EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde C/Lineaire, tweedegraads- en machtsverbanden
Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Lineaire, tweedegraads- en machtsverbanden

Dit onderwerp behandelt drie standaardverbanden. Het lineaire verband f(x)=ax+b hoort bij een rechte lijn met helling a en snijpunt b. Het tweedegraads (kwadratische) verband f(x)=ax²+bx+c hoort bij een parabool met top, symmetrieas en nulpunten. En het machtsverband f(x)=a·xⁿ omvat onder meer de evenredige en omgekeerd evenredige verbanden. Je leert ze herkennen aan formule, tabel of grafiek en de invloed van de kengetallen en van transformaties beschrijven. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein C).

4 Onderdelen·~15 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Basis 1 · Standaard 3

T·0444 / 17
Examenprofiel
C · Lineaire verbanden f(x)=ax+b: helling (richtingscoëfficiënt) en snijpunt bepalen en de formule opstellenC · Tweedegraads verbanden f(x)=ax²+bx+c: top, symmetrieas en nulpunten bepalenC · Machtsverbanden f(x)=a·xⁿ en (omgekeerd) evenredige verbanden herkennen en gebruikenC · Transformaties van grafieken beschrijven: verschuiven en vermenigvuldigen
Operatoren:stel opberekenbepaalherkenbeschrijftoon aan

basisniveau

Lineaire en kwadratische verbanden vormen de kern van domein C; ze komen in vrijwel elke contextopgave terug.

verhoogd niveau

Verdieping: het herkennen van machts- en omgekeerd evenredige verbanden en het beschrijven van transformaties helpen om onbekende grafieken snel te doorzien.

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 4 onderdelen▾
  1. Lineaire, tweedegraads- en machtsverbanden
    • 01Lineaire verbanden: helling en snijpunt○
    • 02Tweedegraads verbanden: parabool, top en nulpunten◐
    • 03Machtsverbanden en (omgekeerd) evenredigheid◐
    • 04Transformaties van grafieken◐
§ 01

Lineaire verbanden: helling en snijpunt#

●○○BasisLPexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Kernpunten

Een lineair verband heeft een grafiek die een rechte lijn is, en de standaardvorm f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b. De twee kengetallen aaa en bbb bepalen samen de lijn volledig. Het getal bbb is de startwaarde: de functiewaarde bij x=0x=0x=0, en dus het snijpunt met de yyy-as, het punt (0,b)(0,b)(0,b). Het getal aaa is de richtingscoëfficiënt of helling: het geeft aan hoeveel yyy verandert als xxx met 111 toeneemt. Afb. 1 toont de lijn f(x)=0,5x+2f(x)=0{,}5x+2f(x)=0,5x+2: het snijpunt met de yyy-as is (0,2)(0,2)(0,2), en de helling 0,50{,}50,5 betekent dat je bij één stap naar rechts een halve stap omhoog gaat — van (0,2)(0,2)(0,2) naar (4,4)(4,4)(4,4) ga je 444 naar rechts en 222 omhoog.

Afb. 1 — Helling en snijpunt van een rechte lijn

Lineair verband: helling en snijpuntSchaubild von f(x)=0,5x+2, y-Achsenabschnitt bei y = 2, steigend, im Bereich x von -1 bis 6−1123456123456f(x) = 0,5x+2yx
Afb. 1Afb. 1 — f(x)=0,5x+2f(x)=0{,}5x+2f(x)=0,5x+2 snijdt de yyy-as in (0,2)(0,2)(0,2) (de startwaarde b=2b=2b=2). De helling a=0,5a=0{,}5a=0,5 betekent: één naar rechts, een halve omhoog — van (0,2)(0,2)(0,2) naar (4,4)(4,4)(4,4).
De helling bereken je uit twee punten (x1,y1)(x_{1},y_{1})(x1​,y1​) en (x2,y2)(x_{2},y_{2})(x2​,y2​) op de lijn met a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}a=ΔxΔy​=x2​−x1​y2​−y1​​: de verticale verandering gedeeld door de horizontale. Een positieve helling betekent een stijgende lijn, een negatieve een dalende, en helling 000 een horizontale lijn. Hoe groter ∣a∣|a|∣a∣, hoe steiler de lijn. Twee lijnen zijn evenwijdig precies wanneer ze dezelfde helling hebben; ze snijden elkaar dan nergens. In een context is de helling vaak een snelheid of een tarief: euro's per uur, kilometers per liter, graden per minuut.
Een lineaire formule opstellen doe je in twee stappen. Bepaal eerst de helling aaa — uit twee gegeven punten, of rechtstreeks uit « de verandering per eenheid » in de context. Bepaal daarna de startwaarde bbb: als x=0x=0x=0 gegeven is, lees je bbb direct af; anders vul je een bekend punt in de formule y=ax+by=ax+by=ax+b in en los je bbb op. Zo hoort bij « 121212 euro startkosten plus 333 euro per stuk » de formule y=3x+12y=3x+12y=3x+12, met helling 333 en startwaarde 121212. Deze werkwijze — helling eerst, dan de startwaarde — werkt bij elk lineair model.
Het herkennen van een lineair verband gaat via een simpele test: bij gelijke stappen in xxx verandert yyy telkens met hetzelfde bedrag. In een tabel zie je dan constante verschillen tussen de yyy-waarden. Dat onderscheidt het lineaire verband van het exponentiële, waar bij gelijke stappen telkens met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd (constante verhouding, geen constant verschil). Herken je constante verschillen, dan is het verband lineair en is het verschil per stap precies de helling aaa.
f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b

