Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Kansverdelingen: verwachtingswaarde, standaardafwijking en normale verdeling

Een toevalsvariabele koppelt aan elke uitkomst van een kansexperiment een getal; met de kansverdeling, de verwachtingswaarde E(X) en de standaardafwijking σ vat je zo'n variabele samen. Twee kansmodellen keren steeds terug: de binomiale verdeling voor het aantal successen bij n onafhankelijke pogingen, en de normale verdeling — de klokkromme waarbij kansen oppervlakten zijn. Je leert ze zowel met de hand (formules, de z-score en de vuistregels 68–95–99,7%) als met de grafische rekenmachine (binompdf/binomcdf en normalcdf/invNorm) berekenen.

4 Onderdelen~20 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·121212 / 15

Examenprofiel

E5 · Toevalsvariabele, kansverdeling, verwachtingswaarde E(X)=Σ x·P(X=x) en standaardafwijking bepalenE5 · Binomiale kansen P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) berekenen, met verwachting np en standaardafwijking √(np(1−p))E5 · Normale verdeling: de z-score, de vuistregels 68–95–99,7% en kansen als oppervlakte onder de klokkrommeE5 · Binomiale en normale kansen berekenen met de grafische rekenmachine (binompdf/binomcdf, normalcdf/invNorm)

Operatoren:berekenbepaalleg uitinterpreteerschattoon aanstel op

basisniveau

Kansverdelingen, de binomiale en de normale verdeling zijn CE-stof (domein E, Statistiek en kansrekening) voor alle profielen van wiskunde A.

verhoogd niveau

In de verklarende statistiek — toetsen en betrouwbaarheidsintervallen — zijn de binomiale en de normale verdeling het rekengereedschap; wie ze hier goed beheerst, heeft daar direct profijt.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kansverdelingen: verwachtingswaarde, standaardafwijking en normale verdeling

Toevalsvariabele, verwachtingswaarde en standaardafwijking#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-E5

Een toevalsvariabele — ook stochast genoemd — koppelt aan elke uitkomst van een kansexperiment een getal; we schrijven hem met een hoofdletter, meestal

X

. Gooi je één keer met een dobbelsteen, dan is „het aantal ogen” zo'n toevalsvariabele: hij kan de waarden

1

tot en met

6

aannemen, elk met kans

\frac{1}{6}

. Bij een discrete toevalsvariabele hoort een kansverdeling: een tabel of grafiek die bij elke mogelijke waarde

x

de bijbehorende kans

P(X=x)

geeft. In Afb. 1 staat de kansverdeling van een Rad van Avontuur, waarbij

X

de gewonnen prijs in euro voorstelt — met kans

0{,}7

win je niets en de hoofdprijs van €50 valt slechts met kans

0{,}02

. Het bepalende kenmerk van élke kansverdeling zie je meteen: alle kansen samen zijn precies

1

, want er treedt met zekerheid één van de uitkomsten op.

Afb. 1 — Kansverdeling van het Rad van Avontuur

Afb. 1De kansverdeling van de gewonnen prijs

X

. De kansen samen zijn

1

; de verwachtingswaarde is

E(X)=3{,}60

euro.

De verwachtingswaarde

E(X)

vat samen wat je „op de lange duur gemiddeld” per keer krijgt. Je berekent hem als een gewogen gemiddelde: vermenigvuldig elke waarde met háár kans en tel alles op,

E(X)=\sum x\cdot P(X=x)

. Voor het rad geeft dat

E(X)=0\cdot 0{,}7+5\cdot 0{,}2+20\cdot 0{,}08+50\cdot 0{,}02=3{,}60

euro. Let op twee dingen. Ten eerste hoeft de verwachtingswaarde zélf geen mogelijke uitkomst te zijn — je wint nooit precies €3,60, maar wie het spel duizenden keren speelt, wint gemiddeld ongeveer €3,60 per keer. Ten tweede is

E(X)

meteen de eerlijke inleg voor een lot: kost een lot méér dan €3,60, dan verdient de organisator op termijn; kost het minder, dan verliest hij.

