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Resumos/Matemática A/Funções polinomiais e funções definidas por ramos
Resumos · Matemática APT · Secundário

Funções polinomiais e funções definidas por ramos

Estudam-se as funções afim e quadrática e generalizam-se às funções polinomiais de grau superior, com as ferramentas da divisão de polinómios (regra de Ruffini, teorema do resto e do fator) para determinar zeros e fatorizar. Trata-se o sinal, a monotonia e as transformações de gráficos, e introduzem-se as funções definidas por ramos e a função módulo. Matéria de 10.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções·~13 min de leitura·4 competências·Nível Base 1 · Padrão 3

T·0444 / 17
Perfil de exame
Estudar funções afins e quadráticas (zeros, vértice, sinal, monotonia)Dividir polinómios e determinar zeros por Ruffini e teorema do fatorEstudar o sinal e a monotonia e esboçar gráficos de funções polinomiaisDefinir e estudar funções por ramos e a função módulo
Operadores:estudadeterminacalculafatorizaesboçaresolvejustifica

nível básico

Estudar funções afins e quadráticas e resolver as equações e inequações associadas.

nível avançado

Fatorizar e estudar polinómios de grau superior por Ruffini e teorema do fator, e trabalhar funções por ramos e transformações de gráficos.

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Funções polinomiais e funções definidas por ramos
    • 01Funções afim e quadrática○
    • 02Polinómios: Ruffini, teorema do resto e do fator◐
    • 03Sinal, monotonia e transformações de gráficos◐
    • 04Funções definidas por ramos e função módulo◐
§ 01

Funções afim e quadrática#

●○○BaseLPAE-matematica-a-10-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

A função afim «f(x) = mx + b» tem por gráfico uma reta: «m» é o declive (a taxa de variação constante) e «b» a ordenada na origem. A função é crescente se «m > 0», decrescente se «m < 0» e constante se «m = 0». O zero (onde a reta corta o eixo Ox) obtém-se resolvendo «mx + b = 0». É o modelo de todos os fenómenos de variação uniforme.
A função quadrática «f(x) = ax² + bx + c» (com «a ≠ 0») tem por gráfico uma parábola. O sinal de «a» determina a concavidade: voltada para cima se «a > 0» (a função tem um mínimo), para baixo se «a < 0» (tem um máximo). O vértice, ponto onde a função atinge o extremo, tem abcissa «x_V = −b/(2a)»; a reta vertical por esse ponto é o eixo de simetria da parábola (ver Fig. 1).

Parábola f(x) = x² − 2x − 3

Função quadráticaGráfico de y = x² − 2x − 3, zeros em x = -1, 3, mínimo em (1, -4), ordenada na origem y = -3, no intervalo x de -3 a 5−3−2−112345−4−2246x = −1x = 3V(1, −4)y = x² − 2x − 3yx
Fig. 1Fig. 1 — f(x) = x² − 2x − 3: concavidade para cima, zeros em −1 e 3, vértice em (1, −4).
Os zeros da função quadrática resolvem «ax² + bx + c = 0», pela fórmula resolvente. O número de zeros reais depende do binómio discriminante «Δ = b² − 4ac»: dois zeros distintos se «Δ > 0», um zero duplo se «Δ = 0», nenhum zero real se «Δ < 0». A Fig. 1 mostra «f(x) = x² − 2x − 3», com concavidade para cima, zeros em «−1» e «3» e vértice em «(1, −4)».
O estudo do sinal decorre da posição da parábola face ao eixo Ox. Com «a > 0» e dois zeros «x₁ < x₂», a função é negativa entre os zeros e positiva fora deles; com «a < 0» dá-se o contrário. Esta leitura resolve de imediato as inequações do 2.º grau — bastando esboçar a parábola e ler os intervalos de sinal, uma técnica mais segura do que decorar regras.
x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

Fórmula resolvente

Zeros de ax² + bx + c = 0; o número de soluções reais depende do sinal de Δ = b² − 4ac.

xV=−b2ax_V = -\dfrac{b}{2a}xV​=−2ab​

Abcissa do vértice

A ordenada do vértice obtém-se substituindo x_V na função; a reta x = x_V é o eixo de simetria.

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Exemplo resolvido

Estudo de uma função quadrática

Para f(x) = x² − 2x − 3, determina os zeros, o vértice e o sinal.

  1. 01Zeros

    x² − 2x − 3 = 0. Δ = (−2)² − 4·1·(−3) = 4 + 12 = 16. x = (2 ± 4)/2, logo x = 3 ou x = −1.

