Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Standaardfuncties

De zes standaardfuncties — lineair, kwadratisch, macht/wortel, exponentieel, logaritmisch en goniometrisch (de sinusoïde) — vormen de bouwstenen van domein C1. Bij elk type horen een herkenbare formule, een typische grafiekvorm en een set karakteristieke grootheden: richtingscoëfficiënt en startwaarde, top en nulpunten, asymptoot, groeifactor, amplitude, evenwichtslijn en periode. In dit onderwerp leer je elk functietype herkennen aan een formule, grafiek of tabel, de kengetallen bepalen, de grafiek schetsen en het gedrag beschrijven als transformatie (verschuiven en vermenigvuldigen) van een standaardgrafiek.

4 Onderdelen~24 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0333 / 15

Examenprofiel

Herken het functietype (lineair, kwadratisch, macht/wortel, exponentieel, logaritmisch, goniometrisch) aan een formule, grafiek of tabelBepaal de karakteristieke grootheden: richtingscoëfficiënt, top en nulpunten, asymptoot, groeifactor, amplitude, evenwichtslijn en periodeSchets de grafiek van een standaardfunctie en beschrijf het groei- of afnamegedragBeschrijf en pas transformaties (verschuiven, vermenigvuldigen) van standaardgrafieken toe

Operatoren:berekenbepaalstel opherkenschetsbeschrijfleg uitinterpreteertoon aanlos op

basisniveau

Voor alle wiskunde-A-kandidaten: de zes standaardfuncties herkennen en hun karakteristieke grootheden (rc, top, asymptoot, amplitude, periode) bepalen en interpreteren in een context.

verhoogd niveau

Verdieping: sinusoïden met faseverschuiving opstellen uit een context en grafieken systematisch beschrijven als transformaties van een standaardgrafiek — met de grafische rekenmachine in radialen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Standaardfuncties

Lineaire en kwadratische functies#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-C1

De eenvoudigste standaardfuncties zijn de lineaire en de kwadratische functie. In Afb. 1 zie je een bergparabool

y = f(x)

met daarnaast een rechte lijn: die twee grafiekvormen — een rechte en een symmetrische parabool — horen bij de eerste twee functietypes. Een lineaire functie heeft de vorm

y = ax + b

en levert altijd een rechte lijn op; een kwadratische functie heeft de vorm

y = ax^2 + bx + c

(met

a \neq 0

) en levert altijd een parabool op. Het herkennen van deze vorm — staat de

x

tot de eerste of tot de tweede macht? — is de eerste stap bij elke functievraag.

Parabool en rechte lijn op één assenstelsel

Afb. 1De parabool

y = -0{,}5x^2 + 2x + 1

heeft top

(2,\ 3)

en nulpunten bij

x \approx -0{,}45

x \approx 4{,}45

; de rechte lijn

y = 0{,}5x + 1

deelt met haar het snijpunt

(0,\ 1)

op de

y

-as.

Bij

y = ax + b

heet

a

de richtingscoëfficiënt (rc): hij geeft de helling, oftewel hoeveel

y

verandert als

x

met

1

toeneemt. Je berekent hem uit twee punten met

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

. Is

a > 0

, dan stijgt de lijn; is

a < 0

, dan daalt hij; bij

a = 0

is de lijn horizontaal. Het getal

b

is de startwaarde: het snijpunt met de

y

-as ligt in

(0,\ b)

. Het nulpunt (snijpunt met de

x

-as) vind je door

ax + b = 0

op te lossen, dus

x = -\frac{b}{a}

. Een lineair verband herken je in een tabel aan een constante toename: bij gelijke stappen in

x

komt er telkens hetzelfde bij

y

Bij een kwadratische functie

y = ax^2 + bx + c

bepaalt het teken van

a

de opening: bij

a > 0

is het een dal-parabool (met een minimum), bij

a < 0

een berg-parabool (met een maximum). De top is het hoogste of laagste punt; door de symmetrie van de parabool ligt de

x

-coördinaat van de top precies midden tussen de nulpunten, en die bereken je met

x_{\text{top}} = -\frac{b}{2a}

. De

y

-coördinaat volgt door deze

x

weer in de formule in te vullen. De verticale lijn

x = -\frac{b}{2a}

door de top is de symmetrieas; het snijpunt met de

y

-as is

(0,\ c)

De nulpunten los je op uit

ax^2 + bx + c = 0

. Dat lukt soms door ontbinden in factoren, en anders altijd met de abc-formule

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

. Het getal onder de wortel, de discriminant

D = b^2 - 4ac

, vertelt hoeveel nulpunten er zijn: bij

D > 0

twee, bij

D = 0

één (de top raakt de

x

-as), en bij

D < 0

geen. Een kwadratisch verband herken je in een tabel aan een constante tweede toename: de toenames van de toenames zijn dan gelijk.

