EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde C/Telproblemen
Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Telproblemen

Bij telproblemen bepaal je op hoeveel manieren iets kan gebeuren. Je leert tellen structureren met boomdiagrammen, wegenschema's en roosters, en berekenen met de vermenigvuldigingsregel en de somregel. Daarna komen de permutaties (rangschikkingen, met de faculteit n!) en de combinaties (ongeordend kiezen, met de binomiaalcoëfficiënt C(n,k)) aan bod — teltechnieken die je bij de kansrekening en de binomiale verdeling weer nodig hebt. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein B2).

4 Onderdelen·~16 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0222 / 17
Examenprofiel
B2 · Telproblemen structureren met boomdiagrammen, wegenschema's en roostersB2 · Het aantal mogelijkheden bepalen met de vermenigvuldigingsregel en de somregelB2 · Permutaties (n!) en combinaties C(n,k) berekenen, ook met de grafische rekenmachineB2 · De juiste telaanpak kiezen op grond van orde (geordend/ongeordend) en terugleggen
Operatoren:berekenbepaalleg uitberedeneertoon aan

basisniveau

Systematisch tellen, de vermenigvuldigings- en somregel en de faculteit horen tot de centraal-examenstof (subdomein B2) van wiskunde C.

verhoogd niveau

Verdieping: de combinatie C(n,k) en de symmetrie ervan vormen de opstap naar de binomiale verdeling in de statistiek (domein E).

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 4 onderdelen▾
  1. Telproblemen
    • 01Systematisch tellen: boomdiagram, wegenschema en rooster○
    • 02De vermenigvuldigingsregel en de somregel◐
    • 03Permutaties en de faculteit◐
    • 04Combinaties en de binomiaalcoëfficiënt●
§ 01

Systematisch tellen: boomdiagram, wegenschema en rooster#

●○○BasisLPexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

Kernpunten

Een telprobleem los je op door het keuzeproces overzichtelijk in kaart te brengen, zodat je geen enkele mogelijkheid dubbel telt of overslaat. Het meest sprekende hulpmiddel is het boomdiagram. In Afb. 1 zie je hoe je een outfit samenstelt uit 333 shirts (rood, groen, blauw) en 222 broeken (spijkerbroek, zwarte broek). Vanuit de start vertakt de keuze zich eerst in drie shirts, en bij elk shirt weer in twee broeken. Elke tak van links naar rechts is één volledige keuze, en je telt het aantal mogelijkheden door de eindpunten — de bladeren — te tellen: 3⋅2=63\cdot 2=63⋅2=6 outfits. Het boomdiagram maakt zichtbaar dat je opeenvolgende deelkeuzes met elkaar combineert.

