EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde C/Statistiek met ICT
Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Statistiek met ICT

Bij dit onderwerp zet je de grafische rekenmachine (en spreadsheet) doelmatig in voor de statistiek. Je bepaalt kengetallen en tekent histogrammen en boxplots met 1-Var Stats, berekent binomiale en normale kansen met binompdf/binomcdf en normalcdf/invNorm, onderzoekt de samenhang tussen twee variabelen met een spreidingsdiagram, regressielijn en correlatiecoëfficiënt, en maakt kennis met de steekproefverdeling en het 95%-betrouwbaarheidsinterval. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein E6); de precieze afbakening van CE/SE staat in de vigerende syllabus.

4 Onderdelen·~15 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·161616 / 17
Examenprofiel
E6 · De grafische rekenmachine gebruiken voor kengetallen en grafieken (1-Var Stats, histogram, boxplot)E6 · Binomiale en normale kansen berekenen met de GR in contextopgavenE6 · Samenhang onderzoeken met een spreidingsdiagram, regressielijn en correlatiecoëfficiënt rE6 · De steekproefverdeling en een 95%-betrouwbaarheidsinterval bepalen en interpreteren
Operatoren:berekenbepaalinterpreteervoorspelbeoordeel

basisniveau

Het doelmatig inzetten van ICT in de statistiek (subdomein E6) bundelt de eerdere statistiek en kansrekening tot praktische, met de GR uitgevoerde analyses.

verhoogd niveau

Verdieping: regressie, correlatie en het betrouwbaarheidsinterval vragen naast rekenen ook een zorgvuldige, kritische interpretatie.

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 4 onderdelen▾
  1. Statistiek met ICT
    • 01Data, kengetallen en grafieken met de GR○
    • 02Kansverdelingen met de GR in context◐
    • 03Samenhang: spreidingsdiagram, regressie en correlatie◐
    • 04Steekproefverdeling en betrouwbaarheidsinterval●
§ 01

Data, kengetallen en grafieken met de GR#

●○○BasisLPexamenblad-wiskunde-c-domein-E6

Kernpunten

De grafische rekenmachine neemt je het rekenwerk aan grote datasets uit handen. Je voert de data in als een lijst (bijvoorbeeld L1L_{1}L1​), en met de functie 1-Var Stats krijg je in één keer de belangrijkste kengetallen: het gemiddelde xˉ\bar{x}xˉ, de standaardafwijking σx\sigma xσx, het aantal nnn, en de vijf-getallensamenvatting (min⁡\minmin, Q1Q_{1}Q1​, Med\text{Med}Med, Q3Q_{3}Q3​, max⁡\maxmax). Werk je met een frequentietabel, dan zet je de waarden in L1L_{1}L1​ en de frequenties in L2L_{2}L2​, en gebruik je L2L_{2}L2​ als frequentielijst (FreqList). Zo bespaar je niet alleen tijd, maar verklein je ook de kans op rekenfouten.
Naast kengetallen tekent de GR grafieken van je data. Via de STAT PLOT-functie kies je het type: een histogram voor gegroepeerde getalsdata (Afb. 1) of een boxplot voor de vijf-getallensamenvatting. Bij een histogram stel je de vensterinstellingen zorgvuldig in — de klassenbreedte (Xscl) bepaalt hoe de staven worden gegroepeerd, en een verkeerde keuze kan het beeld sterk veranderen. De GR-grafiek is een snelle manier om de vorm van een verdeling (symmetrisch, scheef, uitschieters) te bekijken voordat je conclusies trekt.

