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Resumos/Matemática A/Geometria analítica no plano e no espaço
Resumos · Matemática APT · Secundário

Geometria analítica no plano e no espaço

A geometria analítica traduz figuras em equações através de um referencial cartesiano. No plano estudam-se a distância, o ponto médio, a circunferência, a mediatriz e a reta; no espaço, generalizam-se a distância e o ponto médio e introduzem-se a superfície esférica e os planos. Matéria dos 10.º e 11.º anos avaliada no Exame Nacional.

4 secções·~11 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0555 / 17
Perfil de exame
Calcular distâncias e pontos médios no plano e no espaçoEscrever e reconhecer equações de circunferências, mediatrizes e superfícies esféricasEscrever equações de retas e discutir paralelismo e perpendicularidadeTrabalhar no referencial do espaço com planos
Operadores:calculaescrevedeterminaidentificajustificarepresenta

nível básico

Calcular distâncias e pontos médios e reconhecer equações de circunferências e retas.

nível avançado

Deduzir equações de mediatrizes e de superfícies esféricas e trabalhar posições relativas no espaço.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Geometria analítica no plano e no espaço
    • 01Plano cartesiano: distância, ponto médio, circunferência e mediatriz◐
    • 02A reta no plano◐
    • 03Geometria analítica no espaço◐
    • 04Planos e condições no espaço●
§ 01

Plano cartesiano: distância, ponto médio, circunferência e mediatriz#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-10-geometria-analitica

Pontos-chave

Num referencial cartesiano do plano, cada ponto é um par de coordenadas «(x, y)». A distância entre dois pontos «A(x₁, y₁)» e «B(x₂, y₂)» obtém-se do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças de coordenadas: «d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)». O ponto médio de «[AB]» tem por coordenadas as médias das coordenadas dos extremos: «M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)».
A circunferência de centro «C(a, b)» e raio «r» é o lugar geométrico dos pontos «P(x, y)» à distância «r» de «C». Impondo «d(P, C) = r» e elevando ao quadrado, obtém-se a equação «(x − a)² + (y − b)² = r²» (ver Fig. 1). O círculo (região) corresponde à condição «(x − a)² + (y − b)² ≤ r²». Reconhecer o centro e o raio a partir da equação é uma leitura direta e frequente no Exame.

Circunferência x² + y² = 9

CircunferênciaGráfico de x² + y² = 9, zeros em x = -3, 3, máximo em (0, 3), ordenada na origem y = 3, no intervalo x de -3 a 3, Gráfico, zeros em x = -3, 3, mínimo em (0, -3), ordenada na origem y = -3, no intervalo x de -3 a 3−4−3−2−11234−4−3−2−11234O(0, 0)x² + y² = 9yx
Fig. 1Fig. 1 — Circunferência x² + y² = 9: centro O(0, 0) e raio 3.
A mediatriz de «[AB]» — lugar dos pontos equidistantes de «A» e de «B» — obtém-se analiticamente impondo «d(P, A) = d(P, B)». Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando, os termos quadráticos cancelam-se e resulta uma equação do 1.º grau: a equação de uma reta, perpendicular a «[AB]» no ponto médio. É a ponte entre a caracterização sintética (PA = PB) e a analítica.
A Fig. 1 mostra a circunferência «x² + y² = 9», de centro na origem e raio 3. Estas ferramentas — distância, ponto médio, equação da circunferência e da mediatriz — resolvem uma enorme variedade de problemas: verificar se um ponto pertence a uma figura, determinar o centro e o raio, encontrar pontos equidistantes, ou traduzir uma condição geométrica numa equação.
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}d(A,B)=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

Distância entre dois pontos

Aplicação do teorema de Pitágoras às diferenças de coordenadas.

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2

Circunferência de centro (a, b) e raio r

Lugar geométrico dos pontos à distância r do centro C(a, b).

Exemplo resolvido

Distância, ponto médio e mediatriz

Dados A(−1, 2) e B(3, 4), determina d(A, B), o ponto médio M de [AB] e a equação da mediatriz.

