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Estatística (dados bivariados, modelos de regressão e distribuições)

A Estatística de Matemática A parte da análise de um conjunto de dados (medidas de localização e de dispersão) e avança para o estudo de duas variáveis em simultâneo: o diagrama de dispersão, o coeficiente de correlação e a reta de regressão dos mínimos quadrados, usada para modelar e prever. É matéria avaliada no Exame Nacional, com forte apoio da calculadora gráfica.

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·0222 / 17

Perfil de exame

Calcular e interpretar medidas de localização e de dispersãoRepresentar e ler dados bivariados num diagrama de dispersãoDeterminar a reta de regressão e o coeficiente de correlação linearInterpretar criticamente a associação estatística e os seus limites

Operadores:calculainterpretarepresentadeterminaanalisajustifica

nível básico

Calcular medidas de localização e de dispersão e ler diagramas de dispersão e de extremos e quartis.

nível avançado

Determinar e interpretar a reta de regressão e o coeficiente de correlação, recorrendo à calculadora gráfica, e discutir a validade das previsões.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Estatística (dados bivariados, modelos de regressão e distribuições)

Medidas de localização e de dispersão#

BaseAE-matematica-a-10-estatistica

Descrever um conjunto de dados começa por dois tipos de medidas. As medidas de localização (ou de tendência central) indicam um valor «típico»: a média (soma dos valores a dividir pelo número de dados), a mediana (o valor central com os dados ordenados) e a moda (o valor mais frequente). A mediana é resistente a valores extremos, ao contrário da média — por isso, em distribuições assimétricas, as duas afastam-se e convém apresentar ambas.

As medidas de dispersão medem o quanto os dados se afastam uns dos outros. A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo; os quartis (Q1, Q2 = mediana, Q3) dividem os dados ordenados em quatro partes com 25 % cada, e a amplitude interquartis «Q3 − Q1» mede a dispersão do «miolo» central dos dados, ignorando as caudas. Estas cinco medidas — mínimo, Q1, mediana, Q3, máximo — constituem o resumo de cinco números representado no diagrama de extremos e quartis (ver Fig. 1).

Diagrama de extremos e quartis

Fig. 1Fig. 1 — Resumo de cinco números das notas 8, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 19: mín. 8, Q1 = 11, mediana 12,5, Q3 = 15, máx. 19.

A medida de dispersão mais importante é o desvio-padrão «σ», a raiz quadrada da variância. A variância é a média dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média; elevar ao quadrado evita que desvios positivos e negativos se anulem e penaliza mais os afastamentos grandes. O desvio-padrão exprime-se nas mesmas unidades dos dados e responde à pergunta: «em média, a que distância da média estão os valores?». Um desvio-padrão pequeno significa dados concentrados; um desvio-padrão grande, dados dispersos.

O diagrama de extremos e quartis (Fig. 1) resume visualmente a distribuição: a «caixa» vai de Q1 a Q3 (contém os 50 % centrais), a linha interior marca a mediana, e os «bigodes» estendem-se até ao mínimo e ao máximo. Permite comparar rapidamente várias distribuições e detetar assimetrias: se a mediana está mais próxima de um dos lados da caixa, ou se um bigode é muito mais comprido, a distribuição é assimétrica.

\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Média

Soma de todos os valores a dividir pelo número de dados n.

\sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

Desvio-padrão

Raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em relação à média; mede a dispersão nas unidades dos dados.

Exemplo resolvido

Média e desvio-padrão de um conjunto de dados

Calcula a média e o desvio-padrão dos dados 8, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 19.

Média
Soma = 8+10+11+12+12+13+14+15+16+19 = 130. Média = 130/10 = 13.
Desvios ao quadrado
(−5)², (−3)², (−2)², (−1)², (−1)², 0², 1², 2², 3², 6² = 25, 9, 4, 1, 1, 0, 1, 4, 9, 36.
Variância
Soma dos quadrados = 90. Variância = 90/10 = 9.
Desvio-padrão
σ = √9 = 3.

Resultado: A média é 13 e o desvio-padrão é 3 (em média, cada nota afasta-se 3 valores da média).

Erros frequentes

Confundir variância (unidades ao quadrado) com desvio-padrão (mesmas unidades dos dados).
Esquecer de ordenar os dados antes de determinar a mediana e os quartis.

Revisão ativa

Considera os dados 4, 6, 6, 7, 9, 10, 12. Determina a média, a mediana, os quartis e o desvio-padrão.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Dados bivariados e diagrama de dispersão#

PadrãoAE-matematica-a-10-estatistica

Muitas questões interessantes envolvem duas variáveis medidas no mesmo indivíduo — horas de estudo e nota, altura e peso, temperatura e consumo. A cada indivíduo corresponde um par ordenado «(x, y)», e o conjunto desses pares representa-se num diagrama de dispersão: uma nuvem de pontos no plano (ver Fig. 2). A forma da nuvem revela se — e como — as duas variáveis estão associadas.

