ .
Substitution rückwärts: $u = g(x)$ wird am Ende nicht zurückersetzt.

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie $\int x^{2}\cdot \ln x\, dx$ mittels partieller Integration und führen Sie die Probe durch Ableiten.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie $\int x\cdot \mathrm{e}^{x}\, dx$ mittels partieller Integration mit $u = x$ und $v' = \mathrm{e}^{x}$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Numerische Integration und Integralmittelwert#

StandardL4K5

Nicht jede Funktion besitzt eine elementare Stammfunktion (z. B.

\mathrm{e}^{-x^{2}}

); dann wird das bestimmte Integral numerisch genähert.

Trapezregel: das Intervall wird in

n

gleich breite Teile zerlegt, die Fläche durch Trapeze angenähert; Randwerte einfach, innere Werte doppelt gewichtet.

Die Genauigkeit der Trapezregel steigt mit wachsendem

n

(kleinerem

h

); der Fehler sinkt etwa proportional zu

h^{2}

Unter- und Obersumme schließen den exakten Wert ein und liefern eine Fehlerabschätzung.

Integralmittelwert

\bar{f}=\tfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx

ist die mittlere Höhe; geometrisch das flächengleiche Rechteck über

[a;b]

Anwendungen: Durchschnittsgeschwindigkeit aus einer Geschwindigkeitsfunktion, mittlerer Bestand, mittlere Leistung.

\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Bigl(f(x_{0})+2f(x_{1})+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_{n})\Bigr),\quad h=\frac{b-a}{n}

Trapezregel zur numerischen Integration

Die Fläche unter dem Graphen wird durch $n$ Trapeze angenähert; die Genauigkeit steigt mit der Anzahl der Teilintervalle.

Musterlösung

Integralmittelwert und numerische Näherung

Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion $f(x)=x^{2}$ auf $[0;3]$ exakt und nähern Sie das Integral $\int_{0}^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx$ mit der Trapezregel ( $n=2$ ).

Schritt 1 — Mittelwert exakt
Mittelwert $\bar{f}=\tfrac{1}{3-0}\int_{0}^{3} x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}\bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{0}^{3}=\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$ .
$\bar{f}=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = 3$
Schritt 2 — Stützstellen für Trapezregel
Bei $n=2$ ist $h=\tfrac{2-0}{2}=1$ mit Stützstellen $x_{0}=0,\;x_{1}=1,\;x_{2}=2$ und $f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ : $f(0)=1,\;f(1)=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368,\;f(2)=\mathrm{e}^{-4}\approx 0{,}018$ .
Schritt 3 — Trapezformel anwenden
Näherung $\approx \tfrac{1}{2}\bigl(f(0)+2f(1)+f(2)\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+0{,}736+0{,}018\bigr)\approx 0{,}877$ .
$\int_{0}^{2}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx \approx 0{,}877$
Schritt 4 — Einordnen
Der exakte Wert (nicht elementar integrierbar) liegt bei rund $0{,}882$ ; die grobe Trapeznäherung mit nur zwei Intervallen weicht weniger als $1\,\%$ ab.

Ergebnis: Integralmittelwert von $x^{2}$ auf $[0;3]$ ist $3$ ; die Trapezregel liefert $\int_{0}^{2}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx\approx 0{,}877$ (exakt $\approx 0{,}882$ ).

Typische Fehler

Bei der Trapezregel werden die Randwerte ebenfalls doppelt gewichtet.
Der Faktor $\tfrac{h}{2}$ wird vergessen oder $h$ falsch als $b-a$ statt $\tfrac{b-a}{n}$ gesetzt.
Integralmittelwert ohne Division durch $b-a$ angegeben.
Näherungswert wird als exaktes Ergebnis ausgegeben, ohne den Näherungscharakter zu benennen.

LK-Vertiefung

eA: Vergleichen Sie für $\int_{0}^{2}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx$ die Trapeznäherungen für $n=2$ und $n=4$ und schätzen Sie die Verbesserung der Genauigkeit ab.

Aktive Wiederholung

Nähern Sie $\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{3}}\,dx$ mit der Trapezregel und $n=4$ Teilintervallen und bestimmen Sie zusätzlich den Integralmittelwert von $f(x)=\sqrt{1+x^{3}}$ auf $[0;1]$ .

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Uneigentliche Integrale und Dichtefunktionen#

VertiefungL4L5

Ein uneigentliches Integral hat eine unbeschränkte Integrationsgrenze oder einen unbeschränkten Integranden (Polstelle im Intervall).

Berechnung über einen Grenzwert:

\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{z\to\infty}\int_{a}^{z} f(x)\,dx

; existiert der Grenzwert, ist das Integral konvergent.

Referenzfall:

\int_{1}^{\infty} x^{-s}\,dx

konvergiert genau für

s>1

und divergiert für

s\leq 1

Eine Dichtefunktion

\varphi

einer stetigen Zufallsgröße erfüllt

\varphi(x)\geq 0

und

\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\,dx=1

Wahrscheinlichkeiten stetiger Verteilungen sind Integrale:

P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx

; einzelne Punkte haben Wahrscheinlichkeit

0

Brücke zur Stochastik: die Normalverteilung ist über ihre Dichtefunktion definiert; Tabellenwerte

\Phi

sind Integrale dieser Dichte.

\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{z\to\infty}\int_{a}^{z} f(x)\,dx

Uneigentliches Integral mit unbeschränkter Grenze

Existiert der Grenzwert, heißt das Integral konvergent; andernfalls divergent. Analog für unbeschränkte Integranden an einer Polstelle.

Musterlösung

Uneigentliches Integral auf Konvergenz prüfen

Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral $\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx$ konvergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.

Schritt 1 — Grenze durch Variable ersetzen
Betrachte $\int_{1}^{z}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx$ mit anschließendem Grenzübergang $z\to\infty$ .
Schritt 2 — Stammfunktion und Einsetzen
$\int_{1}^{z} x^{-2}\,dx=\bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{z}=-\tfrac{1}{z}+1=1-\tfrac{1}{z}$ .
$\int_{1}^{z}\frac{1}{x^{2}}\,dx = 1-\frac{1}{z}$
Schritt 3 — Grenzübergang
$\lim_{z\to\infty}\bigl(1-\tfrac{1}{z}\bigr)=1$ ; der Grenzwert existiert, das Integral konvergiert.
Schritt 4 — Deuten
Obwohl der Integrationsbereich unbeschränkt ist, ist die Fläche endlich gleich $1$ — ein Standardbeispiel für ein konvergentes uneigentliches Integral.

Ergebnis: Das Integral konvergiert: $\int_{1}^{\infty}\tfrac{1}{x^{2}}\,dx=1$ — endliche Fläche über unbeschränktem Bereich.

Typische Fehler

Die unbeschränkte Grenze wird direkt eingesetzt statt über einen Grenzwert behandelt.
Divergenz wird übersehen (z. B. bei $\int_{1}^{\infty}\tfrac{1}{x}\,dx$ ).
Die Normierungsbedingung der Dichte wird nicht geprüft.
Bei stetigen Verteilungen wird einem einzelnen Wert eine positive Wahrscheinlichkeit zugeschrieben.

LK-Vertiefung

eA: Zeigen Sie, dass $\varphi(x)=2\mathrm{e}^{-2x}$ für $x\geq 0$ (und $0$ sonst) eine Dichtefunktion ist, indem Sie $\int_{0}^{\infty}\varphi(x)\,dx=1$ über ein uneigentliches Integral nachweisen.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie $\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{3}}\,dx$ auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Wert.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.