Resumos · Matemática APT · Secundário

Modelos matemáticos para a Cidadania (eleições, partilha, finanças)

Este tema, introduzido nas Aprendizagens Essenciais de 2023 no início do 10.º ano, mostra a Matemática ao serviço das decisões coletivas: como se transformam votos em vencedores e em mandatos, como se reparte de forma justa aquilo que não se divide de modo exato, e como o dinheiro cresce (ou a dívida) ao longo do tempo. É um tema de literacia cívica e financeira, com métodos rigorosos e resultados por vezes surpreendentes.

4 secções~15 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0111 / 17

Perfil de exame

Aplicar e comparar sistemas de votação, reconhecendo as suas propriedades e limitaçõesAplicar o método de Hondt à conversão de votos em mandatosResolver problemas de partilha e de divisão justaCalcular juro simples e composto e fundamentar decisões financeiras

Operadores:calculaaplicacomparajustificaexplicainterpretaanalisa

nível básico

Comum a Ciências e Tecnologias e a Ciências Socioeconómicas: compreender os principais sistemas de votação, aplicar o método de Hondt e distinguir juro simples de composto.

nível avançado

Aprofundamento: analisar criticamente as propriedades e os paradoxos dos sistemas de votação (Condorcet, Arrow) e comparar produtos financeiros pela TAEG.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Modelos matemáticos para a Cidadania (eleições, partilha, finanças)

Sistemas de votação e escolha social#

PadrãoAE-matematica-a-10-modelos-matematicos-cidadania

Quando um grupo tem de escolher entre várias opções a partir das preferências de cada um dos seus membros, precisa de uma regra de decisão — um sistema de votação. A teoria matemática das eleições estuda essas regras e as suas propriedades. O ponto de partida é o perfil de preferências: cada eleitor ordena as opções da que prefere para a que menos prefere. A partir do mesmo perfil, diferentes métodos podem eleger vencedores diferentes — e é precisamente isso que torna o tema tão importante para a cidadania: o resultado de uma eleição não depende apenas dos votos, mas também do método usado para os contar.

O método mais simples é a regra da pluralidade (ou maioria relativa): vence a opção mais vezes colocada em primeiro lugar. É fácil de aplicar, mas ignora toda a informação para além da primeira preferência e pode eleger uma opção rejeitada pela maioria. O método de Borda atribui pontos por posição — numa eleição com «n» candidatos, o primeiro lugar de cada boletim vale «n − 1» pontos, o segundo «n − 2», e assim sucessivamente até «0» — e vence quem somar mais pontos; valoriza o apoio global, mas é sensível à entrada de candidatos irrelevantes.

O critério de Condorcet propõe um teste exigente: uma opção é vencedora de Condorcet se derrotar todas as outras em confrontos diretos, dois a dois, por maioria. Quando existe, é um vencedor muito robusto; mas nem sempre existe — as preferências coletivas podem ser cíclicas (A vence B, B vence C e C vence A), o chamado paradoxo de Condorcet. É por isto que nenhum método é perfeito: o teorema da impossibilidade de Arrow demonstra que, com três ou mais opções, não existe nenhum sistema de votação por ordenação que satisfaça simultaneamente um conjunto natural de propriedades de justiça (ver Fig. 1).

Três métodos, três leituras do mesmo escrutínio

Fig. 1Fig. 1 — Sobre 100 eleitores (42 A>B>C, 26 B>C>A, 32 C>B>A): A vence por pluralidade, mas B é o vencedor de Borda e de Condorcet.

A Fig. 1 ilustra o essencial: sobre um mesmo escrutínio, a pluralidade elege o candidato «A» (o mais votado em primeiro lugar), ao passo que tanto o método de Borda como o critério de Condorcet elegem o candidato «B». O candidato «A» tem o maior número de primeiras preferências, mas perde os confrontos diretos com «B» e com «C»: é um vencedor «por pluralidade», não um vencedor consensual. Compreender esta diferença é compreender por que razão a escolha do método é, ela própria, uma decisão política.

Exemplo resolvido

Pluralidade, Borda e Condorcet sobre o mesmo perfil

100 eleitores ordenam os candidatos A, B, C assim: 42 votam A>B>C, 26 votam B>C>A e 32 votam C>B>A. Determina o vencedor segundo cada método.