Afb. 1 — Boomdiagram: 3 shirts × 2 broeken

3 shirts × 2 broeken = 6 outfitsBoomdiagram, 6 paden, Gegevens: rood → spijker; rood → zwart; groen → spijker; groen → zwart; blauw → spijker; blauw → zwartspijkerzwartspijkerzwartspijkerzwartroodgroenblauwoutfitrood+spijkerrood+zwartgroen+spijkergroen+zwartblauw+spijkerblauw+zwart
Afb. 1Afb. 1 — Elke tak is één deelkeuze; de zes bladeren zijn de 3×2=63\times 2=63×2=6 outfits. Het boomdiagram laat zien waarom je de aantallen met elkaar combineert.
Voor precies twee deelkeuzes is een rooster (een tabel) vaak nog overzichtelijker dan een boom. Zet de ene keuze langs de rijen en de andere langs de kolommen; elk vakje in de tabel is dan één combinatie. Gooi je met twee dobbelstenen, dan geeft een 6×66\times 66×6-rooster alle 363636 mogelijke uitkomsten, netjes geordend. Het rooster is bovendien handig als je een deelverzameling wilt tellen: het aantal worpen met een som van 777 zie je meteen als de cellen op één diagonaal. Een wegenschema, ten slotte, is een boom- of netwerkweergave waarin je langs pijlen van een startpunt naar een eindpunt loopt; het aantal routes is dan het aantal mogelijkheden.
Welke weergave je ook kiest, het onderliggende idee is telkens hetzelfde: je knipt een ingewikkelde keuze op in overzichtelijke deelkeuzes en telt systematisch. Begin bij het opstellen altijd met de deelkeuze die het meest is vastgelegd of het meest beperkt; van daaruit werk je verder. Zo voorkom je dat een beperking je halverwege verrast. Bij kleine aantallen kun je ook gewoon systematisch turven — alle mogelijkheden ordelijk opschrijven — maar zodra de aantallen groeien, wordt dat onwerkbaar en heb je de rekenregels uit de volgende paragraaf nodig.
Een belangrijk onderscheid dat door het hele hoofdstuk loopt, is dat tussen met en zonder terugleggen. Mag een keuze zich herhalen (met terugleggen), dan blijft het aantal mogelijkheden per stap gelijk. Mag dat niet (zonder terugleggen), dan daalt het aantal per stap met 111, omdat een gebruikte optie afvalt. Kies je bijvoorbeeld een pincode van 444 cijfers waarbij cijfers herhaald mogen worden, dan zijn er per positie telkens 101010 mogelijkheden; mogen de cijfers allemaal verschillend zijn, dan zijn het er 101010, dan 999, dan 888, dan 777. Dit verschil bepaalt straks of je met machten, permutaties of combinaties rekent.
Uitgewerkt voorbeeld

Outfits tellen met een boomdiagram

Iemand kiest een outfit uit 333 shirts en 222 broeken. (a) Hoeveel outfits zijn er? (b) Hoeveel als er ook nog 444 paar schoenen bijkomen?

  1. 01(a) Benoem de deelkeuzes

    Eerst een shirt (3 mogelijkheden), dan een broek (2 mogelijkheden).

  2. 02(a) Combineer de aantallen

    Elke shirtkeuze kan met elke broek, dus 3⋅23\cdot 23⋅2.

    3⋅2=63\cdot 2=63⋅2=6
  3. 03(b) Derde deelkeuze erbij

    Bij elke van de 6 outfits kies je ook nog een van de 4 paar schoenen.

    3⋅2⋅4=243\cdot 2\cdot 4=243⋅2⋅4=24

Resultaat: (a) 666 outfits; (b) 242424 outfits.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: een telprobleem structureren met een boomdiagram, wegenschema of rooster en het aantal mogelijkheden aflezen.
  • Examendoel: herkennen of een keuze met of zonder terugleggen gebeurt, en dat in de telling verwerken.

Veelgemaakte fouten

  • Bij het opstellen van een boomdiagram niet systematisch te werk gaan, waardoor je een mogelijkheid dubbel telt of overslaat.
  • Met terugleggen rekenen terwijl herhaling verboden is (of andersom), zodat het aantal per stap verkeerd wordt gekozen.

Actieve herhaling

Een menu bestaat uit een voorgerecht (soep of salade), een hoofdgerecht (vis, vlees of pasta) en een toetje (ijs of taart). Teken een boomdiagram en bepaal het aantal verschillende menu's.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

§ 02

De vermenigvuldigingsregel en de somregel#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

