Resumos · Matemática Aplicada às Ciências SociaisPT · Secundário

Estatística (problema estatístico, população e amostra, dados bivariados)

A Estatística é a ferramenta com que as ciências sociais leem a realidade a partir de dados. Este tema percorre o problema estatístico — da questão à conclusão —, a distinção entre população e amostra, a organização honesta de dados univariados (tabelas, gráficos e medidas de localização e dispersão) e o estudo de dados bivariados (correlação e regressão com a calculadora). Um objetivo central é a literacia estatística: ler criticamente números e gráficos e não se deixar enganar por representações distorcidas.

4 secções~16 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·0222 / 8

Perfil de exame

Formular um problema estatístico e distinguir população, amostra, recenseamento e sondagemOrganizar e representar dados univariados de forma honesta e ler criticamente gráficosCalcular e interpretar medidas de localização e de dispersãoAnalisar dados bivariados: correlação e reta de regressão, distinguindo correlação de causalidade

Operadores:formulaclassificaorganizarepresentacalculainterpretaanalisacritica

nível básico

Classificar variáveis, construir tabelas e gráficos e calcular as principais medidas de localização e dispersão.

nível avançado

Ler criticamente representações estatísticas, analisar dados bivariados e obter e interpretar modelos de regressão com a calculadora.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Estatística (problema estatístico, população e amostra, dados bivariados)

O problema estatístico: população, amostra e tipos de dados#

BaseAE-macs-estatistica-problema

Um estudo estatístico não começa com números, mas com uma QUESTÃO — «quanto tempo passam os jovens nas redes sociais?», «que meio de transporte usam os alunos?». O problema estatístico é o ciclo que transforma essa questão numa conclusão fundamentada: formular a questão, planear a recolha, recolher os dados, organizá-los e analisá-los, e finalmente interpretar e comunicar as conclusões (ver Fig. 1). Cada etapa condiciona a seguinte: uma recolha mal planeada compromete toda a análise, por mais sofisticada que seja.

O ciclo do problema estatístico

Fig. 1Fig. 1 — O problema estatístico é um ciclo: da questão à conclusão, cada etapa prepara a seguinte e pode levantar novas questões.

A população é o conjunto de TODOS os elementos sobre os quais se quer concluir (por exemplo, todos os alunos do ensino secundário do país). Nem sempre é possível ou razoável observar toda a população; recolhe-se então uma amostra, um subconjunto efetivamente estudado. Quando se observa a população inteira, fala-se de recenseamento (ou censo); quando se estuda apenas uma amostra, fala-se de sondagem. As sondagens são mais rápidas e baratas, mas só permitem concluir sobre a população se a amostra for representativa — idealmente, uma amostra aleatória, em que cada elemento tem probabilidade conhecida de ser escolhido.

A característica que se regista em cada elemento é a variável estatística. As variáveis qualitativas exprimem categorias: nominais quando não há ordem natural (meio de transporte, distrito) e ordinais quando há uma ordem (grau de satisfação: «mau, razoável, bom»). As variáveis quantitativas exprimem números: discretas quando resultam de contagem (número de irmãos, número de idas ao cinema) e contínuas quando resultam de medição e podem tomar qualquer valor de um intervalo (tempo, altura, rendimento). O tipo de variável decide quais as representações e as medidas adequadas — usar uma média com uma variável nominal, por exemplo, não faz sentido.

A representatividade da amostra é a questão crítica da estatística social. Uma amostra enviesada — obtida, por exemplo, inquirindo apenas quem passa numa rua, ou apenas quem responde voluntariamente a um inquérito online — pode dar uma imagem distorcida da população, mesmo com muitos respondentes. A qualidade de uma sondagem mede-se menos pela dimensão da amostra e mais pela forma como foi escolhida. Esta consciência crítica sobre a origem dos dados é o primeiro passo da literacia estatística e uma competência de cidadania.