Pluralidade
Contam-se as primeiras preferências: A tem 42, C tem 32 e B tem 26. O mais votado em 1.º lugar é A.
Borda (pontos 2, 1, 0)
Com 3 candidatos, o 1.º lugar vale 2, o 2.º vale 1 e o 3.º vale 0. A = 42·2 + 26·0 + 32·0 = 84. B = 42·1 + 26·2 + 32·1 = 42 + 52 + 32 = 126. C = 42·0 + 26·1 + 32·2 = 26 + 64 = 90. Vence B.
Condorcet (confrontos diretos)
A vs B: A é preferido por 42; B por 26+32 = 58 → vence B. A vs C: A por 42; C por 58 → vence C. B vs C: B por 42+26 = 68; C por 32 → vence B. Logo B derrota A e C.
Conclusão
A vence por pluralidade, mas B é o vencedor de Borda e o vencedor de Condorcet. O método escolhido altera o resultado.

Resultado: Pluralidade → A; Borda → B; Condorcet → B. O mesmo escrutínio dá vencedores diferentes consoante o método.

Erros frequentes

Na contagem de Borda, atribuir pontos por ordem crescente em vez de decrescente (o 1.º lugar deve valer mais).
Concluir que o vencedor de Condorcet existe sempre — pode haver ciclos (paradoxo de Condorcet).

Revisão ativa

Num escrutínio com 100 eleitores e candidatos A, B, C, as preferências são: 45 eleitores A>C>B, 30 eleitores B>C>A, 25 eleitores C>B>A. Determina o vencedor por pluralidade, por Borda e por Condorcet.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Método de Hondt: converter votos em mandatos#

PadrãoAE-matematica-a-10-modelos-matematicos-cidadania

Eleger uma única pessoa é diferente de distribuir vários lugares (mandatos) por várias listas em proporção dos seus votos. Portugal usa, na eleição da Assembleia da República e das autarquias, o método de Hondt, um método de representação proporcional da família das «médias mais altas». O objetivo é repartir os mandatos de um círculo de forma tão proporcional quanto possível ao número de votos de cada lista, respeitando que os mandatos são números inteiros.

O algoritmo é simples e determinístico. Divide-se o número de votos de cada lista sucessivamente por 1, 2, 3, 4, … , obtendo-se uma tabela de quocientes. Em seguida, ordenam-se todos os quocientes por ordem decrescente e atribui-se um mandato a cada um dos maiores quocientes, tantos quantos os mandatos a distribuir. Uma lista recebe tantos mandatos quantos os seus quocientes que figurem entre os maiores (ver Fig. 2).

Método de Hondt — tabela de quocientes

Fig. 2Fig. 2 — Círculo de 5 mandatos. Os quocientes marcados ①–⑤ são os cinco maiores: A elege 3 mandatos, B elege 2, C e D nenhum.

A Fig. 2 mostra o método aplicado a um círculo com 5 mandatos e quatro listas (A com 100 000 votos, B com 80 000, C com 30 000 e D com 20 000). Os cinco maiores quocientes são, por ordem, 100 000 (A), 80 000 (B), 50 000 (A), 40 000 (B) e 33 333 (A). Logo A obtém 3 mandatos, B obtém 2 e as listas C e D não elegem — o quociente seguinte, 30 000 de C, ficaria em 6.º lugar. O método favorece ligeiramente as listas mais votadas, o que reforça a governabilidade mas penaliza os pequenos partidos.

Vale a pena reter a lógica de «média mais alta»: dividir os votos pelo número de mandatos já hipoteticamente atribuídos mais um equivale a perguntar «qual seria o número médio de votos por mandato se esta lista recebesse mais um lugar?» — e o mandato vai para quem mantiver a média mais alta. Este raciocínio explica por que razão o método é proporcional sem nunca deixar mandatos por atribuir, e por que os resultados dependem tanto do número de mandatos do círculo como da dispersão dos votos.

Exemplo resolvido

Distribuir 5 mandatos pelo método de Hondt

Num círculo eleitoral com 5 mandatos, quatro listas obtiveram: A = 100 000 votos, B = 80 000, C = 30 000 e D = 20 000. Determina o número de mandatos de cada lista.

Construir os quocientes
Dividem-se os votos de cada lista por 1, 2, 3, …. A: 100 000; 50 000; 33 333; … B: 80 000; 40 000; 26 667; … C: 30 000; 15 000; … D: 20 000; 10 000; …
Ordenar os maiores
Por ordem decrescente: 100 000 (A), 80 000 (B), 50 000 (A), 40 000 (B), 33 333 (A), 30 000 (C), …
Atribuir os 5 mandatos
Os 5 maiores quocientes pertencem a A (100 000; 50 000; 33 333 → 3 mandatos) e a B (80 000; 40 000 → 2 mandatos).
Conclusão
O 6.º quociente, 30 000, seria da lista C — mas já não há mandatos para atribuir; C e D não elegem.