Kernpunten

De vermenigvuldigingsregel (ook productregel of « en-regel ») is de rekenregel achter het boomdiagram. Bestaat een keuze uit kkk opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes, met achtereenvolgens n1,n2,…,nkn_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}n1​,n2​,…,nk​ mogelijkheden, dan is het totale aantal mogelijkheden het product n1⋅n2⋅…⋅nkn_{1}\cdot n_{2}\cdot\ldots\cdot n_{k}n1​⋅n2​⋅…⋅nk​. Je vermenigvuldigt omdat elke mogelijkheid van de eerste deelkeuze zich vertakt in álle mogelijkheden van de volgende — precies zoals in het boomdiagram elke tak zich opnieuw splitst. « Onafhankelijk » betekent dat het áántal mogelijkheden bij een deelkeuze niet verandert door de voorgaande keuzes; het aantal mag wél dalen doordat iets al gebruikt is (zonder terugleggen), maar dan pas je gewoon het aantal per stap aan.
De somregel (de « of-regel ») hoort bij gevallen die elkaar uitsluiten. Valt een telprobleem uiteen in situaties die niet tegelijk kunnen optreden — bijvoorbeeld « de code begint met een letter » tegenover « de code begint met een cijfer » — dan bereken je elk geval apart en tel je de uitkomsten aan het eind op. De kern is het onderscheid tussen « en dan » (opeenvolgende deelkeuzes in één opbouwend proces: vermenigvuldigen) en « of » (het ene geval óf het andere, elkaar uitsluitend: optellen). Dit onderscheid tussen vermenigvuldigen en optellen voorkomt de meest gemaakte telfout, en je maakt het expliciet door jezelf telkens af te vragen: bouw ik één keuze op, of splits ik in aparte gevallen?
In de praktijk gebruik je de twee regels vaak samen, en let je op beperkingen. Bij codes en kentekens liggen soms bepaalde posities vast, of mag een teken niet worden herhaald. De aanpak is dan: begin bij de meest beperkte positie, bepaal per positie het aantal mogelijkheden, en vermenigvuldig. Een toegangscode van 333 cijfers waarbij herhaling is toegestaan geeft 10⋅10⋅10=103=100010\cdot 10\cdot 10=10^{3}=100010⋅10⋅10=103=1000 mogelijkheden. Mag geen cijfer worden herhaald, dan is het 10⋅9⋅8=72010\cdot 9\cdot 8=72010⋅9⋅8=720. Moet het eerste teken een letter (uit 262626) zijn en de rest cijfers, dan reken je 26⋅10⋅10=260026\cdot 10\cdot 10=260026⋅10⋅10=2600.
Wanneer je « minstens één » of een verboden geval moet tellen, is de complementaire telling vaak sneller. In plaats van de gunstige gevallen rechtstreeks te tellen, tel je het totaal en trek je de ongunstige gevallen ervan af. Het aantal codes van 333 letters (uit 262626) met minstens één herhaalde letter bereken je bijvoorbeeld als « alle codes » min « codes zonder herhaling »: 263−26⋅25⋅24=17 576−15 600=197626^{3}-26\cdot 25\cdot 24=17\,576-15\,600=1976263−26⋅25⋅24=17576−15600=1976. Deze truc — het geheel min het complement — bespaart veel splitsen in gevallen en komt ook bij de kansrekening terug.
aantal=n1⋅n2⋅…⋅nk\text{aantal}=n_{1}\cdot n_{2}\cdot\ldots\cdot n_{k}aantal=n1​⋅n2​⋅…⋅nk​

Vermenigvuldigingsregel

Bij k opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes is het totale aantal het product van de aantallen per keuze.

aantal=A+B(A en B sluiten elkaar uit)\text{aantal}=A+B \quad (\text{A en B sluiten elkaar uit})aantal=A+B(A en B sluiten elkaar uit)

Somregel

Bij elkaar uitsluitende gevallen tel je de aantallen op.

Uitgewerkt voorbeeld

Codes tellen met de vermenigvuldigings- en somregel

Een code bestaat uit 444 tekens. (a) Hoeveel codes zijn er als elk teken een cijfer 0–9 mag zijn (herhaling toegestaan)? (b) Hoeveel als alle vier de cijfers verschillend moeten zijn? (c) Hoeveel codes uit (a) beginnen met een even cijfer óf eindigen op een 000? (neem aan dat een code beide mag)

  1. 01(a) Vier posities, met terugleggen

    Elk teken heeft 10 mogelijkheden, herhaling mag.

    10⋅10⋅10⋅10=104=10 00010\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^{4}=10\,00010⋅10⋅10⋅10=104=10000
  2. 02(b) Zonder herhaling

    Per positie daalt het aantal met 1.

