Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Kansbegrip, combinatoriek, kansregels en simulatie

Kansrekening beschrijft toeval met een getal tussen 0 en 1. In dit onderwerp bepaal je kansen langs twee wegen — empirisch als relatieve frequentie (en geschat met een simulatie) en theoretisch met de regel van Laplace — en combineer je ze met de som-, complement- en productregel. Met kansbomen, wegendiagrammen, Venn-diagrammen en voorwaardelijke kansen reken je aan meertrapsexperimenten en onderzoek je of gebeurtenissen onafhankelijk zijn.

4 Onderdelen~21 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·111111 / 15

Examenprofiel

Empirische en theoretische kans (relatieve frequentie, Laplace en simulatie)Som-, complement- en productregel voor kansenKansbomen, wegendiagrammen en combinatoriek toepassen op kansenVoorwaardelijke kans, Venn-diagrammen en onafhankelijkheid

Operatoren:berekenbepaalleg uitonderzoekinterpreteerberedeneerschat

basisniveau

Gemeenschappelijke eindexamenstof (domein E): de regel van Laplace, de som-, complement- en productregel, kansbomen met en zonder terugleggen en de voorwaardelijke kans horen voor elk profiel tot de centraal-examenstof.

verhoogd niveau

Verdieping: combinatoriek koppelen aan kansen, meertrapsexperimenten met afhankelijke stappen doorrekenen en onafhankelijkheid onderzoeken met P(A∩B)=P(A)·P(B) of P(A|B)=P(A).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kansbegrip, combinatoriek, kansregels en simulatie

Kansbegrip: empirisch en theoretisch (Laplace)#

Basisexamenblad-wiskunde-a-domein-E4

Een kans is een getal dat aangeeft hoe waarschijnlijk een gebeurtenis is; het ligt altijd tussen 0 en 1. In Afb. 1 zie je deze kansenschaal: helemaal links staat 0 (de gebeurtenis is onmogelijk), helemaal rechts staat 1 (de gebeurtenis is zeker) en precies in het midden ligt

0{,}5

, waar een gebeurtenis en haar tegengestelde even waarschijnlijk zijn. Een gebeurtenis

A

is een deelverzameling van de uitkomstenruimte — de verzameling van alle mogelijke uitkomsten — en we noteren de kans erop met

P(A)

. Hoe verder een kans naar rechts op de schaal ligt, hoe vaker je de gebeurtenis op den duur verwacht.

De kansenschaal van 0 tot 1

Afb. 1Elke kans is een getal tussen 0 (onmogelijk) en 1 (zeker); hoe verder naar rechts, hoe waarschijnlijker. De kans op een zes met een zuivere dobbelsteen, 1/6 ≈ 0,17, ligt links van het midden.

Er zijn twee manieren om aan een kans te komen. De eerste is de empirische of experimentele kans: je voert het experiment vaak uit, telt hoe vaak

A

optreedt en deelt door het aantal herhalingen

n

. Dat quotiënt heet de relatieve frequentie. Bij weinig herhalingen schommelt die sterk, maar naarmate

n

groeit stabiliseert de relatieve frequentie rond één vast getal — dat is de wet van de grote aantallen. Afb. 2 laat dit zien voor het opgooien van een munt: na 10 of 20 worpen ligt de relatieve frequentie van 'kop' nog ver van

0{,}5

, maar na honderden worpen kruipt ze er dichtbij. De empirische kans is dus altijd een schatting die beter wordt bij meer waarnemingen.

Simulatie: de relatieve frequentie stabiliseert

Afb. 2Een simulatie van muntworpen. Bij weinig worpen schommelt de relatieve frequentie van 'kop' sterk; naarmate het aantal worpen groeit, nadert ze de theoretische kans 0,5 (de wet van de grote aantallen).

De tweede manier is de theoretische kans volgens de regel van Laplace. Die mag je gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn — een symmetrisch kansmodel, zoals een zuivere munt, een eerlijke dobbelsteen of een goed geschud kaartspel. Dan geldt

P(A)=\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

. Voor een munt is

P(\text{kop})=\tfrac{1}{2}

, voor een dobbelsteen

P(6)=\tfrac{1}{6}\approx 0{,}17

(zie de markering in Afb. 1) en voor 'een even aantal ogen'

P=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}

. De hele kunst zit in het zorgvuldig en consistent tellen van gunstige én mogelijke uitkomsten; daarvoor gebruik je vaak de combinatoriek (het vermenigvuldigingsprincipe, permutaties en combinaties).

