Resumos · Matemática Aplicada às Ciências SociaisPT · Secundário

Métodos de apoio à decisão (eleições e partilha)

Como transformar as preferências individuais numa decisão coletiva justa? Este tema estuda os modelos matemáticos das eleições — maioria, segunda volta, método de Borda e o critério de Condorcet — e da partilha — a distribuição de mandatos pelo método de Hondt e a partilha equilibrada de bens. Aprende-se não só a aplicar cada método, mas sobretudo a analisar criticamente as suas limitações e os seus paradoxos, um pilar da cidadania e da literacia matemática.

5 secções~21 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0111 / 8

Perfil de exame

Determinar o vencedor de uma eleição por diferentes sistemas de votaçãoAplicar o método de Hondt na distribuição de mandatos e comparar métodosAnalisar criticamente as limitações e os paradoxos dos métodos de decisão coletivaAplicar métodos de partilha equilibrada nos casos discreto e contínuo

Operadores:identificaaplicadeterminacomparaanalisajustificainterpretacomenta

nível básico

Aplicar corretamente cada método (maioria, Borda, Hondt, licitadores) e determinar o vencedor ou a distribuição resultante.

nível avançado

Comparar métodos que dão resultados diferentes para a mesma votação e discutir criticamente os seus paradoxos e limitações (Condorcet, Alabama, teorema de Arrow).

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Conteúdo · 5 secções

Métodos de apoio à decisão (eleições e partilha)

Eleições: maioria simples, maioria absoluta e segunda volta#

BaseAE-macs-decisao-eleicoes

Uma eleição é um procedimento que transforma as preferências individuais de um grupo de eleitores numa decisão coletiva — a escolha de um vencedor. A Matemática mostra que essa transformação não é única: existem vários sistemas de votação, e sistemas diferentes podem eleger vencedores diferentes a partir dos MESMOS votos. Por isso, escolher o método eleitoral não é um detalhe técnico, mas uma decisão que afeta o resultado. Ao longo deste tema usa-se um perfil de preferências (ver Fig. 1): cada grupo de eleitores ordena todos os candidatos, da sua 1.ª à sua última preferência.

Perfil de preferências de uma eleição

Fig. 1Fig. 1 — Perfil de preferências (15 eleitores). Cada coluna é um grupo de eleitores com a mesma ordenação, da 1.ª à 3.ª preferência.

No método da maioria simples (ou pluralidade), cada eleitor vota apenas no seu candidato preferido e vence quem reunir MAIS votos — mesmo que não chegue a metade. É o método mais rápido, mas ignora toda a informação sobre as segundas e terceiras preferências e pode eleger um candidato rejeitado pela maioria. No método da maioria absoluta exige-se mais: vence quem obtiver mais de metade dos votos válidos, isto é, estritamente mais de «n/2», onde «n» é o número de votantes. Como nem sempre existe um candidato nessas condições, este método precisa de uma regra para o caso em que ninguém atinge a maioria absoluta.

A solução mais comum é a segunda volta (ou desempate por «runoff»): se nenhum candidato obtém a maioria absoluta na primeira volta, realiza-se uma segunda volta apenas entre os dois mais votados, e cada eleitor apoia, dos dois, aquele que prefere. É exatamente o método usado na eleição do Presidente da República Portuguesa — a única eleição presidencial que foi a uma segunda volta ocorreu em 1986. Para simular a segunda volta a partir de um perfil de preferências, eliminam-se todos os candidatos menos os dois primeiros e transferem-se os votos de cada eleitor para o candidato que ele prefere de entre esses dois.

No perfil da Fig. 1 (15 eleitores), as primeiras preferências dão «A: 6, C: 5, B: 4»: por maioria simples venceria «A». Nenhum candidato atinge a maioria absoluta (seriam necessários pelo menos 8 votos, mais de metade de 15). Na segunda volta disputam «A» (6) e «C» (5); os 4 eleitores de «B» (que ordenam B > C > A) preferem «C» a «A», pelo que «C» passa a ter 5 + 4 = 9 votos contra 6 de «A» — por segunda volta vence «C», e NÃO «A». O mesmo perfil já produz dois vencedores diferentes consoante o método: uma primeira lição sobre a fragilidade das regras de decisão.