Afb. 1 — Histogram zoals de GR het tekent

Dagelijkse verkoop (n = 28)Histogram: aantal dagen naar verkochte producten per dag, Gegevens: [0, 10): 2; [10, 20): 6; [20, 30): 10; [30, 40): 7; [40, 50): 3024681001020304050261073aantal dagenverkochte producten per dag
Afb. 1Afb. 1 — Een histogram van 282828 dagomzetten, in klassen van 101010 producten. De GR tekent dit via STAT PLOT; de modale klasse is [20,30)[20,30)[20,30).
De kracht van de GR is dat je vlot kunt schakelen tussen de getallen en het beeld. Je kunt bijvoorbeeld eerst een histogram bekijken om de vorm te beoordelen, dan een boxplot tekenen om de spreiding te zien, en met 1-Var Stats de precieze kengetallen aflezen — allemaal uit dezelfde ingevoerde data. Deze combinatie van visualisatie en berekening is precies wat « statistiek met ICT » beoogt: de rekenmachine doet het rekenwerk, jij richt je op het kiezen van de juiste analyse en het interpreteren van de uitkomst.
Bij het gebruik van de GR blijf je zelf verantwoordelijk voor de interpretatie en voor het correct afronden. De rekenmachine geeft vaak veel decimalen; je rondt af op een in de context zinvol aantal, en je vermeldt de eenheid. Belangrijk is ook dat je begrijpt wát een kengetal betekent — een gemiddelde van xˉ=36,9\bar{x}=36{,}9xˉ=36,9 zegt weinig als er een uitschieter in de data zit, ook al levert de GR dat getal keurig op. De GR is een gereedschap, geen vervanging voor statistisch inzicht: de keuze van de analyse en de beoordeling van de uitkomst blijven mensenwerk.
1-Var Stats→xˉ, σx, n, min⁡, Q1, Med, Q3, max⁡\text{1-Var Stats} \to \bar{x},\ \sigma x,\ n,\ \min,\ Q_{1},\ \text{Med},\ Q_{3},\ \max1-Var Stats→xˉ, σx, n, min, Q1​, Med, Q3​, max

Kengetallen met de GR

De GR-functie 1-Var Stats levert het gemiddelde, de standaardafwijking en de vijf-getallensamenvatting in één keer.

Uitgewerkt voorbeeld

Kengetallen bepalen met de GR

De GR levert voor een dataset via 1-Var Stats: xˉ=24,3\bar{x}=24{,}3xˉ=24,3, σx=9,1\sigma x=9{,}1σx=9,1, n=28n=28n=28, min⁡=3\min=3min=3, Q1=17Q_{1}=17Q1​=17, Med=24\text{Med}=24Med=24, Q3=31Q_{3}=31Q3​=31, max⁡=48\max=48max=48. (a) Wat is de kwartielafstand? (b) Wat is het bereik? (c) Ligt de mediaan boven of onder het gemiddelde, en wat zegt dat?

  1. 01(a) Kwartielafstand

    IQR=Q3−Q1=31−17=14\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}=31-17=14IQR=Q3​−Q1​=31−17=14.

  2. 02(b) Bereik

    max⁡−min⁡=48−3=45\max-\min=48-3=45max−min=48−3=45.

  3. 03(c) Mediaan vs gemiddelde

    De mediaan (242424) ligt vrijwel gelijk aan het gemiddelde (24,324{,}324,3); dat wijst op een redelijk symmetrische verdeling zonder sterke scheefheid.

Resultaat: (a) IQR =14=14=14; (b) bereik =45=45=45; (c) mediaan en gemiddelde liggen dicht bijeen: de verdeling is vrijwel symmetrisch.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: met 1-Var Stats de kengetallen bepalen en met STAT PLOT een histogram of boxplot tekenen.
  • Examendoel: GR-uitvoer correct afronden en interpreteren in de context.

Veelgemaakte fouten

  • Bij een frequentietabel de frequenties niet als FreqList meegeven, waardoor elke waarde maar één keer meetelt.
  • De vensterinstellingen (klassenbreedte) van het histogram niet controleren, waardoor het beeld vertekend raakt.