De verwachtingswaarde zegt niets over de spreiding — hoe ver de uitkomsten doorgaans van het midden liggen. Daarvoor gebruik je de variantie en de standaardafwijking. De variantie is de verwachte gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde,

\text{Var}(X)=\sum (x-E(X))^2\cdot P(X=x)

; je kwadrateert de afwijkingen zodat plus en min elkaar niet opheffen en grote afwijkingen zwaar meetellen. Omdat de variantie in „euro-kwadraten” staat, neem je de wortel terug om weer in euro's te rekenen: de standaardafwijking

\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}

. Zij is een maat voor de typische afstand tot de verwachtingswaarde: een kleine

\sigma

betekent dat de uitkomsten dicht om

E(X)

liggen, een grote

\sigma

dat ze sterk uiteenlopen.

Dat de standaardafwijking echt de spreiding meet en niet het midden, laat Afb. 2 zien. Beide raderen hebben dezelfde verwachtingswaarde

E(X)=3

, maar een heel verschillende spreiding. Rad A geeft alleen

2

3

4

punten en blijft dus dicht bij het midden:

\sigma\approx 0{,}71

. Rad B geeft

0

3

6

punten en springt veel verder weg:

\sigma\approx 2{,}12

. Twee verdelingen kunnen dus hetzelfde „verwachte” resultaat hebben terwijl de ene veel grilliger (risicovoller) is dan de andere — precies het onderscheid dat

\sigma

vastlegt.

Afb. 2 — Gelijke verwachtingswaarde, verschillende spreiding

Afb. 2Beide raderen hebben

E(X)=3

, maar Rad A (

\sigma\approx 0{,}71

) ligt dicht om het midden en Rad B (

\sigma\approx 2{,}12

) veel wijder. De standaardafwijking meet die spreiding.

Op de grafische rekenmachine hoef je deze sommen niet met de hand te maken. Zet de waarden

x

in lijst

L_1

en de kansen

P(X=x)

in lijst

L_2

, en kies dan 1-Var Stats met

L_1

als lijst en

L_2

als frequentielijst (FreqList). De rekenmachine geeft

\bar{x}

, dat hier de verwachtingswaarde

E(X)

is, en

\sigma x

, de standaardafwijking. Deze truc — kansen als „frequenties” invoeren — werkt voor élke discrete kansverdeling en is een snelle controle op je handmatige berekening.

\sum P(X=x)=1

Kansverdeling

De som van alle kansen in een kansverdeling is precies 1.

E(X)=\sum x\cdot P(X=x)

Verwachtingswaarde

Het gewogen gemiddelde van de waarden, elk gewogen met zijn kans.

\text{Var}(X)=\sum (x-E(X))^2\cdot P(X=x)

Variantie

De verwachte gekwadrateerde afwijking van de verwachtingswaarde.

\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}

Standaardafwijking

De wortel van de variantie; een maat voor de spreiding rond E(X), in dezelfde eenheid als X.

Uitgewerkt voorbeeld

Verwachtingswaarde en standaardafwijking van het Rad van Avontuur

Bij het Rad van Avontuur is $X$ de gewonnen prijs in euro, met $P(X=0)=0{,}7$ , $P(X=5)=0{,}2$ , $P(X=20)=0{,}08$ en $P(X=50)=0{,}02$ . Bereken $E(X)$ en $\sigma(X)$ . Een lot kost €5 — is dat gunstig voor de speler?