Lineair verband

a is de helling (richtingscoëfficiënt), b de startwaarde en het snijpunt met de y-as.

a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}a=ΔxΔy​=x2​−x1​y2​−y1​​

Helling uit twee punten

De verticale verandering gedeeld door de horizontale verandering tussen twee punten op de lijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Een lineaire formule opstellen uit twee punten

Een lijn gaat door de punten (2,7)(2,7)(2,7) en (6,19)(6,19)(6,19). (a) Bereken de helling. (b) Bepaal de startwaarde en de formule. (c) Welke yyy hoort bij x=10x=10x=10?

  1. 01(a) Helling

    Verticale verandering gedeeld door horizontale.

    a=19−76−2=124=3a=\frac{19-7}{6-2}=\frac{12}{4}=3a=6−219−7​=412​=3
  2. 02(b) Startwaarde

    Vul een punt in y=3x+by=3x+by=3x+b: 7=3⋅2+b⇒b=17=3\cdot 2+b\Rightarrow b=17=3⋅2+b⇒b=1. Dus f(x)=3x+1f(x)=3x+1f(x)=3x+1.

    7=6+b ⇒ b=17=6+b \ \Rightarrow\ b=17=6+b ⇒ b=1
  3. 03(c) Functiewaarde

    Vul x=10x=10x=10 in.

    f(10)=3⋅10+1=31f(10)=3\cdot 10+1=31f(10)=3⋅10+1=31

Resultaat: (a) helling 333; (b) f(x)=3x+1f(x)=3x+1f(x)=3x+1; (c) f(10)=31f(10)=31f(10)=31.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de helling en de startwaarde van een lineair verband bepalen en de formule opstellen.
  • Examendoel: aan constante verschillen in een tabel herkennen dat een verband lineair is.

Veelgemaakte fouten

  • Δx\Delta xΔx en Δy\Delta yΔy verwisselen bij het berekenen van de helling (a=ΔyΔxa=\frac{\Delta y}{\Delta x}a=ΔxΔy​, niet andersom).
  • De startwaarde bbb verwarren met een willekeurige functiewaarde; bbb hoort bij x=0x=0x=0.

Actieve herhaling

Een lijn gaat door (1,5)(1,5)(1,5) en (4,−4)(4,-4)(4,−4). Bepaal de helling, de formule en het snijpunt met de xxx-as.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

§ 02

Tweedegraads verbanden: parabool, top en nulpunten#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Kernpunten

Een tweedegraads (kwadratisch) verband heeft de vorm f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^{2}+bx+cf(x)=ax2+bx+c met a≠0a\neq 0a=0, en zijn grafiek is een parabool. Het teken van aaa bepaalt de opening: bij a>0a>0a>0 opent de parabool naar boven (een dal-parabool met een minimum), bij a<0a<0a<0 naar beneden (een berg-parabool met een maximum). Hoe groter ∣a∣|a|∣a∣, hoe smaller de parabool. Afb. 2 toont f(x)=x2−2x−3f(x)=x^{2}-2x-3f(x)=x2−2x−3: een naar boven geopende parabool met nulpunten in (−1,0)(-1,0)(−1,0) en (3,0)(3,0)(3,0), een top in (1,−4)(1,-4)(1,−4) en een snijpunt met de yyy-as in (0,−3)(0,-3)(0,−3). De term ccc is altijd het snijpunt met de yyy-as, want f(0)=cf(0)=cf(0)=c.