Actieve herhaling

Voer de dataset 12,15,15,18,20,22,25,25,28,4012, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 25, 28, 4012,15,15,18,20,22,25,25,28,40 in de GR in en bepaal met 1-Var Stats het gemiddelde, de standaardafwijking en de vijf-getallensamenvatting. Bepaal de kwartielafstand en beoordeel de invloed van de 404040.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

§ 02

Kansverdelingen met de GR in context#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-E6

Kernpunten

In contextopgaven reken je binomiale en normale kansen bijna altijd met de grafische rekenmachine, en is de kunst vooral het vertalen van de context naar de juiste functie. Bij een binomiale situatie (vast aantal pogingen, gelijke succeskans, onafhankelijk) gebruik je `binompdf(n, p, k)` voor de kans op precies kkk successen, en `binomcdf(n, p, k)` voor de kans op hoogstens kkk. Afb. 2 toont zo'n binomiale verdeling (n=10n=10n=10, p=0,3p=0{,}3p=0,3) waarvan je de kansen met de GR bepaalt in plaats van met de hand. De uitdaging is telkens: welke nnn, welke ppp, en welke kkk-grens hoort bij « minstens », « hoogstens » of « precies »?

Afb. 2 — Binomiale verdeling (n = 10, p = 0,3) op de GR

Binomiaal n=10, p=0,3Kolomdiagram: P(X=k) naar aantal successen k, Gegevens: P(X=k) · 0: 0.028; P(X=k) · 1: 0.121; P(X=k) · 2: 0.234; P(X=k) · 3: 0.267; P(X=k) · 4: 0.2; P(X=k) · 5: 0.103; P(X=k) · 6: 0.037; P(X=k) · 7: 0.009; P(X=k) · 8: 0.00100.050.10.150.20.250123456780.0280.1210.2340.2670.20.1030.0370.0090.001P(X = k)aantal successen k
Afb. 2Afb. 2 — Binomiale verdeling met n=10n=10n=10, p=0,3p=0{,}3p=0,3: de top ligt bij E(X)=np=3E(X)=np=3E(X)=np=3, met een staart naar rechts. De kansen bereken je met binompdf/binomcdf.
Voor « minstens » en « tussen » vertaal je met complement en aftrekken. « Minstens kkk » is P(X≥k)=1−binomcdf(n,p,k−1)P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)P(X≥k)=1−binomcdf(n,p,k−1); « tussen aaa en bbb (inclusief) » is binomcdf(n,p,b)−binomcdf(n,p,a−1)\text{binomcdf}(n,p,b)-\text{binomcdf}(n,p,a-1)binomcdf(n,p,b)−binomcdf(n,p,a−1). Deze omzettingen zorgvuldig maken — vooral het letten op de grens k−1k-1k−1 — is precies waar op het examen punten aan hangen. De GR geeft de kans, maar jij bepaalt welke berekening bij de vraag past.
Bij een normale verdeling gebruik je `normalcdf(ondergrens, bovengrens, μ, σ)` voor de kans dat de grootheid tussen twee waarden ligt, en voor een eenzijdige kans vul je de ontbrekende grens met 109910^{99}1099 of −1099-10^{99}−1099. Zo bereken je bijvoorbeeld welk deel van de productie een gewicht boven een grenswaarde heeft, of welk percentage klanten korter dan een bepaalde tijd wacht. Voor het omgekeerde probleem — een grenswaarde bij een gegeven kans — gebruik je `invNorm(oppervlakte-links, μ, σ)`, bijvoorbeeld om de garantiegrens te bepalen waaronder maar 5%5\%5% van de producten valt.
De ICT-aanpak verlegt het accent van rekenen naar modelleren en interpreteren. Je bepaalt eerst of de situatie binomiaal (tellen van successen) of normaal (een continue grootheid) is, kiest de bijbehorende GR-functie, voert de parameters in, en interpreteert de uitkomst in de context — met de juiste afronding en eenheid. Deze denkstappen zijn belangrijker dan het rekenwerk zelf, dat de GR overneemt. Op het examen wordt daarom vaak gevraagd de keuze van model en functie te verantwoorden, niet alleen het getal te geven.
binompdf(n,p,k)=P(X=k),binomcdf(n,p,k)=P(X≤k)\text{binompdf}(n,p,k)=P(X=k), \qquad \text{binomcdf}(n,p,k)=P(X\le k)binompdf(n,p,k)=P(X=k),binomcdf(n,p,k)=P(X≤k)

