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Primitivas imediatas e integrais definidos (tema opcional AE 2023)

Introduz-se o cálculo integral: a noção de primitiva e as primitivas imediatas, o integral definido como área sob uma curva, o teorema fundamental do cálculo (regra de Barrow) e o cálculo de áreas de regiões planas. É um dos três temas opcionais das Aprendizagens Essenciais de 2023 (a escola escolhe um) e, por não ser comum a todos os alunos, não integra o núcleo avaliado no Exame Nacional 635 — é aqui ensinado integralmente, como ampliação.

4 secções·~10 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 1 · Aprofundamento 3

T·161616 / 17
Perfil de exame
Ampliação — tema opcional das AE 2023; fora do Exame Nacional 635Primitivar funções elementaresInterpretar o integral definido como área e aplicar o teorema fundamental do cálculoCalcular áreas de regiões planas com integrais definidos
Operadores:primitivacalculadeterminainterpretajustifica

nível básico

Reconhecer a noção de primitiva e o integral definido como área.

nível avançado

Primitivar funções elementares e calcular áreas com o teorema fundamental do cálculo.

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Primitivas imediatas e integrais definidos (tema opcional AE 2023)
    • 01Primitivas imediatas◐
    • 02Integral definido e área●
    • 03Teorema fundamental do cálculo e regra de Barrow●
    • 04Cálculo de áreas de regiões planas●
§ 01

Primitivas imediatas#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-12-opcional-primitivas-integrais

Pontos-chave

Este tema é opcional (Ampliação — fora do Exame Nacional 635): as Aprendizagens Essenciais de 2023 propõem três temas em alternativa para o final do 12.º ano, e cada turma trabalha apenas um. Estuda-se aqui integralmente, pela sua importância no ensino superior, mas não é matéria comum de exame.
Primitivar é a operação inversa de derivar: uma primitiva de «f» é uma função «F» tal que «F′ = f». Como a derivada de uma constante é zero, se «F» é primitiva de «f», então «F + C» também o é, para qualquer constante «C». O conjunto de todas as primitivas escreve-se «∫ f(x) dx = F(x) + C» (o integral indefinido); a constante «C» é obrigatória.
As primitivas imediatas obtêm-se «lendo ao contrário» a tabela das derivadas (ver Fig. 1). As principais: «∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C» (para «n ≠ −1»); «∫ (1/x) dx = ln|x| + C»; «∫ eˣ dx = eˣ + C»; «∫ cos x dx = sin x + C»; «∫ sin x dx = −cos x + C». A primitivação é linear: primitiva-se termo a termo e as constantes multiplicativas saem para fora.

Primitivas imediatas

Tabela de primitivasTabela com 2 colunas e 5 linhas, Dados: Função f(x) · Primitiva F(x); xⁿ (n ≠ −1) · xⁿ⁺¹/(n + 1) + C; 1/x · ln|x| + C; eˣ · eˣ + C; cos x · sin x + C; sin x · −cos x + CFUNÇÃO F(X)PRIMITIVA F(X)Xⁿ (N ≠ −1)xⁿ⁺¹/(n + 1) + C1/Xln|x| + CEˣeˣ + CCOS Xsin x + CSIN X−cos x + C
Fig. 1Fig. 1 — Primitivas imediatas das funções elementares (a menos de uma constante C).
A Fig. 1 reúne as primitivas imediatas. Primitivar é, em geral, mais difícil do que derivar (nem toda a função elementar tem primitiva elementar), mas as funções do 12.º ano são, na sua maioria, primitiváveis de imediato ou com pequenas manipulações. A verificação é sempre possível — e recomendável: derivar a primitiva encontrada deve devolver a função de partida.
∫xn dx=xn+1n+1+C (n≠−1),∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^n\, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1), \qquad \int \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C∫xndx=n+1xn+1​+C (n=−1),∫x1​dx=ln∣x∣+C

Primitivas imediatas (potências)

Operação inversa da derivação; a constante C é obrigatória. O caso n = −1 dá o logaritmo.

Exemplo resolvido

Primitivar um polinómio

Determina uma primitiva de f(x) = 3x² + 2x e verifica-a por derivação.

  1. 01Primitivar termo a termo

    ∫ 3x² dx = 3·x³/3 = x³; ∫ 2x dx = 2·x²/2 = x².

  2. 02Somar e juntar a constante

    F(x) = x³ + x² + C.

  3. 03Verificar

    F′(x) = 3x² + 2x = f(x). Confirma-se.

Resultado: Uma primitiva de f é F(x) = x³ + x² + C.

Foco no Exame Nacional

  • Ampliação (tema opcional): não é avaliado no Exame Nacional 635.
  • Primitivar funções elementares (potências, exponencial, seno e cosseno) sem esquecer a constante.

Erros frequentes

  • Esquecer a constante de primitivação C.
  • Aplicar a regra da potência a 1/x (n = −1 é a exceção: dá ln|x|).