Soms is een kansmodel te ingewikkeld om met Laplace door te rekenen. Dan kun je de kans schatten met een simulatie: je bootst het toeval na met toevalsgetallen — bijvoorbeeld met de opdracht randInt op de grafische rekenmachine, met dobbelstenen of met een draaischijf — en herhaalt dat heel vaak. De relatieve frequentie van de gebeurtenis is dan je schatting van de kans. Hoe vaker je de simulatie uitvoert, hoe kleiner de spreiding en hoe betrouwbaarder de schatting, maar het blijft een benadering: twee simulaties geven zelden precies hetzelfde. Een simulatie is vooral nuttig als een theoretische berekening lastig is, of om een berekende kans te controleren.

De empirische en de theoretische kans horen bij elkaar: voor een zuivere dobbelsteen nadert de relatieve frequentie van 'zes' op den duur

\tfrac{1}{6}

, precies de Laplace-waarde. Wijken de gemeten relatieve frequenties structureel af van het model, dan klopt de aanname van even waarschijnlijke uitkomsten waarschijnlijk niet — de dobbelsteen is dan bijvoorbeeld verzwaard. Zo kun je met data of een simulatie een kansmodel toetsen. Onthoud ten slotte twee vaste eigenschappen: elke kans ligt tussen 0 en 1, en de kansen van alle elkaar uitsluitende uitkomsten samen tellen op tot 1.

P(A)=\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

Regel van Laplace (theoretische kans)

Geldt alleen als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn (een symmetrisch kansmodel).

P(A)\approx \frac{\text{aantal keer dat }A\text{ optreedt}}{n}

Empirische kans (relatieve frequentie)

Schatting uit n herhalingen of uit een simulatie; hoe groter n, hoe betrouwbaarder (wet van de grote aantallen).

0\le P(A)\le 1

Kansenschaal

Een kans is nooit kleiner dan 0 (onmogelijk) of groter dan 1 (zeker).

Uitgewerkt voorbeeld

De som van twee dobbelstenen (Laplace)

Je gooit tegelijk met twee zuivere dobbelstenen (een rode en een blauwe). Bereken de kans dat de som van de ogen 7 is.

Uitkomstenruimte
Elke worp is een geordend paar (rode, blauwe). Er zijn 6 × 6 = 36 uitkomsten en die zijn allemaal even waarschijnlijk, dus de regel van Laplace mag.
$\text{aantal mogelijke uitkomsten}=6\times 6=36$
Gunstige uitkomsten tellen
Som 7 kan op 6 manieren: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) en (6,1).
$\text{aantal gunstige uitkomsten}=6$
Laplace toepassen
Deel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten en vereenvoudig.
$P(\text{som}=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0{,}17$
Interpretatie
Ongeveer één op de zes worpen levert som 7 op; dit is de grootste kans van alle sommen. Simuleer je 3600 worpen, dan verwacht je ongeveer 600 keer som 7.

Resultaat: P(som = 7) = 1/6 ≈ 0,17.

Veelgemaakte fouten

Laplace toepassen terwijl de uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn (bij de som van twee dobbelstenen is som 7 waarschijnlijker dan som 2, dus tel de 36 geordende uitkomsten, niet de 11 mogelijke sommen).
Een relatieve frequentie uit weinig herhalingen als de 'echte' kans nemen; een kleine steekproef schommelt sterk.
Een kans buiten [0, 1] opschrijven of een percentage en een kans door elkaar halen.

Actieve herhaling

Een zuivere dobbelsteen wordt twee keer geworpen. (a) Bereken met de regel van Laplace de kans dat de som van de ogen 8 is. (b) Iemand simuleert dit experiment 500 keer en vindt 68 keer som 8. Bereken de relatieve frequentie en vergelijk die met de theoretische kans.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Kansregels: som, complement en product#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-E4

Kansboom van twee onafhankelijke vrije worpen

Afb. 3Twee vrije worpen met scoringskans 0,8 per worp. Omdat de worpen onafhankelijk zijn, zijn de takkansen bij de tweede worp gelijk aan die bij de eerste. Vermenigvuldig langs een pad: P(raak, raak) = 0,8 × 0,8 = 0,64. De vier padproducten tellen op tot 1.