Om een parabool te schetsen heb je genoeg aan de top, de nulpunten en het snijpunt met de

y

-as; door de symmetrie ligt elk punt links van de as gespiegeld ook rechts ervan. Voor grote

|x|

groeit een kwadratische functie veel sneller dan een lineaire: op den duur wint de

x^2

-term het altijd van een

x

-term. Dat verschil in gedrag — een rechte lijn met constante helling tegenover een parabool die steeds steiler wordt — is precies waarom je in een context eerst het functietype vaststelt voordat je gaat rekenen.

y = ax + b

Lineaire functie

Rechte lijn met richtingscoëfficiënt $a$ (helling) en startwaarde $b$ ; snijpunt met de $y$ -as in $(0,\ b)$ .

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Richtingscoëfficiënt uit twee punten

De verandering van $y$ gedeeld door de verandering van $x$ .

y = ax^2 + bx + c

Kwadratische functie

Parabool; $a > 0$ geeft een dal, $a < 0$ een berg; snijpunt met de $y$ -as in $(0,\ c)$ .

x_{\text{top}} = -\frac{b}{2a}

x-coördinaat van de top

Vul deze $x$ weer in de formule in voor de $y$ -coördinaat; dit is ook de symmetrieas.

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad D = b^2 - 4ac

abc-formule en discriminant

$D > 0$ : twee nulpunten; $D = 0$ : één; $D < 0$ : geen.

Uitgewerkt voorbeeld

Volledige analyse van een parabool

Gegeven de functie $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Bepaal de coördinaten van de top, de vergelijking van de symmetrieas, de nulpunten en het snijpunt met de $y$ -as, en beschrijf de grafiek.

Herken de vorm en de coëfficiënten
$f$ is kwadratisch met $a = 1$ , $b = -4$ en $c = 3$ . Omdat $a = 1 > 0$ opent de parabool naar boven, dus de top is een minimum.
$a = 1, \quad b = -4, \quad c = 3$
Bereken de x-coördinaat van de top
Gebruik $x_{\text{top}} = -\frac{b}{2a}$ .
$x_{\text{top}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
Bereken de y-coördinaat van de top
Vul $x = 2$ in de formule in. De symmetrieas is de verticale lijn $x = 2$ .
$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Bepaal de nulpunten door ontbinden
Los $x^2 - 4x + 3 = 0$ op. Zoek twee getallen die vermenigvuldigen tot $3$ en optellen tot $-4$ : dat zijn $-1$ en $-3$ .
$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \ \Rightarrow\ x = 1 \ \text{of} \ x = 3$
Snijpunt met de y-as
Vul $x = 0$ in: dat geeft $c$ , dus het snijpunt met de $y$ -as is $(0,\ 3)$ .
$f(0) = 0 - 0 + 3 = 3$

Resultaat: De top is $(2,\ -1)$ (een minimum), de symmetrieas is $x = 2$ , de nulpunten zijn $x = 1$ en $x = 3$ , en het snijpunt met de $y$ -as is $(0,\ 3)$ . De grafiek is een dal-parabool door $(1,\ 0)$ en $(3,\ 0)$ met laagste punt $(2,\ -1)$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een lineair verband in een context opstellen en gebruiken

Een taxibedrijf rekent $\,\text{EUR}3{,}50$ voorrijkosten plus $\,\text{EUR}2{,}20$ per gereden kilometer. Stel een formule op voor de kosten $K$ (in euro) bij $x$ kilometer, geef de richtingscoëfficiënt en de betekenis ervan, bereken de kosten voor een rit van $12$ km, en bepaal bij welke afstand een rit $\,\text{EUR}25{,}50$ kost.

Stel de lineaire formule op
De vaste voorrijkosten vormen de startwaarde $b = 3{,}50$ ; de kosten per kilometer vormen de richtingscoëfficiënt $a = 2{,}20$ .
$K(x) = 2{,}20\,x + 3{,}50$
Betekenis van de richtingscoëfficiënt
$a = 2{,}20$ betekent dat elke extra kilometer de rit $\,\text{EUR}2{,}20$ duurder maakt; $b = 3{,}50$ zijn de kosten bij $0$ km.
Kosten voor 12 km
Vul $x = 12$ in.
$K(12) = 2{,}20 \cdot 12 + 3{,}50 = 26{,}40 + 3{,}50 = 29{,}90$
Afstand bij een rit van €25,50
Los $K(x) = 25{,}50$ op door eerst de startwaarde af te trekken en dan te delen door de richtingscoëfficiënt.
$2{,}20\,x + 3{,}50 = 25{,}50 \ \Rightarrow\ 2{,}20\,x = 22{,}00 \ \Rightarrow\ x = 10$

Resultaat: De formule is $K(x) = 2{,}20x + 3{,}50$ ; de richtingscoëfficiënt $2{,}20$ is de prijs per kilometer. Een rit van $12$ km kost $\,\text{EUR}29{,}90$ , en bij $\,\text{EUR}25{,}50$ hoort een afstand van $10$ km.

