Notizen · MathematikDE · Abitur

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Vektoren im $\mathbb{R}^{3}$ , lineare Unabhängigkeit, Skalarprodukt und Kreuzprodukt, Geraden- und Ebenengleichungen in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform, Lagebeziehungen und Schnittprobleme, Abstands- und Winkelberechnungen. Auf eA-Niveau zusätzlich Matrizen, lineare Abbildungen und Eigenwerte.

6Abschnitteca. 9Min Lesezeit4KompetenzenNiveauBasis 1 · Standard 4 · Vertiefung 1Stand 05/2026

T·0555 / 10

Prüfungsprofil

L3 · Leitidee Raum und FormL1 · Leitidee Algorithmus und ZahlL2 · Leitidee MessenK4 · Mathematische Darstellungen verwenden

Operatoren:berechnenuntersuchenbeschreibenbegründendarstellen

grundlegendes Niveau

gA: Vektoroperationen, Geraden und Ebenen in Parameterform, einfache Schnitt- und Abstandsprobleme; Skalarprodukt für Winkel und Orthogonalität.

erhöhtes Niveau

eA: Wechsel zwischen Parameter-, Normalen- und Koordinatenform; Abstand windschiefer Geraden; Spiegelungen, Lotfußpunkt, lineare Abbildungen mit Matrizen; Eigenwerte und stochastische Matrizen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Vektoren — Komponenten, Operationen, Betrag#

BasisL3

Vektor im Raum — Pfeil vom Ursprung zum Punkt

Abb. 1Ortsvektor mit Komponenten in x-, y- und z-Richtung; Pfeilspitze am Punkt.

Vektor

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})^{T}

als Pfeil mit Richtung und Länge; Ortsvektor zeigt vom Ursprung zum Punkt.

Komponentenweise Addition

\vec{a} + \vec{b}

und skalare Multiplikation

\lambda\vec{a}

Betrag

|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}

ist die euklidische Länge.

Verbindungsvektor zweier Punkte:

\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}

Lineare Unabhängigkeit dreier Vektoren im

\mathbb{R}^{3}

ist gleichbedeutend mit

\det\neq 0

Einheitsvektor (Normierung):

\vec{e}_{a} = \tfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}

|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Betrag (Länge) eines Vektors im R³

Typische Fehler

Vektoraddition wird zeilenweise mit Multiplikation verwechselt.
Betrag ohne Wurzel angegeben (Quadratsumme statt Länge).
Verbindungsvektor mit vertauschter Reihenfolge $\vec{A} - \vec{B}$ .
Linear abhängige Vektoren werden als unabhängig behandelt, weil keine Probe gemacht wurde.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie, ob die Vektoren $(1,\,2,\,3)^{T}$ , $(2,\,1,\,0)^{T}$ , $(4,\,5,\,6)^{T}$ linear unabhängig sind, und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Aktive Wiederholung

Gegeben sind $A(1\mid 2\mid 3)$ , $B(4\mid 0\mid -1)$ . Bestimmen Sie $\vec{AB}$ , dessen Länge $|\vec{AB}|$ und den zugehörigen Einheitsvektor.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Skalarprodukt, Orthogonalität, Winkel#

StandardL3

Skalarprodukt

\vec{a}\cdot \vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}

ist eine reelle Zahl.

Geometrisch:

\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\varphi

mit Zwischenwinkel

\varphi\in[0,\pi]

Orthogonalität:

\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot \vec{b} = 0

Winkel zwischen Vektoren:

\cos\varphi = \tfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Projektion von

\vec{a}

auf

\vec{b}

\vec{a}_{\vec{b}} = \tfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^{2}}\vec{b}

Kreuzprodukt

\vec{a}\times \vec{b}

liefert orthogonalen Vektor mit

|\vec{a}\times \vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\sin\varphi

(LK-Inhalt).

\vec{a}\cdot \vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\varphi

Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

\vec{a}\times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2} \\ a_{3}b_{1} - a_{1}b_{3} \\ a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \end{pmatrix}

Kreuzprodukt (Vektorprodukt) — Normalvektor auf \vec{a} und \vec{b}

Typische Fehler

Skalarprodukt als Vektor statt Zahl behandelt.
Vorzeichen bei Komponente vergessen.
Cosinus-Formel ohne Beträge (Division durch falsche Norm).
Kreuzprodukt-Komponenten in falscher Zyklus-Reihenfolge.

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie das Kreuzprodukt $\vec{a}\times \vec{b}$ für die obigen Vektoren und überprüfen Sie die Orthogonalität durch zwei Skalarprodukte.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie den Zwischenwinkel der Vektoren $\vec{a} = (1, 2, 2)^{T}$ und $\vec{b} = (2, 0, 1)^{T}$ in Grad.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Geraden im Raum — Parameterform und Lage#

StandardL3

Gerade in Parameterform:

g: \vec{x} = \vec{p} + t\vec{u}

mit Stützvektor

\vec{p}

und Richtungsvektor

\vec{u}

Lagebeziehungen zweier Geraden: identisch, parallel, schneidend, windschief.