Binomiale kansen (GR)

pdf voor precies k, cdf voor hoogstens k successen.

P(a<X<b)=normalcdf(a,b,μ,σ),x=invNorm(p,μ,σ)P(a<X<b)=\text{normalcdf}(a,b,\mu,\sigma), \qquad x=\text{invNorm}(p,\mu,\sigma)P(a<X<b)=normalcdf(a,b,μ,σ),x=invNorm(p,μ,σ)

Normale kansen (GR)

normalcdf voor een kans, invNorm voor een grenswaarde bij gegeven kans.

Uitgewerkt voorbeeld

Kansen berekenen met de GR

Een webshop weet dat 30%30\%30% van de bezoekers iets koopt. Op een dag komen 101010 bezoekers (onafhankelijk). (a) Bereken de kans dat precies 333 iets kopen. (b) Bereken de kans dat minstens 555 iets kopen. (c) De bestelbedragen zijn normaal verdeeld met μ=40\mu=40μ=40 en σ=12\sigma=12σ=12 euro; welk percentage bestelt voor meer dan €55?

  1. 01(a) binompdf

    P(X=3)=binompdf(10,0.3,3)≈0,2668P(X=3)=\text{binompdf}(10, 0.3, 3)\approx 0{,}2668P(X=3)=binompdf(10,0.3,3)≈0,2668.

  2. 02(b) minstens 5 via complement

    P(X≥5)=1−binomcdf(10,0.3,4)≈1−0,8497=0,1503P(X\ge 5)=1-\text{binomcdf}(10, 0.3, 4)\approx 1-0{,}8497=0{,}1503P(X≥5)=1−binomcdf(10,0.3,4)≈1−0,8497=0,1503.

    P(X≥5)=1−binomcdf(10,0,3,4)≈0,150P(X\ge 5)=1-\text{binomcdf}(10,0{,}3,4)\approx 0{,}150P(X≥5)=1−binomcdf(10,0,3,4)≈0,150
  3. 03(c) normalcdf eenzijdig

    P(X>55)=normalcdf(55,1099,40,12)≈0,106P(X>55)=\text{normalcdf}(55, 10^{99}, 40, 12)\approx 0{,}106P(X>55)=normalcdf(55,1099,40,12)≈0,106, oftewel ongeveer 10,6%10{,}6\%10,6%.

    P(X>55)=normalcdf(55,1099,40,12)≈0,106P(X>55)=\text{normalcdf}(55,10^{99},40,12)\approx 0{,}106P(X>55)=normalcdf(55,1099,40,12)≈0,106

Resultaat: (a) ≈0,267\approx 0{,}267≈0,267; (b) ≈0,150\approx 0{,}150≈0,150; (c) ongeveer 10,6%10{,}6\%10,6% bestelt voor meer dan €55.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: een context vertalen naar een binomiaal of normaal model en de juiste GR-functie (binompdf/cdf, normalcdf, invNorm) kiezen.
  • Examendoel: « minstens/hoogstens/tussen »-kansen correct omzetten naar GR-invoer.

Veelgemaakte fouten

  • Een binomiaal model gebruiken bij een continue grootheid (of andersom); tel je successen (binomiaal) of meet je een continue waarde (normaal)?
  • Bij een eenzijdige normale kans de grote grens (±1099\pm 10^{99}±1099) vergeten.