    10⋅9⋅8⋅7=504010\cdot 9\cdot 8\cdot 7=504010⋅9⋅8⋅7=5040
  3. 03(c) Somregel met correctie voor dubbeltelling

    Begint met even cijfer: 5⋅103=50005\cdot 10^{3}=50005⋅103=5000. Eindigt op 0: 103⋅1=100010^{3}\cdot 1=1000103⋅1=1000. Beide (even begin én eind 0): 5⋅102⋅1=5005\cdot 10^{2}\cdot 1=5005⋅102⋅1=500. Trek de dubbeltelling af.

    5000+1000−500=55005000+1000-500=55005000+1000−500=5500

Resultaat: (a) 10 00010\,00010000; (b) 504050405040; (c) 550055005500 codes (met de somregel, gecorrigeerd voor de codes die aan beide voorwaarden voldoen).

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de vermenigvuldigingsregel toepassen bij opeenvolgende deelkeuzes en de somregel bij elkaar uitsluitende gevallen.
  • Examendoel: omgaan met beperkingen (vaste posities, geen herhaling) en « minstens »-tellingen via het complement.

Veelgemaakte fouten

  • Aantallen optellen bij opeenvolgende deelkeuzes (« en dan » is vermenigvuldigen; alleen elkaar uitsluitende gevallen tel je op).
  • Bij een « of »-telling de dubbel getelde gevallen (die aan beide voorwaarden voldoen) niet aftrekken.

Actieve herhaling

Een kenteken bestaat uit 222 letters (uit 262626) gevolgd door 333 cijfers (0–9), met herhaling toegestaan. Hoeveel kentekens zijn er? En hoeveel als het eerste cijfer geen 000 mag zijn?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

§ 03

Permutaties en de faculteit#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

Kernpunten

Een permutatie is een rangschikking van objecten in een bepaalde volgorde. Het aantal manieren om nnn verschillende objecten op een rij te zetten, is de faculteit n!n!n!, uitgesproken als « n-faculteit ». Afb. 2 toont n!n!n! voor n=0n=0n=0 tot en met 666: de waarden 1,1,2,6,24,1201, 1, 2, 6, 24, 1201,1,2,6,24,120 en 720720720. De staven schieten razendsnel omhoog — de faculteit groeit sneller dan elke machtsfunctie. Dat verklaart waarom er al bij bescheiden aantallen enorm veel volgordes mogelijk zijn: 101010 boeken kun je op 10!=3 628 80010!=3\,628\,80010!=3628800 manieren op een plank zetten.

Afb. 2 — De faculteit n! groeit explosief

Explosieve groei van de faculteit n!Kolomdiagram: n! naar n, Gegevens: n! · 0: 1; n! · 1: 1; n! · 2: 2; n! · 3: 6; n! · 4: 24; n! · 5: 120; n! · 6: 72001002003004005006007000123456112624120720n!n
Afb. 2Afb. 2 — n!n!n! voor n=0n=0n=0 t/m 666: 1,1,2,6,24,120,7201, 1, 2, 6, 24, 120, 7201,1,2,6,24,120,720. De faculteit telt de rangschikkingen (permutaties) van nnn objecten en groeit sneller dan elke machtsfunctie.
De faculteit van een geheel getal n≥1n\ge 1n≥1 is het product van alle gehele getallen van 111 tot en met nnn: n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅2⋅1n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅2⋅1. Zo is 4!=4⋅3⋅2⋅1=244!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=244!=4⋅3⋅2⋅1=24. Per afspraak geldt 0!=10!=10!=1: er is precies één manier om niets te rangschikken (de lege rij), en die afspraak zorgt bovendien dat de combinatieformule verderop blijft kloppen. Op de grafische rekenmachine vind je de faculteit onder MATH → PRB → ! (typ eerst het getal, dan de toets).
Waarom is het aantal rangschikkingen precies n!n!n!? Redeneer met de vermenigvuldigingsregel: voor de eerste plaats heb je nnn keuzes, voor de tweede nog n−1n-1n−1 (er is er al één gebruikt, dus zonder terugleggen), daarna n−2n-2n−2, enzovoort, tot de laatste plaats met 111 keuze. Het product n⋅(n−1)⋅…⋅1n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1n⋅(n−1)⋅…⋅1 is per definitie n!n!n!. Zo rangschik je 555 verschillende boeken op 5!=1205!=1205!=120 manieren. Kies je uit nnn objecten er kkk in een bepaalde volgorde (geordend, zonder terugleggen), dan zijn dat kkk dalende factoren vanaf nnn, dus n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=n!(n−k)!n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=(n−k)!n!​.
Als niet alle objecten verschillend zijn, telt n!n!n! te veel: het verwisselen van twee identieke objecten levert dezelfde rij op. Bij zo'n permutatie met herhaling deel je n!n!n! door de faculteiten van de groepen gelijke objecten. Voor de letters van het woord KANO (vier verschillende letters) zijn er gewoon 4!=244!=244!=24 rangschikkingen, maar voor het woord ABBA — met twee A's en twee B's — zijn het er 4!2! 2!=244=6\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{24}{4}=62!2!4!​=424​=6. Je deelt omdat de twee A's onderling op 2!2!2! manieren te verwisselen zijn zonder dat het woord verandert, en de twee B's ook.
n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅2⋅1n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅2⋅1

