Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Profielspecifieke verdieping complexe getallen

Dit onderwerp is de profielverdieping binnen domein E: het bouwt voort op het basisonderwerp complexe getallen. Je bepaalt de $n$ complexe $n$ -de-machtswortels van een getal — voor $z^n=1$ de eenheidswortels, die als hoekpunten van een regelmatige $n$ -hoek op de eenheidscirkel liggen. De hoofdstelling van de algebra garandeert dat elke veelterm van graad $n$ precies $n$ complexe nulpunten heeft (met multipliciteit), bij reële coëfficiënten in toegevoegd-complexe paren. Complexe vermenigvuldiging lees je meetkundig als een draaiing en schaling, en de formule van Euler $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ — met de identiteit $e^{i\pi}+1=0$ — verbindt de complexe getallen met de goniometrie en met trillingen. Wiskunde D kent geen centraal examen; deze verdieping wordt in het schoolexamen (SE) getoetst.

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·171717 / 19

Examenprofiel

Domein E (profielverdieping) — de n complexe n-de-machtswortels en de eenheidswortels op de eenheidscirkel bepalenDe hoofdstelling van de algebra toepassen; toegevoegd-complexe nulparen bij reële coëfficiënten herkennenComplexe vermenigvuldiging meetkundig lezen als een draaiing en schaling in het complexe vlakDe formule van Euler gebruiken: de identiteit eiπ+1=0, goniometrische identiteiten en trillingen

Operatoren:bepaalberekenlos optoon aanleid afontbindteken

basisniveau

Dit is de profielverdieping binnen domein E — schoolexamen-stof (SE) van wiskunde D, zonder centraal examen. Bouw eerst de basis (rekenen met $a+bi$ , modulus, argument, De Moivre en Euler) en gebruik die hier voor wortels, nulpunten en meetkunde.

verhoogd niveau

Verdieping: het verband tussen de $n$ eenheidswortels en de regelmatige $n$ -hoek, het volledig ontbinden van een veelterm over $\mathbb{C}$ met toegevoegd-complexe paren, en het afleiden van goniometrische identiteiten met Euler en De Moivre. De complexe getallen komen zo terug in de natuurwetenschappen (domein F).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Profielspecifieke verdieping complexe getallen

Complexe wortels en eenheidswortels#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-E

Een complex getal heeft niet één, maar

n

verschillende

n

-de-machtswortels. Om

z^n=w

op te lossen schrijf je

w

in de exponentiële vorm

w=re^{i\varphi}

en zoek je alle

z=\rho e^{i\theta}

met

\rho^n e^{in\theta}=re^{i\varphi}

. De moduli moeten gelijk zijn (

\rho^n=r

, dus

\rho=r^{1/n}

, de gewone reële

n

-de-machtswortel), en de argumenten mogen een veelvoud van

2\pi

verschillen (

n\theta=\varphi+2k\pi

). Zo ontstaan precies

n

verschillende oplossingen.

n

wortels zijn

z_k=r^{1/n}\,e^{i(\varphi+2k\pi)/n}

voor

k=0,1,\dots,n-1

. Ze hebben allemaal dezelfde modulus

r^{1/n}

, dus ze liggen op één cirkel om de oorsprong, en hun argumenten verschillen telkens

\tfrac{2\pi}{n}

. Daarom zijn de

n

wortels de hoekpunten van een regelmatige

n

-hoek. Voor

k\ge n

herhalen de wortels zich (je bent dan

2\pi

verder gedraaid en weer bij

z_0

), vandaar precies

n

stuks.

Het belangrijkste bijzondere geval is

z^n=1

: de

n

-de eenheidswortels. Omdat

1=e^{i\cdot 0}

(modulus

1

, argument

0

) zijn ze

z_k=e^{2k\pi i/n}

voor

k=0,\dots,n-1

n

punten gelijkmatig over de eenheidscirkel verdeeld, met

z_0=1

als startpunt. In Afb. 1 zie je de drie derde-machts eenheidswortels als hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek:

1

, en

-\tfrac{1}{2}\pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}

De derde-machts eenheidswortels

Afb. 1Afb. 1 — De drie oplossingen van z³ = 1 liggen op de eenheidscirkel en vormen een gelijkzijdige driehoek: w0 = 1, w1 = −½ + i·½√3 en w2 = −½ − i·½√3. Hun argumenten (0°, 120°, 240°) verschillen telkens 120°.