Afb. 2 — Parabool met top en nulpunten

Parabool y = x² − 2x − 3Schaubild von f(x)=x²−2x−3, Nullstellen bei x = -1, 3, Tiefpunkt bei (1, -4), y-Achsenabschnitt bei y = -3, im Bereich x von -2.5 bis 4.5−2−11234−4−224nulpunttop (1,−4)f(x) = x²−2x−3yx
Afb. 2Afb. 2 — f(x)=x2−2x−3f(x)=x^{2}-2x-3f(x)=x2−2x−3: nulpunten (−1,0)(-1,0)(−1,0) en (3,0)(3,0)(3,0), top (1,−4)(1,-4)(1,−4) op de symmetrieas x=1x=1x=1, snijpunt met de yyy-as (0,−3)(0,-3)(0,−3).
Het bijzondere punt van een parabool is de top: het hoogste of laagste punt, waar de grafiek van richting keert. De xxx-coördinaat van de top vind je met xtop=−b2ax_{\text{top}}=-\frac{b}{2a}xtop​=−2ab​, en de yyy-coördinaat door die xxx in de formule in te vullen. Voor f(x)=x2−2x−3f(x)=x^{2}-2x-3f(x)=x2−2x−3 geeft dat xtop=−−22=1x_{\text{top}}=-\frac{-2}{2}=1xtop​=−2−2​=1 en f(1)=1−2−3=−4f(1)=1-2-3=-4f(1)=1−2−3=−4, dus de top (1,−4)(1,-4)(1,−4). Door de top loopt de symmetrieas, de verticale lijn x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​: de parabool is het spiegelbeeld van zichzelf in die lijn. Dat verklaart waarom de twee nulpunten altijd even ver van de symmetrieas liggen.
De nulpunten van de parabool — de snijpunten met de xxx-as — bereken je door f(x)=0f(x)=0f(x)=0 op te lossen. Dat kan door ontbinden (x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0 geeft x=3x=3x=3 of x=−1x=-1x=−1) of met de abc-formule. De discriminant D=b2−4acD=b^{2}-4acD=b2−4ac vertelt op voorhand hoeveel nulpunten er zijn: bij D>0D>0D>0 snijdt de parabool de xxx-as twee keer, bij D=0D=0D=0 raakt hij de xxx-as (top op de as, één nulpunt), en bij D<0D<0D<0 ligt de hele parabool boven of onder de as (geen nulpunten). Zo koppel je de algebra van de vorige onderwerpen aan de meetkunde van de grafiek.
Om vlot een parabool te schetsen combineer je deze kenmerken. Bepaal de opening (teken van aaa), het snijpunt met de yyy-as (ccc), de top (x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​ met bijbehorende yyy) en de nulpunten (als die er zijn). Met die vier gegevens ligt de parabool praktisch vast. In een context is de top vaak het antwoord op « wanneer is iets maximaal of minimaal? » — de hoogste opbrengst, de laagste kosten, de grootste hoogte. Herkennen dat een verband kwadratisch is, doe je aan de x2x^{2}x2-term in de formule of aan een tabel waarin de tweede verschillen (de verschillen van de verschillen) constant zijn.
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^{2}+bx+cf(x)=ax2+bx+c

Tweedegraads verband

a bepaalt de opening (a>0 dal, a<0 berg); c is het snijpunt met de y-as.

xtop=−b2ax_{\text{top}}=-\frac{b}{2a}xtop​=−2ab​

Symmetrieas / top

De x-coördinaat van de top; vul deze in de formule in voor de y-coördinaat.

D=b2−4acD=b^{2}-4acD=b2−4ac

Aantal nulpunten

D>0: twee nulpunten; D=0: één (raken); D<0: geen.

Uitgewerkt voorbeeld

Top en nulpunten van een parabool bepalen

Gegeven f(x)=x2−2x−3f(x)=x^{2}-2x-3f(x)=x2−2x−3. (a) Bepaal de coördinaten van de top. (b) Bereken de nulpunten. (c) Is de top een minimum of een maximum, en wat is de minimale functiewaarde?