Controleer de kansverdeling
De kansen samen zijn $0{,}7+0{,}2+0{,}08+0{,}02=1$ , dus dit is een geldige kansverdeling.
Bereken de verwachtingswaarde
$E(X)=0\cdot 0{,}7+5\cdot 0{,}2+20\cdot 0{,}08+50\cdot 0{,}02=0+1+1{,}6+1=3{,}60$ euro.
$E(X)=\sum x\cdot P(X=x)=3{,}60$
Bereken de variantie
$\text{Var}(X)=(0-3{,}6)^2\cdot 0{,}7+(5-3{,}6)^2\cdot 0{,}2+(20-3{,}6)^2\cdot 0{,}08+(50-3{,}6)^2\cdot 0{,}02=9{,}072+0{,}392+21{,}5168+43{,}0592=74{,}04$ .
Neem de wortel voor de standaardafwijking
$\sigma(X)=\sqrt{74{,}04}\approx 8{,}60$ euro.
$\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{74{,}04}\approx 8{,}60$
Beoordeel de inleg
De eerlijke prijs is $E(X)=3{,}60$ euro. Een lot kost €5, dus de speler betaalt gemiddeld €1,40 meer dan hij terugkrijgt: het spel is ongunstig voor de speler (en winstgevend voor de organisator).

Resultaat: $E(X)=3{,}60$ euro en $\sigma(X)\approx 8{,}60$ euro. Omdat een lot €5 kost — meer dan de verwachte prijs van €3,60 — is het spel op de lange duur nadelig voor de speler.

Veelgemaakte fouten

De verwachtingswaarde berekenen als het gewone gemiddelde van de uitkomsten in plaats van het gewogen gemiddelde met de kansen — je moet elke waarde met háár kans wegen.
Vergeten de wortel te trekken: $\sum (x-E(X))^2 P(X=x)$ is de variantie; de standaardafwijking is de wortel daarvan. Zonder wortel staat je antwoord in de verkeerde eenheid (kwadraten).
Denken dat de verwachtingswaarde een uitkomst moet zijn die echt kan vallen. $E(X)$ is een gemiddelde en mag best tussen de mogelijke waarden in liggen (zoals €3,60).

Actieve herhaling

Een dobbelspel kost €2 per worp. Bij $6$ ogen wordt €10 uitgekeerd, bij $5$ ogen €3, anders niets. Zij $X$ de nettowinst per worp. Stel de kansverdeling van $X$ op, bereken $E(X)$ en $\sigma(X)$ , en beoordeel of het spel voor de speler voordelig is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

De binomiale verdeling#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-E5

Veel kansexperimenten bestaan uit het herhalen van eenzelfde poging met twee mogelijke aflopen: „succes” of „mislukking”. Als aan vier voorwaarden is voldaan, heet de telvariabele

X=

„het aantal successen” binomiaal verdeeld. Die voorwaarden zijn: (1) een vast aantal pogingen

n

; (2) elke poging heeft precies twee uitkomsten; (3) de succeskans

p

is bij elke poging gelijk; (4) de pogingen zijn onafhankelijk. In Afb. 3 zie je de binomiale verdeling voor

n=5

p=0{,}5

— bijvoorbeeld het aantal keer kop bij vijf worpen met een eerlijke munt. De verdeling is symmetrisch rond het midden, met de grootste kans bij

2

3

successen.

Afb. 3 — Binomiale verdeling (n = 5, p = 0,5)

Afb. 3Het aantal keer kop bij vijf worpen met een eerlijke munt. Symmetrisch rond

E(X)=np=2{,}5

; de kansen zijn

\frac{1}{32}

\frac{5}{32}

\frac{10}{32}

\frac{10}{32}

\frac{5}{32}

\frac{1}{32}

De kans op precies

k

successen bereken je met

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

. Je leest de formule van rechts naar links:

p^{k}

is de kans op

k

successen,

(1-p)^{n-k}

de kans op de overige

n-k

mislukkingen, en de binomiaalcoëfficiënt

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

telt op hoeveel verschillende volgordes die

k

successen kunnen vallen. Neem

n=5

p=0{,}5

k=2

: er zijn

\binom{5}{2}=10

volgordes, elk met kans

0{,}5^{2}\cdot 0{,}5^{3}=0{,}5^{5}=\frac{1}{32}

, samen

10\cdot\frac{1}{32}=0{,}3125

— precies de hoogte van de staaf bij

k=2

in Afb. 3.