Bekijk

z^3=1

stap voor stap. Hier is

r^{1/3}=1

z_k=e^{2k\pi i/3}

. Voor

k=0

geeft dat

z_0=e^0=1

; voor

k=1

z_1=e^{2\pi i/3}=\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}

; en voor

k=2

z_2=e^{4\pi i/3}=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}

. Merk op dat

z_2=\bar{z}_1

: bij de reële vergelijking

z^n=1

komen de niet-reële wortels in toegevoegd-complexe paren — een voorproefje op de volgende paragraaf.

Worteltrekken laat scherp zien waarom het complexe vlak zo krachtig is: waar

\sqrt[3]{1}

over de reële getallen maar één antwoord heeft, onthult de exponentiële vorm er drie. Dezelfde methode geeft de wortels van élk complex getal — bijvoorbeeld de twee vierkantswortels van

i

of de vier vierde-machtswortels van

-16

. Dit is bovendien de sleutel tot het volledig ontbinden van veeltermen, het onderwerp van de volgende paragraaf over de hoofdstelling van de algebra.

z_k = r^{1/n}\, e^{\,i(\varphi + 2k\pi)/n},\qquad k = 0,1,\dots,n-1

De n complexe n-de-machtswortels

Alle wortels van z^n = re^{iφ}: gelijke modulus r^{1/n}, argumenten telkens 2π/n uit elkaar.

z_k = e^{\,2k\pi i/n},\qquad k = 0,1,\dots,n-1

De n-de eenheidswortels (oplossingen van zⁿ = 1)

n punten gelijkmatig over de eenheidscirkel: de hoekpunten van een regelmatige n-hoek.

Uitgewerkt voorbeeld

De derde-machts eenheidswortels bepalen

Bepaal alle oplossingen van $z^3=1$ en teken ze in het complexe vlak.

Schrijf 1 in exponentiële vorm
$1=e^{i\cdot 0}$ , dus $r=1$ en $\varphi=0$ ; de wortels zijn $z_k=1^{1/3}e^{i(0+2k\pi)/3}=e^{2k\pi i/3}$ voor $k=0,1,2$ .
Wortel k = 0
Invullen van $k=0$ .
$z_0=e^{0}=1$
Wortel k = 1
Invullen van $k=1$ en omzetten met Euler.
$z_1=e^{2\pi i/3}=\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}$
Wortel k = 2
Invullen van $k=2$ ; deze is de geconjugeerde van $z_1$ .
$z_2=e^{4\pi i/3}=\cos 240^\circ+i\sin 240^\circ=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}$

Resultaat: De drie oplossingen zijn $z_0=1$ , $z_1=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ en $z_2=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; ze vormen een gelijkzijdige driehoek op de eenheidscirkel (Afb. 1).

Veelgemaakte fouten

Maar één wortel geven; $z^n=w$ heeft er $n$ , met argumenten die telkens $\tfrac{2\pi}{n}$ verschillen.
De modulus vergeten te wortelen: de wortels hebben modulus $r^{1/n}$ , niet $r$ .
Bij $k=0,1,\dots,n-1$ te ver doortellen — $k=n$ geeft weer dezelfde wortel als $k=0$ .

Actieve herhaling

Bepaal alle oplossingen van $z^4=1$ en teken ze. Welke regelmatige veelhoek vormen de vier eenheidswortels, en welke ervan zijn reëel?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De hoofdstelling van de algebra en complexe nulpunten#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-E

De nulpunten van z² + 2z + 5 vormen een toegevoegd-complex paar

Afb. 2Afb. 1 — De twee nulpunten van z² + 2z + 5, namelijk −1 + 2i en −1 − 2i, liggen symmetrisch ten opzichte van de reële as: bij reële coëfficiënten zijn de niet-reële nulpunten elkaars geconjugeerde.