Test: Richtungsvektoren kollinear? → identisch oder parallel (Punktprobe entscheidet). Nicht kollinear? → schneidend oder windschief (Gleichungssystem für Schnittpunkt prüfen).

Schnittpunkt durch Gleichsetzen der Geradengleichungen und Lösen eines LGS mit zwei Parametern.

Lotfußpunkt: Auf der Geraden den Punkt mit minimalem Abstand zum gegebenen Punkt finden — Skalarprodukt = 0 bestimmt den Parameter.

Schnittwinkel zweier Geraden: Winkel zwischen den Richtungsvektoren (Betrag des Skalarprodukts).

g: \vec{x} = \vec{p} + t\cdot \vec{u},\quad t\in\mathbb{R}

Parameterform einer Geraden

Musterlösung

Lagebeziehung zweier Geraden

Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g: \vec{x} = (1, 0, 2)^{T} + t(1, 1, 1)^{T}$ und $h: \vec{x} = (3, 3, 4)^{T} + s(2, 2, 2)^{T}$ .

Schritt 1 — Richtungsvektoren
$\vec{u} = (1,\,1,\,1)^{T}$ , $\vec{v} = (2,\,2,\,2)^{T} = 2\vec{u}$ — kollinear, also sind $g$ und $h$ parallel oder identisch.
Schritt 2 — Punktprobe
Setze den Stützpunkt $(3,\,3,\,4)^{T}$ von $h$ in $g$ ein: aus der ersten Komponente $1+t=3$ folgt $t=2$ . Für $t=2$ liefert $g$ aber $(3,\,2,\,4)^{T}$ — die zweite Komponente ergibt $2\neq 3$ (Widerspruch).
Schritt 3 — Schluss
Der Stützpunkt von $h$ liegt nicht auf $g$ ; bei kollinearen Richtungsvektoren ohne gemeinsamen Punkt sind die Geraden echt parallel (nicht identisch).

Ergebnis: $g$ und $h$ sind echt parallel — gleiche Richtung, aber kein gemeinsamer Punkt.

Typische Fehler

Kollinearitätstest wird über einen Punkt der Geraden, nicht über Richtungsvektoren gemacht.
Schnittpunkt wird ohne Einsetzen in beide Geraden „bestätigt" — Probe fehlt.
Windschiefe wird mit „kein Schnittpunkt" gleichgesetzt, obwohl die Geraden parallel sein könnten.
Parameterbezeichnung in beiden Geradengleichungen identisch $\to$ falsches LGS.

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie den Abstand zweier windschiefer Geraden über die gemeinsame Normale: $d = \tfrac{|(\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1})\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}$ .

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g: \vec{x} = (2, 1, 0)^{T} + t(1, 1, 2)^{T}$ und $h: \vec{x} = (4, 3, 4)^{T} + s(2, -1, 1)^{T}$ und berechnen Sie ggf. den Schnittpunkt.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Ebenen — Parameter-, Normalen- und Koordinatenform#

StandardL3

Ebene durch Stützvektor und Normalenvektor

Abb. 2Normalenform: n⃗ · (x⃗ − p⃗) = 0; die Ebene ist Menge aller x⃗ senkrecht auf n⃗ durch P.

Parameterform:

E: \vec{x} = \vec{p} + s\vec{u} + t\vec{v}

mit Spannvektoren

\vec{u}

\vec{v}

(linear unabhängig).

Normalenform:

\vec{n}\cdot(\vec{x} - \vec{p}) = 0

;

\vec{n}

orthogonal zur Ebene.

Koordinatenform:

ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d

mit

(a, b, c)^{T} = \vec{n}

Wechsel Parameter → Normalen:

\vec{n} = \vec{u}\times \vec{v}

, anschließend Punkt einsetzen für

d

Lagebeziehung Gerade-Ebene: einsetzen

\vec{p}+t\vec{u}

in Koordinatenform; eindeutige Lösung → Schnittpunkt, keine Lösung → parallel, beliebige Lösung → Gerade liegt in Ebene.

Lagebeziehung Ebene-Ebene: Normalenvektoren vergleichen → parallel/identisch oder schneidend (Schnittgerade aus LGS).

