Notizen · MathematikDE · Abitur

Analysis — Differentialrechnung

Ableitungsbegriff als Grenzwert, Ableitungsregeln (Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel), Ableitungen elementarer Funktionen, Tangenten und Normalen, Monotonie- und Krümmungsverhalten, lokale und globale Extrema, Wendepunkte sowie vollständige Kurvendiskussion und Optimierungsaufgaben.

6Abschnitteca. 9Min Lesezeit3KompetenzenNiveauBasis 1 · Standard 4 · Vertiefung 1Stand 05/2026

T·0333 / 10

Prüfungsprofil

L4 · Leitidee Funktionaler ZusammenhangK2 · Probleme mathematisch lösenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen

Operatoren:untersuchenbestimmenberechnenbegründeninterpretieren

grundlegendes Niveau

gA: Ableitungen mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel bei einfachen Verkettungen; Standard-Kurvendiskussion und Tangentenprobleme; einfache Optimierung mit eindimensionaler Zielfunktion.

erhöhtes Niveau

eA: Grenzwertbeweise zur Ableitung, Untersuchung von Funktionenscharen $f_{t}$ , Wendetangenten und Krümmungsanalyse, mehrdimensionale Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingung und Variablentausch.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Analysis — Differentialrechnung

Grenzwerte, Stetigkeit und Asymptoten#

StandardL4L1

Stetigkeit, behebbare Lücke und Sprungstelle

Abb. 1Links eine stetige Kurve, in der Mitte eine behebbare Lücke (Grenzwert existiert), rechts eine Sprungstelle (links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden).

Der Grenzwert

\lim_{x\to a} f(x)

beschreibt das Verhalten der Funktionswerte, wenn

x

sich

a

nähert; er existiert nur, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.

Eine Funktion ist an

x_{0}

stetig, wenn

\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0})

gilt; ganzrationale, exponentielle und trigonometrische Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich überall stetig.

Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen sind behebbar (Grenzwert existiert, Term kürzbar) oder Polstellen (Grenzwert

\pm\infty

Verhalten im Unendlichen: Der Gradvergleich von Zähler- und Nennerpolynom liefert waagrechte Asymptote (

n=m

), Annäherung an

0

(

n<m

) oder schiefe Asymptote (

n=m+1

Senkrechte Asymptoten liegen an Polstellen; das Vorzeichenverhalten links und rechts entscheidet über

+\infty

oder

-\infty

Stetigkeit ist notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit: jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt.

\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=\lim_{x\to a} f(x)\pm \lim_{x\to a} g(x),\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}+\dots}{b_{m}x^{m}+\dots}=\begin{cases}\pm\infty & n>m\\[2pt]\tfrac{a_{n}}{b_{m}} & n=m\\[2pt]0 & n<m\end{cases}

Grenzwertsätze und Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen

Für $x\to\pm\infty$ entscheidet der Gradvergleich von Zähler und Nenner über waagrechte oder schiefe Asymptoten.

Musterlösung

Grenzwert und Stetigkeit an einer Definitionslücke

Untersuchen Sie $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ auf Grenzwert und stetige Fortsetzbarkeit.

Schritt 1 — Definitionslücke erkennen
Der Nenner verschwindet bei $x=2$ ; dort ist $f$ zunächst nicht definiert (Definitionslücke).
Schritt 2 — Term kürzen
Faktorisieren: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ , also $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ für $x\neq 2$ .
$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\;(x\neq 2)$
Schritt 3 — Grenzwert bilden
Der Grenzwert existiert: $\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$ (links- und rechtsseitig gleich).
Schritt 4 — Stetig fortsetzen
Da der Grenzwert endlich ist, liegt eine (behebbare) Lücke vor; mit $f(2):=4$ ist $f$ stetig fortsetzbar.

Ergebnis: Es liegt eine behebbare Definitionslücke vor: $\lim_{x\to 2} f(x)=4$ ; mit $f(2)=4$ wird $f$ stetig.

Typische Fehler

Behebbare Lücke und Polstelle werden verwechselt; der Term wird nicht zuerst gekürzt.
Beim Grenzwert für $x\to\infty$ wird der Gradvergleich falsch ausgewertet (Verhältnis der Leitkoeffizienten vergessen).
Einseitige Grenzwerte an Polstellen werden nicht getrennt betrachtet, das Vorzeichen wird verfehlt.
Aus Stetigkeit wird voreilig auf Differenzierbarkeit geschlossen (Gegenbeispiel $|x|$ bei $0$ ).

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie die schiefe Asymptote von $h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ durch Polynomdivision und beschreiben Sie das Verhalten für $x\to\pm\infty$ .

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ und $g(x)=\dfrac{1}{x-3}$ auf Definitionslücken, klassifizieren Sie diese und geben Sie alle Asymptoten an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Ableitungsbegriff und Differenzenquotient#

BasisL4K5

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf

[a, b]

ist

\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

(Sekantensteigung).

Die lokale Änderungsrate (momentane Steigung) bei

x_{0}

ist der Grenzwert

f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \tfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

Geometrisch ist

f'(x_{0})

die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt

(x_{0}, f(x_{0}))

(siehe ).