Bij een binomiale verdeling hoef je de verwachtingswaarde en de standaardafwijking niet met de somformules uit te rekenen; er bestaan snelle formules. De verwachtingswaarde is

E(X)=n\cdot p

en de standaardafwijking

\sigma(X)=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

. Voor

n=5

p=0{,}5

geeft dat

E(X)=2{,}5

\sigma=\sqrt{5\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{1{,}25}\approx 1{,}12

. Zodra

p\neq 0{,}5

wordt de verdeling scheef: Afb. 4 toont

n=5

p=0{,}2

(bijvoorbeeld het aantal keer een uitkomst met kans

\frac{1}{5}

). De top verschuift naar links, naar

E(X)=np=1

, en er ontstaat een lange staart naar rechts.

Afb. 4 — Scheve binomiale verdeling (n = 5, p = 0,2)

Afb. 4Zodra

p\neq 0{,}5

wordt de verdeling scheef. Hier is

p=0{,}2

, dus

E(X)=np=1

; de top ligt bij

k=1

en er is een staart naar rechts.

Voor grotere

n

reken je binomiale kansen met de grafische rekenmachine. `binompdf(n, p, k)` geeft de kans op precies

k

successen,

P(X=k)

. `binomcdf(n, p, k)` geeft de cumulatieve kans

P(X\le k)

— de kans op hóógstens

k

successen. Andere kansen leid je daaruit af met het complement en aftrekken:

P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)

P(a\le X\le b)=\text{binomcdf}(n,p,b)-\text{binomcdf}(n,p,a-1)

. Deze omzettingen goed beheersen scheelt op het examen veel punten, want „minstens” en „hoogstens” zijn de klassieke valkuilen.

Herken je een binomiale situatie, dan is de rest routine. Let vooral op onafhankelijkheid en een gelijkblijvende

p

: trek je zónder terugleggen uit een kleine groep, dan verandert

p

per trekking en is

X

strikt genomen niet binomiaal. Bij een grote populatie (of trekken mét terugleggen) is

p

nagenoeg constant en mag je de binomiale verdeling gebruiken. Typische signaalwoorden zijn „

n

keer”, „onafhankelijk”, „telkens dezelfde kans” en „hoeveel van de …”.

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

Binomiale kans

Kans op precies k successen bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p.

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Binomiaalcoëfficiënt

Het aantal volgordes waarin k successen over n pogingen kunnen vallen (op de GR: nCr).

E(X)=n\cdot p

Verwachtingswaarde (binomiaal)

Het verwachte aantal successen.

\sigma(X)=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

Standaardafwijking (binomiaal)

De spreiding van het aantal successen rond np.

Uitgewerkt voorbeeld

Binomiale kansen bij een meerkeuzetoets

Een meerkeuzetoets heeft $10$ vragen, elk met $4$ antwoordopties waarvan er één goed is. Een leerling gokt elke vraag onafhankelijk. Zij $X$ het aantal goede antwoorden. (a) Bereken $P(X=3)$ . (b) Bereken de kans op minstens $4$ goede antwoorden. (c) Geef $E(X)$ en $\sigma(X)$ .

Herken de binomiale verdeling
Vast aantal pogingen $n=10$ , twee uitkomsten (goed/fout), gelijke succeskans $p=\frac{1}{4}=0{,}25$ per vraag en onafhankelijke vragen. Dus $X$ is binomiaal verdeeld met $n=10$ en $p=0{,}25$ .
(a) Bereken P(X=3)
$P(X=3)=\binom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7=120\cdot 0{,}015625\cdot 0{,}133484\approx 0{,}2503$ . Op de GR: binompdf(10, 0.25, 3).
$P(X=3)=\binom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7\approx 0{,}2503$
(b) Bereken P(X\ge 4)
Gebruik het complement: $P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-\text{binomcdf}(10,0{,}25,3)$ . De GR geeft $\text{binomcdf}(10,0{,}25,3)\approx 0{,}7759$ , dus $P(X\ge 4)\approx 1-0{,}7759=0{,}2241$ .
(c) Verwachting en standaardafwijking
$E(X)=np=10\cdot 0{,}25=2{,}5$ en $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{10\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75}=\sqrt{1{,}875}\approx 1{,}37$ .
$E(X)=np=2{,}5,\quad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\approx 1{,}37$

