Resumos · Matemática APT · Secundário

Matrizes (tema opcional AE 2023)

Introduzem-se as matrizes e as suas operações (adição, multiplicação por escalar e produto), a matriz identidade e a matriz inversa, a resolução matricial de sistemas de equações lineares e algumas aplicações (grafos, transformações). É um dos três temas opcionais das Aprendizagens Essenciais de 2023 (a escola escolhe um) e, por não ser comum a todos os alunos, não integra o núcleo avaliado no Exame Nacional 635 — é aqui ensinado integralmente, como ampliação.

4 secções~10 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

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Perfil de exame

Ampliação — tema opcional das AE 2023; fora do Exame Nacional 635Operar com matrizes (adição, escalar e produto)Reconhecer a matriz identidade e a matriz inversaResolver sistemas lineares na forma matricial e aplicar matrizes a contextos

Operadores:calculadeterminaresolveaplicajustifica

nível básico

Reconhecer matrizes e efetuar a adição e a multiplicação por escalar.

nível avançado

Multiplicar matrizes, determinar inversas e resolver sistemas lineares na forma matricial.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Matrizes (tema opcional AE 2023)

Matrizes: noção e operações elementares#

PadrãoAE-matematica-a-12-opcional-matrizes

Este tema é opcional (Ampliação — fora do Exame Nacional 635): as Aprendizagens Essenciais de 2023 propõem três temas em alternativa para o final do 12.º ano, e cada turma trabalha apenas um. Estuda-se aqui integralmente, pela sua importância na álgebra linear do ensino superior, mas não é matéria comum de exame.

Uma matriz é um quadro retangular de números organizados em linhas e colunas. Uma matriz de «m» linhas e «n» colunas diz-se de tipo «m × n»; o elemento na linha «i» e coluna «j» denota-se «aᵢⱼ» (ver Fig. 1). Casos particulares: matriz linha («1 × n»), matriz coluna («m × 1»), matriz quadrada («n × n»). Duas matrizes são iguais se têm o mesmo tipo e elementos homólogos iguais.

Uma matriz 2 × 3 e a indexação aᵢⱼ

Fig. 1Fig. 1 — Matriz 2 × 3: o elemento aᵢⱼ está na linha i e na coluna j.

A adição de matrizes (só possível entre matrizes do mesmo tipo) faz-se elemento a elemento: «(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ». A multiplicação por um escalar «k» multiplica todos os elementos por «k». Estas operações herdam as propriedades da adição de números (comutativa, associativa, elemento neutro — a matriz nula) e comportam-se de forma intuitiva.

A Fig. 1 mostra uma matriz «2 × 3» com a indexação «aᵢⱼ» dos seus elementos. As matrizes são uma linguagem compacta para organizar dados (tabelas, sistemas de equações, grafos) e para operar sobre eles em bloco. As operações elementares (adição, escalar) são o primeiro passo; a operação verdadeiramente rica — o produto — trata-se na secção seguinte.

Exemplo resolvido

Adição e múltiplo escalar de matrizes

Dadas A = [[2, 1], [0, 3]] e B = [[1, 4], [2, −1]], calcula A + B e 2A.

Adição (elemento a elemento)
A + B = [[2+1, 1+4], [0+2, 3+(−1)]] = [[3, 5], [2, 2]].
Múltiplo escalar
2A = [[2·2, 2·1], [2·0, 2·3]] = [[4, 2], [0, 6]].

Resultado: A + B = [[3, 5], [2, 2]] e 2A = [[4, 2], [0, 6]].

Erros frequentes

Tentar somar matrizes de tipos diferentes (só é possível entre matrizes do mesmo tipo).
Confundir a ordem dos índices em aᵢⱼ (i é a linha, j é a coluna).

Revisão ativa

Dadas A = [[2, 1], [0, 3]] e B = [[1, 4], [2, −1]], calcula A + B e 2A.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Multiplicação de matrizes#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-opcional-matrizes

O produto de matrizes é a operação central — e a menos intuitiva. Para multiplicar «A» por «B», o número de colunas de «A» tem de ser igual ao número de linhas de «B»: «Aₘ×ₙ · Bₙ×ₚ = Cₘ×ₚ». O elemento «cᵢⱼ» do produto obtém-se «linha «i» de A vezes coluna «j» de B»: somam-se os produtos dos elementos correspondentes (ver Fig. 2).