Faculteit

Het aantal permutaties van n verschillende objecten; per afspraak 0!=1.

n!(n−k)!=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)(n−k)!n!​=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)

Geordend kiezen (variatie)

Het aantal manieren om k uit n objecten in volgorde te kiezen, zonder terugleggen: k dalende factoren vanaf n.

Uitgewerkt voorbeeld

Rangschikken, ook met herhaalde letters

(a) Op hoeveel manieren kun je 666 verschillende boeken op een plank zetten? (b) Op hoeveel manieren kun je de eerste 333 prijzen (goud, zilver, brons) verdelen onder 888 deelnemers? (c) Hoeveel verschillende letterrijen maak je met alle letters van het woord BANAAN?

  1. 01(a) Permutatie van 6

    Alle 6 boeken in een volgorde: 6!6!6!.

    6!=7206!=7206!=720
  2. 02(b) Geordend 3 uit 8

    Drie dalende factoren vanaf 8 (of 8!5!\frac{8!}{5!}5!8!​).

    8!(8−3)!=8⋅7⋅6=336\frac{8!}{(8-3)!}=8\cdot 7\cdot 6=336(8−3)!8!​=8⋅7⋅6=336
  3. 03(c) Permutatie met herhaling

    BANAAN heeft 6 letters: 1×B, 3×A, 2×N. Deel 6!6!6! door 3!3!3! en 2!2!2!.

    6!3! 2!=7206⋅2=72012=60\frac{6!}{3!\,2!}=\frac{720}{6\cdot 2}=\frac{720}{12}=603!2!6!​=6⋅2720​=12720​=60

Resultaat: (a) 720720720; (b) 336336336; (c) 606060 verschillende letterrijen.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: permutaties berekenen met n!n!n! (ook met de GR-toets !) en herkennen dat een permutatie objecten in volgorde zet.
  • Examendoel: bij identieke objecten een permutatie met herhaling berekenen door n!n!n! te delen door de faculteiten van de gelijke groepen.

Veelgemaakte fouten

  • Denken dat 0!=00!=00!=0; per afspraak is 0!=10!=10!=1.
  • Bij een woord met herhaalde letters niet delen door de faculteiten van die letters, waardoor je elke rij meerdere keren telt.

Actieve herhaling

Op hoeveel manieren kun je 555 verschillende cd's in een rek zetten? En op hoeveel manieren kun je alle letters van het woord MISSISSIPPI (4×4\times4× S, 4×4\times4× I, 2×2\times2× P, 1×1\times1× M) herschikken?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

§ 04

Combinaties en de binomiaalcoëfficiënt#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