Veelgemaakte fouten

Het minteken in de topformule $x = -\frac{b}{2a}$ vergeten, of delen door $a$ in plaats van door $2a$ .
De richtingscoëfficiënt met de startwaarde verwarren: in $y = ax + b$ is $a$ de helling en $b$ de waarde bij $x = 0$ .
Alleen de $x$ -coördinaat van de top geven: reken de $y$ -waarde uit door $x_{\text{top}}$ weer in te vullen, anders is het antwoord onvolledig.

Actieve herhaling

Gegeven $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ . Bepaal de coördinaten van de top, de vergelijking van de symmetrieas en de nulpunten (afgerond op twee decimalen), en schets de grafiek.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Machts- en wortelfuncties#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-C1

Een machtsfunctie heeft de vorm

f(x) = a \cdot x^{n}

: de variabele

x

staat in het grondtal en de macht

n

is een vast getal. In Afb. 2 zie je

y = 0{,}5x^3

(een oneven macht) samen met

y = x^2

(een even macht); Afb. 3 toont de wortelfunctie

y = 2\sqrt{x}

. De grafiekvorm hangt sterk af van

n

: bij een even macht (

n = 2, 4, \dots

) is de grafiek symmetrisch in de

y

-as en ligt hij (bij

a > 0

) helemaal boven de

x

-as; bij een oneven macht (

n = 3, 5, \dots

) is de grafiek puntsymmetrisch in de oorsprong en loopt hij van linksonder naar rechtsboven.

Even en oneven macht: x² en 0,5x³

Afb. 2Een oneven macht (

y = 0{,}5x^3

) is puntsymmetrisch in de oorsprong; een even macht (

y = x^2

) is symmetrisch in de

y

-as. Beide gaan door

O(0,\ 0)

De wortelfunctie y = 2√x

Afb. 3De wortelfunctie

y = 2\sqrt{x}

heeft domein

x \ge 0

, begint in

(0,\ 0)

en gaat door

(4,\ 4)

(9,\ 6)

; ze stijgt steeds langzamer.

Het getal

a

rekt de grafiek verticaal uit (en spiegelt hem in de

x

-as als

a < 0

); de macht

n

bepaalt de vorm en het symmetriegedrag. Formeel geldt bij een even

n

dat

f(-x) = f(x)

(symmetrie in de

y

-as) en bij een oneven

n

dat

f(-x) = -f(x)

(puntsymmetrie in de oorsprong). Alle machtsfuncties met

a > 0

n \ge 1

gaan door de oorsprong

(0,\ 0)

en door

(1,\ a)

. Hoe groter

n

, hoe vlakker de grafiek dicht bij de oorsprong en hoe steiler hij verder weg.

De wortelfunctie

y = \sqrt{x}

is een machtsfunctie met een gebroken exponent:

\sqrt{x} = x^{1/2}

. Algemener geldt

\sqrt[n]{x} = x^{1/n}

. Omdat je van een negatief getal geen (reële) wortel kunt trekken, is het domein van

y = a\sqrt{x}

beperkt tot

x \ge 0

; het bereik is (bij

a > 0

)

y \ge 0

. De grafiek begint in de oorsprong en stijgt eerst snel en daarna steeds langzamer — het is precies de spiegeling in de lijn

y = x

van de rechtertak van de parabool

y = x^2

Verwar een machtsfunctie niet met een exponentiële functie: bij

x^{n}

staat de variabele in het grondtal en de macht vast, terwijl bij

g^{x}

(de volgende paragraaf) de variabele juist in de exponent staat. Machtsverbanden komen bij wiskunde A vaak voor als allometrische modellen: grootheden die met een vaste macht van elkaar afhangen, zoals lichaamsoppervlak en massa via