Produto de duas matrizes 2 × 2

Fig. 2Fig. 2 — Regra linha por coluna: cada cᵢⱼ soma os produtos da linha i de A pela coluna j de B.

A regra «linha por coluna» é «cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ»: percorre-se a linha «i» de «A» e a coluna «j» de «B» em simultâneo, multiplicando termo a termo e somando. É um cálculo mecânico mas exige atenção; visualizar a linha «a deslizar» sobre a coluna ajuda a não trocar elementos.

A multiplicação de matrizes NÃO é comutativa: em geral «A·B ≠ B·A» (podem até ter tipos diferentes ou uma nem estar definida). Esta é a diferença mais marcante face à multiplicação de números e fonte de muitos erros. Mantém, porém, a associatividade «(A·B)·C = A·(B·C)» e a distributividade em relação à adição.

O elemento neutro do produto é a matriz identidade «I» — a matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 nas restantes posições —, que verifica «A·I = I·A = A». A Fig. 2 esquematiza o produto de duas matrizes «2 × 2». A multiplicação de matrizes representa a composição de transformações e está no coração das aplicações (sistemas, grafos, computação gráfica).

c_{ij} = \sum_{k} a_{ik}\, b_{kj} \qquad (A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p})

Produto de matrizes (linha por coluna)

Cada elemento do produto é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B; exige colunas de A = linhas de B.

Exemplo resolvido

Multiplicar duas matrizes

Calcula [[2, 1], [0, 3]] · [[1, 2], [3, 4]].

Elemento c₁₁
linha 1 · coluna 1 = 2·1 + 1·3 = 5.
Elemento c₁₂
linha 1 · coluna 2 = 2·2 + 1·4 = 8.
Elemento c₂₁
linha 2 · coluna 1 = 0·1 + 3·3 = 9.
Elemento c₂₂
linha 2 · coluna 2 = 0·2 + 3·4 = 12.

Resultado: O produto é [[5, 8], [9, 12]].

Erros frequentes

Multiplicar elemento a elemento (o produto de matrizes é linha por coluna).
Assumir que A·B = B·A (o produto não é comutativo).

Revisão ativa

Calcula o produto [[2, 1], [0, 3]] · [[1, 2], [3, 4]].

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Matriz inversa e sistemas lineares#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-opcional-matrizes

A matriz inversa de uma matriz quadrada «A» é a matriz «A⁻¹» tal que «A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I» (a identidade). Nem toda a matriz tem inversa: existe apenas quando «A» é «invertível» (o seu determinante é diferente de zero). A inversa desempenha, para as matrizes, o papel do «inverso» de um número — mas com as cautelas da não comutatividade.

Para uma matriz «2 × 2» «A = [[a, b], [c, d]]», a inversa é «A⁻¹ = (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]]», onde «det A = ad − bc». Se «det A = 0», a matriz é singular (não tem inversa). Trocar «a» com «d», negar «b» e «c», e dividir pelo determinante é a receita para o caso «2 × 2».

Um sistema de equações lineares escreve-se na forma matricial «A·X = B», onde «A» é a matriz dos coeficientes, «X» a coluna das incógnitas e «B» a coluna dos termos independentes. Se «A» é invertível, a solução única é «X = A⁻¹·B» — multiplica-se «B», à esquerda, pela inversa de «A». É a versão matricial de «resolver ax = b por x = b/a».

Este método (Fig. 3) resolve sistemas de forma sistemática e revela a sua estrutura: o sistema tem solução única precisamente quando «A» é invertível («det A ≠ 0»). Quando «det A = 0», o sistema é impossível ou indeterminado. As matrizes dão, assim, uma visão unificada e poderosa dos sistemas lineares.

Sistema linear na forma matricial

Fig. 3Fig. 3 — Sistema A·X = B: matriz dos coeficientes A = [[2, 1], [1, 3]], com det A = 5 ≠ 0 (solução única).

A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \qquad A X = B \ \Rightarrow\ X = A^{-1} B

Inversa 2×2 e resolução de sistemas

A inversa existe se det A = ad − bc ≠ 0; a solução do sistema é X = A⁻¹B.

Exemplo resolvido

Resolver um sistema pela matriz inversa

Resolve 2x + y = 5, x + 3y = 10 na forma matricial X = A⁻¹B.