De hoofdstelling van de algebra zegt: elke veelterm

p(z)=a_n z^n+\dots+a_1 z+a_0

van graad

n\ge 1

met complexe (dus ook reële) coëfficiënten heeft in

\mathbb{C}

precies

n

nulpunten, mits je ze telt met hun multipliciteit. Over de reële getallen is dat onwaar —

x^2+1

heeft geen reëel nulpunt — maar over

\mathbb{C}

klopt het altijd. Dit is waarom de complexe getallen „compleet” zijn: je hoeft nooit meer een nieuw soort getal te verzinnen om een polynoomvergelijking op te lossen.

Uit de stelling volgt dat je elke veelterm volledig kunt ontbinden in lineaire factoren:

p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)

, waarbij

z_1,\dots,z_n

de (niet noodzakelijk verschillende) nulpunten zijn. Een dubbel nulpunt telt voor twee, een drievoudig voor drie, enzovoort. Zo heeft

z^2-2z+1=(z-1)^2

het nulpunt

z=1

met multipliciteit

2

— samen nog steeds twee nulpunten, precies wat de graad voorschrijft.

Heeft de veelterm reële coëfficiënten, dan komen de niet-reële nulpunten altijd in toegevoegd-complexe paren: is

z_0

een nulpunt, dan is

\bar{z}_0

dat ook. Dat volgt uit de conjugatieregels van het basisonderwerp, want

\overline{p(z_0)}=p(\bar{z}_0)

, en als

p(z_0)=0

dan is ook

p(\bar{z}_0)=\bar{0}=0

. Een direct gevolg: een reële veelterm van oneven graad heeft altijd minstens één reëel nulpunt, omdat de niet-reële nulpunten twee-aan-twee wegvallen.

Neem

z^2+2z+5=0

. De discriminant is

2^2-4\cdot 1\cdot 5=-16<0

, dus er zijn geen reële oplossingen — maar wél twee complexe. Met

\sqrt{-16}=4i

geeft de abc-formule

z=\dfrac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i

. De nulpunten

-1+2i

-1-2i

zijn elkaars geconjugeerde (Afb. 1), precies zoals de stelling bij reële coëfficiënten voorspelt. Controle met de som-productregels: som

=-2=-\tfrac{b}{a}

en product

=(-1)^2-(2i)^2=1+4=5=\tfrac{c}{a}

De hoofdstelling verklaart ook de eenheidswortels uit de vorige paragraaf:

z^n-1

heeft graad

n

en dus precies

n

nulpunten — de

n

eenheidswortels. Andersom kun je een reële veelterm met behulp van de toegevoegd-complexe paren ontbinden in reële factoren van graad

1

2

: elk paar

z_0,\bar{z}_0

levert de reële factor

(z-z_0)(z-\bar{z}_0)=z^2-2\operatorname{Re}(z_0)\,z+|z_0|^2

. Zo verbindt deze stelling het complexe worteltrekken met het reële ontbinden dat je uit wiskunde B kent.

p(z) = a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)

Volledige ontbinding (n nulpunten met multipliciteit)

Een veelterm van graad n valt over ℂ uiteen in n lineaire factoren.

z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad \sqrt{-D} = i\sqrt{D}\;\;(D>0)

abc-formule met complexe uitkomst

Bij een negatieve discriminant is de wortel imaginair; de twee oplossingen zijn complex.

p(z_0) = 0 \;\Rightarrow\; p(\bar{z}_0) = 0 \quad (\text{reële coëfficiënten})

Toegevoegd-complexe nulparen

Bij reële coëfficiënten treden niet-reële nulpunten altijd in paren z₀, z̄₀ op.

Uitgewerkt voorbeeld

Complexe nulpunten van een kwadratische veelterm

Los $z^2+2z+5=0$ op over $\mathbb{C}$ en controleer dat de nulpunten een toegevoegd-complex paar vormen.

Bereken de discriminant
Met $a=1$ , $b=2$ , $c=5$ .
$D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16$
Trek de wortel uit het negatieve getal
Gebruik $\sqrt{-1}=i$ .
$\sqrt{-16}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}=4i$
Pas de abc-formule toe
Vul in en deel door $2a=2$ .
$z=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$
Controleer het paar
$z_1=-1+2i$ en $z_2=-1-2i$ zijn elkaars geconjugeerde; de som is $-2$ en het product $(-1)^2-(2i)^2=1+4=5$ , in overeenstemming met de coëfficiënten.

