Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Kansverdelingen

Een toevalsvariabele koppelt aan elke uitkomst van een kansexperiment een getal; met de kansverdeling, de verwachtingswaarde E(X) en de standaardafwijking vat je zo'n variabele samen. Twee kansmodellen keren steeds terug: de binomiale verdeling voor het aantal successen bij n onafhankelijke pogingen, en de normale verdeling — de klokkromme waarbij kansen oppervlakten zijn. Je berekent ze met formules, met de z-score en de vuistregels 68–95–99,7%, en met de grafische rekenmachine. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein E5).

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·151515 / 17

Examenprofiel

E5 · Toevalsvariabele, kansverdeling, verwachtingswaarde E(X)=Σ x·P(X=x) en standaardafwijking bepalenE5 · Binomiale kansen P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) berekenen, met E=np en σ=√(np(1−p))E5 · Normale verdeling: de z-score, de vuistregels 68–95–99,7% en kansen als oppervlakte onder de klokkrommeE5 · Binomiale en normale kansen berekenen met de grafische rekenmachine (binompdf/binomcdf, normalcdf/invNorm)

Operatoren:berekenbepaalinterpreteerschatstel op

basisniveau

Kansverdelingen, de binomiale en de normale verdeling zijn centraal-examenstof (subdomein E5) van wiskunde C.

verhoogd niveau

Verdieping: de binomiale en normale verdeling zijn het rekengereedschap voor de statistiek met ICT (steekproefverdelingen, betrouwbaarheidsintervallen).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kansverdelingen

Toevalsvariabele, verwachtingswaarde en standaardafwijking#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-E5

Een toevalsvariabele (ook stochast) koppelt aan elke uitkomst van een kansexperiment een getal; je schrijft hem met een hoofdletter, meestal

X

. Bij een discrete toevalsvariabele hoort een kansverdeling: een tabel of grafiek die bij elke mogelijke waarde

x

de kans

P(X=x)

geeft. Afb. 1 toont de kansverdeling van een loterij, waarbij

X

de gewonnen prijs (in euro) is: met kans

0{,}60

win je niets, en de hoofdprijs van €50 valt met kans

0{,}05

. Het bepalende kenmerk van elke kansverdeling zie je meteen: alle kansen samen zijn precies

1

, want er treedt met zekerheid één uitkomst op.

Afb. 1 — Kansverdeling van een loterijprijs

Afb. 1Afb. 1 — De kansverdeling van de gewonnen prijs

X

. De kansen samen zijn

1

; de verwachtingswaarde is

E(X)=4

euro.

De verwachtingswaarde

E(X)

vat samen wat je « op de lange duur gemiddeld » per keer krijgt. Je berekent hem als een gewogen gemiddelde: vermenigvuldig elke waarde met háár kans en tel alles op,

E(X)=\sum x\cdot P(X=x)

. Voor de loterij geeft dat

E(X)=0\cdot 0{,}60+2\cdot 0{,}25+10\cdot 0{,}10+50\cdot 0{,}05=0+0{,}50+1+2{,}50=4

euro. Twee dingen zijn belangrijk. Ten eerste hoeft de verwachtingswaarde zelf geen mogelijke uitkomst te zijn (je wint nooit precies €4). Ten tweede is

E(X)

meteen de eerlijke inleg voor een lot: kost een lot méér dan €4, dan verdient de organisator op termijn.

De verwachtingswaarde zegt niets over de spreiding — hoe ver de uitkomsten doorgaans van het midden liggen. Daarvoor gebruik je de variantie en de standaardafwijking. De variantie is de verwachte gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde,

\text{Var}(X)=\sum (x-E(X))^{2}\cdot P(X=x)

; je kwadrateert de afwijkingen zodat plus en min elkaar niet opheffen en grote afwijkingen zwaar meetellen. Omdat de variantie in « euro-kwadraten » staat, neem je de wortel terug: de standaardafwijking

\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}

. Zij meet de typische afstand tot de verwachtingswaarde: een kleine

\sigma

betekent dat de uitkomsten dicht om

E(X)

liggen, een grote dat ze sterk uiteenlopen.