  1. 01(a) Top

    xtop=−−22⋅1=1x_{\text{top}}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1xtop​=−2⋅1−2​=1; f(1)=1−2−3=−4f(1)=1-2-3=-4f(1)=1−2−3=−4.

    xtop=1,f(1)=−4x_{\text{top}}=1,\quad f(1)=-4xtop​=1,f(1)=−4
  2. 02(b) Nulpunten door ontbinden

    Twee getallen met som −2-2−2 en product −3-3−3: −3-3−3 en 111.

    (x−3)(x+1)=0 ⇒ x=3 of x=−1(x-3)(x+1)=0 \ \Rightarrow\ x=3\ \text{of}\ x=-1(x−3)(x+1)=0 ⇒ x=3 of x=−1
  3. 03(c) Aard van de top

    Omdat a=1>0a=1>0a=1>0 opent de parabool naar boven: de top is een minimum. De minimale functiewaarde is −4-4−4.

Resultaat: (a) top (1,−4)(1,-4)(1,−4); (b) nulpunten x=−1x=-1x=−1 en x=3x=3x=3; (c) minimum, met minimale waarde −4-4−4.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de top, symmetrieas en nulpunten van een parabool bepalen en de parabool schetsen.
  • Examendoel: met de discriminant het aantal nulpunten bepalen en de top gebruiken bij maximum-/minimumvragen in een context.

Veelgemaakte fouten

  • Bij de top-formule het minteken of de factor 2a2a2a vergeten (xtop=−b2ax_{\text{top}}=-\frac{b}{2a}xtop​=−2ab​).
  • Denken dat de top altijd op de yyy-as ligt; dat is alleen zo als b=0b=0b=0.

Actieve herhaling

Gegeven g(x)=−x2+4x+5g(x)=-x^{2}+4x+5g(x)=−x2+4x+5. Bepaal de opening, de top, de nulpunten en het snijpunt met de yyy-as, en schets de parabool.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

§ 03

Machtsverbanden en (omgekeerd) evenredigheid#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Kernpunten

Een machtsverband heeft de vorm f(x)=a⋅xnf(x)=a\cdot x^{n}f(x)=a⋅xn, met een vaste macht nnn en een constante aaa. De vorm van de grafiek hangt af van de exponent. Afb. 3 vergelijkt y=x2y=x^{2}y=x2 en y=x3y=x^{3}y=x3 op het interval [0,2][0,2][0,2]: bij een even macht (x2x^{2}x2) is de grafiek symmetrisch en altijd niet-negatief, terwijl bij een oneven macht (x3x^{3}x3) de grafiek door de oorsprong « doorschiet » van negatief naar positief en steeds steiler wordt. Beide gaan door (0,0)(0,0)(0,0) en (1,1)(1,1)(1,1), maar voor x>1x>1x>1 groeit de hogere macht sneller. Machtsverbanden beschrijven bijvoorbeeld hoe oppervlakte met het kwadraat en inhoud met de derde macht van een lengte samenhangt.

Afb. 3 — Machtsfuncties x² en x³

Machtsfuncties x² en x³Schaubild von y=x², Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 2, Schaubild von y=x³, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 20.511.5212345678y = x²y = x³yx
Afb. 3Afb. 3 — y=x2y=x^{2}y=x2 (even macht) en y=x3y=x^{3}y=x3 (oneven macht) op [0,2][0,2][0,2]: beide door (0,0)(0,0)(0,0) en (1,1)(1,1)(1,1); voor x>1x>1x>1 groeit de hogere macht sneller.
Het evenredige verband is het eenvoudigste machtsverband: y=a⋅xy=a\cdot xy=a⋅x (de macht n=1n=1n=1). Hierbij hoort een rechte lijn dóór de oorsprong, want bij x=0x=0x=0 is y=0y=0y=0. Kenmerkend is dat als xxx twee keer zo groot wordt, yyy ook twee keer zo groot wordt: de verhouding yx=a\frac{y}{x}=axy​=a is constant. Dat maakt het evenredige verband tot een bijzonder lineair verband, namelijk zonder startwaarde (b=0b=0b=0). Denk aan « prijs is evenredig met gewicht »: dubbel zoveel kaas kost dubbel zoveel geld.
Bij een omgekeerd evenredig verband y=axy=\frac{a}{x}y=xa​ (de macht n=−1n=-1n=−1) gebeurt het omgekeerde: wordt xxx twee keer zo groot, dan wordt yyy twee keer zo klein, want het product x⋅y=ax\cdot y=ax⋅y=a blijft constant. De grafiek is een hyperbool met twee asymptoten: de yyy-as (x=0x=0x=0, want delen door nul mag niet) en de xxx-as (y=0y=0y=0, die de grafiek nooit bereikt). Afb. 4 toont y=6xy=\frac{6}{x}y=x6​: door de punten (1,6)(1,6)(1,6), (2,3)(2,3)(2,3), (3,2)(3,2)(3,2) en (6,1)(6,1)(6,1), telkens met product 666. Zulke verbanden beschrijven situaties waarin een vaste totale hoeveelheid wordt verdeeld — bijvoorbeeld reistijd tegen snelheid bij een vaste afstand.