Diagrama de dispersão com associação positiva

Fig. 2Fig. 2 — Horas de estudo (x) e nota (y) de oito alunos: a nuvem sobe, indicando associação positiva.

Diz-se que há associação positiva quando, em regra, a valores maiores de «x» correspondem valores maiores de «y» (a nuvem sobe da esquerda para a direita); associação negativa quando a valores maiores de «x» correspondem valores menores de «y» (a nuvem desce); e ausência de associação linear quando não se distingue tendência. A associação diz-se aproximadamente linear quando os pontos se dispõem em torno de uma reta.

A Fig. 2 mostra uma nuvem com associação positiva: à medida que aumentam as horas de estudo, a nota tende a aumentar. A associação não é perfeita — os pontos não estão exatamente sobre uma reta —, mas a tendência é clara. O passo seguinte da análise é medir a força dessa tendência (o coeficiente de correlação) e resumi-la por uma reta (a reta de regressão), tratados na secção seguinte.

É essencial distinguir a nuvem de pontos (os dados reais) do modelo que se lhe ajusta (a reta). O diagrama de dispersão é sempre o primeiro passo: só olhando para a nuvem se decide se faz sentido ajustar uma reta. Ajustar uma reta a dados sem tendência linear, ou a dados com uma curva evidente, produz um modelo enganador — a estatística começa por ver os dados, não por calcular à cega.

Exemplo resolvido

Ler um diagrama de dispersão

Observando a nuvem de pontos da Fig. 2, classifica a associação entre as horas de estudo e a nota e indica se é adequado ajustar-lhe uma reta.

Sentido da nuvem
Os pontos sobem, em regra, da esquerda para a direita: a valores maiores de horas correspondem notas maiores.
Classificação
A associação é positiva.
Linearidade
Os pontos dispõem-se em torno de uma reta, sem curvatura evidente: é razoável ajustar um modelo linear.

Resultado: Há associação positiva e aproximadamente linear, pelo que faz sentido determinar a reta de regressão (secção seguinte).

Erros frequentes

Trocar os eixos ou os pares (x, y) ao marcar os pontos.
Concluir que há associação forte a partir de poucos pontos ou de uma nuvem sem tendência.

Revisão ativa

Regista num diagrama de dispersão os pares (idade em anos, altura em cm) de cinco crianças e classifica a associação observada.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Correlação e reta de regressão#

AprofundamentoAE-matematica-a-10-estatistica

O coeficiente de correlação linear «r» mede, num só número, a força e o sentido da associação linear entre duas variáveis. Toma valores entre −1 e 1: valores próximos de 1 indicam forte associação positiva, próximos de −1 forte associação negativa, e próximos de 0 ausência de associação linear. Quanto mais próximos os pontos estiverem de uma reta, mais «|r|» se aproxima de 1 (ver Fig. 3).

Reta de regressão ajustada à nuvem

Fig. 3Fig. 3 — Reta de regressão y = 1,9 + 1,7x ajustada a cinco pares; r ≈ 0,98 (forte associação positiva).

A reta de regressão dos mínimos quadrados é a reta «y = a + b x» que melhor se ajusta à nuvem, no sentido de tornar mínima a soma dos quadrados das distâncias verticais (resíduos) dos pontos à reta. O declive «b» e a ordenada na origem «a» calculam-se a partir das somas dos dados; uma propriedade notável é que a reta passa sempre pelo ponto médio «(x̄, ȳ)» da nuvem. O declive tem o mesmo sinal de «r».

Na prática do Exame, a reta de regressão e o coeficiente «r» obtêm-se com a calculadora gráfica: introduzem-se os pares numa lista, escolhe-se a regressão linear e a máquina devolve «a», «b» e «r». A Fig. 3 mostra a reta ajustada a cinco pares; os cálculos manuais (que a calculadora automatiza) conduzem a «y = 1,9 + 1,7 x» com «r ≈ 0,98», um valor próximo de 1 que confirma a forte associação positiva.

A reta de regressão serve para prever: substituindo um valor de «x», estima-se o valor esperado de «y». Mas há um cuidado essencial — a previsão só é fiável dentro do domínio dos dados observados (interpolação). Extrapolar muito para fora desse domínio é arriscado, porque nada garante que a tendência linear se mantenha. E, como se verá na secção seguinte, uma correlação forte nunca prova, por si só, uma relação de causa e efeito.

y = a + b\,x, \qquad b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x}

Reta de regressão (mínimos quadrados)

A reta que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos; passa sempre pelo ponto médio da nuvem.

r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}, \qquad -1 \le r \le 1

Coeficiente de correlação linear

Mede a força e o sentido da associação linear; o sinal de r é o sinal do declive b.

Exemplo resolvido

Determinar a reta de regressão e r

Para os pares (1, 4), (2, 5), (3, 7), (4, 8), (5, 11), determina a reta de regressão y = a + bx, o coeficiente de correlação r e estima y para x = 6.