Met kansregels combineer je bekende kansen tot nieuwe. Afb. 1 toont het handigste hulpmiddel bij een experiment in stappen: een kansboom van twee vrije worpen met scoringskans

0{,}8

. Langs elk pad vermenigvuldig je de takkansen, en omdat de worpen elkaar niet beïnvloeden zijn de takkansen bij de tweede worp gelijk aan die bij de eerste. In dit onderdeel behandelen we drie regels: de complementregel (voor 'niet'), de somregel (voor 'of') en de productregel (voor 'en'). Samen dekken ze bijna elke samengestelde kansvraag af.

De complementregel zegt dat

P(A^{c})=1-P(A)

, waarbij

A^{c}

(ook geschreven als

\overline{A}

) staat voor 'niet

A

'. De gebeurtenis en haar complement vullen samen de hele uitkomstenruimte, en die heeft kans 1; wat de een niet 'pakt', pakt de ander. De regel is goud waard bij vragen van het type 'minstens één': in plaats van alle gevallen met één, twee, drie of meer successen op te tellen, bereken je

1-P(\text{geen enkele})

. Bij twee vrije worpen is bijvoorbeeld

P(\text{minstens één raak})=1-P(\text{twee keer mis})=1-0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}96

De somregel geeft de kans op 'A of B' (de vereniging):

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

. Je trekt de doorsnede

A\cap B

er weer af omdat die zowel in

P(A)

als in

P(B)

zit en dus dubbel wordt geteld. Sluiten de gebeurtenissen elkaar uit (ze kunnen niet samen optreden,

A\cap B=\varnothing

), dan is die overlap 0 en vereenvoudigt de regel tot

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

. Een Venn-diagram (zie het onderdeel over voorwaardelijke kans) maakt precies zichtbaar waarom je één keer moet aftrekken.

De productregel geeft de kans op 'A en B' (de doorsnede) voor onafhankelijke gebeurtenissen:

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

. Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als het optreden van de ene de kans op de andere niet verandert — zoals opeenvolgende muntworpen of trekken mét terugleggen. In de kansboom van Afb. 1 zie je dit terug: elke worp scoort met kans

0{,}8

, dus

P(\text{raak, raak})=0{,}8\cdot 0{,}8=0{,}64

. Let op: vermenigvuldigen mag alléén bij onafhankelijkheid. Zijn de stappen afhankelijk (bijvoorbeeld trekken zónder terugleggen), dan veranderen de kansen onderweg en heb je de algemene productregel met een voorwaardelijke kans nodig (de volgende twee onderdelen).

Bij samengestelde vragen combineer je de regels. Een handig beslisschema: gaat het om 'en' bij onafhankelijke stappen, dan vermenigvuldig je; gaat het om 'of', dan tel je op en trek je de overlap af; en gaat het om 'minstens één', dan pak je het complement. Vaak zijn er meerdere routes naar hetzelfde antwoord — 'minstens één raak' kun je via het complement uitrekenen (

0{,}96

) of door de padkansen

0{,}64+0{,}16+0{,}16

op te tellen. Kies de kortste route en houd steeds bij of de stappen onafhankelijk zijn, want dat bepaalt of je mag vermenigvuldigen.

P(A^{c})=1-P(A)

Complementregel

De kans op 'niet A'. Onmisbaar bij 'minstens één': P = 1 − P(geen).

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Somregel (algemeen)

De kans op 'A of B'; de dubbel getelde doorsnede wordt er weer afgetrokken.

P(A\cup B)=P(A)+P(B)\quad(\text{als }A\cap B=\varnothing)

Somregel bij elkaar uitsluitende gebeurtenissen

Kunnen A en B niet samen optreden, dan is de overlap 0.

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\quad(\text{als }A,B\text{ onafhankelijk})

Productregel (onafhankelijk)

De kans op 'A en B' voor onafhankelijke gebeurtenissen; vermenigvuldig de kansen.