Op de grafische rekenmachine hoef je deze sommen niet met de hand te maken. Zet de waarden

x

in lijst

L_{1}

en de kansen

P(X=x)

in lijst

L_{2}

, en kies 1-Var Stats met

L_{1}

als lijst en

L_{2}

als frequentielijst. De rekenmachine geeft

\bar{x}

, dat hier de verwachtingswaarde

E(X)

is, en

\sigma x

, de standaardafwijking. Deze truc — kansen als « frequenties » invoeren — werkt voor elke discrete kansverdeling en is een snelle controle op je handmatige berekening. De verwachtingswaarde en de standaardafwijking samen vatten zo een hele kansverdeling in twee getallen samen.

\sum P(X=x)=1

Kansverdeling

De som van alle kansen in een kansverdeling is precies 1.

E(X)=\sum x\cdot P(X=x)

Verwachtingswaarde

Het gewogen gemiddelde van de waarden, elk gewogen met zijn kans.

\sigma(X)=\sqrt{\sum (x-E(X))^{2}\cdot P(X=x)}

Standaardafwijking

De wortel van de variantie; een maat voor de spreiding rond E(X).

Uitgewerkt voorbeeld

Verwachtingswaarde en standaardafwijking van een loterij

Bij een loterij is $X$ de prijs in euro, met $P(X=0)=0{,}60$ , $P(X=2)=0{,}25$ , $P(X=10)=0{,}10$ en $P(X=50)=0{,}05$ . (a) Bereken $E(X)$ . (b) Bereken $\sigma(X)$ . (c) Een lot kost €5 — is dat gunstig voor de speler?

(a) Verwachtingswaarde
$E(X)=0\cdot 0{,}60+2\cdot 0{,}25+10\cdot 0{,}10+50\cdot 0{,}05=4$ euro.
$E(X)=0{,}5+1+2{,}5=4$
(b) Variantie en standaardafwijking
$\text{Var}(X)=(0-4)^2\cdot 0{,}60+(2-4)^2\cdot 0{,}25+(10-4)^2\cdot 0{,}10+(50-4)^2\cdot 0{,}05=9{,}6+1+3{,}6+105{,}8=120$ ; $\sigma=\sqrt{120}\approx 10{,}95$ .
$\sigma=\sqrt{120}\approx 10{,}95$
(c) Inleg beoordelen
De eerlijke prijs is $E(X)=4$ euro; een lot kost €5, dus de speler betaalt gemiddeld €1 meer dan hij terugkrijgt: ongunstig voor de speler.

Resultaat: (a) $E(X)=4$ euro; (b) $\sigma\approx 10{,}95$ euro; (c) ongunstig, want €5 kost meer dan de verwachte prijs van €4.

Veelgemaakte fouten

De verwachtingswaarde berekenen als het gewone gemiddelde van de uitkomsten in plaats van het gewogen gemiddelde met de kansen.
Vergeten de wortel te trekken: $\sum (x-E(X))^{2}P(X=x)$ is de variantie; de standaardafwijking is de wortel daarvan.

Actieve herhaling

Bij een spel kost meedoen €3. Je wint €10 met kans $0{,}2$ , €5 met kans $0{,}3$ en niets met kans $0{,}5$ . Zij $X$ de uitkering. Bereken $E(X)$ en $\sigma(X)$ , en beoordeel of het spel voor de speler voordelig is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

De binomiale verdeling#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E5

Veel kansexperimenten bestaan uit het herhalen van eenzelfde poging met twee mogelijke aflopen: « succes » of « mislukking ». Als aan vier voorwaarden is voldaan, heet de telvariabele

X=

« het aantal successen » binomiaal verdeeld. Die voorwaarden zijn: (1) een vast aantal pogingen

n

; (2) elke poging heeft twee uitkomsten; (3) de succeskans

p

is bij elke poging gelijk; (4) de pogingen zijn onafhankelijk. Afb. 2 toont de binomiale verdeling voor

n=6

p=0{,}5

— bijvoorbeeld het aantal keer kop bij zes worpen met een eerlijke munt. De verdeling is symmetrisch, met de grootste kans in het midden bij

3

successen.