Resultaat: (a) $P(X=3)\approx 0{,}2503$ ; (b) $P(X\ge 4)\approx 0{,}2241$ ; (c) $E(X)=2{,}5$ en $\sigma(X)\approx 1{,}37$ . Een gokkende leerling heeft dus gemiddeld $2{,}5$ vragen goed.

Veelgemaakte fouten

De binomiaalcoëfficiënt $\binom{n}{k}$ vergeten en alleen $p^k(1-p)^{n-k}$ nemen. Dan tel je maar één volgorde mee in plaats van alle $\binom{n}{k}$ volgordes.
„Minstens $k$ ” gelijkstellen aan binomcdf(n,p,k). Het is $P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)$ — let op de $k-1$ , anders reken je één term te veel of te weinig mee.
De binomiale verdeling gebruiken terwijl er zónder terugleggen uit een kleine groep wordt getrokken; dan is $p$ niet constant en zijn de pogingen niet onafhankelijk.

Actieve herhaling

In een fabriek is $6\%$ van de lampen defect. Uit de productie worden $20$ lampen onafhankelijk gekozen. Zij $X$ het aantal defecte lampen. Bereken $P(X=0)$ , $P(X\ge 2)$ en de verwachtingswaarde en standaardafwijking van $X$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

De normale verdeling en de z-score#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-E5

Veel grootheden in de praktijk — lichaamslengte, meetfouten, IQ-scores, de inhoud van pakken suiker — zijn continu en verdeeld volgens de normale verdeling: de bekende, symmetrische klokkromme. Een normale verdeling ligt volledig vast door twee getallen: het gemiddelde

\mu

(de Griekse letter mu), dat het midden en de top bepaalt, en de standaardafwijking

\sigma

(sigma), die de breedte bepaalt. In Afb. 5 zie je de klokkromme voor

\mu=100

\sigma=15

(de schaal van veel IQ-tests). Anders dan bij een discrete variabele lees je een kans hier niet af als staafhoogte, maar als oppervlakte onder de kromme: de kans

P(a<X<b)

is de oppervlakte tussen

x=a

x=b

. De totale oppervlakte onder de kromme is

1

, en door de symmetrie ligt links en rechts van

\mu

elk de helft.

Afb. 5 — Normale verdeling met μ = 100, σ = 15

Afb. 5De normale kromme voor

\mu=100

\sigma=15

. De verticale lijn markeert het gemiddelde

\mu=100

; de gearceerde oppervlakte van

100

tot

130

P(100<X<130)=P(0<z<2)\approx 0{,}4772

Om verschillende normale verdelingen met elkaar te kunnen vergelijken, standaardiseer je een waarde met de z-score:

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

. De z-score vertelt hoeveel standaardafwijkingen een waarde boven of onder het gemiddelde ligt. Een positieve

z

ligt boven

\mu

, een negatieve eronder, en

z=0

valt precies op het gemiddelde. In Afb. 6 staat de z-schaal onder de x-schaal voor

\mu=100

\sigma=15

x=115

hoort bij

z=1

(één

\sigma

boven het midden) en

x=70

bij

z=-2

(twee

\sigma

eronder). Zo verandert elke normale verdeling in dezelfde standaardnormale verdeling met gemiddelde

0

en standaardafwijking

1

Afb. 6 — De z-schaal onder de normale verdeling

Afb. 6Standaardiseren: elke waarde

x

hoort bij een z-score

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

. Bij

\mu=100

\sigma=15

ligt

115

z=1

70

z=-2

De kracht van de z-score is dat je er ongelijksoortige dingen mee kunt vergelijken. Haalt Sanne een