A = c \cdot m^{2/3}

. Zulke modellen reken je met de rekenmachine door; om de basisvariabele terug te rekenen uit

x^{p} = c

verhef je beide kanten tot de macht

\frac{1}{p}

Bij het schetsen let je op enkele vaste punten en op het gedrag aan de randen. Een machtsfunctie met een even

n

heeft een minimum (of, bij

a < 0

, een maximum) in de oorsprong; met een oneven

n

heeft hij daar juist een buigend verloop zonder top. Voor grote

x

groeit

x^{n}

sneller naarmate

n

groter is, terwijl de wortelfunctie

x^{1/2}

steeds langzamer stijgt — een macht kleiner dan

1

buigt af naar de

x

-as toe in plaats van steeds steiler te worden.

f(x) = a \cdot x^{n}

Machtsfunctie

Variabele in het grondtal, vaste macht $n$ ; door $(0,\ 0)$ en $(1,\ a)$ .

f(-x) = f(x)\ (\text{even } n), \qquad f(-x) = -f(x)\ (\text{oneven } n)

Symmetrie van machtsfuncties

Even macht: symmetrisch in de $y$ -as; oneven macht: puntsymmetrisch in de oorsprong.

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \qquad \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Wortel als macht

Een wortel is een macht met gebroken exponent; het domein van $\sqrt{x}$ is $x \ge 0$ .

x^{p} = c \ \Rightarrow\ x = c^{\frac{1}{p}}

Basisvariabele terugrekenen

Verhef beide kanten tot de macht $\frac{1}{p}$ om $x$ vrij te maken.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met een wortelfunctie

Gegeven $f(x) = 2\sqrt{x}$ . Bereken $f(25)$ , bepaal het domein van $f$ , en los op: voor welke $x$ geldt $f(x) = 7$ ?

Bereken f(25)
Bereken eerst de wortel: $\sqrt{25} = 5$ .
$f(25) = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$
Bepaal het domein
Onder het wortelteken mag geen negatief getal staan, dus geldt $x \ge 0$ .
$\text{domein: } x \ge 0$
Los f(x) = 7 op
Deel eerst door $2$ en kwadrateer daarna beide kanten.
$2\sqrt{x} = 7 \ \Rightarrow\ \sqrt{x} = 3{,}5 \ \Rightarrow\ x = 3{,}5^2 = 12{,}25$

Resultaat: $f(25) = 10$ , het domein is $x \ge 0$ , en $f(x) = 7$ voor $x = 12{,}25$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Een machtsverband (allometrisch model) doorrekenen

Voor het lichaamsoppervlak $A$ (in m²) van een zoogdier geldt bij benadering $A = 0{,}11 \cdot m^{2/3}$ , met $m$ de massa in kg. a) Bereken $A$ voor een dier van $60$ kg. b) Een dier heeft een lichaamsoppervlak van $1$ m². Bereken zijn massa.

a) Vul m = 60 in
Bereken $60^{2/3}$ met de rekenmachine; dat is $\left(\sqrt[3]{60}\right)^2 \approx 15{,}33$ .
$A = 0{,}11 \cdot 60^{2/3} \approx 0{,}11 \cdot 15{,}33 \approx 1{,}69$
b) Stel de vergelijking op
Vul $A = 1$ in en maak $m^{2/3}$ vrij.
$0{,}11 \cdot m^{2/3} = 1 \ \Rightarrow\ m^{2/3} = \frac{1}{0{,}11} \approx 9{,}09$
Maak m vrij
Verhef beide kanten tot de macht $\frac{3}{2}$ — dat is de inverse van $\frac{2}{3}$ .
$m = 9{,}09^{3/2} \approx 27{,}4$

Resultaat: Een dier van $60$ kg heeft een lichaamsoppervlak van ongeveer $1{,}69$ m². Bij een oppervlak van $1$ m² hoort een massa van ongeveer $27{,}4$ kg.

Veelgemaakte fouten

Een machtsfunctie verwarren met een exponentiële functie: bij $x^{n}$ staat de variabele in het grondtal, bij $g^{x}$ in de exponent — dat zijn verschillende functietypes.
De wortelfunctie ook voor negatieve $x$ invullen: $\sqrt{x}$ bestaat niet voor $x < 0$ (het domein is $x \ge 0$ ).
Bij het terugrekenen van $m^{2/3} = c$ vergeten tot de macht $\frac{3}{2}$ te verheffen, of $\frac{2}{3}$ en $\frac{3}{2}$ verwisselen.