Resultado: A elege 3 mandatos, B elege 2, C e D não elegem. Total: 5 mandatos.

Erros frequentes

Dividir apenas pelos números de mandatos já atribuídos e não pela sequência 1, 2, 3, … de cada lista.
Somar os quocientes de cada lista em vez de os comparar individualmente entre todas as listas.

Revisão ativa

Num círculo com 4 mandatos, as listas obtiveram: P = 24 000 votos, Q = 14 000, R = 9 000. Aplica o método de Hondt e indica quantos mandatos elege cada lista.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Partilha e divisão justa#

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Partilha proporcional pelos maiores restos

Fig. 3Fig. 3 — Partilha de 10 lugares por 60 alunos (28/17/15). Somam-se 8 partes inteiras; os 2 lugares restantes vão para os maiores restos (turmas B e A).

Muitos problemas de cidadania são problemas de partilha: distribuir lugares, recursos ou custos de forma proporcional a certas quantidades — a população de cada região, a quota de cada sócio, o consumo de cada pessoa. A dificuldade nasce sempre do mesmo facto: aquilo que se reparte (mandatos, objetos indivisíveis) é inteiro, mas as quotas proporcionais raramente o são. É preciso, então, uma regra de arredondamento que seja justa e coerente.

O ponto de partida é a quota (ou quota-parte) de cada participante: o valor exato que lhe caberia se a divisão pudesse ser fracionária. Calcula-se a quota como o total a repartir vezes a fração que cada participante representa. A parte inteira da quota atribui-se de imediato; o problema é distribuir os lugares que sobram por causa das partes decimais. Diferentes critérios de arredondamento dão origem a diferentes métodos de partilha (por exemplo, atribuir os lugares restantes às maiores partes decimais — o método dos maiores restos).

Estes métodos revelam paradoxos instrutivos. O paradoxo do Alabama mostra que aumentar o número total de lugares a distribuir pode, com certos métodos, fazer diminuir os lugares de um participante — um resultado contra-intuitivo que motivou o estudo rigoroso da partilha. Compreender que não existe um método de partilha perfeito (tal como não há sistema de votação perfeito) é uma aprendizagem central deste tema: a justiça de uma repartição depende dos critérios que se acordam à partida.

Na prática, resolver um problema de partilha segue sempre os mesmos passos: calcular o total e a quota de cada participante, atribuir as partes inteiras, contar os lugares que faltam e distribuí-los segundo o critério escolhido. O rigor está em explicitar o critério e em verificar que a soma final das partes coincide exatamente com o total a repartir — um controlo simples que deteta a maioria dos erros de cálculo.

Exemplo resolvido

Distribuir 10 lugares pelo método dos maiores restos

Distribui 10 tablets por três turmas em proporção dos alunos: A = 28, B = 17, C = 15 (total 60).

Calcular as quotas
Quota = 10 · (alunos/60). A: 10·28/60 = 4,67. B: 10·17/60 = 2,83. C: 10·15/60 = 2,50.
Atribuir as partes inteiras
Partes inteiras: 4 + 2 + 2 = 8 tablets. Faltam 10 − 8 = 2 tablets.
Distribuir os restos
Restos: A = 0,67; B = 0,83; C = 0,50. Os 2 maiores restos são o de B (0,83) e o de A (0,67); cada um recebe +1.
Conclusão
A = 4+1 = 5; B = 2+1 = 3; C = 2. Verificação: 5 + 3 + 2 = 10.

Resultado: A turma A fica com 5 tablets, a B com 3 e a C com 2, num total de 10.

Erros frequentes

Arredondar cada quota isoladamente pela regra usual e obter um total diferente do número de lugares.
Não explicitar o critério de distribuição dos restos, tornando a solução ambígua.

Revisão ativa

Uma escola tem de distribuir 10 tablets por três turmas em proporção do número de alunos: A = 28, B = 17, C = 15 (total 60). Calcula a quota de cada turma e distribui os tablets pelo método dos maiores restos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Matemática financeira: juro simples e composto#

AprofundamentoAE-matematica-a-10-modelos-matematicos-cidadania

O juro é o preço do dinheiro no tempo: o que se recebe por aplicar (ou se paga por pedir emprestado) um capital durante um período. Exprime-se por uma taxa, em regra anual. Há duas formas de o calcular, com efeitos muito diferentes a longo prazo. No juro simples, o juro é sempre calculado sobre o capital inicial «C»: ao fim de «t» períodos à taxa «i» (em fração decimal), o juro total é «J = C · i · t» e o capital cresce de forma linear com o tempo.