  1. 01Distância

    d(A,B) = √((3−(−1))² + (4−2)²) = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5.

  2. 02Ponto médio

    M = ((−1+3)/2, (2+4)/2) = (1, 3).

  3. 03Mediatriz (equidistância)

    P(x,y) com PA = PB: (x+1)² + (y−2)² = (x−3)² + (y−4)². Desenvolvendo: 2x − 4y + 5 = −6x − 8y + 25.

  4. 04Simplificar

    8x + 4y − 20 = 0 ⇔ y = −2x + 5. É uma reta de declive −2 (perpendicular a [AB], cujo declive é 1/2), passando por M(1, 3).

Resultado: d(A, B) = 2√5; M(1, 3); mediatriz y = −2x + 5.

Foco no Exame Nacional

  • Reconhecer o centro e o raio de uma circunferência a partir da sua equação.
  • Deduzir a equação da mediatriz de um segmento impondo a equidistância.

Erros frequentes

  • Esquecer de elevar o raio ao quadrado (a equação tem r², não r).
  • Confundir circunferência (=) com círculo (≤) ao traduzir a condição.

Revisão ativa

Dados A(−1, 2) e B(3, 4), determina a distância AB, o ponto médio de [AB] e a equação da mediatriz.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

A reta no plano#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-10-geometria-analitica

Pontos-chave

A equação reduzida da reta é «y = mx + b», onde «m» é o declive e «b» a ordenada na origem. O declive mede a inclinação — a variação de «y» por unidade de «x» — e calcula-se, a partir de dois pontos, por «m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)». Retas verticais não têm declive e escrevem-se «x = k». O declive resume o comportamento da reta: positivo (sobe), negativo (desce), nulo (horizontal).
Duas retas não verticais são paralelas se e só se têm o mesmo declive («m₁ = m₂») e são perpendiculares se e só se o produto dos declives é «−1» («m₁·m₂ = −1»), ou seja, cada declive é o simétrico do inverso do outro (ver Fig. 2). Esta caracterização torna imediato decidir a posição relativa de duas retas a partir das suas equações.

Retas perpendiculares

Retas no planoGráfico de r: y = 2x − 1, zeros em x = 0.5, ordenada na origem y = -1, crescente, no intervalo x de -2 a 5, Gráfico de t: y = −0,5x + 3, ordenada na origem y = 3, decrescente, no intervalo x de -2 a 5−2−112345−4−2246interseçãor: y = 2x − 1t: y = −0,5x + 3yx
Fig. 2Fig. 2 — r: y = 2x − 1 e t: y = −0,5x + 3, perpendiculares (2 × (−0,5) = −1).
Para escrever a equação de uma reta bastam um ponto e o declive: da forma «y − y₀ = m(x − x₀)» obtém-se de imediato a equação. Se forem dados dois pontos, calcula-se primeiro o declive e depois usa-se um dos pontos. Estas construções resolvem os problemas típicos: reta por dois pontos, reta paralela ou perpendicular a outra por um ponto dado, interseção de duas retas.
A Fig. 2 ilustra uma reta «r: y = 2x − 1» e uma reta «t: y = −0,5x + 3», perpendicular a «r» (pois «2 × (−0,5) = −1»); marca-se o ponto de interseção. A geometria analítica converte assim problemas geométricos (paralelismo, perpendicularidade, interseção) em manipulação algébrica de equações — mais sistemática e menos dependente de figuras rigorosas.
m=y2−y1x2−x1m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}m=x2​−x1​y2​−y1​​

Declive por dois pontos

Variação de y por unidade de x; define a inclinação da reta.

r∥s⇔mr=ms,r⊥s⇔mr⋅ms=−1r \parallel s \Leftrightarrow m_r = m_s, \qquad r \perp s \Leftrightarrow m_r \cdot m_s = -1r∥s⇔mr​=ms​,r⊥s⇔mr​⋅ms​=−1

Paralelismo e perpendicularidade

Condições sobre os declives para retas não verticais.