Afb. 2 — Binomiale verdeling (n = 6, p = 0,5)

Afb. 2Afb. 2 — Aantal keer kop bij zes worpen met een eerlijke munt. Symmetrisch rond

E(X)=np=3

; de hoogste kans is

\binom{6}{3}\cdot 0{,}5^{6}=\frac{20}{64}=0{,}3125

De kans op precies

k

successen bereken je met

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

. Je leest de formule van rechts naar links:

p^{k}

is de kans op

k

successen,

(1-p)^{n-k}

de kans op de overige

n-k

mislukkingen, en de binomiaalcoëfficiënt

\binom{n}{k}

telt op hoeveel volgordes die

k

successen kunnen vallen. Voor

n=6

p=0{,}5

k=3

: er zijn

\binom{6}{3}=20

volgordes, elk met kans

0{,}5^{6}=\frac{1}{64}

, samen

\frac{20}{64}=0{,}3125

— precies de hoogste staaf in Afb. 2. De binomiaalcoëfficiënt is hier de brug naar de combinatoriek uit domein B.

Bij een binomiale verdeling hoef je de verwachtingswaarde en standaardafwijking niet met de somformules uit te rekenen; er bestaan snelle formules:

E(X)=n\cdot p

\sigma(X)=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

. Voor

n=6

p=0{,}5

geeft dat

E(X)=3

\sigma=\sqrt{6\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{1{,}5}\approx 1{,}22

. Zodra

p\neq 0{,}5

wordt de verdeling scheef: bij een kleine

p

verschuift de top naar links en ontstaat een staart naar rechts. Deze formules maken het rekenen aan binomiale verdelingen kort en betrouwbaar.

Voor grotere

n

reken je binomiale kansen met de grafische rekenmachine. `binompdf(n, p, k)` geeft de kans op precies

k

successen,

P(X=k)

. `binomcdf(n, p, k)` geeft de cumulatieve kans

P(X\le k)

— de kans op hóógstens

k

successen. Andere kansen leid je daaruit af met het complement en aftrekken:

P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)

P(a\le X\le b)=\text{binomcdf}(n,p,b)-\text{binomcdf}(n,p,a-1)

. Vooral « minstens » en « hoogstens » zijn de klassieke valkuilen: let scherp op de grenzen

k

k-1

. Het herkennen van een binomiale situatie (vaste

n

, gelijke

p

, onafhankelijk) plus deze GR-functies dekt vrijwel elk examenvraagstuk.

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

Binomiale kans

Kans op precies k successen bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p.

E(X)=n\cdot p, \qquad \sigma(X)=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

Verwachting en spreiding (binomiaal)

Snelle formules voor het verwachte aantal successen en de spreiding.

P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)

« Minstens » via het complement

Let op de k−1: de cumulatieve kans t/m k−1 aftrekken van 1.

Uitgewerkt voorbeeld

Binomiale kansen bij een meerkeuzetoets

Een meerkeuzetoets heeft $8$ vragen, elk met $4$ opties waarvan één goed. Een leerling gokt elke vraag onafhankelijk, dus $p=0{,}25$ . Zij $X$ het aantal goede antwoorden. (a) Bereken $P(X=2)$ . (b) Bereken de kans op minstens $3$ goede antwoorden. (c) Geef $E(X)$ en $\sigma(X)$ .

(a) Bereken P(X=2)
$P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}25)^{2}(0{,}75)^{6}=28\cdot 0{,}0625\cdot 0{,}17798\approx 0{,}3115$ . Op de GR: binompdf(8, 0.25, 2).
$P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}25)^{2}(0{,}75)^{6}\approx 0{,}3115$
(b) Minstens 3 via het complement
$P(X\ge 3)=1-\text{binomcdf}(8,0{,}25,2)$ . De GR geeft $\text{binomcdf}(8,0{,}25,2)\approx 0{,}6785$ , dus $P(X\ge 3)\approx 0{,}3215$ .
(c) Verwachting en spreiding
$E(X)=np=8\cdot 0{,}25=2$ en $\sigma=\sqrt{8\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75}=\sqrt{1{,}5}\approx 1{,}22$ .
$E(X)=2,\quad \sigma=\sqrt{1{,}5}\approx 1{,}22$

Resultaat: (a) $\approx 0{,}3115$ ; (b) $\approx 0{,}3215$ ; (c) $E(X)=2$ en $\sigma\approx 1{,}22$ .