Forma matricial
A = [[2, 1], [1, 3]], X = [x, y]ᵀ, B = [5, 10]ᵀ.
Determinante
det A = 2·3 − 1·1 = 6 − 1 = 5 ≠ 0: A é invertível.
Inversa
A⁻¹ = (1/5)·[[3, −1], [−1, 2]].
Solução
X = A⁻¹B = (1/5)·[[3·5 − 1·10], [−1·5 + 2·10]] = (1/5)·[[5], [15]] = [[1], [3]].

Resultado: x = 1 e y = 3 (verificação: 2·1 + 3 = 5 e 1 + 3·3 = 10).

Erros frequentes

Calcular a inversa de uma matriz com determinante nulo (não existe).
Escrever a solução como X = B·A⁻¹ (a ordem correta é X = A⁻¹·B, à esquerda).

Revisão ativa

Resolve, na forma matricial, o sistema 2x + y = 5, x + 3y = 10.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Aplicações das matrizes#

PadrãoAE-matematica-a-12-opcional-matrizes

Matriz de adjacência do grafo

Fig. 5Fig. 5 — Matriz de adjacência: 1 na posição (i, j) se há aresta de i para j, 0 caso contrário.

As matrizes organizam e operam sobre dados estruturados em inúmeros contextos. Uma aplicação clássica é a representação de grafos pela matriz de adjacência: numa matriz «n × n», o elemento na linha «i» e coluna «j» é 1 se existe uma ligação (aresta) do vértice «i» para o «j», e 0 caso contrário (ver Fig. 4). Redes de transportes, ligações entre páginas web e relações sociais representam-se assim.

Grafo dirigido

Fig. 4Fig. 4 — Grafo dirigido com arestas A→B, A→C, B→C e C→A; a sua matriz de adjacência regista estas ligações.

A matriz de adjacência não é apenas um registo: operar com ela dá informação nova. As potências da matriz contam caminhos — o elemento «(i, j)» de «Aᵏ» dá o número de caminhos de comprimento «k» do vértice «i» para o «j». É a base de algoritmos de análise de redes (incluindo ideias por detrás dos motores de busca).

Outra aplicação importante são as transformações geométricas: no plano, rotações, reflexões e dilatações representam-se por matrizes «2 × 2», e aplicar a transformação a um ponto é multiplicar a matriz pela coluna das suas coordenadas. Compor transformações corresponde a multiplicar as respetivas matrizes — a razão pela qual a computação gráfica assenta em álgebra matricial.

A Fig. 4 mostra um grafo dirigido e a sua matriz de adjacência. Estas aplicações ilustram por que as matrizes são uma das estruturas mais úteis da Matemática moderna: uma linguagem uniforme para representar e transformar sistemas, redes e dados — do ensino superior à ciência de dados e à inteligência artificial.

Exemplo resolvido

Matriz de adjacência de um grafo

Constrói a matriz de adjacência do grafo dirigido com arestas A→B, A→C, B→C e C→A.

Ordenar os vértices
Linhas e colunas por ordem A, B, C; a posição (i, j) recebe 1 se há aresta de i para j.
Linha de A
A→B e A→C: (A,B) = 1, (A,C) = 1; (A,A) = 0.
Linha de B
Só B→C: (B,C) = 1; os restantes 0.
Linha de C
Só C→A: (C,A) = 1; os restantes 0.

Resultado: A matriz de adjacência é [[0, 1, 1], [0, 0, 1], [1, 0, 0]] (ver Fig. 5).

Erros frequentes

Num grafo dirigido, confundir a ligação i → j (linha i, coluna j) com j → i.
Esperar que a matriz de adjacência seja simétrica num grafo dirigido (só o é se as ligações forem bidirecionais).

Revisão ativa

Constrói a matriz de adjacência do grafo dirigido com arestas A→B, A→C, B→C e C→A.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

Matrizes (tema opcional AE 2023)

4 secções~10 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

Matrizes (tema opcional AE 2023)

Pontos-chave

Adição e múltiplo escalar de matrizes

Pontos-chave

Multiplicar duas matrizes

Pontos-chave

Resolver um sistema pela matriz inversa

Pontos-chave

Matriz de adjacência de um grafo

Fontes

Matrizes (tema opcional AE 2023)

Pontos-chave

Adição e múltiplo escalar de matrizes

Pontos-chave

Multiplicar duas matrizes

Pontos-chave

Resolver um sistema pela matriz inversa

Pontos-chave

Matriz de adjacência de um grafo

Fontes