Differentialquotient — Grenzwert der Sekantensteigung

Abb. 2Sekante durch P(x₀|f(x₀)) und Q(x₀+h|f(x₀+h)) konvergiert für h → 0 gegen die Tangente.

Eine Funktion ist differenzierbar bei

x_{0}

, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen; an Knick- und Sprungstellen scheitert die Differenzierbarkeit.

Physikalisch beschreibt die Ableitung Geschwindigkeit (Ort nach Zeit), Beschleunigung (Geschwindigkeit nach Zeit) oder Wachstumsrate.

f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

Typische Fehler

Mittlere und lokale Änderungsrate verwechselt — Frageinterpretation lesen.
h-Methode wird ohne Grenzübergang abgebrochen; das Ergebnis ist dann nur die Sekantensteigung.
Vorzeichenfehler bei $(f(x_{0}+h)-f(x_{0}))$ in der Klammer.
Differenzierbarkeit wird durch Stetigkeit ersetzt (jeder Knick ist stetig, aber nicht differenzierbar).

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie, ob $f(x) = |x|$ an der Stelle $x_{0} = 0$ differenzierbar ist, indem Sie links- und rechtsseitigen Grenzwert separat bestimmen.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = x^{2}$ an der Stelle $x_{0} = 3$ mittels h-Methode (Grenzwertberechnung von Hand).

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Ableitungsregeln und Standardableitungen#

StandardL4

Faktor- und Summenregel:

(c\cdot f)' = c\cdot f'

(f+g)' = f'+g'

Produktregel:

(fg)' = f'g + fg'

— der Term mit der „abgeleiteten Funktion zuerst" ist Standard.

Quotientenregel:

(f/g)' = (f'g - fg')/g^{2}

; Vorzeichen im Zähler beachten.

Kettenregel:

(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

— „äußere Ableitung mal innere Ableitung".

Standardableitungen:

(x^{n})' = n\,x^{n-1}

(\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x}

(\ln x)' = 1/x

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

Bei Verkettungen mit drei Schichten (z. B.

\mathrm{e}^{\sin(x^{2})}

) Kettenregel zweimal verschachtelt anwenden.

(c\,f)' = c\,f',\quad (f+g)' = f' + g',\quad (f\,g)' = f'g + fg',\quad \left(\tfrac{f}{g}\right)' = \tfrac{f'g - fg'}{g^{2}},\quad (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

(x^{n})' = n\,x^{n-1},\quad (\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x},\quad (\ln x)' = \tfrac{1}{x},\quad (\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x

Ableitungen elementarer Funktionen

Typische Fehler

Produktregel als $(fg)' = f'\cdot g'$ geschrieben (Multiplikation statt Summe).
Quotientenregel mit vertauschten Vorzeichen oder Termen.
Kettenregel ohne innere Ableitung: $(\mathrm{e}^{3x})' = \mathrm{e}^{3x}$ statt $3\mathrm{e}^{3x}$ .
$(\ln x)'$ wird mit $\ln(x^{-1})$ verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Leiten Sie $h(x) = \sin(\ln(x^{2}+1))$ ab und identifizieren Sie alle Verkettungsebenen.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie $f'(x)$ für $f(x) = x^{2}\cdot \mathrm{e}^{-x}$ und vereinfachen Sie auf ein Produkt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Kurvendiskussion — Extrema und Wendepunkte#

StandardL4

Notwendige Bedingung für lokales Extremum bei

x_{0}

f'(x_{0}) = 0

(kritische Stelle).

Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von

f'

oder

f''(x_{0}) \neq 0

(Maximum bei

f'' < 0

, Minimum bei

f'' > 0

Wendepunkt:

f''(x_{0}) = 0

und

f'''(x_{0}) \neq 0

(oder Vorzeichenwechsel von

f''

Monotonie:

f' > 0

→ streng monoton wachsend;

f' < 0

→ streng monoton fallend.

Krümmung:

f'' > 0

→ konvex (Linkskrümmung);

f'' < 0

→ konkav (Rechtskrümmung).

Globales Extremum: Werte an Randpunkten des Definitionsbereichs und an allen kritischen Stellen vergleichen.

Polynom dritten Grades f(x) = x³ − 3x

Abb. 3Punktsymmetrisch zum Ursprung; Extremstellen bei \pm 1; Wendepunkt im Ursprung.

Musterlösung

Vollständige Kurvendiskussion einer Polynomfunktion

Untersuchen Sie $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$ auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und skizzieren Sie den Graphen.

Schritt 1 — Ableitungen
$f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x-2)$ und $f''(x) = 6x - 6$ .
Schritt 2 — Nullstellen
$f(x) = x^{2}(x-3) = 0$ liefert $x_{1} = 0$ (doppelt, Berührpunkt) und $x_{2} = 3$ .
Schritt 3 — Extrema
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \vee x = 2$ . $f''(0) = -6 < 0$ → Hochpunkt $H(0\mid 0)$ . $f''(2) = 6 > 0$ → Tiefpunkt $T(2\mid -4)$ .
Schritt 4 — Wendepunkt
$f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ ; $f'''(1) = 6 \neq 0$ , also Wendepunkt $W(1\mid -2)$ .