Exemplo resolvido

Maioria simples, maioria absoluta e segunda volta

Considera o perfil da Fig. 1: 6 eleitores A>B>C, 5 eleitores C>B>A e 4 eleitores B>C>A. Determina o vencedor por maioria simples, verifica se algum candidato tem maioria absoluta e determina o vencedor por segunda volta.

Primeiras preferências
Contam-se os 1.ºs lugares: A tem 6, C tem 5 e B tem 4 (total 6+5+4 = 15).
Maioria simples
O mais votado é A, com 6 votos: por maioria simples vence A.
Maioria absoluta
A maioria absoluta exige mais de metade de 15, isto é, pelo menos 8 votos. O máximo é 6 (A), logo NENHUM candidato tem maioria absoluta.
Segunda volta
Vão a segunda volta os dois primeiros: A (6) e C (5). Os 4 eleitores de B ordenam B>C>A, pelo que preferem C. Assim C fica com 5+4 = 9 e A com 6.

Resultado: Maioria simples: A. Não há maioria absoluta. Segunda volta: C (9 contra 6). O método muda o vencedor de A para C.

Erros frequentes

Confundir maioria simples (o mais votado) com maioria absoluta (mais de metade dos votos) — um vencedor por pluralidade pode não ter maioria absoluta.
Na segunda volta, esquecer de transferir os votos dos candidatos eliminados segundo as preferências seguintes de cada eleitor.

Revisão ativa

Num clube, 30 sócios ordenam três candidatos X, Y, Z: 13 votam X>Y>Z, 6 votam Y>Z>X e 11 votam Z>Y>X. Determina o vencedor por maioria simples, verifica se há maioria absoluta e determina o vencedor por segunda volta.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Métodos de apoio à decisão) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Método de Borda e outros sistemas de preferência#

PadrãoAE-macs-decisao-eleicoes

Os métodos anteriores usam apenas a 1.ª preferência de cada eleitor e deitam fora o resto da ordenação. O método de Borda foi concebido para aproveitar TODA a informação do boletim de preferência: atribui pontos segundo a posição em que cada candidato é colocado. Com «m» candidatos, o 1.º lugar de um boletim vale «m − 1» pontos, o 2.º vale «m − 2», e assim por diante até ao último, que vale «0». Somam-se os pontos de todos os boletins e vence o candidato com maior pontuação de Borda — o que recolhe o apoio global mais forte, e não apenas o maior número de primeiros lugares.

Com «m = 3» candidatos, a pontuação de Borda por boletim é «2» para o 1.º lugar, «1» para o 2.º e «0» para o 3.º. Para cada candidato multiplica-se o número de vezes que ocupa cada posição pelos respetivos pontos e soma-se. Um controlo útil garante que não há erros: como cada eleitor distribui sempre «(m−1)+(m−2)+⋯+0» pontos, o total de pontos atribuídos é fixo — com 3 candidatos, cada eleitor distribui 2+1+0 = 3 pontos, pelo que a soma das pontuações de todos os candidatos é «3 × n».

Aplicando ao perfil da Fig. 1 (ver o cálculo na Fig. 2), obtém-se «A: 12, B: 19, C: 14»: pelo método de Borda vence «B» — um candidato que não tinha nenhuma vitória por maioria simples (só 4 primeiros lugares!), mas que aparece muito bem posicionado em quase todos os boletins (é 2.ª preferência de 11 dos 15 eleitores). O total confirma-se: 12 + 19 + 14 = 45 = 3 × 15. Este é o terceiro vencedor diferente para o mesmo perfil: maioria simples elege A, segunda volta elege C, Borda elege B.

Contagem de Borda

Fig. 2Fig. 2 — Contagem de Borda do perfil da Fig. 1 (1.º = 2 pts, 2.º = 1 pt, 3.º = 0 pts). Vence B, com 19 pontos.

O método de Borda é amplamente usado onde interessa premiar o consenso — eleições de sociedades científicas e desportivas, votações de prémios, escolha de canções. A sua principal vulnerabilidade é o voto estratégico: um eleitor pode colocar artificialmente o rival do seu favorito em último lugar para lhe retirar pontos, distorcendo o resultado. A Aprendizagem Essencial pede que se explorem também outros sistemas — a votação por aprovação (cada eleitor aprova quantos candidatos quiser e vence o mais aprovado) e os sistemas por ordem de preferência com duas ou mais voltas — analisando, em cada caso, as suas principais consequências.