Revisão ativa

Determina uma primitiva de f(x) = 3x² + 2x e verifica o resultado por derivação.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Integral definido e área#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-opcional-primitivas-integrais

Pontos-chave

O integral definido «∫ₐᵇ f(x) dx» de uma função não negativa é a área da região limitada pelo gráfico de «f», o eixo «Ox» e as retas «x = a» e «x = b» (ver Fig. 2). A ideia intuitiva é aproximar essa área por retângulos finos (somas de Riemann): dividindo «[a, b]» em subintervalos e somando as áreas de retângulos de base cada subintervalo e altura o valor da função, obtêm-se aproximações que melhoram à medida que os retângulos estreitam.

Área sob a curva f(x) = x²

Integral definidoGráfico de y = x², mínimo em (0, 0), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -0.5 a 2.5−0.50.511.522.512345y = x²yx
Fig. 2Fig. 2 — Área sob f(x) = x² entre 0 e 2: ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2,67.
O integral definido é o limite dessas somas quando a largura dos retângulos tende para zero. É um número (não uma função), que representa a área (para «f ≥ 0»). Quando «f» toma valores negativos, o integral conta como negativa a área abaixo do eixo — pelo que, para áreas geométricas com partes abaixo do eixo, se integra o módulo ou se separa por intervalos de sinal.
A Fig. 2 mostra a região sob «f(x) = x²» entre «x = 0» e «x = 2», cuja área é «∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2,67». Calcular esta área somando retângulos seria trabalhoso; o teorema fundamental do cálculo (secção seguinte) dá um atalho poderoso, ligando o integral às primitivas.
O integral definido tem propriedades úteis: é linear («∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g»), aditivo no intervalo («∫ₐᶜ = ∫ₐᵇ + ∫ᵦᶜ») e «∫ₐᵃ f = 0». Estas propriedades, com a interpretação de área, permitem decompor e calcular integrais de funções definidas por ramos ou com sinais variáveis.

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Exemplo resolvido

Aproximar uma área por retângulos

Estima a área sob f(x) = x² em [0, 2] usando dois retângulos de igual base (com altura no extremo direito de cada subintervalo).

  1. 01Subintervalos

    Dividir [0, 2] em dois: [0, 1] e [1, 2], cada um de base 1.

  2. 02Alturas (extremo direito)

    f(1) = 1 e f(2) = 4.

  3. 03Soma de Riemann

    Área ≈ 1·1 + 1·4 = 5 (sobrestima, pois a função é crescente).

  4. 04Comparar

    O valor exato é 8/3 ≈ 2,67; a aproximação grosseira (5) melhora com mais retângulos.

Resultado: A aproximação com dois retângulos dá 5; o valor exato do integral é 8/3 ≈ 2,67.

Foco no Exame Nacional

  • Ampliação (tema opcional): não é avaliado no Exame Nacional 635.
  • Interpretar o integral definido como área e como limite de somas de Riemann.

Erros frequentes

  • Interpretar como área um integral de uma função com partes negativas (o integral pode ser menor do que a área).
  • Confundir o integral definido (um número) com a primitiva (uma função).

Revisão ativa

Escreve o integral que dá a área da região sob f(x) = x² entre x = 0 e x = 2.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Teorema fundamental do cálculo e regra de Barrow#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-opcional-primitivas-integrais

Pontos-chave

O teorema fundamental do cálculo estabelece a ligação profunda entre as duas operações — derivar e integrar — mostrando que são inversas uma da outra. Na sua forma prática, a regra de Barrow, afirma: se «F» é uma primitiva de «f» (isto é, «F′ = f»), então «∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)». O integral definido calcula-se avaliando uma primitiva nos extremos e subtraindo.
Este resultado é notável: transforma o cálculo de uma área (um limite de somas infinitas) numa simples subtração de dois valores de uma primitiva. A intuição é que a «área acumulada» de «a» até «x» é uma função cuja derivada é a própria «f» — logo, é uma primitiva de «f». Avaliá-la em «b» e em «a» dá a área do intervalo.
Na prática, escreve-se «∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)». Por exemplo, «∫₁³ 2x dx = [x²]₁³ = 9 − 1 = 8» (ver Fig. 3). A constante de primitivação não interessa aqui — ao subtrair «F(b) − F(a)», ela cancela-se. Basta, portanto, uma qualquer primitiva.

Integral definido de f(x) = 2x

Regra de BarrowGráfico de y = 2x, zeros em x = 0, ordenada na origem y = 0, crescente, no intervalo x de 0 a 3.50.511.522.533.51234567y = 2xyx
Fig. 3Fig. 3 — ∫₁³ 2x dx = [x²]₁³ = 9 − 1 = 8 (área do trapézio sob a reta y = 2x).
A regra de Barrow é a ferramenta central do cálculo integral: reduz o cálculo de qualquer integral definido à determinação de uma primitiva (a parte difícil) seguida de uma subtração (a parte fácil). Com ela, calculam-se áreas, valores médios de funções e muitas grandezas acumuladas — a razão pela qual o cálculo integral é tão poderoso na ciência e na engenharia.
∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a),com F′=f\int_a^b f(x)\, dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a), \quad \text{com } F' = f∫ab​f(x)dx=[F(x)]ab​=F(b)−F(a),com F′=f

Regra de Barrow (teorema fundamental)

O integral definido é a diferença dos valores de uma primitiva nos extremos do intervalo.