Exemplo resolvido

Identificar os elementos de um estudo estatístico

Uma câmara municipal quer saber a opinião dos residentes sobre uma nova ciclovia e inquire 600 pessoas escolhidas aleatoriamente. Identifica a população, a amostra, a variável e o tipo de estudo.

População
Todos os residentes do município (o conjunto sobre o qual se quer concluir).
Amostra
Os 600 residentes efetivamente inquiridos.
Variável
A opinião sobre a ciclovia (por exemplo, «a favor / indiferente / contra») — variável qualitativa ordinal ou nominal.
Tipo de estudo
Como se estuda apenas uma amostra e não toda a população, é uma sondagem (não um recenseamento).

Resultado: População: residentes do município; amostra: 600 inquiridos; variável qualitativa; estudo por sondagem.

Erros frequentes

Confundir população (todos os elementos de interesse) com amostra (o subconjunto observado).
Classificar como quantitativa uma variável codificada por números que é, na verdade, qualitativa (por exemplo, o número da camisola ou um código de distrito).

Revisão ativa

Para o estudo «horas semanais de estudo dos alunos do 11.º ano da escola», identifica a população, uma amostra possível e a variável, classifica-a e indica se um recenseamento seria viável.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Problema estatístico; população e amostra) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Dados univariados: tabelas, gráficos honestos e gráficos enganadores#

PadrãoAE-macs-estatistica-univariados

Recolhidos os dados de UMA variável (dados univariados), o primeiro passo é organizá-los numa tabela de frequências. A frequência absoluta «nᵢ» é o número de vezes que cada valor ou categoria ocorre; a frequência relativa «fᵢ = nᵢ/n» é a sua proporção, e a soma de todas as frequências relativas é 1 (ou 100 %). Para variáveis contínuas com muitos valores, agrupam-se os dados em classes (intervalos) de igual amplitude. A tabela é a base de qualquer representação gráfica.

A representação escolhe-se segundo o tipo de variável: gráfico de barras e gráfico circular para variáveis qualitativas; histograma para variáveis quantitativas contínuas agrupadas em classes. A Fig. 2 representa o meio de transporte para a escola de 40 alunos. Num gráfico de barras, a altura de cada barra é a frequência da categoria; num histograma, ao contrário, as barras são contíguas (a variável é contínua) e é a ÁREA de cada retângulo que é proporcional à frequência da classe. A leitura deve ser sempre imediata e fiel aos dados.

Meio de transporte para a escola

Fig. 2Fig. 2 — Gráfico de barras (variável qualitativa nominal): meio de transporte de 40 alunos. As barras são separadas.

A mesma tabela pode, porém, ser representada de forma honesta ou enganadora. A técnica mais comum de manipulação é truncar o eixo vertical — começá-lo num valor diferente de zero. A Fig. 3 mostra as mesmas duas taxas de aprovação (92 % e 95 %) em dois gráficos: no da esquerda, com eixo desde 0, as barras são quase iguais (como os dados); no da direita, com o eixo a começar em 90 %, a segunda barra parece esmagadoramente maior — uma diferença de 3 pontos percentuais é inflacionada visualmente. Os dados são os mesmos; muda apenas a escala, e com ela a mensagem.

Gráfico honesto vs gráfico enganador

Fig. 3Fig. 3 — Os mesmos dados (92 % e 95 %): à esquerda, eixo desde 0 (honesto); à direita, eixo truncado a começar em 90 % (enganador). A escala muda a mensagem.

Outras distorções frequentes: usar áreas ou volumes (ícones, pictogramas) cujo tamanho não é proporcional à frequência; omitir o zero ou a escala; escolher classes de amplitudes diferentes num histograma; ou cortar parte dos dados. A literacia estatística consiste em ler sempre os eixos, as escalas e a fonte antes de acreditar num gráfico. Saber CONSTRUIR gráficos honestos e RECONHECER gráficos enganadores é uma das aprendizagens mais úteis da MACS para a vida em sociedade — dos jornais à publicidade e às redes sociais.

f_i = \dfrac{n_i}{n}, \qquad \sum_{i} f_i = 1

Frequência relativa

A frequência relativa é a proporção de cada valor ou categoria; a soma de todas as frequências relativas é 1 (ou 100 %).