Actieve herhaling

Van een groente is 85%85\%85% van de kroppen klasse I. In een kist van 202020 (onafhankelijk) — bereken de kans op precies 181818 klasse I en op minstens 181818. De gewichten zijn normaal verdeeld met μ=500\mu=500μ=500 en σ=25\sigma=25σ=25 g; welk percentage weegt minder dan 460460460 g?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

§ 03

Samenhang: spreidingsdiagram, regressie en correlatie#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-E6

Kernpunten

Om de samenhang tussen twee kwantitatieve variabelen te onderzoeken, teken je eerst een spreidingsdiagram (scatterplot): elk paar meetwaarden (x,y)(x,y)(x,y) wordt een punt. Afb. 3 toont het aantal studeeruren tegen het behaalde cijfer voor acht leerlingen. Uit de wolk van punten lees je af of er een verband is en welke vorm het heeft: lopen de punten grofweg langs een stijgende lijn (positief verband), langs een dalende lijn (negatief verband), of is er geen patroon? Ook zie je meteen uitschieters — punten die duidelijk buiten de wolk vallen.

Afb. 3 — Spreidingsdiagram met regressielijn

Studeeruren en cijfer (n = 8)Spreidingsdiagram: cijfer naar studeeruren per week, Gegevens: (1, 4.5); (2, 5); (3, 5.8); (4, 6.2); (5, 6); (6, 7.1); (7, 7.5); (8, 8.2)4.555.566.577.5812345678cijferstudeeruren per week
Afb. 3Afb. 3 — Studeeruren en cijfer van 888 leerlingen. De punten lopen stijgend; de regressielijn (kleinste kwadraten) vat de positieve samenhang samen. De correlatie is hoog en positief.
Is het verband ongeveer lineair, dan bepaal je met de GR de regressielijn (de « best passende » rechte lijn), berekend volgens de methode van de kleinste kwadraten. De GR geeft de vergelijking y=ax+by=ax+by=ax+b (soms genoteerd als y^=ax+b\hat{y}=a x+by^​=ax+b). Deze trendlijn gebruik je om te voorspellen: vul een xxx-waarde in om de bijbehorende yyy te schatten. In Afb. 3 is de regressielijn ingetekend; ze vat de stijgende samenhang tussen studeeruren en cijfer samen in één lijn. Voorspel je binnen het bereik van de data (interpolatie), dan is dat betrouwbaarder dan ver buiten het bereik (extrapolatie), waar de trend niet hoeft door te lopen.
De correlatiecoëfficiënt rrr drukt de sterkte en richting van een lineair verband uit in één getal tussen −1-1−1 en 111. Een rrr dicht bij 111 betekent een sterk positief lineair verband (de punten liggen bijna op een stijgende lijn), dicht bij −1-1−1 een sterk negatief verband, en dicht bij 000 nauwelijks lineair verband. De GR berekent rrr samen met de regressielijn. Let op: rrr meet alleen líneaire samenhang — een sterk gebogen verband kan een rrr dicht bij 000 hebben terwijl er wel degelijk een (niet-lineair) verband is. Het spreidingsdiagram blijft daarom onmisbaar naast het getal rrr.
Bij het interpreteren van correlatie en regressie past kritische voorzichtigheid, want hier ligt een beruchte valkuil. Een hoge correlatie betekent samenhang, geen oorzaak: dat twee grootheden samen bewegen, bewijst niet dat de ene de andere veroorzaakt. Een verband kan berusten op toeval of op een gemeenschappelijke, verborgen oorzaak (een confounder). Het klassieke voorbeeld is de sterke correlatie tussen ijsverkoop en verdrinkingen — beide worden veroorzaakt door warm weer, niet door elkaar. Correlatie is dus nooit een bewijs van causaliteit; die conclusie mag je alleen trekken met aanvullend onderzoek.
y^=ax+b(regressielijn, kleinste kwadraten)\hat{y}=ax+b \quad (\text{regressielijn, kleinste kwadraten})y^​=ax+b(regressielijn, kleinste kwadraten)

Regressielijn

De best passende rechte lijn; gebruik hem om binnen het databereik te voorspellen.