Actieve herhaling

Gegeven $f(x) = 3 \cdot x^{1{,}5}$ . Bereken $f(4)$ exact. Los daarna op: voor welke $x$ geldt $f(x) = 81$ ?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Exponentiële en logaritmische functies#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-C1

Een exponentiële functie heeft de vorm

y = b \cdot g^{x}

: nu staat de variabele

x

in de exponent en is

g

een vast, positief grondtal, de groeifactor. In Afb. 4 zie je twee zulke grafieken met dezelfde startwaarde: een groeiende (

g > 1

) en een afnemende (

0 < g < 1

). De startwaarde

b

is de functiewaarde bij

x = 0

, want

g^{0} = 1

, dus de grafiek snijdt de

y

-as in

(0,\ b)

. Kenmerkend is de horizontale asymptoot

y = 0

: de grafiek nadert de

x

-as steeds dichter, maar raakt of snijdt hem nooit (bij

b > 0

y

altijd positief).

Exponentiële groei en afname met dezelfde startwaarde

Afb. 4Beide grafieken starten in

(0,\ 3)

. Bij

y = 3 \cdot 0{,}5^{x}

(

g < 1

) is er afname, bij

y = 3 \cdot 1{,}5^{x}

(

g > 1

) groei; de horizontale asymptoot is

y = 0

De groeifactor koppelt exponentiële groei aan procenten: bij een toename van

p\%

per tijdstap is

g = 1 + \frac{p}{100}

, en bij een afname van

p\%

g = 1 - \frac{p}{100}

. Zo hoort bij

+3\%

de groeifactor

g = 1{,}03

en bij

-20\%

de groeifactor

g = 0{,}8

. Een groeifactor groter dan

1

betekent toename, tussen

0

1

afname, en

g = 1

betekent geen verandering. Herhaalde groei over

n

stappen geeft de factor

g^{n}

— dat is precies waarom het verband exponentieel is.

Om een exponentiële vergelijking

g^{x} = c

op te lossen heb je de logaritme nodig: de logaritme met grondtal

g

is de inverse van de exponentiële functie. Er geldt

{}^{g}\log(x) = y \iff g^{y} = x

. Daarmee is

x = {}^{g}\log(c)

, wat je op de rekenmachine berekent als

\frac{\log c}{\log g}

. De logaritmische functie

y = {}^{g}\log(x)

is als inverse de spiegeling van

y = g^{x}

in de lijn

y = x

(zie Afb. 5): haar domein is

x > 0

, haar bereik alle reële getallen, en zij heeft een verticale asymptoot

x = 0

en gaat door

(1,\ 0)

y = 2ˣ en ²log(x) zijn elkaars inverse

Afb. 5De logaritmische functie

y = {}^{2}\log(x)

is de spiegeling van

y = 2^{x}

in de lijn

y = x

: het punt

(0,\ 1)

wordt

(1,\ 0)

. Het domein van de log is

x > 0

, met verticale asymptoot

x = 0

Exponentiële modellen beschrijven processen met een vaste vermenigvuldiging per tijdstap: samengestelde interest, bevolkingsgroei, radioactief verval, de afbraak van een medicijn. Twee veelgevraagde grootheden zijn de verdubbelingstijd (de tijd waarin de hoeveelheid

\times 2

wordt, bij groei) en de halveringstijd (de tijd waarin de hoeveelheid halveert, bij afname). Beide bereken je door

g^{t} = 2

respectievelijk

g^{t} = 0{,}5

met de logaritme op te lossen; ze hangen alleen van de groeifactor af, niet van de startwaarde.

Voor het herleiden met logaritmen zijn twee regels het handigst:

{}^{g}\log(a \cdot b) = {}^{g}\log(a) + {}^{g}\log(b)

(een product wordt een som) en

{}^{g}\log(a^{p}) = p \cdot {}^{g}\log(a)

(een macht mag je naar voren halen). Vooral de tweede regel is nuttig, omdat je daarmee de onbekende uit de exponent haalt. Onthoud verder het verschil in gedrag: een exponentiële functie verandert steeds sneller (de grafiek wordt bij groei alsmaar steiler), terwijl de logaritmische functie juist steeds langzamer stijgt — ze zijn elkaars spiegelbeeld.

y = b \cdot g^{x}

Exponentiële functie

Startwaarde $b$ is de waarde bij $x = 0$ ; groeifactor $g > 0$ ; horizontale asymptoot $y = 0$ .

g = 1 + \frac{p}{100}

Groeifactor en procent

$+p\%$ per stap geeft $g = 1 + \frac{p}{100}$ ; $-p\%$ geeft $g = 1 - \frac{p}{100}$ .

{}^{g}\log(x) = y \iff g^{y} = x

Logaritme als inverse

De logaritme met grondtal $g$ maakt de exponentiële functie ongedaan.

g^{x} = c \iff x = {}^{g}\log(c) = \frac{\log c}{\log g}

Exponentiële vergelijking oplossen

Op de rekenmachine: deel de gewone logaritme van $c$ door die van $g$ .