Exemplo resolvido

Reta perpendicular por um ponto e interseção

Escreve a equação da reta t perpendicular a r: y = 2x − 1 e que passa por P(1, 2); determina a interseção de r e t.

  1. 01Declive de t

    r tem declive 2. Para t ⊥ r: m_t · 2 = −1, logo m_t = −1/2.

  2. 02Equação de t

    y − 2 = −½(x − 1) ⇔ y = −½x + 5/2.

  3. 03Interseção

    Igualar: 2x − 1 = −½x + 5/2 ⇔ 2,5x = 3,5 ⇔ x = 1,4. Então y = 2·1,4 − 1 = 1,8.

Resultado: t: y = −½x + 5/2; as retas intersetam-se em (1,4; 1,8).

Foco no Exame Nacional

  • Escrever a equação de uma reta a partir de um ponto e do declive ou de dois pontos.
  • Decidir paralelismo/perpendicularidade e determinar interseções de retas.

Erros frequentes

  • Calcular o declive com as diferenças trocadas (Δx/Δy em vez de Δy/Δx).
  • Usar m₁ = m₂ para a perpendicularidade (a condição é m₁·m₂ = −1).

Revisão ativa

Escreve a equação da reta que passa por P(1, 2) e é perpendicular à reta y = 2x − 1, e determina o ponto de interseção das duas retas.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Geometria analítica no espaço#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-10-geometria-analitica

Pontos-chave

No espaço, cada ponto tem três coordenadas «(x, y, z)» num referencial ortonormado «Oxyz». A distância entre dois pontos generaliza a fórmula do plano acrescentando a terceira diferença de coordenadas: «d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)». O ponto médio tem por coordenadas as médias das coordenadas dos extremos, coordenada a coordenada.
A superfície esférica de centro «C(a, b, c)» e raio «r» é o lugar dos pontos do espaço à distância «r» de «C», com equação «(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²» — a generalização natural da circunferência. A esfera (sólido) corresponde à condição com «≤». Reconhecer centro e raio a partir da equação é, tal como no plano, uma leitura direta.
A Fig. 3 representa um paralelepípedo no referencial do espaço, com um vértice na origem «O(0,0,0)» e o vértice oposto «V(3,2,2)». A diagonal espacial «[OV]» ilustra a fórmula da distância no espaço: «OV = √(3² + 2² + 2²) = √17». Visualizar sólidos no referencial ajuda a localizar pontos e a calcular distâncias e volumes.

Paralelepípedo no referencial do espaço

Referencial do espaçoFigura geométrica (3D), O, V(3,2,2), diagonalOV(3,2,2)xyzdiagonal
Fig. 3Fig. 3 — Paralelepípedo com O(0,0,0) e V(3,2,2); a diagonal OV mede √17.
Os planos paralelos aos planos coordenados têm equações particularmente simples: o plano paralelo a «xOy» à cota «k» é «z = k»; analogamente «x = k» (paralelo a yOz) e «y = k» (paralelo a xOz). Estas equações, combinadas com a fórmula da distância e a equação da superfície esférica, resolvem os problemas típicos de geometria analítica do espaço no 10.º ano.
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}d(A,B)=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​

Distância no espaço

Generalização da distância do plano com a terceira coordenada.

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2

Superfície esférica

Lugar dos pontos do espaço à distância r do centro C(a, b, c).

Exemplo resolvido

Distância e superfície esférica no espaço

Dados O(0,0,0) e V(3,2,2), calcula OV e o ponto médio de [OV], e escreve a equação da superfície esférica de centro O que passa por V.

  1. 01Distância

    OV = √(3² + 2² + 2²) = √(9 + 4 + 4) = √17.

  2. 02Ponto médio

    M = ((0+3)/2, (0+2)/2, (0+2)/2) = (1,5; 1; 1).

  3. 03Raio da esfera

    A superfície esférica de centro O que passa por V tem raio r = OV = √17, logo r² = 17.