−1≤r≤1-1\le r\le 1−1≤r≤1

Correlatiecoëfficiënt

Sterkte en richting van het lineaire verband: dicht bij ±1 sterk, dicht bij 0 zwak lineair verband.

Uitgewerkt voorbeeld

Regressie gebruiken om te voorspellen

De GR levert voor de studeeruren-cijferdata de regressielijn y^=0,49x+4,05\hat{y}=0{,}49x+4{,}05y^​=0,49x+4,05 met correlatie r=0,97r=0{,}97r=0,97. (a) Wat betekent r=0,97r=0{,}97r=0,97? (b) Voorspel het cijfer bij 5,55{,}55,5 studeeruren. (c) Is een voorspelling bij 202020 studeeruren betrouwbaar?

  1. 01(a) Correlatie duiden

    r=0,97r=0{,}97r=0,97 ligt dicht bij 111: een sterk positief lineair verband — meer studeeruren gaan samen met een hoger cijfer.

  2. 02(b) Voorspellen (interpolatie)

    y^=0,49⋅5,5+4,05=2,695+4,05≈6,7\hat{y}=0{,}49\cdot 5{,}5+4{,}05=2{,}695+4{,}05\approx 6{,}7y^​=0,49⋅5,5+4,05=2,695+4,05≈6,7.

    y^=0,49⋅5,5+4,05≈6,7\hat{y}=0{,}49\cdot 5{,}5+4{,}05\approx 6{,}7y^​=0,49⋅5,5+4,05≈6,7
  3. 03(c) Extrapolatie beoordelen

    202020 uur ligt ver buiten het databereik (111 t/m 888 uur): extrapolatie is onbetrouwbaar, want de lineaire trend hoeft daar niet door te lopen (een cijfer boven 101010 kan niet).

Resultaat: (a) een sterk positief lineair verband; (b) ongeveer een 6,76{,}76,7; (c) nee, 202020 uur is extrapolatie ver buiten de data en dus onbetrouwbaar.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: een spreidingsdiagram maken, met de GR de regressielijn en de correlatie rrr bepalen en voorspellen.
  • Examendoel: correlatie en causaliteit onderscheiden en de betrouwbaarheid van een voorspelling (interpolatie/extrapolatie) beoordelen.

Veelgemaakte fouten

  • Uit een hoge correlatie een oorzakelijk verband afleiden; correlatie is geen causaliteit.
  • Ver buiten het databereik voorspellen (extrapolatie) zonder de betrouwbaarheid te bevragen.

Actieve herhaling

Voor tien steden zijn het aantal zonuren en de ijsverkoop gemeten; de GR geeft r=0,88r=0{,}88r=0,88. Interpreteer rrr, en beoordeel de bewering « meer ijs eten veroorzaakt meer zon ». Leg uit waarom een spreidingsdiagram naast rrr nuttig blijft.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

§ 04

Steekproefverdeling en betrouwbaarheidsinterval#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-c-domein-E6