Exemplo resolvido

Detetar um gráfico enganador

Um anúncio mostra que as vendas subiram de 92 para 95 unidades e usa um gráfico cujo eixo vertical começa em 90. Explica por que o gráfico exagera a subida e como o corrigirias.

Variação real
A subida é de 95 − 92 = 3 unidades, isto é, 3/92 ≈ 3,3 % — uma variação pequena.
Efeito do eixo truncado
Com o eixo de 90 a 96, a barra de 92 tem altura 2 e a de 95 tem altura 5: parece 2,5 vezes maior, o que não corresponde à variação real.
Correção
Começar o eixo em 0 (Fig. 3, à esquerda): as barras ficam quase iguais, refletindo honestamente a pequena diferença.

Resultado: O eixo truncado (a começar em 90) infla visualmente uma subida de apenas 3,3 %; o eixo desde 0 mostra os dados fielmente.

Erros frequentes

Usar um histograma (barras contíguas) para uma variável qualitativa, ou um gráfico de barras separadas para dados contínuos.
Comparar alturas de barras sem verificar se o eixo começa em zero — deixar-se enganar por escalas truncadas.

Revisão ativa

Numa turma, o meio de transporte de 25 alunos é: 10 a pé, 8 de autocarro, 5 de carro, 2 de bicicleta. Constrói a tabela de frequências absolutas e relativas e escolhe uma representação gráfica adequada, justificando a escolha.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Dados univariados; literacia estatística) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Medidas de localização e de dispersão#

PadrãoAE-macs-estatistica-univariados

As medidas de localização resumem os dados num valor representativo. A média «x̄» é a soma dos valores a dividir pelo número de observações; usa toda a informação, mas é muito sensível a valores extremos. A mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais quando «n» é par); é resistente a extremos. A moda é o valor (ou categoria) mais frequente, a única medida de localização aplicável também a variáveis qualitativas. Comparar média e mediana informa sobre a assimetria da distribuição.

Um exemplo social torna a diferença palpável. Os salários mensais (€) de um pequeno departamento são «900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 3500» (o último é o do diretor). A média é «(900+⋯+3500)/8 = 10 850/8 = 1356,25 €», mas a mediana é «(1050+1100)/2 = 1075 €». A média (1356 €) é superior a SETE dos oito salários, porque é «puxada para cima» pelo valor extremo; a mediana (1075 €) descreve muito melhor o salário «típico». Por isso, ao falar de rendimentos, a estatística oficial usa quase sempre a mediana — um exemplo direto de literacia estatística aplicada.

As medidas de dispersão medem o espalhamento. A amplitude total é a diferença entre o máximo e o mínimo (aqui «3500 − 900 = 2600 €», enorme por causa do extremo). Os quartis «Q₁, Q₂ (mediana), Q₃» dividem os dados ordenados em quatro partes; a amplitude interquartis «AIQ = Q₃ − Q₁» mede a dispersão dos 50 % centrais e é resistente a extremos. Neste exemplo, «Q₁ = 975 €», «Q₃ = 1175 €», logo «AIQ = 200 €» — muito menor do que a amplitude total, revelando que o grosso dos salários está concentrado. O desvio-padrão «σ» mede a dispersão média em torno da média e obtém-se com a calculadora.

A partir dos cinco números-resumo — mínimo, «Q₁», mediana, «Q₃» e máximo — constrói-se o diagrama de extremos e quartis (Fig. 4): uma caixa de «Q₁» a «Q₃», dividida pela mediana, com «bigodes» até ao mínimo e ao máximo. É a fotografia da distribuição: a posição da mediana, a largura da caixa (dispersão central) e, sobretudo, a assimetria. No caso dos salários, o bigode direito é muito longo (por causa do salário do diretor), sinal claro de assimetria à direita — o boxplot torna visível o que a média sozinha esconderia.