Veelgemaakte fouten

De binomiaalcoëfficiënt $\binom{n}{k}$ vergeten en alleen $p^{k}(1-p)^{n-k}$ nemen (dan tel je maar één volgorde mee).
« Minstens $k$ » gelijkstellen aan binomcdf $(n,p,k)$ ; het is $P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)$ .

Actieve herhaling

In een fabriek is $10\%$ van de lampen defect. Uit de productie worden $15$ lampen onafhankelijk gekozen. Zij $X$ het aantal defecte lampen. Bereken $P(X=0)$ , $P(X\ge 2)$ en $E(X)$ en $\sigma(X)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

De normale verdeling en de z-score#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E5

Veel grootheden in de praktijk — lichaamslengte, meetfouten, de inhoud van pakken — zijn continu en verdeeld volgens de normale verdeling: de bekende, symmetrische klokkromme. Een normale verdeling ligt volledig vast door twee getallen: het gemiddelde

\mu

, dat het midden en de top bepaalt, en de standaardafwijking

\sigma

, die de breedte bepaalt. Afb. 3 toont de klokkromme voor de lengte van mannen met

\mu=175

cm en

\sigma=8

cm. Anders dan bij een discrete variabele lees je een kans hier niet af als staafhoogte, maar als oppervlakte onder de kromme:

P(a<X<b)

is de oppervlakte tussen

x=a

x=b

. De totale oppervlakte is

1

, en door de symmetrie ligt links en rechts van

\mu

elk de helft.

Afb. 3 — Normale verdeling met μ = 175, σ = 8

Afb. 3Afb. 3 — De normale kromme voor

\mu=175

\sigma=8

(lengte in cm). De verticale lijn markeert

\mu=175

; de gearceerde oppervlakte van

175

tot

183

P(175<X<183)=P(0<z<1)\approx 0{,}34

Om verschillende normale verdelingen te vergelijken, standaardiseer je een waarde met de z-score:

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

. De z-score vertelt hoeveel standaardafwijkingen een waarde boven (

z>0

) of onder (

z<0

) het gemiddelde ligt. Afb. 4 toont de z-schaal onder de lengteschaal voor

\mu=175

\sigma=8

x=183

hoort bij

z=1

(één

\sigma

boven het midden) en

x=159

bij

z=-2

(twee

\sigma

eronder). Zo verandert elke normale verdeling in dezelfde standaardnormale verdeling met gemiddelde

0

en standaardafwijking

1

Afb. 4 — De z-schaal onder de normale verdeling

Afb. 4Afb. 4 — Standaardiseren: elke lengte

x

hoort bij een z-score

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

. Bij

\mu=175

\sigma=8

ligt

183

z=1

159

z=-2

De kracht van de z-score is dat je er ongelijksoortige dingen mee kunt vergelijken. Haalt Sanne een

8

op een toets met

\mu=6

\sigma=1

, en Tim een

80

op een toets met

\mu=70

\sigma=8

, dan is Sannes z-score

z=\frac{8-6}{1}=2

en die van Tim

z=\frac{80-70}{8}=1{,}25

. Sanne presteert dus relatief beter, ook al is haar ruwe cijfer veel lager. Door de symmetrie geldt bovendien

P(Z<-a)=P(Z>a)

: de linkerstaart voorbij

-a

is even groot als de rechterstaart voorbij

+a

. Die spiegelsymmetrie gebruik je voortdurend om kansen om te rekenen.

Omdat elke normale verdeling na standaardiseren dezelfde vorm heeft, horen bij vaste afstanden tot het gemiddelde vaste kansen. Binnen één standaardafwijking van het midden — tussen

\mu-\sigma

\mu+\sigma

— ligt altijd ongeveer

68\%

van de waarnemingen, ongeacht

\mu

\sigma

. Dit is de eerste van de vuistregels die je in de volgende paragraaf gebruikt om snel kansen te schatten. De geschaduwde oppervlakte in Afb. 3 (van

175

tot

183

, oftewel van

z=0

tot

z=1

) is een voorbeeld van zo'n kans: hij bedraagt ongeveer

0{,}34

, de helft van

68\%

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

z-score

Het aantal standaardafwijkingen dat x boven (z>0) of onder (z<0) het gemiddelde ligt.

x=\mu+z\cdot\sigma

Terug naar x

Uit een z-score de bijbehorende waarde x terugrekenen.