Ergebnis: Hochpunkt $H(0\mid 0)$ , Tiefpunkt $T(2\mid -4)$ , Wendepunkt $W(1\mid -2)$ ; Nullstellen $x=0$ (doppelt) und $x=3$ .

Typische Fehler

Notwendige Bedingung wird mit hinreichender verwechselt — eine Nullstelle von $f'$ ist nicht automatisch Extremum.
Vorzeichen von $f''$ falsch interpretiert (Maximum vs. Minimum).
Wendepunkt fehlt im Ergebnis, weil nur $f'$ untersucht wurde.
Globales Extremum wird übersehen, weil Randwerte nicht eingesetzt wurden.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Funktionenschar $f_{a}(x) = x^{3} - 3ax$ in Abhängigkeit vom Parameter $a > 0$ .

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie $f(x) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}$ auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und beschreiben Sie das Monotonieverhalten.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Tangenten, Normalen und lineare Approximation#

StandardL4

Tangentengleichung an

x_{0}

t(x) = f'(x_{0})\cdot(x - x_{0}) + f(x_{0})

Normalengleichung:

n(x) = -\tfrac{1}{f'(x_{0})}\cdot(x - x_{0}) + f(x_{0})

(für

f'(x_{0}) \neq 0

Lineare Approximation:

f(x) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x - x_{0})

für

x

nahe

x_{0}

Wendetangente: Tangente an den Wendepunkt — wechselt zwischen konvexem und konkavem Bereich.

Schnittwinkel zweier Kurven: Winkel zwischen den Tangenten an der Schnittstelle,

\tan\alpha = \left|\tfrac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}\right|

Musterlösung

Tangentengleichung an einer Stelle

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an den Graphen von $f(x) = \mathrm{e}^{x}$ an der Stelle $x_{0} = 1$ .

Schritt 1 — Funktionswert
$f(1) = \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e} \approx 2{,}718$ .
Schritt 2 — Steigung
$f'(x) = \mathrm{e}^{x}$ , also $m = f'(1) = \mathrm{e}$ .
Schritt 3 — Tangentengleichung
$t(x) = m(x - x_{0}) + f(x_{0}) = \mathrm{e}(x - 1) + \mathrm{e} = \mathrm{e}\cdot x$ .
$t(x) = \mathrm{e}\cdot x$

Ergebnis: Tangente $t(x) = \mathrm{e}\cdot x$ — verläuft durch den Ursprung mit Steigung $\mathrm{e}$ .

Typische Fehler

Steigung der Normalen wird als $-f'(x_{0})$ statt als negativer Kehrwert berechnet.
Punkt $(x_{0}, f(x_{0}))$ wird ausgelassen — Tangentengleichung fehlt der Achsenabschnitt.
Lineare Approximation wird auf große Intervalle ausgeweitet, was zu großem Fehler führt.
Wendetangente wird auf eine Extremstelle bezogen.

LK-Vertiefung

eA: Berechnen Sie den Schnittwinkel der Graphen von $f(x) = x^{2}$ und $g(x) = \sqrt{x}$ im Punkt $(1\mid 1)$ über die Tangentensteigungen.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie Tangente und Normale an den Graphen von $f(x) = \ln(x)$ im Punkt $P(1\mid 0)$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Extremwert- und Optimierungsaufgaben#

VertiefungL4K3

Schritt 1: Hauptbedingung (Zielgröße) und Nebenbedingung aus dem Sachkontext aufstellen.

Schritt 2: Nebenbedingung nach einer Variable auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen — Zielfunktion mit einer Variablen.

Schritt 3: Definitionsbereich der Zielfunktion aus dem Sachkontext ableiten (z. B. positive Längen).

Schritt 4: Mit Differentialrechnung Extremstelle bestimmen (notwendige und hinreichende Bedingung).

Schritt 5: Randwerte des Definitionsbereichs zusätzlich prüfen — globales Optimum kann am Rand liegen.

Klassische Aufgabentypen: maximale Fläche bei festem Umfang, minimales Materialverbrauchsproblem, maximaler Gewinn.

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Typische Fehler

Nebenbedingung wird mit Hauptbedingung verwechselt.
Definitionsbereich wird nicht eingegrenzt, wodurch unmögliche Lösungen entstehen.
Randextrema werden vergessen.
Hinreichende Bedingung wird nicht geprüft — Sattelpunkt wird als Extremum gewertet.

LK-Vertiefung

eA: Aus einem 30 cm breiten Blech soll eine offene Rinne mit rechteckigem Querschnitt gebogen werden. Bestimmen Sie die Tiefe so, dass der Querschnitt maximal wird; diskutieren Sie die Modellgrenzen.

Aktive Wiederholung

Ein rechteckiges Beet mit Umfang 24 m soll maximale Fläche haben. Stellen Sie die Zielfunktion auf und bestimmen Sie die optimalen Seitenlängen sowie die maximale Fläche.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.