8

op een toets met

\mu=6

\sigma=1

, en Tim een

80

op een toets met

\mu=70

\sigma=8

, dan is Sannes z-score

z=\frac{8-6}{1}=2

en die van Tim

z=\frac{80-70}{8}=1{,}25

. Sanne presteert dus relatief beter, ook al is haar ruwe cijfer veel lager. Door de symmetrie geldt bovendien

P(Z<-a)=P(Z>a)

: de linkerstaart voorbij

-a

is even groot als de rechterstaart voorbij

+a

. Die spiegelsymmetrie gebruik je voortdurend om kansen om te rekenen.

Omdat elke normale verdeling na standaardiseren dezelfde vorm heeft, horen bij vaste afstanden tot het gemiddelde vaste kansen. Binnen één standaardafwijking van het midden — tussen

\mu-\sigma

\mu+\sigma

— ligt altijd ongeveer

68\%

van de waarnemingen, ongeacht de waarden van

\mu

\sigma

. Dit is de eerste van de vuistregels die je in de volgende paragraaf gebruikt om snel kansen te schatten. De geschaduwde oppervlakte in Afb. 5 (van

100

tot

130

, oftewel van

z=0

tot

z=2

) is een voorbeeld van zo'n kans: hij bedraagt ongeveer

0{,}4772

, bijna de halve rechterhelft.

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

z-score

Het aantal standaardafwijkingen dat x boven (z>0) of onder (z<0) het gemiddelde ligt.

x=\mu+z\cdot\sigma

Terug naar x

Uit een z-score de bijbehorende waarde x terugrekenen.

P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx 0{,}68

Vuistregel (1σ)

Binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ligt ongeveer 68% van de waarnemingen.

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}

Kansdichtheid (ter info)

De formule van de klokkromme; op het examen reken je met oppervlakten (GR), niet met deze functie zelf.

Uitgewerkt voorbeeld

De z-score van een lengte berekenen

De lengte van volwassen mannen in een land is normaal verdeeld met $\mu=180$ cm en $\sigma=7$ cm. (a) Bepaal de z-score van een man van $194$ cm. (b) Bepaal de z-score van een man van $170$ cm. (c) Interpreteer beide uitkomsten.

(a) Vul de z-formule in
$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{194-180}{7}=\frac{14}{7}=2$ .
$z=\frac{194-180}{7}=2$
(b) Idem voor 170 cm
$z=\frac{170-180}{7}=\frac{-10}{7}\approx -1{,}43$ .
(c) Interpreteer
De man van $194$ cm ligt precies $2$ standaardafwijkingen bóven het gemiddelde (relatief lang); de man van $170$ cm ligt ongeveer $1{,}43$ standaardafwijking eronder. Volgens de vuistregels is minder dan $2{,}5\%$ van de mannen langer dan $194$ cm.

Resultaat: (a) $z=2$ ; (b) $z\approx -1{,}43$ . Een positieve z-score betekent boven, een negatieve onder het gemiddelde; $194$ cm is dus uitzonderlijk lang, $170$ cm iets onder gemiddeld.

Veelgemaakte fouten

In de z-score delen door de variantie in plaats van door de standaardafwijking. Het is $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ , met $\sigma$ (niet $\sigma^2$ ) in de noemer.
Het teken van de z-score negeren. Een waarde ónder het gemiddelde heeft een negatieve z-score; dat teken bepaalt of je in de linker- of rechterstaart zit.
Denken dat de kromme rechts of links „ophoudt”. De normale kromme loopt in theorie oneindig door; de staarten worden alleen razendsnel verwaarloosbaar klein.