Kernpunten

Een combinatie is het aantal manieren om kkk objecten te kiezen uit nnn verschillende objecten, ongeordend (de volgorde telt niet) en zonder terugleggen. Dit aantal is de binomiaalcoëfficiënt (nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​, uitgesproken als « n boven k ». Twee vragen bepalen samen of je met een combinatie te maken hebt: telt de volgorde? en mag je herhalen? Het beslisschema in Afb. 3 vat dat samen: geordend zonder terugleggen geeft n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}(n−k)!n!​, ongeordend zonder terugleggen geeft de combinatie (nk)\binom{n}{k}(kn​), en geordend mét terugleggen geeft nkn^{k}nk. Bij een combinatie sta je dus in het vak « ongeordend, zonder terugleggen ». Op de GR vind je hem onder MATH → PRB → nCr (bijvoorbeeld 10 nCr 3).

Afb. 3 — Beslisschema: orde × terugleggen

k uit nzonder terugleggenmet terugleggengeordendvolgorde teltongeordendvolgorde telt nietGeordendn! / (n−k)!Rij met herhalingn^kCombinatieC(n, k)(zelden bij wiskunde C)
Afb. 3Afb. 3 — Twee vragen — telt de volgorde? en mag je herhalen? — leiden naar de telmethode. De combinatie (nk)\binom{n}{k}(kn​) hoort bij « ongeordend, zonder terugleggen » (gemarkeerd).
Het verband met het geordend tellen maakt de formule begrijpelijk. Tel je eerst geordend (dat zijn n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}(n−k)!n!​ manieren), dan heb je elke groep van kkk gekozen objecten k!k!k! keer geteld, want die kkk objecten kun je op k!k!k! volgordes zetten. Omdat de volgorde bij een combinatie niet meetelt, deel je door k!k!k!: (nk)=1k!⋅n!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!}(kn​)=k!1​⋅(n−k)!n!​. Voor een commissie van 333 uit 101010 leerlingen geeft dat (103)=10⋅9⋅83⋅2⋅1=7206=120\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{720}{6}=120(310​)=3⋅2⋅110⋅9⋅8​=6720​=120.
Twee eigenschappen besparen rekenwerk. De symmetrie (nk)=(nn−k)\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}(kn​)=(n−kn​) zegt dat kkk objecten kiezen om mee te doen hetzelfde is als n−kn-kn−k objecten kiezen om weg te laten; daarom is (2018)=(202)=190\binom{20}{18}=\binom{20}{2}=190(1820​)=(220​)=190 snel te bepalen. En de binomiaalcoëfficiënten vormen samen de driehoek van Pascal: elke rij ontstaat uit de rij erboven door buren op te tellen. Afb. 4 toont rij 555: (50)\binom{5}{0}(05​) t/m (55)\binom{5}{5}(55​), oftewel 1,5,10,10,5,11, 5, 10, 10, 5, 11,5,10,10,5,1. De rij is symmetrisch, en de waarden tellen op tot 25=322^{5}=3225=32 — het totale aantal deelverzamelingen van 555 objecten.

Afb. 4 — Binomiaalcoëfficiënten C(5,k): rij 5 van Pascal

Binomiaalcoëfficiënten C(5,k), rij 5 van de driehoek van PascalKolomdiagram: aantal C(5,k) naar k, Gegevens: C(5,k) · 0: 1; C(5,k) · 1: 5; C(5,k) · 2: 10; C(5,k) · 3: 10; C(5,k) · 4: 5; C(5,k) · 5: 1024681001234515101051aantal C(5,k)k
Afb. 4Afb. 4 — (5k)\binom{5}{k}(k5​) voor k=0k=0k=0 t/m 555: 1,5,10,10,5,11, 5, 10, 10, 5, 11,5,10,10,5,1. De rij is symmetrisch ((5k)=(55−k)\binom{5}{k}=\binom{5}{5-k}(k5​)=(5−k5​)) en telt op tot 25=322^{5}=3225=32.
Combinaties zijn het rekenhart van veel kansproblemen. Trek je in één greep meerdere voorwerpen (ongeordend, zonder terugleggen), dan bereken je een kans met de regel van Laplace als aantal gunstige uitkomstenaantal mogelijke uitkomsten\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}aantal mogelijke uitkomstenaantal gunstige uitkomsten​, waarbij teller en noemer allebei combinaties zijn. Bovendien duikt (nk)\binom{n}{k}(kn​) op als coëfficiënt in de binomiale kansverdeling P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k, die je bij de kansverdelingen (domein E) tegenkomt. Wie het onderscheid geordend/ongeordend goed beheerst, maakt daar geen fouten meer.
(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​

Binomiaalcoëfficiënt (combinatie)

Het aantal manieren om k uit n objecten te kiezen als de volgorde niet telt en zonder terugleggen.