P_{\text{Borda}}(X) = \sum_{k=1}^{m} (m-k)\, v_k(X)

Pontuação de Borda

Com m candidatos, v_k(X) é o número de boletins em que X ocupa a posição k; o k-ésimo lugar vale (m−k) pontos. Com m = 3: 2 pontos ao 1.º, 1 ao 2.º e 0 ao 3.º.

Exemplo resolvido

Determinar o vencedor de Borda

Para o perfil da Fig. 1 (6 A>B>C, 5 C>B>A, 4 B>C>A), calcula a pontuação de Borda de A, B e C (1.º = 2 pts, 2.º = 1 pt, 3.º = 0 pts) e indica o vencedor.

Posições de A
A é 1.º em 6 boletins e 3.º em 9 (5+4). Pontos: 6×2 + 0×1 + 9×0 = 12.
Posições de B
B é 1.º em 4, 2.º em 11 (6+5) e 3.º em 0. Pontos: 4×2 + 11×1 + 0 = 8 + 11 = 19.
Posições de C
C é 1.º em 5, 2.º em 4 e 3.º em 6. Pontos: 5×2 + 4×1 + 6×0 = 10 + 4 = 14.
Controlo e vencedor
Total 12+19+14 = 45 = 3×15 (correto). O maior é B, com 19 pontos.

Resultado: Pontuações de Borda: A = 12, B = 19, C = 14. Vence B — um candidato sem vitória por maioria, mas de forte consenso.

Erros frequentes

Aplicar a pontuação de Borda como se fosse maioria — contar apenas os primeiros lugares em vez de pontuar todas as posições.
Errar a escala de pontos: com m candidatos o 1.º lugar vale m−1 (não m) e o último vale 0 (não 1).

Revisão ativa

Com o perfil do exercício anterior (13 X>Y>Z, 6 Y>Z>X, 11 Z>Y>X), calcula a pontuação de Borda de cada candidato, verifica o total com a regra «3 × n» e indica o vencedor de Borda.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Método de Borda) (Direção-Geral da Educação (DGE))

O critério de Condorcet, o seu paradoxo e o teorema de Arrow#

AprofundamentoAE-macs-decisao-eleicoes

O critério de Condorcet propõe um teste natural de legitimidade: um candidato é vencedor de Condorcet se vencer TODOS os outros em confrontos diretos, dois a dois. Para o verificar, comparam-se os candidatos par a par; em cada duelo, cada eleitor «vota» no que ordena mais acima no seu boletim, e vence o duelo quem tiver mais eleitores a preferi-lo. Se existir um candidato que ganhe todos os seus duelos, é difícil argumentar que não deveria ser o eleito — daí o critério de Condorcet ser um padrão de qualidade dos métodos: um bom método deveria eleger o vencedor de Condorcet, quando ele existe.

No perfil da Fig. 1, os duelos dão: «B vence A» (9 contra 6), «B vence C» (10 contra 5) e «C vence A» (9 contra 6). Como «B» ganha os seus dois duelos, «B» é o vencedor de Condorcet — e, neste caso, coincide com o vencedor de Borda. Repara que a maioria simples elegia «A», que é precisamente o candidato que PERDE os dois duelos: um sinal claro de que a pluralidade pode eleger um candidato que a maioria, confrontada diretamente, rejeita.

O ponto mais profundo — e mais surpreendente — é que o vencedor de Condorcet nem sempre existe. Considera 58 eleitores: 23 ordenam «A>B>C», 19 ordenam «B>C>A» e 16 ordenam «C>A>B». Os duelos dão «A vence B» (39–19), «B vence C» (42–16) e «C vence A» (35–23). Ou seja: A é melhor que B, B é melhor que C, mas C é melhor que A! As preferências coletivas formam um ciclo (ver Fig. 3) e NÃO há vencedor de Condorcet. É o paradoxo de Condorcet: mesmo quando cada eleitor tem preferências perfeitamente transitivas e coerentes, a vontade coletiva pode ser intransitiva.

Ciclo do paradoxo de Condorcet

Fig. 3Fig. 3 — Paradoxo de Condorcet (perfil 23/19/16): A vence B, B vence C mas C vence A. As preferências coletivas ciclam e não há vencedor de Condorcet.