\text{Parameter: } \vec{x} = \vec{p} + s\vec{u} + t\vec{v}\;\;|\;\;\text{Normalen: } \vec{n}\cdot(\vec{x} - \vec{p}) = 0\;\;|\;\;\text{Koord.: } ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d

Drei Darstellungen einer Ebene

Typische Fehler

Normalenvektor bei Kreuzprodukt $\vec{u}\times \vec{v}$ falsch berechnet (Reihenfolge der Komponenten).
Bei Punktprobe wird Stützpunkt nicht eingesetzt.
Koordinatenform mit fehlendem Term $d$ oder falschem Vorzeichen.
Schnittgerade ohne Parameterdarstellung als „Lösung" angegeben.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen $E_{1}: x_{1}+x_{2}+x_{3} = 6$ und $E_{2}: 2x_{1}-x_{2}+x_{3} = 3$ in Parameterform.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie eine Ebenengleichung in Koordinatenform durch die drei Punkte $A(1\mid 0\mid 0)$ , $B(0\mid 2\mid 0)$ , $C(0\mid 0\mid 3)$ und nennen Sie den Normalenvektor.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Abstands- und Lotfußpunktaufgaben#

StandardL3

Abstand Punkt — Ebene: Hesse-Normalform

d(P, E) = \tfrac{|\vec{n}\cdot \vec{p} - d_{0}|}{|\vec{n}|}

, wobei

d_{0}

die Konstante der Koordinatenform

\vec{n}\cdot \vec{x} = d_{0}

ist (nicht mit dem Abstand

d

verwechseln).

Abstand Punkt — Gerade: Lotfußpunkt

F

bestimmen,

d(P, g) = |\vec{PF}|

Abstand zweier paralleler Ebenen: einen Punkt der einen Ebene in Hesse-Normalform der anderen einsetzen.

Abstand zweier windschiefer Geraden: über gemeinsame Normale

\vec{n} = \vec{u}\times \vec{v}

und Verbindungsvektor der Stützpunkte.

Spiegelung eines Punktes an einer Ebene:

P' = P + 2(F - P)

mit Lotfußpunkt

F

Schnittwinkel Gerade-Ebene:

\sin\varphi = \tfrac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}

Musterlösung

Abstand Punkt — Ebene mit Hesse-Normalform

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(1\mid 2\mid -3)$ von der Ebene $E: 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 6$ .

Schritt 1 — Normalenvektor
$\vec{n} = (2, -1, 2)^{T}$ mit $|\vec{n}| = \sqrt{4+1+4} = 3$ .
Schritt 2 — Hesse-Normalform
Normiere: $\tfrac{1}{3}(2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} - 6) = 0$ .
Schritt 3 — Punkt einsetzen
Mit der Konstanten $d_{0}=6$ der Koordinatenform: $d(P,E) = \tfrac{|2\cdot 1 - 1\cdot 2 + 2\cdot(-3) - 6|}{3} = \tfrac{|2 - 2 - 6 - 6|}{3} = \tfrac{12}{3} = 4$ .
$d(P, E) = \dfrac{|\vec{n}\cdot \vec{p} - d_{0}|}{|\vec{n}|}$

Ergebnis: Abstand $d(P, E) = 4$ LE.

Typische Fehler

Hesse-Normalform ohne Normierung.
Lotfußpunkt-Bedingung mit Skalarprodukt vergessen.
Abstandsvorzeichen statt Betrag verwendet.
Spiegelung als $P + (F - P)$ statt $P + 2(F - P)$ .

LK-Vertiefung

eA: Spiegeln Sie den Punkt $P(2\mid 1\mid 3)$ an der Ebene $E: 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 9$ und geben Sie den Spiegelpunkt $P'$ an.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(3\mid 4\mid 5)$ von der Ebene $E: x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 6$ über die Hesse-Normalform.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Schnittwinkel und Körperberechnungen#

VertiefungL3L2

Schnittwinkel zweier Ebenen:

\cos\alpha=\dfrac{|\vec{n}_{1}\cdot \vec{n}_{2}|}{|\vec{n}_{1}|\,|\vec{n}_{2}|}

über die Normalenvektoren; der Betrag sichert den spitzen Winkel.

Schnittwinkel Gerade–Ebene:

\sin\beta=\dfrac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}

, weil

\beta

das Komplement des Winkels zwischen Richtungs- und Normalenvektor ist.

Der Flächeninhalt eines von

\vec{a}

\vec{b}

aufgespannten Parallelogramms ist

|\vec{a}\times \vec{b}|

; das Dreieck hat den halben Wert.

Das Spatprodukt

(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}

liefert (im Betrag) das Volumen des von drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Pyramiden- und Tetraedervolumen:

V=\tfrac{1}{3}\,G\cdot h

bzw.

V_{\text{Tetraeder}}=\tfrac{1}{6}\,|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|

Höhen und Abstände in Körpern lassen sich über Lotfußpunkt- und Hesse-Normalform-Techniken aus den Sachgebieten kombinieren.