Afb. 4 — Omgekeerd evenredig verband y = 6/x

Omgekeerd evenredig: y = 6/xSchaubild von y=6/x, fallend, im Bereich x von 0.5 bis 6, waagerechte Asymptote bei y = 012345624681012y = 0y = 6/xyx
Afb. 4Afb. 4 — y=6xy=\frac{6}{x}y=x6​: het product x⋅y=6x\cdot y=6x⋅y=6 is constant. De grafiek nadert de xxx-as en de yyy-as (asymptoten) zonder ze te raken.
Bij een machtsverband horen ook transformaties. De constante aaa rekt de grafiek verticaal uit (bij ∣a∣>1|a|>1∣a∣>1) of drukt hem samen (bij ∣a∣<1|a|<1∣a∣<1), en een negatieve aaa spiegelt hem in de xxx-as. Herken je een verband als machtsverband, dan let je vooral op de exponent (die de grondvorm bepaalt) en de constante (die de schaal bepaalt). In een tabel herken je een machtsverband doordat de verhouding tussen yyy-waarden een vaste macht is van de verhouding tussen de bijbehorende xxx-waarden — een subtieler patroon dan de constante verschillen van een lineair verband of de constante factor van een exponentieel verband.
f(x)=a⋅xnf(x)=a\cdot x^{n}f(x)=a⋅xn

Machtsverband

De exponent n bepaalt de grondvorm van de grafiek; a bepaalt de schaal en de richting.

y=a⋅x (evenredig),y=ax (omgekeerd evenredig)y=a\cdot x \ (\text{evenredig}), \qquad y=\frac{a}{x} \ (\text{omgekeerd evenredig})y=a⋅x (evenredig),y=xa​ (omgekeerd evenredig)

Evenredig en omgekeerd evenredig

Evenredig: y/x constant (lijn door O). Omgekeerd evenredig: x·y constant (hyperbool).

Uitgewerkt voorbeeld

Een omgekeerd evenredig verband gebruiken

Voor een vaste afstand van 120120120 km geldt dat de reistijd ttt (uur) omgekeerd evenredig is met de snelheid vvv (km/u): t=120vt=\frac{120}{v}t=v120​. (a) Bereken de reistijd bij v=60v=60v=60 en bij v=80v=80v=80 km/u. (b) Toon aan dat het verband omgekeerd evenredig is. (c) Bij welke snelheid duurt de rit 1,51{,}51,5 uur?

  1. 01(a) Reistijden

    t=12060=2t=\frac{120}{60}=2t=60120​=2 uur en t=12080=1,5t=\frac{120}{80}=1{,}5t=80120​=1,5 uur.

  2. 02(b) Product constant

    v⋅t=60⋅2=120v\cdot t=60\cdot 2=120v⋅t=60⋅2=120 en 80⋅1,5=12080\cdot 1{,}5=12080⋅1,5=120: het product is telkens 120120120, dus omgekeerd evenredig.

    v⋅t=120 (constant)v\cdot t=120 \ (\text{constant})v⋅t=120 (constant)
  3. 03(c) Snelheid bij t = 1,5

    Los 120v=1,5\frac{120}{v}=1{,}5v120​=1,5 op: v=1201,5=80v=\frac{120}{1{,}5}=80v=1,5120​=80 km/u.

    v=1201,5=80v=\frac{120}{1{,}5}=80v=1,5120​=80

Resultaat: (a) 222 uur en 1,51{,}51,5 uur; (b) het product v⋅t=120v\cdot t=120v⋅t=120 is constant, dus omgekeerd evenredig; (c) bij 808080 km/u.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: een machts-, evenredig of omgekeerd evenredig verband herkennen aan formule, tabel of grafiek.
  • Examendoel: rekenen met een (omgekeerd) evenredig verband via de constante verhouding of het constante product.