O paradoxo de Condorcet mostra que a intransitividade não é um erro de contagem, mas uma propriedade genuína da agregação de preferências. Levando esta ideia ao limite, o teorema de Arrow (1951) demonstra que NENHUM método de votação com três ou mais candidatos consegue satisfazer simultaneamente um pequeno conjunto de critérios de justiça razoáveis. A Aprendizagem Essencial pede apenas uma breve referência à sua existência (é uma ampliação, não uma matéria de cálculo): a mensagem a reter é que não existe um sistema eleitoral «perfeito», e que qualquer método envolve compromissos — razão pela qual a escolha do método é, ela própria, uma decisão política e ética.

Exemplo resolvido

Vencedor de Condorcet e paradoxo

Para o perfil de 58 eleitores (23 A>B>C, 19 B>C>A, 16 C>A>B), determina os três duelos dois a dois e diz se existe vencedor de Condorcet.

Duelo A vs B
Preferem A: os 23 (A>B>C) e os 16 (C>A>B, pois A está acima de B) = 39. Preferem B: os 19 (B>C>A) = 19. A vence B (39–19).
Duelo B vs C
Preferem B: os 23 (A>B>C) e os 19 (B>C>A) = 42. Preferem C: os 16 (C>A>B) = 16. B vence C (42–16).
Duelo A vs C
Preferem A: os 23 (A>B>C) = 23. Preferem C: os 19 (B>C>A) e os 16 (C>A>B) = 35. C vence A (35–23).
Conclusão
A>B, B>C mas C>A: as preferências ciclam (Fig. 3). Nenhum candidato vence os dois duelos, logo NÃO há vencedor de Condorcet — é o paradoxo de Condorcet.

Resultado: Não existe vencedor de Condorcet: A vence B, B vence C e C vence A (ciclo intransitivo).

Erros frequentes

Concluir que o vencedor de Condorcet é sempre o mais votado por maioria — pode ser precisamente o candidato que perde a pluralidade.
Assumir que existe sempre vencedor de Condorcet; ignorar a possibilidade de um ciclo (paradoxo de Condorcet).

Revisão ativa

Três amigos decidem um destino de férias entre Praia, Serra e Cidade: um prefere Praia>Serra>Cidade, outro Serra>Cidade>Praia e outro Cidade>Praia>Serra. Determina os três duelos dois a dois e verifica se existe vencedor de Condorcet.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (limitações dos sistemas eleitorais) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Partilha de mandatos: o método de Hondt e o paradoxo de Alabama#

PadrãoAE-macs-decisao-partilha

Numa eleição por listas (Assembleia da República, autarquias, Parlamento Europeu), o problema não é escolher UM vencedor mas repartir vários lugares — os mandatos — pelos partidos, de forma proporcional aos votos. A dificuldade é que os mandatos são indivisíveis: não se pode atribuir «2,7 deputados». É preciso um método de contabilização, e a Aprendizagem Essencial destaca que resultados diferentes podem surgir consoante o método escolhido. Portugal usa o método de Hondt, um método dos divisores (ou das médias mais altas).

O método de Hondt funciona assim: divide-se o número de votos de cada partido sucessivamente por 1, 2, 3, 4, … obtendo uma tabela de quocientes. Os mandatos são atribuídos, um a um, aos MAIORES quocientes, até esgotar os lugares disponíveis. Na prática, ordenam-se todos os quocientes por ordem decrescente e distribuem-se tantos mandatos quantos os lugares, «riscando» os maiores. Na Fig. 4 distribuem-se 7 mandatos por três partidos com 12 000, 7 500 e 4 500 votos: os sete maiores quocientes cabem 4 ao partido A, 2 ao B e 1 ao C.

Tabela de quocientes do método de Hondt

Fig. 4Fig. 4 — Método de Hondt: 7 mandatos por A (12 000 votos), B (7 500) e C (4 500). Os 7 maiores quocientes (a negrito nos cálculos) dão A: 4, B: 2, C: 1.

O método de Hondt tende a favorecer ligeiramente os partidos mais votados (os quocientes grandes concentram-se no topo), o que penaliza os partidos pequenos e ajuda a formar maiorias estáveis. É uma opção política, não uma imposição matemática: outros métodos de divisores (Sainte-Laguë, que divide por 1, 3, 5, …) são mais favoráveis aos partidos pequenos. O mesmo mapa de votos pode assim dar composições diferentes conforme o método — precisamente a razão pela qual a escolha do método de contabilização é objeto de debate democrático.