Resultaat: $z=-1+2i$ of $z=-1-2i$ — een toegevoegd-complex paar, zoals de hoofdstelling van de algebra bij reële coëfficiënten voorspelt.

Veelgemaakte fouten

Concluderen dat $z^2+2z+5=0$ „geen oplossing” heeft omdat $D<0$ ; over $\mathbb{C}$ zijn er twee.
$\sqrt{-16}$ gelijkstellen aan $-4$ in plaats van $4i$ , of het teken $\pm$ vergeten.
Denken dat een dubbel nulpunt maar één van de $n$ nulpunten is; het telt met multipliciteit mee.

Actieve herhaling

Los $z^2-4z+13=0$ op over $\mathbb{C}$ . Ontbind vervolgens $z^2-4z+13$ in de vorm $(z-z_0)(z-\bar{z}_0)$ en ga na dat je de oorspronkelijke veelterm terugkrijgt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Complexe getallen en meetkundige transformaties#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-E

Vermenigvuldigen met i is een draaiing over 90°

Afb. 3Afb. 1 — Vermenigvuldigen met i draait z = 3 + 4i over 90° tegen de klok in naar iz = −4 + 3i; de lengte blijft |z| = |iz| = 5. Het punt (3, 4) gaat naar (−4, 3).

In het basisonderwerp zag je dat bij een product de moduli vermenigvuldigen en de argumenten optellen:

|z_1 z_2|=|z_1|\,|z_2|

\arg(z_1 z_2)=\arg z_1+\arg z_2

. Meetkundig betekent dit dat vermenigvuldigen met een vast getal

w=re^{i\theta}

elk punt

z

in het vlak draait over de hoek

\theta

én schaalt met factor

r

ten opzichte van de oorsprong. Het complexe vlak wordt zo een rekentaal voor draaiingen en gelijkvormigheden.

Twee bijzondere gevallen zijn het onthouden waard. Vermenigvuldigen met een getal op de eenheidscirkel,

w=e^{i\theta}

(modulus

1

), is een zuivere draaiing over

\theta

zonder vervorming. Vermenigvuldigen met een positief reëel getal

r

(argument

0

) is een zuivere schaling. In het bijzonder is vermenigvuldigen met

i=e^{i\pi/2}

een draaiing over precies

90^\circ

tegen de klok in, en met

-1=e^{i\pi}

een puntspiegeling in

O

(een draaiing over

180^\circ

Afb. 1 toont de draaiing over

90^\circ

concreet. Vermenigvuldig

z=3+4i

met

i

iz=i(3+4i)=3i+4i^2=-4+3i

. Het punt

(3,4)

gaat naar

(-4,3)

, precies een kwartslag tegen de klok in, en de lengte blijft

|z|=|iz|=5

. Algemeen stuurt

i\cdot(a+bi)=-b+ai

het punt

(a,b)

naar

(-b,a)

— de bekende formule voor een draaiing over

90^\circ

om de oorsprong uit de meetkunde.

Waar vermenigvuldigen draait en schaalt, is optellen een verschuiving (translatie): de afbeelding

z\mapsto z+v

verschuift elk punt over de vaste vector

v

. Draaiingen om een ánder punt dan de oorsprong bouw je hieruit op: eerst verschuiven zodat het draaipunt in

O

ligt, dan vermenigvuldigen met

e^{i\theta}

, dan terugverschuiven. Dat vat je samen in één complexe formule:

z\mapsto e^{i\theta}(z-m)+m

draait over

\theta

om het punt

m

. Zo beschrijf je élke draaiing en gelijkvormigheid in het vlak met complexe getallen.