Exemplo resolvido

Integral definido pela regra de Barrow

Calcula ∫₁³ 2x dx.

  1. 01Primitiva

    Uma primitiva de 2x é F(x) = x².

  2. 02Avaliar nos extremos

    [x²]₁³ = F(3) − F(1) = 3² − 1² = 9 − 1.

  3. 03Resultado

    ∫₁³ 2x dx = 8.

Resultado: ∫₁³ 2x dx = 8 (a área sob y = 2x entre 1 e 3).

Foco no Exame Nacional

  • Ampliação (tema opcional): não é avaliado no Exame Nacional 635.
  • Aplicar a regra de Barrow para calcular integrais definidos.

Erros frequentes

  • Trocar a ordem da subtração (é F(b) − F(a), não F(a) − F(b)).
  • Somar a constante C num integral definido (cancela-se; é desnecessária).

Revisão ativa

Calcula ∫₁³ 2x dx pela regra de Barrow.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Cálculo de áreas de regiões planas#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-opcional-primitivas-integrais

Pontos-chave

A aplicação mais direta do integral definido é o cálculo de áreas. Para a área entre o gráfico de «f» e o eixo «Ox», integra-se «f» (ou «|f|», se houver partes abaixo do eixo). Para a área entre duas curvas «f» e «g» num intervalo «[a, b]» onde «f ≥ g», integra-se a diferença: «Área = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx» — a «curva de cima» menos a «curva de baixo» (ver Fig. 4).

Área entre y = x e y = x²

Área entre curvasGráfico de y = x, zeros em x = 0, ordenada na origem y = 0, crescente, no intervalo x de -0.2 a 1.3, Gráfico de y = x², mínimo em (0, 0), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -0.2 a 1.3−0.20.20.40.60.811.20.20.40.60.811.2y = xy = x²yx
Fig. 4Fig. 4 — Região entre y = x (acima) e y = x² (abaixo) em [0, 1]: área = ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/6.
O procedimento sistemático: determinar os pontos de interseção das curvas (que dão os limites de integração), identificar qual é a curva superior no intervalo, e integrar a diferença. Os pontos de interseção resolvem «f(x) = g(x)»; entre eles, o sinal de «f − g» é constante, o que garante que a diferença tem sinal definido.
A Fig. 4 mostra a região entre a reta «y = x» e a parábola «y = x²», entre os seus pontos de interseção «x = 0» e «x = 1». Nesse intervalo, «x ≥ x²» (a reta está acima), pelo que a área é «∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6». Note-se a importância de identificar corretamente qual a curva de cima.
O cálculo de áreas reúne todas as ferramentas do tema: primitivar, aplicar a regra de Barrow e interpretar geometricamente. É a síntese do cálculo integral ao nível do secundário e prepara aplicações mais gerais (volumes de sólidos de revolução, comprimentos de arco, trabalho de uma força) que se desenvolvem no ensino superior.
Aˊrea=∫ab[f(x)−g(x)] dx(f≥g em [a,b])\text{Área} = \int_a^b \big[f(x) - g(x)\big]\, dx \quad (f \geq g \text{ em } [a,b])Aˊrea=∫ab​[f(x)−g(x)]dx(f≥g em [a,b])

Área entre duas curvas

Integra-se a diferença entre a curva de cima e a de baixo, entre os seus pontos de interseção.

Exemplo resolvido

Área entre duas curvas

Calcula a área da região limitada por y = x e y = x².

  1. 01Interseções

    x = x² ⇔ x² − x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1. Limites: 0 e 1.

  2. 02Curva superior

    Em ]0, 1[, x > x² (por exemplo, em x = 0,5: 0,5 > 0,25). A reta está acima.

  3. 03Integrar a diferença

    Área = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹.

  4. 04Calcular

    = (1/2 − 1/3) − 0 = 3/6 − 2/6 = 1/6.

Resultado: A área da região é 1/6.

Foco no Exame Nacional

  • Ampliação (tema opcional): não é avaliado no Exame Nacional 635.
  • Calcular a área entre duas curvas integrando a diferença (curva de cima menos a de baixo).

Erros frequentes

  • Integrar «de baixo menos de cima» e obter uma área negativa.
  • Esquecer de determinar os pontos de interseção que fixam os limites de integração.

Revisão ativa

Calcula a área da região limitada pelas curvas y = x e y = x².

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Primitivas imediatas◐
    • 02Integral definido e área●
    • 03Teorema fundamental do cálculo e regra de Barrow●
    • 04Cálculo de áreas de regiões planas●

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Primitivas imediatas e integrais definidos (tema opcional AE 2023)

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Referências e fontes

Fontes

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  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

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