Uitgewerkt voorbeeld

Sport, muziek en de drie kansregels

In een klas van 30 leerlingen doen er 18 aan sport (S) en spelen er 12 een instrument (M); 7 leerlingen doen allebei. Een vrijeworpspeler scoort daarnaast elke worp onafhankelijk met kans 0,8. (a) Bereken P(S∪M). (b) Bereken de kans dat een leerling geen van beide doet. (c) Bereken de kans dat de speler twee vrije worpen achter elkaar scoort. (d) Bereken de kans dat de speler bij twee worpen minstens één keer scoort.

a) Somregel
Tel de kansen op sport en muziek op en trek de dubbel getelde doorsnede (7 leerlingen) er weer af.
$P(S\cup M)=\frac{18}{30}+\frac{12}{30}-\frac{7}{30}=\frac{23}{30}\approx 0{,}77$
b) Complementregel
'Geen van beide' is het complement van 'sport of muziek'.
$P(\text{geen van beide})=1-\frac{23}{30}=\frac{7}{30}\approx 0{,}23$
c) Productregel (onafhankelijk)
De worpen zijn onafhankelijk, dus vermenigvuldig de takkansen langs het pad raak → raak (zie de kansboom in Afb. 1).
$P(\text{raak, raak})=0{,}8\cdot 0{,}8=0{,}64$
d) Complement + product
'Minstens één keer raak' is 1 min de kans op twee keer mis.
$P(\text{minstens één})=1-0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}96$

Resultaat: a) 23/30 ≈ 0,77 b) 7/30 ≈ 0,23 c) 0,64 d) 0,96.

Veelgemaakte fouten

Bij de somregel de doorsnede P(A∩B) vergeten af te trekken, waardoor de overlap dubbel wordt geteld.
De productregel P(A)·P(B) gebruiken terwijl de gebeurtenissen afhankelijk zijn (bijvoorbeeld trekken zonder terugleggen).
'Minstens één' rechtstreeks proberen te tellen in plaats van via het complement 1 − P(geen).

Actieve herhaling

In een groep van 40 mensen draagt 24 een bril, dragen er 10 lenzen en draagt niemand beide. (a) Bereken de kans dat een willekeurig gekozen persoon een bril óf lenzen draagt. (b) Bereken de kans dat iemand geen van beide draagt. (c) Twee personen worden onafhankelijk (met terugleggen) gekozen; bereken de kans dat ze allebei een bril dragen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Kansbomen en wegendiagrammen#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-E4

Kansboom: trekken zonder terugleggen

Afb. 4Uit 3 rode en 2 groene knikkers trek je er twee zonder terugleggen. Bij de tweede trekking hangen de takkansen af van de eerste (afhankelijkheid): na een rode is P(rood) = 2/4 = 0,5, na een groene 3/4 = 0,75. De padproducten 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,1 tellen op tot 1.

Een kansboom (boomdiagram) is het standaardgereedschap voor een experiment dat uit meerdere stappen bestaat. Elke tak draagt een takkans, en de takken die uit één knoop vertrekken tellen altijd op tot 1. Afb. 1 hoort bij het trekken van twee knikkers uit een zak met 3 rode en 2 groene, zónder terugleggen. Er gelden twee rekenregels: langs een pad vermenigvuldig je de takkansen (dat geeft de kans op die hele reeks), en over verschillende gunstige paden tel je de padkansen op. Als extra controle tellen alle padproducten samen op tot 1.

Het verschil tussen mét en zónder terugleggen bepaalt de takkansen. Trek je mét terugleggen (je legt de knikker terug voordat je opnieuw pakt), dan is de samenstelling elke keer hetzelfde en blijven de takkansen constant — de stappen zijn onafhankelijk, precies zoals de vrije worpen uit het vorige onderdeel. Trek je zónder terugleggen, dan verandert de zak na elke trekking, dus de takkansen bij de tweede stap hangen af van de eerste. In Afb. 1 zie je dat na een rode knikker nog 2 rode en 2 groene over zijn, zodat

P(\text{rood})=\tfrac{2}{4}=0{,}5

, terwijl na een groene knikker 3 rode en 1 groene over zijn en

P(\text{rood})=\tfrac{3}{4}=0{,}75

. Dat is afhankelijkheid in de praktijk.