Kernpunten

Een steekproef geeft nooit exact hetzelfde resultaat als de hele populatie: trek je een andere steekproef, dan krijg je een iets ander gemiddelde of percentage. De waarden die zo'n steekproefuitkomst kan aannemen, vormen samen de steekproefverdeling. Die verdeling is bij benadering normaal en ligt gecentreerd rond de echte populatiewaarde, met een spreiding die de standaardfout heet: σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}n​σ​ voor een gemiddelde. Belangrijk is dat de standaardfout kleiner wordt naarmate de steekproef groter is: hoe meer waarnemingen, hoe dichter de steekproefuitkomst gemiddeld bij de echte waarde ligt. Dat is de wiskundige reden waarom een grotere steekproef nauwkeuriger is.
Omdat je de echte populatiewaarde niet kent, geef je op grond van de steekproef geen enkel getal, maar een interval waarin die waarde vermoedelijk ligt: het betrouwbaarheidsinterval. Bij 95%95\%95% betrouwbaarheid gebruik je dat de steekproefuitkomst in ongeveer 95%95\%95% van de gevallen binnen twee standaardfouten van de echte waarde valt (de 2σ2\sigma2σ-vuistregel). Het 95%95\%95%-interval is daarom de schatting plus en min ongeveer 1,961{,}961,96 standaardfouten. Afb. 4 toont zo'n interval rond een gemeten steekproefpercentage van 52%52\%52%: het loopt van ongeveer 48%48\%48% tot 56%56\%56%.

Afb. 4 — Een 95%-betrouwbaarheidsinterval

95%-betrouwbaarheidsintervalGetallenlijn, schatting 52%, 48%, 56%, 95%-BI44464850525456586095%−BIschatting 52%48%56%
Afb. 4Afb. 4 — Bij een gemeten steun van 52%52\%52% (met foutmarge ±4%\pm 4\%±4%-punt) loopt het 95%95\%95%-betrouwbaarheidsinterval van 48%48\%48% tot 56%56\%56%.
Voor een proportie (percentage) p^\hat{p}p^​ uit een steekproef van nnn is de standaardfout p^(1−p^)n\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}np^​(1−p^​)​​, en het 95%95\%95%-betrouwbaarheidsinterval p^±1,96p^(1−p^)n\hat{p}\pm 1{,}96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}p^​±1,96np^​(1−p^​)​​. Afb. 5 laat zien dat dit interval de centrale 95%95\%95% van de (normale) steekproefverdeling beslaat: de twee staarten van elk 2,5%2{,}5\%2,5% vallen erbuiten. Peil je in een steekproef van 600600600 kiezers dat 52%52\%52% een partij steunt, dan reken je zo uit dat de echte steun met 95%95\%95% betrouwbaarheid tussen ongeveer 48%48\%48% en 56%56\%56% ligt.

Afb. 5 — De centrale 95% van de steekproefverdeling

Centrale 95% van de steekproefverdelingSchaubild von steekproefverdeling, Hochpunkt bei (52, 0.199), im Bereich x von 44 bis 604446485052545658600.050.10.150.248%56%steekproefverdelingkansdichtheidsteekproefpercentage
Afb. 5Afb. 5 — De (bij benadering normale) steekproefverdeling rond 52%52\%52%. Het gearceerde middendeel van 48%48\%48% tot 56%56\%56% beslaat 95%95\%95%; de twee staarten (elk 2,5%2{,}5\%2,5%) vallen erbuiten.
De interpretatie van een betrouwbaarheidsinterval luistert nauw, en een verkeerde formulering is een klassieke fout. Een 95%95\%95%-betrouwbaarheidsinterval betekent níet dat de echte waarde met kans 95%95\%95% in dít ene interval ligt; het betekent dat de gebruikte methode in 95%95\%95% van de mogelijke steekproeven een interval oplevert dat de echte waarde bevat. Praktisch komt dat op hetzelfde neer — je bent « voor 95%95\%95% zeker » — maar de precieze formulering gaat over de betrouwbaarheid van de methode, niet over één specifiek interval. Bij een uitspraak als « de partij ligt op 52%52\%52%, met een foutmarge van 4%4\%4%-punt » hoort dus altijd dit interval en deze nuance. (De precieze CE/SE-afbakening van dit onderdeel staat in de vigerende syllabus op examenblad.nl.)
standaardfout van het gemiddelde=σn\text{standaardfout van het gemiddelde}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}standaardfout van het gemiddelde=n​σ​

Standaardfout

De spreiding van de steekproefuitkomst; kleiner bij een grotere steekproef.