Actieve herhaling

De vulmachine van een pak hagelslag levert een inhoud die normaal verdeeld is met $\mu=400$ gram en $\sigma=6$ gram. Bereken de z-score van een pak van $391$ gram en van een pak van $409$ gram, en leg uit welk pak verder van het gemiddelde af ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Normale kansen met vuistregels en de GR#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-domein-E5

De vuistregels (ook de

68

–

95

–

99{,}7

-regel genoemd) geven de kansen die bij vaste afstanden tot het gemiddelde horen, en gelden voor élke normale verdeling. Tussen

\mu-\sigma

\mu+\sigma

ligt ongeveer

68\%

van de waarnemingen; tussen

\mu-2\sigma

\mu+2\sigma

ongeveer

95\%

; en tussen

\mu-3\sigma

\mu+3\sigma

ongeveer

99{,}7\%

. Afb. 7 toont deze geneste gebieden voor

\mu=100

\sigma=15

: de smalle band

85

–

115

vangt

68\%

, de bredere band

70

–

130

vangt

95\%

. Je gebruikt de vuistregels om zonder rekenmachine een kans te schatten, of om snel te controleren of een berekende kans klopt.

Afb. 7 — De vuistregels 68–95–99,7%

Afb. 7De geneste vuistregelgebieden voor

\mu=100

\sigma=15

\mu\pm\sigma=85

–

115

(

\approx 68\%

, gearceerd),

\mu\pm2\sigma=70

–

130

(

\approx 95\%

) en

\mu\pm3\sigma=55

–

145

(

\approx 99{,}7\%

Uit de vuistregels haal je met complement en symmetrie ook de staartkansen. Ligt

68\%

binnen één

\sigma

, dan valt

32\%

erbuiten, en door de symmetrie zit daarvan de helft in elke staart:

P(X>\mu+\sigma)\approx 16\%

. Net zo geldt

P(X>\mu+2\sigma)\approx \frac{100\%-95\%}{2}=2{,}5\%

P(X>\mu+3\sigma)\approx 0{,}15\%

. Zo reken je met de vuistregels bijvoorbeeld uit dat maar

2{,}5\%

van de IQ-scores boven

130

ligt, want

130=\mu+2\sigma

. Onthoud de kernpercentages

68

95

99{,}7

— de rest leid je hieruit af.

Voor een precieze kans gebruik je op de grafische rekenmachine `normalcdf(ondergrens, bovengrens, μ, σ)`; dit is de oppervlakte onder de klokkromme tussen de twee grenzen. Voor een eenzijdige kans neem je als ontbrekende grens een heel groot getal:

P(X>130)

bereken je als normalcdf(130, 10^99, 100, 15) en

P(X<85)

als normalcdf(−10^99, 85, 100, 15). De GR geeft

P(X>130)\approx 0{,}0228

— dus

2{,}28\%

, keurig in de buurt van de

2{,}5\%

uit de vuistregel, maar exacter. De z-score heb je hier niet meer nodig;

\mu

\sigma

voer je rechtstreeks in.

Soms is de kans gegeven en zoek je de bijbehorende grenswaarde — het omgekeerde probleem. Daarvoor dient `invNorm(oppervlakte-links, μ, σ)`: je geeft de oppervlakte links van de grens (de cumulatieve kans) en krijgt de waarde

x

terug. Wil je de grens waarboven de bovenste

10\%

ligt, dan zit links daarvan

90\%

, dus reken je invNorm(0.90, 100, 15)

\approx 119{,}2

. Zo bepaal je percentielen en grenswaarden, bijvoorbeeld de score die je nodig hebt om bij de beste

10\%

te horen. Met de interactieve klokkromme hieronder zie je hoe de kromme verschuift en versmalt als je

\mu

\sigma

verandert — de oppervlakte, en dus de kans, verandert mee.

P(a<X<b)=\text{normalcdf}(a,\,b,\,\mu,\,\sigma)

Normale kans met de GR

De oppervlakte onder de klokkromme tussen a en b; voor een eenzijdige kans gebruik je 10^99 of −10^99 als ontbrekende grens.

P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0{,}95

Vuistregel (2σ)

Binnen twee standaardafwijkingen ligt ongeveer 95% van de waarnemingen.