{}^{g}\log(a \cdot b) = {}^{g}\log a + {}^{g}\log b, \qquad {}^{g}\log(a^{p}) = p \cdot {}^{g}\log a

Rekenregels voor logaritmen

Een product wordt een som; een macht mag je naar voren halen.

Uitgewerkt voorbeeld

Exponentiële groei en de verdubbelingstijd

Een spaarrekening van $\,\text{EUR}2000$ groeit met $3\%$ rente per jaar. a) Stel de formule op voor het bedrag $B$ (in euro) na $t$ jaar. b) Bereken $B$ na $10$ jaar. c) Na hoeveel hele jaren is het beginbedrag voor het eerst verdubbeld?

a) Groeifactor en formule
Bij $3\%$ groei per jaar is de groeifactor $g = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03$ ; de startwaarde is $b = 2000$ .
$B(t) = 2000 \cdot 1{,}03^{\,t}$
b) Bedrag na 10 jaar
Vul $t = 10$ in.
$B(10) = 2000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 2000 \cdot 1{,}3439 \approx 2687{,}83$
c) Verdubbeling — stel de vergelijking op
Verdubbeld betekent $B = 4000$ , dus $1{,}03^{t} = 2$ .
$2000 \cdot 1{,}03^{t} = 4000 \ \Rightarrow\ 1{,}03^{t} = 2$
Los op met de logaritme
Neem de logaritme: $t = {}^{1{,}03}\log(2) = \frac{\log 2}{\log 1{,}03}$ .
$t = \frac{\log 2}{\log 1{,}03} \approx \frac{0{,}3010}{0{,}01284} \approx 23{,}45$

Resultaat: De formule is $B(t) = 2000 \cdot 1{,}03^{t}$ ; na $10$ jaar is er $\,\text{EUR}2687{,}83$ . De verdubbeling treedt op na $t \approx 23{,}45$ jaar, dus pas na $24$ hele jaren is het bedrag meer dan verdubbeld.

Uitgewerkt voorbeeld

Exponentiële afname van een medicijn

Van een medicijn geldt dat de hoeveelheid $H$ (in mg) in het bloed na $t$ uur wordt gegeven door $H = 50 \cdot 0{,}8^{\,t}$ . a) Hoeveel mg is er na $5$ uur? b) Na hoeveel uur is er nog $10$ mg over?

Interpreteer de groeifactor
$g = 0{,}8$ betekent dat er elk uur $20\%$ verdwijnt (er blijft $80\%$ over); de starthoeveelheid is $50$ mg.
a) Hoeveelheid na 5 uur
Vul $t = 5$ in.
$H(5) = 50 \cdot 0{,}8^{5} = 50 \cdot 0{,}32768 \approx 16{,}4$
b) Stel de vergelijking op
Los $H = 10$ op.
$50 \cdot 0{,}8^{t} = 10 \ \Rightarrow\ 0{,}8^{t} = 0{,}2$
Los op met de logaritme
Deel de logaritme van $0{,}2$ door die van $0{,}8$ .
$t = \frac{\log 0{,}2}{\log 0{,}8} \approx \frac{-0{,}699}{-0{,}0969} \approx 7{,}2$

Resultaat: Na $5$ uur is er nog ongeveer $16{,}4$ mg; er is nog $10$ mg over na ongeveer $7{,}2$ uur.

Veelgemaakte fouten

De startwaarde en de groeifactor verwisselen, of bij afname een groeifactor $g > 1$ gebruiken: afname betekent $0 < g < 1$ (bij $-20\%$ hoort $g = 0{,}8$ , niet $1{,}2$ of $-0{,}2$ ).
Bij het oplossen van $g^{x} = c$ de exponent en het grondtal door elkaar halen: $x = {}^{g}\log(c)$ , op de rekenmachine $\frac{\log c}{\log g}$ — niet $\frac{\log g}{\log c}$ .
Denken dat de exponentiële grafiek de $x$ -as snijdt: $y = b \cdot g^{x}$ heeft $y = 0$ als horizontale asymptoot en wordt (bij $b > 0$ ) nooit precies $0$ .