  2. 02Vértice

    x_V = −(−2)/(2·1) = 1; f(1) = 1 − 2 − 3 = −4. Vértice (1, −4).

  3. 03Concavidade

    a = 1 > 0: concavidade voltada para cima, o vértice é um mínimo.

  4. 04Sinal

    Como a > 0 e os zeros são −1 e 3: f(x) < 0 em ]−1, 3[ e f(x) > 0 em ]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[.

Resultado: Zeros −1 e 3; vértice mínimo (1, −4); f negativa entre os zeros e positiva fora deles.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar zeros, vértice, eixo de simetria e sinal de uma função quadrática.
  • Resolver equações e inequações do 2.º grau apoiando-se no gráfico da parábola.

Erros frequentes

  • Errar o sinal na abcissa do vértice (é −b/(2a)).
  • Nas inequações, trocar «entre os zeros» com «fora dos zeros» sem verificar o sinal de a.

Revisão ativa

Considera f(x) = x² − 2x − 3. Determina os zeros, o vértice, o eixo de simetria e estuda o sinal da função.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Polinómios: Ruffini, teorema do resto e do fator#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-10-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

Um polinómio de grau «n» é uma expressão «aₙxⁿ + … + a₁x + a₀» com «aₙ ≠ 0». Dividir o polinómio «P(x)» por «(x − a)» produz um quociente «Q(x)» e um resto «R», ligados pela identidade «P(x) = (x − a)·Q(x) + R». O teorema do resto afirma que esse resto é exatamente «R = P(a)»: o valor do polinómio no ponto «a». É um resultado poderoso — calcular «P(a)» diz-nos o resto sem efetuar a divisão.
Daqui decorre o teorema do fator: «a» é zero de «P» (isto é, «P(a) = 0») se e só se «(x − a)» é fator de «P(x)». Encontrar um zero permite, portanto, «baixar o grau»: factoriza-se «P(x) = (x − a)·Q(x)» e prossegue-se com o quociente. Para polinómios com coeficientes inteiros, os zeros inteiros procuram-se entre os divisores do termo independente «a₀».
A regra de Ruffini é o algoritmo eficiente para dividir «P(x)» por «(x − a)»: dispõem-se os coeficientes, baixa-se o primeiro, multiplica-se por «a» e soma-se ao seguinte, repetindo até ao fim; o último valor é o resto (ver Fig. 2). A Fig. 2 divide «P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6» por «(x − 1)»: o resto é 0 (logo 1 é zero) e o quociente é «x² − x − 6».

Regra de Ruffini

Divisão por (x − 1)Tabela com 5 colunas e 3 linhas, Dados: a = 1 · x³ · x² · x¹ · x⁰; Coeficientes · 1 · −2 · −5 · 6; + (× 1) · · 1 · −1 · −6; Quociente | resto · 1 · −1 · −6 · 0, célula destacada: 0A = 1X³X²X¹X⁰COEFICIENTES1−2−56+ (× 1)1−1−6QUOCIENTE | RESTO1−1−60
Fig. 2Fig. 2 — Ruffini para P(x) ÷ (x − 1): quociente x² − x − 6 e resto 0, logo 1 é zero de P.
Combinando os teoremas, factoriza-se completamente um polinómio. No exemplo, «x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)», pelo que «P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)», com zeros «1, 3, −2» (ver Fig. 3). A multiplicidade de um zero (quantas vezes o fator aparece) determina o comportamento do gráfico nesse ponto: num zero de multiplicidade ímpar o gráfico atravessa o eixo; num de multiplicidade par, toca-o sem o atravessar.

Gráfico de P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6

Função polinomial de grau 3Gráfico de y = P(x), zeros em x = -2, 1, 3, máximo em (-0.786, 8.209), mínimo em (2.12, -4.061), ordenada na origem y = 6, no intervalo x de -2.5 a 3.5−2−1123−6−4−22468−213y = P(x)yx
Fig. 3Fig. 3 — P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2): três zeros simples em −2, 1 e 3.
P(x)=(x−a) Q(x)+P(a)P(x) = (x - a)\,Q(x) + P(a)P(x)=(x−a)Q(x)+P(a)

Teorema do resto

O resto da divisão de P(x) por (x − a) é o valor P(a); se P(a) = 0, então (x − a) é fator de P(x).

Exemplo resolvido

Fatorizar por Ruffini

Fatoriza completamente P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.

  1. 01Procurar um zero

    Os zeros inteiros estão entre os divisores de 6 (±1, ±2, ±3, ±6). P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0, logo 1 é zero.