Um método alternativo é o dos maiores restos (método de Hamilton): calcula-se a quota de cada partido, «quota = votos × mandatos / total de votos», atribui-se a cada um a parte inteira da sua quota e os mandatos que sobram vão para os maiores restos (partes decimais). É intuitivo, mas sofre de um paradoxo perturbador — o paradoxo de Alabama: aumentar o número TOTAL de mandatos pode fazer um partido PERDER um mandato, mantendo-se os mesmos votos (ver Fig. 5). Este paradoxo, que os métodos dos divisores como o de Hondt NÃO têm, é a principal razão histórica para se preferirem os métodos dos divisores nas eleições reais.

Paradoxo de Alabama (método dos maiores restos)

Fig. 5Fig. 5 — Paradoxo de Alabama (método dos maiores restos): repartir 10 lugares por procuras 600/600/200 dá C = 2; passar a 11 lugares faz C descer para 1.

q_i = \dfrac{V_i}{1},\ \dfrac{V_i}{2},\ \dfrac{V_i}{3},\ \ldots

Quocientes do método de Hondt

Cada partido i, com V_i votos, gera a sucessão de quocientes obtida dividindo por 1, 2, 3, …; os mandatos vão para os maiores quocientes globais.

\text{quota}_i = \dfrac{V_i \times M}{V_{\text{total}}}

Quota (método dos maiores restos)

M é o total de mandatos. Cada partido recebe a parte inteira da sua quota; os mandatos restantes vão para as maiores partes decimais (restos).

Exemplo resolvido

Distribuição de mandatos pelo método de Hondt

Distribui 7 mandatos por três partidos com 12 000 (A), 7 500 (B) e 4 500 (C) votos, usando o método de Hondt.

Tabela de quocientes
A: 12000, 6000, 4000, 3000; B: 7500, 3750, 2500, 1875; C: 4500, 2250, 1500, 1125.
Ordenar os maiores
Por ordem decrescente: 12000(A), 7500(B), 6000(A), 4500(C), 4000(A), 3750(B), 3000(A), …
Atribuir 7 mandatos
Riscam-se os 7 maiores: 12000, 7500, 6000, 4500, 4000, 3750, 3000. Contando por partido: A aparece 4 vezes, B 2 vezes, C 1 vez.
Verificação
4 + 2 + 1 = 7 mandatos. O 8.º quociente seria 2500 (B), já fora da distribuição.

Resultado: A: 4 mandatos, B: 2 mandatos, C: 1 mandato. O método de Hondt favorece ligeiramente o partido mais votado (A).

Erros frequentes

No método de Hondt, dividir por 1, 2, 3, … mas depois atribuir os mandatos aos partidos e não aos maiores quocientes globais.
Confundir o método de Hondt (divisores, sem paradoxo de Alabama) com o método dos maiores restos (quotas, sujeito ao paradoxo).

Revisão ativa

Distribui 5 mandatos por três partidos com 10 000, 6 000 e 1 500 votos pelo método de Hondt: constrói a tabela de quocientes (dividir por 1, 2, 3, 4, 5), ordena os cinco maiores e indica quantos mandatos cabem a cada partido.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Modelos matemáticos na partilha) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Partilha equilibrada de bens: casos discreto e contínuo#

PadrãoAE-macs-decisao-partilha

A partilha equilibrada trata de dividir bens entre várias pessoas de forma que cada uma sinta que recebeu uma parte justa — pense-se numa herança, na divisão de um terreno ou na atribuição de tarefas. O critério mínimo é a proporcionalidade: com «N» participantes, cada um deve receber, na sua própria avaliação, pelo menos «1/N» do valor total. Um critério mais forte é a ausência de inveja (partilha livre de inveja): nenhum participante prefere estritamente a parte de outro à sua. A Aprendizagem Essencial distingue os casos contínuo (bens divisíveis) e discreto (bens indivisíveis) porque exigem métodos diferentes.

No caso contínuo, o bem pode ser cortado em qualquer proporção (um bolo, um terreno, uma quantidade de tinta). Para dois participantes, o método «um corta, o outro escolhe» resolve o problema de forma elegante: o primeiro divide o bem em duas partes que considera equivalentes; o segundo escolhe a que prefere. Como quem corta procurou igualdade, fica satisfeito com qualquer parte; e quem escolhe leva a que mais valoriza. O resultado é proporcional E livre de inveja, sem que ninguém precise de revelar números — a justiça emerge das regras do procedimento.