(nk)=(nn−k)\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}(kn​)=(n−kn​)

Symmetrie

k kiezen om mee te doen is hetzelfde als n−k kiezen om weg te laten.

(nk)=1k!⋅n!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!}(kn​)=k!1​⋅(n−k)!n!​

Verband met geordend tellen

Deel de geordende telling door k!, omdat elke keuze op k! volgordes is geteld.

Uitgewerkt voorbeeld

Een commissie kiezen en een kans berekenen

(a) Uit een groep van 101010 leerlingen wordt een commissie van 333 gekozen. Op hoeveel manieren kan dat? (b) In een vaas zitten 777 rode en 333 blauwe knikkers. Je pakt in één greep 333 knikkers. Bereken de kans op precies 222 rode en 111 blauwe.

  1. 01(a) Ongeordend kiezen

    Een commissie is een groep: de volgorde telt niet, niemand zit er twee keer in. Dus een combinatie.

    (103)=10⋅9⋅83⋅2⋅1=120\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120(310​)=3⋅2⋅110⋅9⋅8​=120
  2. 02(b) Aantal mogelijke uitkomsten (noemer)

    Het aantal manieren om 3 uit 10 knikkers te kiezen.

    (103)=120\binom{10}{3}=120(310​)=120
  3. 03(b) Aantal gunstige uitkomsten (teller)

    Kies 2 rode uit 7 én 1 blauwe uit 3, en vermenigvuldig.

    (72)⋅(31)=21⋅3=63\binom{7}{2}\cdot\binom{3}{1}=21\cdot 3=63(27​)⋅(13​)=21⋅3=63
  4. 04(b) Kans = gunstig / mogelijk

    Deel de teller door de noemer en vereenvoudig.

    P=63120=2140=0,525P=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}=0{,}525P=12063​=4021​=0,525

Resultaat: (a) (103)=120\binom{10}{3}=120(310​)=120 commissies; (b) de kans op precies 2 rode en 1 blauwe is 63120=0,525\frac{63}{120}=0{,}52512063​=0,525 (ongeveer 52,5%52{,}5\%52,5%).

Eindexamen-focus

  • Examendoel: combinaties berekenen met de binomiaalcoëfficiënt (nk)\binom{n}{k}(kn​) (GR: nCr) bij ongeordend kiezen zonder terugleggen.
  • Examendoel: het onderscheid geordend/ongeordend maken en combinaties gebruiken in een kansberekening (gunstig/mogelijk).

Veelgemaakte fouten

  • Bij een combinatie toch op de volgorde letten; dan tel je elke groep k!k!k! keer te veel (je berekent een geordende telling in plaats van een combinatie).
  • Bij een kans met gelijktijdig trekken de noemer met een geordende telling nemen; teller én noemer zijn dan combinaties.

Actieve herhaling

Bij een loterij kies je 666 verschillende getallen uit 454545; de volgorde telt niet. Op hoeveel manieren kan dat? Wat is de kans op de hoofdprijs met één ingevuld formulier?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Inhoud

Sectie -- / 04

    • 01Systematisch tellen: boomdiagram, wegenschema en rooster○
    • 02De vermenigvuldigingsregel en de somregel◐
    • 03Permutaties en de faculteit◐
    • 04Combinaties en de binomiaalcoëfficiënt●

0/4 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Telproblemen

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~16
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

  • Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen

Vorig onderwerp

Rekenen en algebra

Volgend onderwerp

Verbanden en formules

EuraStudy·Samenvattingen T·02·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.