Actieve herhaling

Een populatie bedraagt nu $800$ dieren en groeit met $6\%$ per jaar. Stel de formule op, bereken de populatie na $15$ jaar (afgerond op een geheel getal) en bepaal na hoeveel hele jaren de populatie voor het eerst boven de $2000$ komt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Goniometrische functies (sinusoïde) en transformaties#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-domein-C1

Verschijnselen die zich regelmatig herhalen — getijden, daglengte, temperatuur over een jaar — beschrijf je met een goniometrische functie, de sinusoïde. De algemene vorm is

y = a\sin\big(b(x - c)\big) + d

. In Afb. 6 zie je de eenvoudige sinusoïde

y = 2\sin(x) + 3

: een golf die op en neer beweegt rond een middenlijn. Vier getallen leggen zo'n golf volledig vast:

a

(de amplitude),

d

(de evenwichtslijn),

b

(via de periode) en

c

(de horizontale of faseverschuiving). Elk van die getallen kun je aflezen uit de grafiek én uit een context.

De sinusoïde y = 2·sin(x) + 3

Afb. 6Amplitude

2

(de afstand tot de evenwichtslijn

y = 3

), maximum

5

, minimum

1

, en periode

2\pi \approx 6{,}28

De evenwichtslijn

y = d

is de horizontale middenlijn waar de golf omheen slingert; je vindt

d

als het gemiddelde van de maximale en de minimale waarde:

d = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

. De amplitude

a

is de afstand van de evenwichtslijn tot de top (of tot het dal), dus de helft van het verschil tussen max en min:

a = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

. Daaruit volgt meteen: maximum

= d + a

en minimum

= d - a

. In Afb. 6 is

d = 3

a = 2

, dus de top ligt op

5

en het dal op

1

De periode is de lengte van één volledige golf, voordat het patroon zich herhaalt. Zij hangt samen met

b

via

\text{periode} = \frac{2\pi}{b}

, oftewel

b = \frac{2\pi}{\text{periode}}

. Let op:

b

is niet zelf de periode — een grotere

b

geeft juist een kortere periode (de golf herhaalt sneller). Bij

b = 1

is de periode

2\pi

, zoals bij

y = 2\sin(x) + 3

; wil je een verschijnsel met periode

12

(bijvoorbeeld maanden of getijdenuren), dan neem je

b = \frac{2\pi}{12}

(zie Afb. 7). Reken bij sinusoïden altijd in radialen.

Sinusoïde met periode 12

Afb. 7Met

b = \frac{2\pi}{12}

is de periode

\frac{2\pi}{b} = 12

; de top

5

ligt bij

x = 3

, het dal

1

bij

x = 9

, rond de evenwichtslijn

y = 3

De faseverschuiving

c

schuift de hele golf horizontaal op:

y = a\sin\big(b(x - c)\big) + d

is de basisgolf

c

eenheden naar rechts verplaatst. Je bepaalt

c

meestal via het tijdstip van het eerste maximum: de sinus is maximaal als het argument

b(x - c) = \frac{\pi}{2}

is, dus als

x - c = \frac{\pi}{2b}

. Bij het opstellen van een formule uit een context reken je daarom in deze volgorde: eerst

d

a

uit max en min, dan

b

uit de periode, en ten slotte

c

uit het tijdstip van de top.

De sinusoïde laat mooi zien wat transformaties van een standaardgrafiek zijn, en die regels gelden voor elke functie

y = f(x)

. Verticaal:

y = f(x) + d

verschuift de grafiek

d

omhoog, en

y = a \cdot f(x)

rekt hem verticaal met factor

a

uit (bij

a < 0

ook een spiegeling in de

x

-as). Horizontaal:

y = f(x - c)

verschuift

c

naar rechts, en

y = f(b \cdot x)

krimpt de grafiek horizontaal met factor

\frac{1}{b}

. Zo is elke sinusoïde te lezen als de standaardgrafiek

y = \sin(x)

die verticaal is uitgerekt (amplitude), omhoog geschoven (evenwichtslijn), horizontaal geschaald (periode) en horizontaal verschoven (fase) — en dezelfde bril past op verschoven parabolen, machts- en exponentiële grafieken.

y = a\sin\big(b(x - c)\big) + d

Algemene sinusoïde

$a$ amplitude, $d$ evenwichtslijn, $b$ via de periode, $c$ faseverschuiving.

a = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}, \qquad d = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

Amplitude en evenwichtslijn

Halve afstand tussen top en dal; gemiddelde van max en min.

\text{periode} = \frac{2\pi}{b} \iff b = \frac{2\pi}{\text{periode}}

Periode en b

Een grotere $b$ geeft een kortere periode; reken in radialen.

\text{max} = d + a, \qquad \text{min} = d - a

Maximum en minimum

De golf bereikt $d + a$ als top en $d - a$ als dal.