P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx 0{,}997

Vuistregel (3σ)

Binnen drie standaardafwijkingen ligt ongeveer 99,7% — bijna alles.

x=\text{invNorm}(p,\,\mu,\,\sigma)

Inverse normale (grenswaarde)

Bij een gegeven oppervlakte p links van de grens de bijbehorende waarde x terugvinden (percentiel).

Normale verdeling van IQ-scores

Afb. 8Een normale verdeling met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15.

Interaktive Grafik lädt…

Uitgewerkt voorbeeld

Normale kansen bij IQ-scores — vuistregel, normalcdf en invNorm

IQ-scores zijn normaal verdeeld met $\mu=100$ en $\sigma=15$ . (a) Welk percentage heeft een IQ tussen $85$ en $115$ ? (b) Bereken $P(X>130)$ met de vuistregel én met de GR. (c) Bepaal met invNorm de IQ-grens waarboven de bovenste $10\%$ ligt.

(a) Herken μ ± σ
$85=100-15=\mu-\sigma$ en $115=100+15=\mu+\sigma$ . Tussen $\mu-\sigma$ en $\mu+\sigma$ ligt volgens de vuistregel ongeveer 68%. Exact met de GR: normalcdf(85, 115, 100, 15) ≈ 0,6827.
(b) P(X>130) met de vuistregel
$130=100+2\cdot 15=\mu+2\sigma$ . Binnen $\mu\pm 2\sigma$ ligt 95%, dus buiten die band 5%, en door de symmetrie in de rechterstaart de helft: $P(X>130)\approx 2{,}5\%$ .
(b) P(X>130) met de GR
Eenzijdig: normalcdf(130, 10^99, 100, 15) ≈ 0,0228, oftewel 2,28%. Dat bevestigt de schatting van 2,5% uit de vuistregel, maar is nauwkeuriger.
(c) De bovenste 10% met invNorm
Boven de gezochte grens ligt 10%, dus eronder 90%. Dan geldt $x=$ invNorm(0.90, 100, 15) $\approx 119{,}2$ .
$x=\text{invNorm}(0{,}90,\,100,\,15)\approx 119{,}2$

Resultaat: (a) ongeveer 68% (exact 0,6827); (b) $P(X>130)\approx 2{,}5\%$ met de vuistregel en $2{,}28\%$ met de GR; (c) de grens ligt bij een IQ van ongeveer $119$ . Wie bij de slimste $10\%$ wil horen, heeft dus minstens IQ ≈ 119 nodig.

Veelgemaakte fouten

Bij een eenzijdige kans de tweede grens vergeten of $0$ invoeren. Gebruik een heel groot getal ( $10^{99}$ ) voor de bovengrens, of $-10^{99}$ voor de ondergrens.
invNorm voeden met de rechteroppervlakte. invNorm verwacht de oppervlakte links van de grens; voor de bovenste $10\%$ voer je $0{,}90$ in, niet $0{,}10$ .
De vuistregels toepassen op grenzen die géén heel aantal $\sigma$ van het gemiddelde liggen. $68$ – $95$ – $99{,}7$ geldt precies bij $\mu\pm\sigma$ , $\mu\pm2\sigma$ en $\mu\pm3\sigma$ ; voor andere grenzen gebruik je de GR.

Actieve herhaling

De scores op een examen zijn normaal verdeeld met $\mu=65$ en $\sigma=12$ . (a) Schat met de vuistregels welk percentage tussen $53$ en $77$ ligt. (b) Bereken met de GR $P(X>80)$ . (c) Bepaal met invNorm de score die hoort bij het $90^{\text{e}}$ percentiel.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde A (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening

Kansverdelingen: verwachtingswaarde, standaardafwijking en normale verdeling

Kernpunten

Verwachtingswaarde en standaardafwijking van het Rad van Avontuur

Kernpunten

Binomiale kansen bij een meerkeuzetoets

Kernpunten

De z-score van een lengte berekenen

Kernpunten

Normale kansen bij IQ-scores — vuistregel, normalcdf en invNorm

Bronnen