95%-BI voor een proportie: p^±1,96p^(1−p^)n95\%\text{-BI voor een proportie}: \ \hat{p}\pm 1{,}96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}95%-BI voor een proportie: p^​±1,96np^​(1−p^​)​​

95%-betrouwbaarheidsinterval

De steekproefproportie plus en min ongeveer 1,96 standaardfouten.

Uitgewerkt voorbeeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen

In een aselecte steekproef van 600600600 kiezers zegt 52%52\%52% (p^=0,52\hat{p}=0{,}52p^​=0,52) op een partij te stemmen. (a) Bereken de standaardfout. (b) Bereken het 95%95\%95%-betrouwbaarheidsinterval. (c) Formuleer de conclusie correct.

  1. 01(a) Standaardfout

    0,52⋅0,48600=0,2496600=0,000416≈0,0204\sqrt{\frac{0{,}52\cdot 0{,}48}{600}}=\sqrt{\frac{0{,}2496}{600}}=\sqrt{0{,}000416}\approx 0{,}02046000,52⋅0,48​​=6000,2496​​=0,000416​≈0,0204.

    0,52⋅0,48600≈0,0204\sqrt{\frac{0{,}52\cdot 0{,}48}{600}}\approx 0{,}02046000,52⋅0,48​​≈0,0204
  2. 02(b) Interval

    0,52±1,96⋅0,0204=0,52±0,0400{,}52\pm 1{,}96\cdot 0{,}0204=0{,}52\pm 0{,}0400,52±1,96⋅0,0204=0,52±0,040, dus van 0,4800{,}4800,480 tot 0,5600{,}5600,560.

    0,52±1,96⋅0,0204=[0,480; 0,560]0{,}52\pm 1{,}96\cdot 0{,}0204=[0{,}480;\ 0{,}560]0,52±1,96⋅0,0204=[0,480; 0,560]
  3. 03(c) Conclusie

    Met 95%95\%95% betrouwbaarheid ligt de werkelijke steun tussen ongeveer 48%48\%48% en 56%56\%56%; omdat 50%50\%50% binnen dit interval valt, kun je niet met zekerheid zeggen dat de partij een meerderheid heeft.

Resultaat: (a) standaardfout ≈0,0204\approx 0{,}0204≈0,0204; (b) het 95%95\%95%-BI is [48%; 56%][48\%;\ 56\%][48%; 56%]; (c) de echte steun ligt met 95%95\%95% betrouwbaarheid tussen 48%48\%48% en 56%56\%56% — een meerderheid is niet zeker.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de standaardfout en een 95%95\%95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen en interpreteren.
  • Examendoel: uitleggen dat een grotere steekproef de standaardfout verkleint en het interval versmalt.

Veelgemaakte fouten

  • Zeggen dat de echte waarde « met kans 95%95\%95% in dit ene interval » ligt; de 95%95\%95% slaat op de betrouwbaarheid van de methode over vele steekproeven.
  • De standaardfout niet door n\sqrt{n}n​ delen, of vergeten dat een grotere nnn het interval smaller maakt.

Actieve herhaling

In een steekproef van 400400400 mensen keurt 45%45\%45% een plan goed. Bereken de standaardfout en het 95%95\%95%-betrouwbaarheidsinterval, en formuleer de conclusie. Leg uit hoe het interval verandert als de steekproef 160016001600 groot was geweest.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Inhoud

Sectie -- / 04

    • 01Data, kengetallen en grafieken met de GR○
    • 02Kansverdelingen met de GR in context◐
    • 03Samenhang: spreidingsdiagram, regressie en correlatie◐
    • 04Steekproefverdeling en betrouwbaarheidsinterval●

0/4 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Statistiek met ICT

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~15
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

  • Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening

Vorig onderwerp

Kansverdelingen

Volgend onderwerp

Keuzeonderwerpen

EuraStudy·Samenvattingen T·16·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.