Uitgewerkt voorbeeld

Een sinusoïde opstellen uit een context

De temperatuur in een kas verloopt sinusvormig over een etmaal. Om $15{:}00$ uur is het maximaal $26$ °C en om $3{:}00$ uur minimaal $14$ °C. Stel een formule op van de vorm $T = a\sin\big(b(t - c)\big) + d$ , met $t$ in uren na middernacht.

Evenwichtslijn d en amplitude a
$d$ is het gemiddelde van max en min; $a$ is de helft van hun verschil.
$d = \frac{26 + 14}{2} = 20, \qquad a = \frac{26 - 14}{2} = 6$
Periode en b
Een etmaal duurt $24$ uur, dus de periode is $24$ .
$b = \frac{2\pi}{\text{periode}} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$
Faseverschuiving c
Het maximum treedt op als $b(t - c) = \frac{\pi}{2}$ . Vul $t = 15$ in.
$\frac{\pi}{12}(15 - c) = \frac{\pi}{2} \ \Rightarrow\ 15 - c = 6 \ \Rightarrow\ c = 9$
Controleer met het minimum
Vul $t = 3$ in: het argument wordt $-\frac{\pi}{2}$ , dus $\sin = -1$ en $T = 20 - 6 = 14$ — dat klopt met het minimum.
$T(3) = 6\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) + 20 = -6 + 20 = 14$

Resultaat: De formule is $T = 6\sin\!\big(\tfrac{\pi}{12}(t - 9)\big) + 20$ : amplitude $6$ , evenwichtslijn $20$ °C, periode $24$ uur, met het maximum om $15{:}00$ uur.

Uitgewerkt voorbeeld

Karakteristieke grootheden van een sinusoïde aflezen en berekenen

Gegeven de sinusoïde $y = 2\sin\!\big(\tfrac{2\pi}{12}x\big) + 3$ (zie Afb. 7). a) Geef de amplitude, de evenwichtslijn en de periode. b) Bereken de maximale en de minimale waarde en de bijbehorende $x$ in $[0,\ 12]$ . c) Bereken $y$ voor $x = 2$ (afgerond op twee decimalen).

a) Karakteristieke grootheden
In de vorm $a\sin(bx) + d$ is $a = 2$ , $d = 3$ en $b = \frac{2\pi}{12}$ .
$\text{amplitude} = 2, \quad \text{evenwichtslijn } y = 3, \quad \text{periode} = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{2\pi/12} = 12$
b) Maximum en minimum
Max $= d + a = 5$ waar $\sin = 1$ : $\frac{2\pi}{12}x = \frac{\pi}{2}$ geeft $x = 3$ . Min $= d - a = 1$ waar $\sin = -1$ : $x = 9$ .
$\text{max } 5 \text{ bij } x = 3, \qquad \text{min } 1 \text{ bij } x = 9$
c) Functiewaarde bij x = 2
Reken in radialen: $\frac{2\pi}{12} \cdot 2 = \frac{\pi}{3}$ en $\sin\frac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}\sqrt{3}$ .
$y = 2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) + 3 = 2 \cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3} + 3 = \sqrt{3} + 3 \approx 4{,}73$

Resultaat: Amplitude $2$ , evenwichtslijn $y = 3$ , periode $12$ ; het maximum $5$ ligt bij $x = 3$ en het minimum $1$ bij $x = 9$ ; en $y(2) = \sqrt{3} + 3 \approx 4{,}73$ .

Veelgemaakte fouten

De periode en $b$ verwisselen: $b$ is niet de periode; de periode is $\frac{2\pi}{b}$ (een grote $b$ hoort bij een korte periode).
De amplitude als $\text{max} - \text{min}$ nemen in plaats van de helft ervan: amplitude $= \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ .
De rekenmachine in graden laten staan terwijl de formule radialen gebruikt (zet hem op RAD), of de faseverschuiving $c$ de verkeerde kant op toepassen.

Actieve herhaling

De waterhoogte bij een steiger is sinusvormig met hoogwater $4{,}2$ m om $6{:}00$ uur en laagwater $1{,}8$ m om $12{:}00$ uur. Stel een formule $H = a\sin(b(t - c)) + d$ op met $t$ in uren na middernacht, en bereken de waterhoogte om $9{:}00$ uur.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Standaardfuncties

Kernpunten

Volledige analyse van een parabool

Een lineair verband in een context opstellen en gebruiken

Kernpunten

Rekenen met een wortelfunctie

Een machtsverband (allometrisch model) doorrekenen

Kernpunten

Exponentiële groei en de verdubbelingstijd

Exponentiële afname van een medicijn

Kernpunten

Een sinusoïde opstellen uit een context

Karakteristieke grootheden van een sinusoïde aflezen en berekenen

Bronnen