Veelgemaakte fouten

  • Evenredig en omgekeerd evenredig verwarren: bij evenredig is yx\frac{y}{x}xy​ constant, bij omgekeerd evenredig is x⋅yx\cdot yx⋅y constant.
  • Bij een omgekeerd evenredig verband de asymptoten vergeten (de grafiek raakt de assen nooit).

Actieve herhaling

De oppervlakte van een vierkant is evenredig met het kwadraat van de zijde: A=z2A=z^{2}A=z2. Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte als de zijde verdrievoudigt? En bij een omgekeerd evenredig verband y=24xy=\frac{24}{x}y=x24​: welke yyy hoort bij x=8x=8x=8?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

§ 04

Transformaties van grafieken#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Kernpunten

Uit een bekende « standaardgrafiek » kun je door verschuiven en vermenigvuldigen tal van nieuwe grafieken maken, zonder telkens een tabel te hoeven berekenen. Een verticale verschuiving verkrijg je door bij de formule een getal op te tellen: de grafiek van y=f(x)+cy=f(x)+cy=f(x)+c is die van y=f(x)y=f(x)y=f(x) over ccc eenheden omhoog (bij c>0c>0c>0) of omlaag (bij c<0c<0c<0) geschoven. Afb. 5 laat dit zien voor de parabool: y=x2y=x^{2}y=x2 heeft zijn top in (0,0)(0,0)(0,0), en y=(x−2)2+1y=(x-2)^{2}+1y=(x−2)2+1 is diezelfde parabool met de top verschoven naar (2,1)(2,1)(2,1).

Afb. 5 — De parabool verschuiven

Verschuiven van y = x²Schaubild von y=x², Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2 bis 5, Schaubild von y=(x−2)²+1, Tiefpunkt bei (2, 1), y-Achsenabschnitt bei y = 5, im Bereich x von -2 bis 5−2−1123452468top (0,0)top (2,1)y = x²y = (x−2)²+1yx
Afb. 5Afb. 5 — y=x2y=x^{2}y=x2 (top (0,0)(0,0)(0,0)) en y=(x−2)2+1y=(x-2)^{2}+1y=(x−2)2+1 (top (2,1)(2,1)(2,1)): 222 naar rechts en 111 omhoog verschoven.
Een horizontale verschuiving zit ín het functievoorschrift en werkt « tegengesteld » aan wat je zou verwachten: de grafiek van y=f(x−c)y=f(x-c)y=f(x−c) is die van y=f(x)y=f(x)y=f(x) over ccc eenheden naar réchts geschoven (bij c>0c>0c>0). Het minteken in x−cx-cx−c verschuift dus naar rechts, en x+cx+cx+c naar links — een klassieke valkuil. Bij de parabool y=(x−2)2y=(x-2)^{2}y=(x−2)2 ligt de top daarom bij x=2x=2x=2 en niet bij x=−2x=-2x=−2. Combineer je beide verschuivingen, zoals in y=(x−2)2+1y=(x-2)^{2}+1y=(x−2)2+1, dan schuift de hele grafiek 222 naar rechts en 111 omhoog: de top gaat van (0,0)(0,0)(0,0) naar (2,1)(2,1)(2,1).
Naast verschuiven kun je grafieken vermenigvuldigen (uitrekken of samendrukken). De grafiek van y=a⋅f(x)y=a\cdot f(x)y=a⋅f(x) is die van y=f(x)y=f(x)y=f(x) verticaal met factor aaa uitgerekt: bij ∣a∣>1|a|>1∣a∣>1 wordt hij steiler, bij 0<∣a∣<10<|a|<10<∣a∣<1 platter, en bij a<0a<0a<0 wordt hij bovendien in de xxx-as gespiegeld (op de kop). Bij een parabool zie je zo dat een grotere ∣a∣|a|∣a∣ een smallere parabool geeft. Deze verticale vermenigvuldiging verandert de yyy-waarden, maar laat de nulpunten (waar y=0y=0y=0) op hun plaats.
Transformaties zijn een krachtig hulpmiddel om grafieken snel te doorzien. Herken je in een formule een standaardvorm plus verschuivingen — bijvoorbeeld y=(x−p)2+qy=(x-p)^{2}+qy=(x−p)2+q als een parabool met top (p,q)(p,q)(p,q) — dan weet je meteen hoe de grafiek eruitziet zonder te rekenen. Andersom kun je uit de ligging van een grafiek de transformaties aflezen en zo de formule terugvinden. Deze manier van kijken, waarin je elke grafiek ziet als een bewerkte standaardgrafiek, keert bij alle verbanden van domein C terug, van parabolen tot exponentiële en logaritmische krommen.
y=f(x)+cy=f(x)+cy=f(x)+c