Deze meetkundige lezing maakt veel bewijzen kort. Wil je aantonen dat vermenigvuldigen met

i

loodrechte stand oplevert, dan volgt dat meteen uit

\arg(iz)=\arg z+\tfrac{\pi}{2}

. Regelmatige veelhoeken beschrijf je met eenheidswortels (vorige paragraaf), want opeenvolgende hoekpunten ontstaan door telkens met

e^{2\pi i/n}

te draaien. En in de natuur- en techniekvakken is deze draai-schaalstructuur precies wat trillingen en wisselstroom zo handig complex maakt — het onderwerp van de laatste paragraaf.

|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|,\qquad \arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2

Product: modulus maal, argument plus

De rekenkundige kern van „draaien en schalen”.

w = re^{i\theta}:\quad z \mapsto wz \;\text{ draait over } \theta \text{ en schaalt met } r

Vermenigvuldigen = draaien + schalen

Met |w| = 1 een zuivere draaiing, met reële w > 0 een zuivere schaling.

i\cdot(a+bi) = -b + ai \quad (\text{draaiing over } 90^\circ)

Vermenigvuldigen met i

Stuurt het punt (a, b) naar (−b, a): een kwartslag tegen de klok in, lengte blijft gelijk.

Uitgewerkt voorbeeld

Draaien en schalen met een complex getal

Gegeven $z=3+4i$ . (a) Draai $z$ over $90^\circ$ om $O$ door met $i$ te vermenigvuldigen. (b) Bepaal $z\cdot w$ met $w=1+i$ en beschrijf de transformatie.

(a) Vermenigvuldig met i
Werk uit met $i^2=-1$ ; de lengte moet gelijk blijven.
$iz=i(3+4i)=3i+4i^2=-4+3i,\qquad |iz|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5=|z|$
(b) Bereken het product
Werk de haakjes uit.
$z\cdot w=(3+4i)(1+i)=3+3i+4i+4i^2=-1+7i$
(b) Interpreteer de transformatie
Omdat $w=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ draait vermenigvuldigen met $w$ over $45^\circ$ en schaalt het met $\sqrt{2}$ .
$|z\cdot w|=|z|\,|w|=5\sqrt{2}=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{50}$

Resultaat: (a) $iz=-4+3i$ (een kwartslag, lengte $5$ blijft). (b) $z\cdot w=-1+7i$ : een draaiing over $45^\circ$ met een schaling van $\sqrt{2}$ .

Veelgemaakte fouten

Denken dat vermenigvuldigen met $i$ de lengte verandert; omdat $|i|=1$ is het een zuivere draaiing.
De draairichting omkeren: vermenigvuldigen met $i$ draait tegen de klok in ( $+90^\circ$ ), met $-i$ met de klok mee.
Bij een draaiing om een ander punt dan $O$ het verschuiven-en-terugverschuiven vergeten en meteen met $e^{i\theta}$ vermenigvuldigen.

Actieve herhaling

Draai het punt $z=2+i$ over $90^\circ$ om de oorsprong. Vermenigvuldig $z=2+i$ vervolgens met $w=3i$ en beschrijf welke draaiing en schaling dat is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Euler en toepassingen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-E

eiφ op de eenheidscirkel

Afb. 4Afb. 1 — Het getal e^{iφ} ligt op de eenheidscirkel onder hoek φ: zijn reële deel is cos φ en zijn imaginaire deel sin φ. Bij φ = π kom je uit op −1, de identiteit van Euler.

De formule van Euler

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi

levert bij

\varphi=\pi

een van de mooiste gelijkheden van de wiskunde. Invullen geeft

e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1+0i=-1

, oftewel de identiteit van Euler:

e^{i\pi}+1=0

. Deze ene vergelijking bindt de vijf belangrijkste constanten

0

1

i

\pi

e

samen met de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen. Afb. 1 laat zien waaróm:

e^{i\varphi}

loopt over de eenheidscirkel, en bij

\varphi=\pi

ben je precies bij

-1

aangekomen.

Meetkundig is

e^{i\varphi}

het punt op de eenheidscirkel bij hoek

\varphi

: het reële deel is

\cos\varphi

en het imaginaire deel

\sin\varphi

(Afb. 1). Laat je

\varphi

toenemen, dan draait

e^{i\varphi}

met constante snelheid rond de cirkel — na

2\pi

ben je weer terug, want

e^{i(\varphi+2\pi)}=e^{i\varphi}

. Cosinus en sinus zijn dus letterlijk de schaduwen (projecties) van deze cirkelbeweging op de twee assen; dat is de diepe reden dat de goniometrische functies periodiek zijn.