Diagrama de extremos e quartis dos salários

Fig. 4Fig. 4 — Boxplot dos salários (€): mín 900, Q₁ 975, mediana 1075, Q₃ 1175, máx 3500. O bigode direito muito longo revela a assimetria causada pelo salário extremo.

\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Média

Soma de todos os valores a dividir pelo número de observações; sensível a valores extremos.

\text{AIQ} = Q_3 - Q_1

Amplitude interquartis

Dispersão dos 50 % centrais dos dados; resistente a valores extremos, ao contrário da amplitude total.

Exemplo resolvido

Localização e dispersão com um valor extremo

Para os salários «900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 3500» (n = 8), determina a média, a mediana, Q₁, Q₃, a AIQ e a amplitude total, e comenta.

Média
Soma = 10 850; x̄ = 10 850/8 = 1356,25 €.
Mediana
Com n = 8 (par), é a média dos 4.º e 5.º valores: (1050 + 1100)/2 = 1075 €.
Quartis
Metade inferior (900, 950, 1000, 1050): Q₁ = (950+1000)/2 = 975 €. Metade superior (1100, 1150, 1200, 3500): Q₃ = (1150+1200)/2 = 1175 €.
Dispersão e comentário
AIQ = 1175 − 975 = 200 €; amplitude total = 3500 − 900 = 2600 €. A média (1356 €) supera 7 dos 8 salários: o valor extremo distorce-a, e a mediana (1075 €) é mais representativa.

Resultado: x̄ = 1356,25 €; mediana 1075 €; Q₁ = 975 €; Q₃ = 1175 €; AIQ = 200 €; amplitude 2600 €. A média é enganada pelo salário extremo.

Erros frequentes

Calcular a mediana ou os quartis sem ordenar previamente os dados.
Usar a média como valor «típico» quando há valores extremos que a distorcem — nesse caso a mediana é mais representativa.

Revisão ativa

Considera os tempos (min) de espera «5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 25». Determina a média, a mediana, os quartis, a amplitude interquartis e a amplitude total, e comenta o efeito do valor 25.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (medidas de localização e dispersão) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Dados bivariados: correlação e regressão#

AprofundamentoAE-macs-estatistica-bivariados

Muitas questões das ciências sociais relacionam DUAS variáveis quantitativas medidas nos mesmos indivíduos — anos de escolaridade e salário, rendimento e esperança de vida, despesa e vendas. Cada indivíduo dá um par «(x, y)», representado num diagrama de dispersão (nuvem de pontos), com a variável explicativa em «Ox» e a variável resposta em «Oy». A forma da nuvem revela se existe associação, de que tipo e em que sentido (ver Fig. 5).

Escolaridade e salário: dispersão e regressão

Fig. 5Fig. 5 — Salário médio em função dos anos de escolaridade (6 grupos) com a reta de regressão ŷ ≈ 98,3 x + 326,6 (r ≈ 0,98): associação linear positiva forte.

Quando os pontos se dispõem aproximadamente sobre uma reta, a associação diz-se linear. O coeficiente de correlação «r» quantifica a força e o sentido dessa associação: varia entre «−1» e «1». Perto de «1», correlação linear positiva forte (as variáveis crescem juntas); perto de «−1», correlação negativa forte (uma cresce, a outra decresce); perto de «0», ausência de associação linear. É fundamental não confundir o SINAL de «r» (o sentido) com a sua INTENSIDADE (a proximidade de 1 ou −1). O «r» calcula-se com a calculadora, em simultâneo com a reta de regressão.