Médias
x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 3; ȳ = (4+5+7+8+11)/5 = 35/5 = 7.
Somas
S_xx = Σx² − n·x̄² = 55 − 5·9 = 10. S_xy = Σxy − n·x̄·ȳ = 122 − 5·3·7 = 17. S_yy = Σy² − n·ȳ² = 275 − 5·49 = 30.
Declive e ordenada
b = S_xy / S_xx = 17/10 = 1,7. a = ȳ − b·x̄ = 7 − 1,7·3 = 1,9. Reta: y = 1,9 + 1,7x.
$b = \dfrac{17}{10} = 1{,}7, \quad a = 7 - 1{,}7 \cdot 3 = 1{,}9$
Correlação
r = S_xy / √(S_xx·S_yy) = 17 / √300 ≈ 0,98 (forte, positiva).
Previsão
Para x = 6 (interpolação/ligeira extrapolação): y ≈ 1,9 + 1,7·6 = 1,9 + 10,2 = 12,1.

Resultado: Reta y = 1,9 + 1,7x, r ≈ 0,98; a previsão para x = 6 é y ≈ 12,1.

Erros frequentes

Interpretar «r» como percentagem ou dizer que «r = 0,98» significa «98 % dos pontos sobre a reta».
Trocar o declive «b» com a ordenada na origem «a» ao escrever a equação da reta.

Revisão ativa

Para os pares (1, 4), (2, 5), (3, 7), (4, 8), (5, 11), determina a reta de regressão e o coeficiente de correlação, e estima o valor de y para x = 6.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Interpretar e prever: os limites da regressão#

PadrãoAE-matematica-a-10-estatistica

O erro de interpretação mais frequente em Estatística é confundir correlação com causalidade. Duas variáveis podem estar fortemente correlacionadas sem que uma seja causa da outra: a correlação mede a associação, não o mecanismo. A associação pode dever-se ao acaso, a uma relação inversa, ou — muito frequentemente — a uma terceira variável escondida que influencia ambas (ver Fig. 4).

Correlação sem causalidade — a variável escondida

Fig. 4Fig. 4 — A correlação observada entre gelados e afogamentos (tracejado) não é causal: ambas as variáveis são causadas por uma terceira, a temperatura.

O exemplo clássico é a correlação positiva entre a venda de gelados e o número de afogamentos ao longo do ano. Ninguém dirá que comer gelados provoca afogamentos; ambos aumentam porque há uma variável escondida — a temperatura (o verão) — que faz subir as duas em simultâneo. A Fig. 4 esquematiza esta situação: a seta a tracejado entre as duas variáveis observadas é apenas correlação; as setas cheias marcam a verdadeira relação causal, a partir da variável escondida.

Há ainda cuidados técnicos com a própria reta. Os resíduos (diferenças entre valores observados e previstos) devem distribuir-se sem padrão; um padrão sistemático indica que a relação não é linear. Pontos atípicos (outliers) ou influentes podem distorcer fortemente a reta e o coeficiente de correlação, pelo que devem ser identificados e ponderados antes de qualquer conclusão.

Em síntese, o pensamento estatístico rigoroso pede três disciplinas: ver os dados antes de os modelar (o diagrama de dispersão), medir a associação com o coeficiente adequado, e interpretar com prudência — não extrapolar para além dos dados e não saltar de correlação para causa sem um argumento independente. É esta prudência, tanto quanto o cálculo, que o Exame e a cidadania exigem.

Exemplo resolvido

Correlação não é causalidade

Ao longo de um ano observa-se forte correlação positiva entre a venda de gelados e o número de afogamentos. Discute se se pode concluir que uma causa a outra.

Ler a correlação
A correlação positiva significa apenas que as duas variáveis sobem e descem em conjunto ao longo do ano.
Procurar mecanismo
Não há mecanismo plausível pelo qual comer gelados cause afogamentos (nem o contrário).
Variável escondida
A temperatura (verão) faz aumentar simultaneamente as idas à praia/piscina (mais afogamentos) e o consumo de gelados.
Conclusão
A associação é real, mas não causal: resulta de uma terceira variável comum. Correlação não implica causalidade.

Resultado: Não se pode concluir causalidade: a correlação explica-se por uma variável escondida (a temperatura).

Erros frequentes

Concluir «x causa y» a partir de uma correlação forte.
Usar a reta para prever muito longe do domínio dos dados (extrapolação abusiva).

Revisão ativa

Apresenta um exemplo de duas variáveis com correlação forte mas sem relação de causa e efeito, identificando uma possível variável escondida.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023)

Estatística (dados bivariados, modelos de regressão e distribuições)

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

Estatística (dados bivariados, modelos de regressão e distribuições)

Pontos-chave

Média e desvio-padrão de um conjunto de dados

Pontos-chave

Ler um diagrama de dispersão

Pontos-chave

Determinar a reta de regressão e r

Pontos-chave

Correlação não é causalidade

Fontes

Estatística (dados bivariados, modelos de regressão e distribuições)

Pontos-chave

Média e desvio-padrão de um conjunto de dados

Pontos-chave

Ler um diagrama de dispersão

Pontos-chave

Determinar a reta de regressão e r

Pontos-chave

Correlação não é causalidade

Fontes