  2. 02Ruffini por (x − 1)

    Coeficientes 1, −2, −5, 6. Baixa 1; 1·1 = 1, −2+1 = −1; −1·1 = −1, −5−1 = −6; −6·1 = −6, 6−6 = 0. Quociente x² − x − 6, resto 0.

  3. 03Fatorizar o quociente

    x² − x − 6 = 0 tem soluções 3 e −2, logo x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).

  4. 04Conclusão

    P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2); zeros 1, 3 e −2, todos simples.

Resultado: P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2), com zeros simples em −2, 1 e 3.

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar a regra de Ruffini e o teorema do resto para dividir e fatorizar polinómios.
  • Determinar todos os zeros de um polinómio e as respetivas multiplicidades.

Erros frequentes

  • Esquecer o coeficiente 0 de um termo em falta ao dispor os coeficientes na regra de Ruffini.
  • Usar «x + a» em vez de «x − a»: dividir por (x − 1) corresponde a testar a = 1 (não −1).

Revisão ativa

Divide P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 por (x − 1) usando a regra de Ruffini e fatoriza completamente P(x).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Sinal, monotonia e transformações de gráficos#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-10-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

Conhecidos os zeros de um polinómio factorizado, o estudo do sinal faz-se por um quadro de sinal: em cada intervalo entre zeros consecutivos, determina-se o sinal de cada fator e multiplicam-se os sinais (ver Fig. 4). O sinal do produto muda ao atravessar um zero de multiplicidade ímpar e mantém-se ao atravessar um de multiplicidade par. O quadro resolve simultaneamente todas as inequações associadas ao polinómio.

Quadro de sinal de P(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3)

Quadro de sinalTabela com 5 colunas e 4 linhas, Dados: Fator \ x · (−∞, −2) · (−2, 1) · (1, 3) · (3, +∞); x + 2 · − · + · + · +; x − 1 · − · − · + · +; x − 3 · − · − · − · +; P(x) · − · + · − · +, célula destacada: +FATOR \ X(−∞, −2)(−2, 1)(1, 3)(3, +∞)X + 2−+++X − 1−−++X − 3−−−+P(X)−+−+
Fig. 4Fig. 4 — Sinal de cada fator e do produto P(x) nos quatro intervalos definidos pelos zeros −2, 1 e 3.
A monotonia descreve os intervalos em que a função cresce ou decresce; os pontos onde muda de sentido são extremos relativos. Para funções polinomiais, o estudo rigoroso da monotonia faz-se com a derivada (tema do 11.º/12.º ano), mas o esboço do gráfico a partir dos zeros, do sinal e do comportamento nos ramos infinitos já dá uma boa imagem qualitativa da função.
As transformações de gráficos permitem obter o gráfico de uma função a partir de outra conhecida. A partir de «y = f(x)»: «f(x) + k» translada verticalmente «k» unidades; «f(x − h)» translada horizontalmente «h» unidades; «a·f(x)» dilata/contrai verticalmente (e reflete no eixo Ox se «a < 0»); «f(−x)» reflete no eixo Oy. Combinando-as, escreve-se «y = a·f(b(x − h)) + k».
As transformações são especialmente úteis com a parábola «y = x²»: a forma «y = a(x − h)² + k» (forma canónica) lê-se de imediato — vértice «(h, k)» e concavidade dada pelo sinal de «a». Reconhecer a família de uma função e a transformação aplicada é frequentemente mais rápido do que refazer todo o estudo, e é uma competência valorizada no Exame.
Exemplo resolvido

Quadro de sinal e inequação

Resolve P(x) ≥ 0, sendo P(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3).

  1. 01Zeros

    Os zeros são −2, 1 e 3 (todos simples), que dividem a reta em quatro intervalos.

  2. 02Sinal de cada fator

    Em (−∞, −2): os três fatores são negativos → produto negativo. Em (−2, 1): (+)(−)(−) = +. Em (1, 3): (+)(+)(−) = −. Em (3, +∞): (+)(+)(+) = +.

  3. 03Resolver a inequação

    P(x) ≥ 0 nos intervalos onde o produto é positivo ou nulo: [−2, 1] ∪ [3, +∞[ (incluindo os zeros).

Resultado: P(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−2, 1] ∪ [3, +∞[.

Foco no Exame Nacional

  • Construir o quadro de sinal de um polinómio factorizado e resolver inequações.
  • Identificar transformações de gráficos e usar a forma canónica da parábola.