Verticaal verschuiven

c>0: omhoog; c<0: omlaag.

y=f(x−c)y=f(x-c)y=f(x−c)

Horizontaal verschuiven

c>0: naar rechts; c<0: naar links (tegengesteld aan het teken in x−c).

y=a⋅f(x)y=a\cdot f(x)y=a⋅f(x)

Verticaal vermenigvuldigen

|a|>1: steiler; 0<|a|<1: platter; a<0: gespiegeld in de x-as.

Uitgewerkt voorbeeld

Een transformatie herkennen en gebruiken

Gegeven de standaardparabool y=x2y=x^{2}y=x2. (a) Geef de formule na een verschuiving van 333 naar rechts en 222 omlaag. (b) Waar ligt dan de top? (c) Beschrijf de grafiek van y=−2x2y=-2x^{2}y=−2x2 ten opzichte van y=x2y=x^{2}y=x2.

  1. 01(a) Verschuiven in de formule

    Rechts: x→x−3x\to x-3x→x−3. Omlaag: −2-2−2 erbij.

    y=(x−3)2−2y=(x-3)^{2}-2y=(x−3)2−2
  2. 02(b) Top aflezen

    Bij de vorm (x−p)2+q(x-p)^{2}+q(x−p)2+q ligt de top in (p,q)(p,q)(p,q), dus hier (3,−2)(3,-2)(3,−2).

  3. 03(c) Vermenigvuldigen en spiegelen

    De factor −2-2−2 maakt de parabool steiler (factor 222) én spiegelt hem in de xxx-as, dus y=−2x2y=-2x^{2}y=−2x2 is een smallere, naar beneden geopende parabool met dezelfde top (0,0)(0,0)(0,0).

Resultaat: (a) y=(x−3)2−2y=(x-3)^{2}-2y=(x−3)2−2; (b) top (3,−2)(3,-2)(3,−2); (c) y=−2x2y=-2x^{2}y=−2x2 is steiler en op de kop t.o.v. y=x2y=x^{2}y=x2.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: transformaties (verschuiven en vermenigvuldigen) van een grafiek beschrijven en de bijbehorende formule geven.
  • Examendoel: uit een formule van de vorm y=(x−p)2+qy=(x-p)^{2}+qy=(x−p)2+q de top en de grafiek direct aflezen.

Veelgemaakte fouten

  • De richting van een horizontale verschuiving verkeerd om nemen: y=f(x−c)y=f(x-c)y=f(x−c) schuift naar réchts (niet naar links).
  • Denken dat y=a⋅f(x)y=a\cdot f(x)y=a⋅f(x) de nulpunten verschuift; de nulpunten (waar y=0y=0y=0) blijven op hun plaats.

Actieve herhaling

Beschrijf hoe je de grafiek van y=(x+1)2−4y=(x+1)^{2}-4y=(x+1)2−4 uit y=x2y=x^{2}y=x2 krijgt en geef de top. Geef daarna de formule van y=x2y=x^{2}y=x2 na spiegeling in de xxx-as en een verschuiving van 222 omhoog.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Inhoud

Sectie -- / 04

    • 01Lineaire verbanden: helling en snijpunt○
    • 02Tweedegraads verbanden: parabool, top en nulpunten◐
    • 03Machtsverbanden en (omgekeerd) evenredigheid◐
    • 04Transformaties van grafieken◐

0/4 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Lineaire, tweedegraads- en machtsverbanden

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~15
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

  • Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden

Vorig onderwerp

Verbanden en formules

Volgend onderwerp

Exponentiële en logaritmische verbanden

EuraStudy·Samenvattingen T·04·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.