P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx 0{,}68

Vuistregel (1σ)

Binnen één standaardafwijking ligt ongeveer 68% van de waarnemingen.

Uitgewerkt voorbeeld

z-scores berekenen en vergelijken

De lengte van mannen is normaal verdeeld met $\mu=175$ cm en $\sigma=8$ cm. (a) Bepaal de z-score van een man van $191$ cm. (b) Van een man van $167$ cm. (c) Interpreteer beide.

(a) z van 191
$z=\frac{191-175}{8}=\frac{16}{8}=2$ .
$z=\frac{191-175}{8}=2$
(b) z van 167
$z=\frac{167-175}{8}=\frac{-8}{8}=-1$ .
(c) Interpreteren
De man van $191$ cm ligt $2$ standaardafwijkingen bóven het gemiddelde (relatief lang); die van $167$ cm ligt $1$ standaardafwijking eronder. Volgens de vuistregels is minder dan $2{,}5\%$ langer dan $191$ cm.

Resultaat: (a) $z=2$ ; (b) $z=-1$ ; (c) $191$ cm is uitzonderlijk lang, $167$ cm iets onder gemiddeld.

Veelgemaakte fouten

In de z-score delen door de variantie in plaats van door de standaardafwijking ( $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ , met $\sigma$ ).
Het teken van de z-score negeren; een waarde ónder het gemiddelde heeft een negatieve z-score.

Actieve herhaling

Pakken suiker hebben een inhoud die normaal verdeeld is met $\mu=1000$ g en $\sigma=12$ g. Bereken de z-score van een pak van $982$ g en van een pak van $1024$ g, en leg uit welk pak verder van het gemiddelde af ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Normale kansen met vuistregels en de GR#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-c-domein-E5

De vuistregels (de

68

–

95

–

99{,}7

-regel) geven de kansen die bij vaste afstanden tot het gemiddelde horen, en gelden voor elke normale verdeling. Tussen

\mu-\sigma

\mu+\sigma

ligt ongeveer

68\%

van de waarnemingen; tussen

\mu-2\sigma

\mu+2\sigma

ongeveer

95\%

; en tussen

\mu-3\sigma

\mu+3\sigma

ongeveer

99{,}7\%

. Afb. 5 toont deze geneste gebieden voor

\mu=175

\sigma=8

: de band

167

–

183

vangt

68\%

, de bredere band

159

–

191

vangt

95\%

. Je gebruikt de vuistregels om zonder rekenmachine een kans te schatten, of om snel te controleren of een berekende kans klopt.

Afb. 5 — De vuistregels 68–95–99,7%

Afb. 5Afb. 5 — De geneste vuistregelgebieden voor

\mu=175

\sigma=8

\mu\pm\sigma=167

–

183

(

\approx 68\%

, gearceerd),

\mu\pm2\sigma=159

–

191

(

\approx 95\%

) en

\mu\pm3\sigma=151

–

199

(

\approx 99{,}7\%

Uit de vuistregels haal je met complement en symmetrie ook de staartkansen. Ligt

68\%

binnen één

\sigma

, dan valt

32\%

erbuiten, en door de symmetrie zit daarvan de helft in elke staart:

P(X>\mu+\sigma)\approx 16\%

. Net zo geldt

P(X>\mu+2\sigma)\approx \frac{100\%-95\%}{2}=2{,}5\%

P(X>\mu+3\sigma)\approx 0{,}15\%

. Zo reken je bijvoorbeeld uit dat maar

2{,}5\%

van de mannen langer is dan

191

cm, want

191=\mu+2\sigma

. Onthoud de kernpercentages

68

95

99{,}7

— de rest leid je hieruit af.

Voor een precieze kans gebruik je op de GR `normalcdf(ondergrens, bovengrens, μ, σ)`: de oppervlakte onder de klokkromme tussen de grenzen. Voor een eenzijdige kans neem je als ontbrekende grens een heel groot getal:

P(X>191)

bereken je als normalcdf

(191, 10^{99}, 175, 8)

P(X<167)

als normalcdf

(-10^{99}, 167, 175, 8)

. De GR geeft

P(X>191)\approx 0{,}0228

— dus

2{,}28\%

, keurig in de buurt van de

2{,}5\%

uit de vuistregel, maar exacter. De z-score heb je hier niet meer nodig;

\mu

\sigma

voer je rechtstreeks in.