\cos\alpha = \frac{|\vec{n}_{1}\cdot \vec{n}_{2}|}{|\vec{n}_{1}|\,|\vec{n}_{2}|}\;(\text{Ebene–Ebene}),\qquad \sin\beta = \frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}\;(\text{Gerade–Ebene})

Schnittwinkel zwischen Ebenen bzw. Gerade und Ebene

Bei Gerade–Ebene tritt der Sinus auf, weil der gesuchte Winkel das Komplement des Winkels zwischen Richtungs- und Normalenvektor ist; der Betrag im Zähler liefert stets den spitzen Winkel.

A_{\triangle} = \tfrac{1}{2}\,|\vec{a}\times \vec{b}|,\qquad V_{\text{Spat}} = |(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|,\qquad V_{\text{Pyr}} = \tfrac{1}{3}\,G\cdot h

Flächen- und Volumenformeln mit Vektoren

Der Betrag des Kreuzprodukts ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms; das Spatprodukt liefert das Volumen des Parallelepipeds.

Musterlösung

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden $g:\vec{x}=(0,\,0,\,0)^{T}+t\,(2,\,1,\,2)^{T}$ und der Ebene $E: x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=6$ .

Schritt 1 — Vektoren ablesen
Richtungsvektor $\vec{u}=(2,\,1,\,2)^{T}$ , Normalenvektor $\vec{n}=(1,\,2,\,2)^{T}$ aus der Koordinatenform.
Schritt 2 — Beträge und Skalarprodukt
$\vec{u}\cdot \vec{n}=2+2+4=8$ ; $|\vec{u}|=\sqrt{4+1+4}=3$ , $|\vec{n}|=\sqrt{1+4+4}=3$ .
Schritt 3 — Sinusformel anwenden
$\sin\beta=\dfrac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}=\dfrac{8}{3\cdot 3}=\dfrac{8}{9}\approx 0{,}889$ .
$\sin\beta=\frac{8}{9}\approx 0{,}889$
Schritt 4 — Winkel deuten
$\beta=\arcsin\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\approx 62{,}7^{\circ}$ : ein spitzer Schnittwinkel, da Richtungs- und Normalenvektor nicht parallel sind.

Ergebnis: Der Schnittwinkel beträgt $\beta\approx 62{,}7^{\circ}$ — die Gerade durchstößt die Ebene unter einem spitzen Winkel.

Musterlösung

Dreiecksfläche über das Kreuzprodukt

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(1\mid 0\mid 0)$ , $B(0\mid 2\mid 0)$ , $C(0\mid 0\mid 2)$ .

Schritt 1 — Spannvektoren
$\vec{AB}=B-A=(-1,\,2,\,0)^{T}$ und $\vec{AC}=C-A=(-1,\,0,\,2)^{T}$ .
Schritt 2 — Kreuzprodukt
$\vec{AB}\times \vec{AC}=(2\cdot 2-0\cdot 0,\;0\cdot(-1)-(-1)\cdot 2,\;(-1)\cdot 0-2\cdot(-1))=(4,\,2,\,2)^{T}$ .
$\vec{AB}\times \vec{AC}=(4,\,2,\,2)^{T}$
Schritt 3 — Betrag
$|\vec{AB}\times \vec{AC}|=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ .
Schritt 4 — Fläche
Dreiecksfläche $A_{\triangle}=\tfrac{1}{2}\,|\vec{AB}\times \vec{AC}|=\tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}=\sqrt{6}\approx 2{,}449$ .
$A_{\triangle}=\sqrt{6}\approx 2{,}45$

Ergebnis: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist $A_{\triangle}=\sqrt{6}\approx 2{,}45$ FE.

Typische Fehler

Bei Gerade–Ebene wird der Cosinus statt des Sinus verwendet (Komplementwinkel verwechselt).
Der Betrag im Zähler fehlt, sodass ein stumpfer statt des spitzen Schnittwinkels herauskommt.
Dreiecksfläche ohne den Faktor $\tfrac{1}{2}$ angegeben.
Spatprodukt-Volumen ohne Betrag (negatives Volumen) oder Faktor $\tfrac{1}{6}$ beim Tetraeder vergessen.

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders mit den Eckpunkten $O(0\mid 0\mid 0)$ , $A(2\mid 0\mid 0)$ , $B(0\mid 3\mid 0)$ , $C(0\mid 0\mid 4)$ über das Spatprodukt und vergleichen Sie mit $\tfrac{1}{3}G\cdot h$ .

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A(2\mid 0\mid 0)$ , $B(0\mid 3\mid 0)$ , $C(0\mid 0\mid 6)$ über das Kreuzprodukt und den Schnittwinkel der Trägerebene mit der $x_{1}x_{2}$ -Ebene.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.