A reta de regressão «ŷ = a + b x» é a reta que melhor se ajusta à nuvem pelo critério dos mínimos quadrados (torna mínima a soma dos quadrados das distâncias verticais dos pontos à reta). A calculadora devolve o declive «b», a ordenada na origem «a» e o «r». Na Fig. 5, para os anos de escolaridade «x» e o salário médio «y» de seis grupos, obtém-se «ŷ ≈ 98,3 x + 326,6» com «r ≈ 0,98». O declive interpreta-se no contexto: por cada ano adicional de escolaridade, o salário médio previsto sobe cerca de 98 €. Para «x = 10» anos, a previsão é «ŷ ≈ 98,3·10 + 326,6 ≈ 1310 €» — fiável por ser uma interpolação (10 está dentro do intervalo dos dados); extrapolar muito para fora seria arriscado.

A advertência mais importante da estatística social é: correlação NÃO é causalidade. Duas variáveis podem estar fortemente correlacionadas sem que uma cause a outra — podem ambas depender de uma terceira variável (uma variável de confusão). O número de bombeiros num incêndio correlaciona-se com os estragos, mas não os causa: ambos crescem com a dimensão do fogo. O «r» mede associação, não a explica; concluir «x causa y» a partir de um «r» elevado é um erro de raciocínio, não um resultado matemático. Este é, talvez, o alerta de literacia estatística mais decisivo para um cidadão.

-1 \le r \le 1

Coeficiente de correlação

r mede a força e o sentido da associação LINEAR: perto de 1 (positiva forte), perto de −1 (negativa forte), perto de 0 (sem associação linear).

\hat{y} = a + b\,x

Reta de regressão

Reta dos mínimos quadrados: os parâmetros a (ordenada na origem) e b (declive) obtêm-se com a calculadora. O declive dá a variação prevista de y por cada unidade de x.

Exemplo resolvido

Reta de regressão e previsão

Para os pares (anos de escolaridade, salário) «(4,800), (6,950), (9,1100), (12,1400), (15,1800), (17,2100)», a calculadora dá ŷ ≈ 98,3 x + 326,6 e r ≈ 0,98. Interpreta o declive e prevê o salário para 10 anos de escolaridade.

Força da associação
r ≈ 0,98 está muito perto de 1: correlação linear positiva muito forte — mais escolaridade associa-se a maior salário médio.
Interpretar o declive
b ≈ 98,3: por cada ano adicional de escolaridade, o salário médio previsto aumenta cerca de 98 €.
Previsão (interpolação)
Para x = 10: ŷ ≈ 98,3·10 + 326,6 = 983 + 326,6 ≈ 1310 €. Como 10 está dentro de [4, 17], a previsão é fiável.
Cautela
Um r forte não prova que a escolaridade CAUSE o salário: outras variáveis (área de formação, experiência) também influenciam.

Resultado: ŷ ≈ 98,3 x + 326,6 (r ≈ 0,98); para 10 anos prevê-se ≈ 1310 €. Correlação forte não implica causalidade.

Erros frequentes

Interpretar um valor elevado de «r» como prova de que uma variável causa a outra.
Confundir o sinal de «r» (sentido da associação) com a sua intensidade (proximidade de 1 ou −1).

Revisão ativa

Para seis lojas registou-se a despesa em publicidade (x, mil €) e as vendas (y, mil €). Descreve como usarias a calculadora para obter «r» e a reta de regressão, como interpretarias o declive e por que uma correlação forte não prova que a publicidade seja a única causa das vendas.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Dados bivariados; correlação e regressão) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de MACS — 10.º ano (Problema estatístico; população e amostra)

Estatística (problema estatístico, população e amostra, dados bivariados)

4 secções~16 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

Estatística (problema estatístico, população e amostra, dados bivariados)

Pontos-chave

Identificar os elementos de um estudo estatístico

Pontos-chave

Detetar um gráfico enganador

Pontos-chave

Localização e dispersão com um valor extremo

Pontos-chave

Reta de regressão e previsão

Fontes

Estatística (problema estatístico, população e amostra, dados bivariados)

Pontos-chave

Identificar os elementos de um estudo estatístico

Pontos-chave

Detetar um gráfico enganador

Pontos-chave

Localização e dispersão com um valor extremo

Pontos-chave

Reta de regressão e previsão

Fontes