No juro composto, o juro de cada período junta-se ao capital e passa, ele próprio, a render juro — é o «juro sobre juro», ou capitalização. Ao fim de «n» períodos, o capital acumulado é «C_n = C · (1 + i)^n». O crescimento deixa de ser linear e passa a ser exponencial: pequeno nos primeiros anos, torna-se enorme com o tempo. A Fig. 4 compara, para 1000 € a 5 % ao ano, a reta do juro simples (2000 € ao fim de 20 anos) com a curva do juro composto (cerca de 2653 € no mesmo prazo).

Juro simples vs juro composto

Fig. 4Fig. 4 — Crescimento de 1000 € a 5 %/ano (capital em milhares de €). O juro simples (reta) chega a 2000 € em 20 anos; o composto (curva) chega a cerca de 2653 €.

A taxa anual efetiva global (TAEG) é o indicador que permite comparar honestamente créditos: reúne a taxa de juro e os encargos (comissões, seguros), traduzindo o custo total do crédito numa única taxa anual. Comparar dois empréstimos pela TAEG — e não apenas pela taxa nominal — é uma competência financeira essencial: dois créditos com a mesma taxa nominal podem ter TAEG muito diferentes por causa dos encargos associados.

A mesma matemática do juro composto explica tanto a força da poupança como o perigo do endividamento. Do lado de quem poupa cedo, a capitalização é uma aliada: começar cedo, mesmo com pouco, pode render mais do que poupar muito mais tarde. Do lado de quem se endivida, é uma ameaça: uma dívida não paga cresce «juro sobre juro» e pode disparar. Decidir de forma informada exige saber calcular — e antecipar — estes efeitos.

J = C \cdot i \cdot t

Juro simples

O juro é sempre calculado sobre o capital inicial C; o capital cresce linearmente com o tempo t (i em fração decimal).

C_n = C \cdot (1 + i)^{n}

Capital com juro composto

Cada período o juro junta-se ao capital e passa também a render juro; o capital cresce exponencialmente com o número de períodos n.

Exemplo resolvido

Juro composto vs juro simples

Aplicam-se 2000 € a 4 % ao ano durante 3 anos, em juro composto. Calcula o capital acumulado e compara-o com o juro simples.

Converter a taxa
i = 4 % = 0,04; C = 2000 €; n = 3 anos.
Juro composto
C_3 = 2000 · (1 + 0,04)^3 = 2000 · 1,04^3 = 2000 · 1,124864 = 2249,73 €.
$C_3 = 2000 \cdot (1{,}04)^3 = 2249{,}73\ \text{EUR}$
Juro simples
J = 2000 · 0,04 · 3 = 240 €, logo o capital seria 2000 + 240 = 2240 €.
Comparação
O juro composto rende 2249,73 − 2240 = 9,73 € a mais do que o simples em apenas 3 anos; a diferença cresce rapidamente com o prazo.

Resultado: Em juro composto o capital é 2249,73 € (juro de 249,73 €), contra 2240 € em juro simples — uma vantagem de 9,73 €.

Erros frequentes

Usar a taxa em percentagem sem a converter em fração decimal (5 % = 0,05).
Aplicar juro composto como se fosse simples (esquecer que o juro passa a render juro).

Revisão ativa

Aplica-se 1500 € a 3 % ao ano, em juro composto, durante 5 anos. Calcula o capital acumulado e o juro obtido, e compara com o resultado em juro simples.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023)

Modelos matemáticos para a Cidadania (eleições, partilha, finanças)

4 secções~15 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

Modelos matemáticos para a Cidadania (eleições, partilha, finanças)

Pontos-chave

Pluralidade, Borda e Condorcet sobre o mesmo perfil

Pontos-chave

Distribuir 5 mandatos pelo método de Hondt

Pontos-chave

Distribuir 10 lugares pelo método dos maiores restos

Pontos-chave

Juro composto vs juro simples

Fontes

Modelos matemáticos para a Cidadania (eleições, partilha, finanças)

Pontos-chave

Pluralidade, Borda e Condorcet sobre o mesmo perfil

Pontos-chave

Distribuir 5 mandatos pelo método de Hondt

Pontos-chave

Distribuir 10 lugares pelo método dos maiores restos

Pontos-chave

Juro composto vs juro simples

Fontes