Euler en De Moivre maken goniometrische identiteiten tot pure algebra. Uit

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi

e^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi

los je op:

\cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}

\sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}

. En De Moivre met

n=2

geeft in één klap de dubbele-hoekformules, doordat je

(\cos\varphi+i\sin\varphi)^2=\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi

uitwerkt en de reële en imaginaire delen gelijkstelt — zie het uitgewerkte voorbeeld.

In de natuurkunde en techniek beschrijft

e^{i\varphi}

trillingen. Een harmonische trilling

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)

schrijf je als het reële deel van

A\,e^{i(\omega t+\varphi)}

; de constante

Ae^{i\varphi}

(de „complexe amplitude” of fasor) vangt de amplitude én de fase in één getal. Omdat het optellen van complexe getallen neerkomt op het optellen van trillingen, wordt het combineren van twee trillingen met dezelfde frequentie — lastig met losse sinussen en cosinussen — een eenvoudige complexe optelling. Zo rekent men in de wisselstroomleer standaard met complexe getallen.

Deze paragraaf sluit de cirkel: de imaginaire eenheid

i

, die begon als „een oplossing van

x^2=-1

”, blijkt via Euler de taal van draaiingen, golven en periodieke verschijnselen. Wat als een rekentruc voor wortels uit negatieve getallen ontstond, is uitgegroeid tot een gereedschap dat meetkunde, algebra en analyse verbindt — en dat in de natuurwetenschappen (domein F) onmisbaar is. Daarmee vormen de complexe getallen een van de rijkste onderwerpen van wiskunde D.

e^{i\pi} + 1 = 0

Identiteit van Euler

Bindt 0, 1, i, π en e samen; volgt uit e^{iφ} = cos φ + i sin φ bij φ = π.

\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2},\qquad \sin\varphi = \frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}

Goniometrie uit Euler

Cosinus en sinus als combinaties van e^{iφ} en e^{−iφ}.

x(t) = \operatorname{Re}\!\left(A\,e^{i(\omega t + \varphi)}\right)

Trilling als complexe fasor

Een harmonische trilling is het reële deel van een roterend complex getal; Ae^{iφ} is de fasor.

Uitgewerkt voorbeeld

De dubbele-hoekformules afleiden met De Moivre

Leid met de stelling van De Moivre (met $n=2$ ) de formules voor $\cos 2\varphi$ en $\sin 2\varphi$ af.

Schrijf De Moivre op voor n = 2
Het linkerlid is een kwadraat, het rechterlid volgt uit De Moivre.
$(\cos\varphi+i\sin\varphi)^2=\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi$
Werk het linkerlid uit
Gebruik $i^2=-1$ , zodat $i^2\sin^2\varphi=-\sin^2\varphi$ .
$(\cos\varphi+i\sin\varphi)^2=(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+i\,(2\sin\varphi\cos\varphi)$
Stel reële en imaginaire delen gelijk
Twee complexe getallen zijn gelijk als hun reële én imaginaire delen gelijk zijn.
$\cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi,\qquad \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi$

Resultaat: $\cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi$ en $\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi$ — de dubbele-hoekformules, in twee regels afgeleid uit De Moivre.

Veelgemaakte fouten

In $\sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}$ de deling door $2i$ (en niet door $2$ ) vergeten.
Bij het uitwerken van $(\cos\varphi+i\sin\varphi)^2$ de term $i^2\sin^2\varphi=-\sin^2\varphi$ als $+\sin^2\varphi$ nemen.
$e^{i\pi}$ gelijkstellen aan $+1$ in plaats van $-1$ (bij $\varphi=\pi$ is $\cos\pi=-1$ ).

Actieve herhaling

Gebruik De Moivre met $n=3$ om aan te tonen dat $\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$ . Werk $(\cos\varphi+i\sin\varphi)^3$ uit en gebruik $\sin^2\varphi=1-\cos^2\varphi$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Profielspecifieke verdieping complexe getallen

Kernpunten

De derde-machts eenheidswortels bepalen

Kernpunten

Complexe nulpunten van een kwadratische veelterm

Kernpunten

Draaien en schalen met een complex getal

Kernpunten

De dubbele-hoekformules afleiden met De Moivre

Bronnen