Soms is de kans gegeven en zoek je de bijbehorende grenswaarde — het omgekeerde probleem. Daarvoor dient `invNorm(oppervlakte-links, μ, σ)`: je geeft de oppervlakte links van de grens (de cumulatieve kans) en krijgt de waarde

x

terug. Wil je de lengte waarboven de langste

10\%

ligt, dan zit links daarvan

90\%

, dus reken je invNorm

(0{,}90, 175, 8)\approx 185{,}3

cm. Zo bepaal je percentielen en grenswaarden. De vuistregels voor een snelle schatting, normalcdf voor een exacte kans en invNorm voor een grenswaarde: met deze drie gereedschappen beheers je alle normale-verdelingsvraagstukken van het examen.

P(a<X<b)=\text{normalcdf}(a,\,b,\,\mu,\,\sigma)

Normale kans met de GR

De oppervlakte tussen a en b; voor een eenzijdige kans gebruik je 10^99 of −10^99 als ontbrekende grens.

P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0{,}95, \quad P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx 0{,}997

Vuistregels (2σ, 3σ)

Binnen twee standaardafwijkingen ligt ongeveer 95%, binnen drie ongeveer 99,7%.

x=\text{invNorm}(p,\,\mu,\,\sigma)

Inverse normale (grenswaarde)

Bij een gegeven oppervlakte p links van de grens de bijbehorende waarde x (percentiel) terugvinden.

Interaktive Grafik lädt…

Uitgewerkt voorbeeld

Normale kansen: vuistregel, normalcdf en invNorm

De lengte van mannen is normaal verdeeld met $\mu=175$ en $\sigma=8$ cm. (a) Welk percentage is tussen $167$ en $183$ cm? (b) Bereken $P(X>191)$ met de vuistregel én met de GR. (c) Bepaal met invNorm de lengte waarboven de langste $10\%$ ligt.

(a) Herken μ ± σ
$167=\mu-\sigma$ en $183=\mu+\sigma$ : tussen $\mu\pm\sigma$ ligt ongeveer $68\%$ . Exact: normalcdf(167, 183, 175, 8) ≈ 0,6827.
(b) P(X>191) met de vuistregel
$191=\mu+2\sigma$ . Buiten $\mu\pm 2\sigma$ ligt $5\%$ , in de rechterstaart de helft: $\approx 2{,}5\%$ .
(b) P(X>191) met de GR
Eenzijdig: normalcdf(191, 10^99, 175, 8) ≈ 0,0228, oftewel $2{,}28\%$ .
(c) De langste 10% met invNorm
Boven de grens ligt $10\%$ , dus eronder $90\%$ : $x=$ invNorm(0.90, 175, 8) $\approx 185{,}3$ cm.
$x=\text{invNorm}(0{,}90,\,175,\,8)\approx 185{,}3$

Resultaat: (a) ongeveer $68\%$ (exact $0{,}6827$ ); (b) $\approx 2{,}5\%$ (vuistregel) en $2{,}28\%$ (GR); (c) de grens ligt bij ongeveer $185$ cm.

Veelgemaakte fouten

Bij een eenzijdige kans de tweede grens vergeten; gebruik $10^{99}$ (of $-10^{99}$ ) als ontbrekende grens.
invNorm voeden met de rechteroppervlakte; invNorm verwacht de oppervlakte links van de grens (voor de bovenste $10\%$ voer je $0{,}90$ in).

Actieve herhaling

De examenscores zijn normaal verdeeld met $\mu=65$ en $\sigma=12$ . (a) Schat met de vuistregels het percentage tussen $53$ en $77$ . (b) Bereken met de GR $P(X>80)$ . (c) Bepaal met invNorm de score bij het $90$ e percentiel.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening

Kansverdelingen

Kernpunten

Verwachtingswaarde en standaardafwijking van een loterij

Kernpunten

Binomiale kansen bij een meerkeuzetoets

Kernpunten

z-scores berekenen en vergelijken

Kernpunten

Normale kansen: vuistregel, normalcdf en invNorm

Bronnen