  4. 04Equação

    x² + y² + z² = 17.

Resultado: OV = √17; M(1,5; 1; 1); superfície esférica x² + y² + z² = 17.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular distâncias e pontos médios no espaço.
  • Reconhecer a equação de uma superfície esférica e de planos paralelos aos planos coordenados.

Erros frequentes

  • Esquecer a terceira coordenada na fórmula da distância no espaço.
  • Confundir o plano z = k (paralelo a xOy) com o eixo Oz.

Revisão ativa

Dados O(0,0,0) e V(3,2,2), calcula a distância OV e o ponto médio de [OV]. Escreve a equação da superfície esférica de centro O que passa por V.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Planos e condições no espaço#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-10-geometria-analitica

Pontos-chave

Além dos planos paralelos aos planos coordenados, interessa descrever planos gerais. Um plano fica determinado por três pontos não colineares, ou por um ponto e uma direção perpendicular (um vetor normal). A Fig. 4 mostra o plano que corta os eixos nos pontos «(2,0,0)», «(0,2,0)» e «(0,0,2)» — o plano de equação «x + y + z = 2».

Plano definido por três interceções

Plano no espaçoFigura geométrica (3D), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), x + y + z = 2(2,0,0)(0,2,0)(0,0,2)xyzx + y + z = 2
Fig. 4Fig. 4 — Plano x + y + z = 2, que corta os eixos em (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2).
As condições em coordenadas descrevem conjuntos de pontos do espaço. Por exemplo, «z = 0» é o plano «xOy»; «z > 0» é o semiespaço acima dele; a interseção de condições descreve regiões, arestas ou pontos. Traduzir uma condição geométrica (pertencer a um plano, estar a igual distância de dois pontos, estar dentro de uma esfera) numa condição analítica é a competência central deste tema.
A mediatriz generaliza-se ao espaço como plano mediador de «[AB]»: o lugar dos pontos equidistantes de «A» e «B». Impondo «d(P, A) = d(P, B)» e simplificando, obtém-se a equação de um plano, perpendicular a «[AB]» e passando pelo ponto médio — exatamente como a mediatriz no plano dá uma reta.
Estas ideias preparam a geometria vetorial (tema seguinte), onde o vetor normal e o produto escalar tornam sistemático o estudo de retas e planos no espaço. Por agora, retém-se a estratégia geral: escolher um referencial, traduzir cada condição geométrica em equação ou inequação, e resolver o sistema resultante — convertendo geometria em álgebra.
Exemplo resolvido

Plano paralelo a um plano coordenado

Escreve a equação do plano paralelo a xOy que passa por P(1, 2, 3) e caracteriza os pontos com cota positiva.

  1. 01Plano paralelo a xOy

    Tem equação da forma z = k, com k constante.

  2. 02Impor a passagem por P

    P(1, 2, 3) tem cota 3, logo k = 3. O plano é z = 3.

  3. 03Cota positiva

    O conjunto dos pontos com cota positiva é o semiespaço z > 0 (acima do plano xOy).

Resultado: O plano é z = 3; os pontos de cota positiva formam o semiespaço z > 0.

Foco no Exame Nacional

  • Reconhecer e escrever equações de planos (paralelos aos coordenados e definidos por interceções).
  • Traduzir condições geométricas do espaço em condições analíticas.

Erros frequentes

  • Confundir uma equação (um plano ou superfície) com uma inequação (uma região do espaço).
  • Assumir que três pontos definem sempre um plano sem verificar que não são colineares.

Revisão ativa

Escreve a equação do plano paralelo a xOy que passa pelo ponto (1, 2, 3) e descreve, por uma condição, o conjunto dos pontos com cota positiva.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Plano cartesiano: distância, ponto médio, circunferência e mediatriz◐
    • 02A reta no plano◐
    • 03Geometria analítica no espaço◐
    • 04Planos e condições no espaço●

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Geometria analítica no plano e no espaço

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Referências e fontes

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  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023)

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