Erros frequentes

  • No quadro de sinal, esquecer que num zero de multiplicidade par o sinal não muda.
  • Trocar o sentido da translação horizontal: f(x − h) desloca h unidades para a direita (não para a esquerda).

Revisão ativa

Constrói o quadro de sinal de P(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3) e resolve a inequação P(x) ≥ 0.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Funções definidas por ramos e função módulo#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-10-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

Uma função definida por ramos usa expressões diferentes em subconjuntos diferentes do domínio. Escreve-se com uma chaveta, indicando a expressão e o conjunto de valores de «x» a que se aplica cada ramo. Ao esboçar o gráfico, desenha-se cada ramo apenas no seu intervalo; nos pontos de fronteira usa-se bola cheia (ponto incluído) ou bola aberta (ponto excluído), conforme a desigualdade seja «≤/≥» ou «</>» (ver Fig. 5).

Função definida por dois ramos

Função por ramosGráfico de x + 2 (x ≤ 0), zeros em x = -2, ordenada na origem y = 2, crescente, no intervalo x de -3 a 0, Gráfico de x² − 1 (x > 0), zeros em x = 1, ordenada na origem y = -1, crescente, no intervalo x de 0 a 2−3−2−112−2−1123x + 2 (x ≤ 0)x² − 1 (x > 0)yx
Fig. 5Fig. 5 — f(x) = x + 2 (x ≤ 0) e f(x) = x² − 1 (x > 0): em x = 0 há um salto (2 à esquerda, −1 à direita).
Nos pontos de junção dos ramos há que verificar a continuidade: a função é contínua nesse ponto se os dois ramos tomam aí o mesmo valor. Quando os valores diferem, há um salto (descontinuidade). A Fig. 5 mostra uma função com ramo «x + 2» para «x ≤ 0» e ramo «x² − 1» para «x > 0»: em «x = 0», o ramo esquerdo vale 2 e o direito vale −1, pelo que há um salto.
A função módulo «|x|» é o exemplo mais importante de função definida por ramos: «|x| = x» se «x ≥ 0» e «|x| = −x» se «x < 0». O seu gráfico é a característica forma em «V», com vértice na origem, sempre não negativo. A função «|x − a|» desloca o vértice para «(a, 0)», e mede a distância de «x» a «a» na reta real.
As funções por ramos e o módulo aparecem em muitos contextos — tarifários, valores absolutos de erros, funções de custo — e em equações e inequações com módulos. Resolver «|x − a| = b» ou «|x − a| < b» faz-se interpretando o módulo como distância, ou desdobrando em ramos: é uma técnica frequente no Exame, em que o rigor está em tratar corretamente cada ramo e as condições de fronteira.
Exemplo resolvido

Avaliar e testar a continuidade de uma função por ramos

Seja f(x) = x + 2 se x ≤ 0 e f(x) = x² − 1 se x > 0. Calcula f(−3) e f(2) e averigua a continuidade em x = 0.

  1. 01f(−3)

    Como −3 ≤ 0, usa-se o ramo x + 2: f(−3) = −3 + 2 = −1.

  2. 02f(2)

    Como 2 > 0, usa-se o ramo x² − 1: f(2) = 2² − 1 = 3.

  3. 03Valor em x = 0

    Como 0 ≤ 0, f(0) = 0 + 2 = 2 (o ponto (0, 2) pertence ao gráfico).

  4. 04Continuidade

    Aproximando pela direita, x² − 1 → −1 ≠ 2. Os dois ramos não coincidem em x = 0: há um salto, logo f é descontínua em x = 0.

Resultado: f(−3) = −1, f(2) = 3; f é descontínua em x = 0 (salto de 2 para −1).

Foco no Exame Nacional

  • Esboçar e ler funções definidas por ramos, tratando corretamente os pontos de fronteira.
  • Resolver equações e inequações com a função módulo.

Erros frequentes

  • Aplicar a expressão de um ramo fora do intervalo em que é válida.
  • Resolver |x| = k considerando apenas a solução positiva (esquecer x = −k).

Revisão ativa

Considera f definida por f(x) = x + 2 se x ≤ 0 e f(x) = x² − 1 se x > 0. Calcula f(−3) e f(2) e indica se f é contínua em x = 0.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Funções afim e quadrática○
    • 02Polinómios: Ruffini, teorema do resto e do fator◐
    • 03Sinal, monotonia e transformações de gráficos◐
    • 04Funções definidas por ramos e função módulo◐

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Dos resumos à prática

Funções polinomiais e funções definidas por ramos

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 10.º ano (Despacho 702/2023)

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