No caso discreto, os bens não se podem fracionar (uma casa, um automóvel, um quadro), e o «um corta, o outro escolhe» deixa de funcionar. Usa-se então o método dos licitadores (método de Knaster, ou das licitações fechadas): cada herdeiro escreve, em segredo, quanto avalia cada bem; cada bem vai para quem mais o avaliou; e acertam-se contas em dinheiro para que todos fiquem, no final, acima da sua parte justa. A Fig. 6 mostra o acerto para dois herdeiros e um automóvel indivisível.

Método dos licitadores (Knaster)

Fig. 6Fig. 6 — Método dos licitadores: automóvel indivisível, licitações 8000 € (Ana) e 6000 € (Bruno). Ambos terminam com 3500 € de valor, acima da sua parte justa.

No exemplo da Fig. 6, Ana avalia o automóvel em 8000 € e Bruno em 6000 €. A parte justa de cada um é metade da sua própria avaliação: 4000 € (Ana) e 3000 € (Bruno). O carro fica para Ana (licitação mais alta); como o recebeu, Ana paga ao «monte» o excesso sobre a sua parte justa, 8000 − 4000 = 4000 €, e Bruno levanta a sua parte justa, 3000 €. Sobra no monte 4000 − 3000 = 1000 €, repartido em partes iguais: 500 € para cada. No fim, Ana fica com o carro pagando 4000 − 500 = 3500 € líquidos, e Bruno recebe 3000 + 500 = 3500 €. Ambos ficam ACIMA da sua parte justa — é a vantagem dos métodos bem construídos de partilha equilibrada.

\text{parte justa}_i = \dfrac{\text{avaliação própria do total}}{N}

Parte justa

Cada participante calcula a sua parte justa como a sua própria avaliação do conjunto dos bens a dividir por N (número de participantes). Cada um deve terminar com pelo menos este valor.

Exemplo resolvido

Método dos licitadores para um bem indivisível

Ana e Bruno herdam um automóvel. Ana avalia-o em 8000 € e Bruno em 6000 €. Aplica o método dos licitadores e determina o resultado final de cada um.

Partes justas
Cada um recebe metade da sua avaliação: Ana 8000/2 = 4000 €; Bruno 6000/2 = 3000 €.
Atribuição do bem
O carro fica com quem mais licitou: Ana (8000 > 6000).
Acerto com o monte
Ana ficou com um bem de 8000 (na sua ótica) mas só tinha direito a 4000, logo paga ao monte 8000 − 4000 = 4000 €. Bruno não recebeu bens, logo levanta a sua parte justa 3000 €.
Sobra e resultado
Sobra no monte 4000 − 3000 = 1000 €, dividida em partes iguais: 500 € cada. Ana paga, no total, 4000 − 500 = 3500 € pelo carro; Bruno recebe 3000 + 500 = 3500 €.

Resultado: Ana fica com o carro pagando 3500 € líquidos; Bruno recebe 3500 € em dinheiro. Ambos terminam acima da sua parte justa.

Erros frequentes

Calcular a parte justa a partir da avaliação do OUTRO participante em vez da avaliação do PRÓPRIO (parte justa = avaliação própria ÷ número de herdeiros).
Esquecer de repartir a sobra do monte em partes iguais no fim do método dos licitadores.

Revisão ativa

Dois irmãos herdam um relógio indivisível. A licita 900 € e B licita 700 €. Determina a parte justa de cada um, quem fica com o relógio, o valor que paga ao monte, o que o outro levanta, a sobra e a repartição final.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (partilha equilibrada; casos discreto e contínuo) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Métodos de apoio à decisão)

Métodos de apoio à decisão (eleições e partilha)

5 secções~21 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 3 · Aprofundamento 1

Métodos de apoio à decisão (eleições e partilha)

Pontos-chave

Maioria simples, maioria absoluta e segunda volta

Pontos-chave

Determinar o vencedor de Borda

Pontos-chave

Vencedor de Condorcet e paradoxo

Pontos-chave

Distribuição de mandatos pelo método de Hondt

Pontos-chave

Método dos licitadores para um bem indivisível

Fontes

Métodos de apoio à decisão (eleições e partilha)

Pontos-chave

Maioria simples, maioria absoluta e segunda volta

Pontos-chave

Determinar o vencedor de Borda

Pontos-chave

Vencedor de Condorcet e paradoxo

Pontos-chave

Distribuição de mandatos pelo método de Hondt

Pontos-chave

Método dos licitadores para um bem indivisível

Fontes