Rekenen met de boom gaat zo. De kans op één specifieke reeks vind je door de takkansen op dat pad te vermenigvuldigen:

P(\text{rood, rood})=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{2}{4}=0{,}3

. De kans op een samengestelde gebeurtenis — bijvoorbeeld 'twee knikkers van dezelfde kleur' — vind je door de kansen van alle gunstige paden op te tellen:

0{,}3

(rood, rood)

+\,0{,}1

(groen, groen)

=0{,}4

. En 'minstens één rode' pak je het snelst via het complement:

1-P(\text{groen, groen})=1-0{,}1=0{,}9

. Zo gebruik je binnen één figuur de product-, som- én complementregel.

Naast de kansboom bestaat het wegendiagram (een rooster of tralie), waarin je het aantal routes telt met het vermenigvuldigingsprincipe: het totale aantal mogelijkheden is het product van het aantal keuzes per stap. Het is de tel-tegenhanger van de kansboom en handig bij grotere aantallen, waar een volledige boom te groot wordt. Je kunt een kans ook rechtstreeks met combinatoriek uitrekenen:

P=\dfrac{\text{aantal gunstige combinaties}}{\text{aantal mogelijke combinaties}}

. Voor twee rode uit de zak geeft dat

\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{3}{10}=0{,}3

— precies het boomantwoord. Zorg er wel voor dat teller en noemer op dezelfde manier tellen: allebei ongeordend (combinaties) of allebei geordend.

Een paar praktische tips voorkomen fouten. Schrijf de takkansen bij voorkeur als breuken en niet als afgeronde decimalen, zodat afrondingsfouten zich niet opstapelen. Controleer bij elke knoop of de takken optellen tot 1, en controleer aan het eind of alle padproducten samen 1 zijn — dat is een sterke zelfcontrole. Label de takken duidelijk met de uitkomst en de kans, en bepaal vóór je begint of er mét of zonder terugleggen wordt getrokken, want dat bepaalt of de takkansen onderweg veranderen.

P(\text{pad})=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k

Vermenigvuldigen langs een pad

De kans op een hele reeks stappen is het product van de takkansen op dat pad.

P(G)=\sum_{\text{gunstige paden}}P(\text{pad})

Optellen over paden

De kans op een gebeurtenis is de som van de kansen van alle paden die die gebeurtenis opleveren.

P(\text{2 rood})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{3}{10}

Kans via combinaties (ongeordend, zonder terugleggen)

Gunstige combinaties gedeeld door alle mogelijke combinaties; controleert het boomantwoord.

Uitgewerkt voorbeeld

Twee knikkers zonder terugleggen

Een zak bevat 3 rode en 2 groene knikkers. Je pakt zonder terugleggen twee knikkers. Gebruik de kansboom van Afb. 1. (a) Bereken de kans op twee rode. (b) Bereken de kans op twee knikkers van dezelfde kleur. (c) Bereken de kans op minstens één rode. (d) Controleer (a) met combinaties.

Takkansen bepalen
Bij de eerste trekking is P(rood) = 3/5 en P(groen) = 2/5. Na een rode blijven 2 rode en 2 groene over, dus dan is P(rood) = 2/4; na een groene blijven 3 rode en 1 groene, dus P(rood) = 3/4. Elke knoop telt op tot 1.
$\tfrac{3}{5}+\tfrac{2}{5}=1,\qquad \tfrac{2}{4}+\tfrac{2}{4}=1,\qquad \tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}=1$
a) Vermenigvuldigen langs het pad
Vermenigvuldig de takkansen op het pad rood → rood.
$P(\text{rood, rood})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=0{,}3$
b) Optellen over paden
Twee dezelfde kleur = pad (rood, rood) óf pad (groen, groen), met P(groen, groen) = 2/5 · 1/4 = 0,1.
$P(\text{gelijke kleur})=0{,}3+0{,}1=0{,}4$
c) Complement
Minstens één rode is 1 min de kans op geen enkele rode, oftewel het pad (groen, groen).
$P(\text{minstens één rood})=1-0{,}1=0{,}9$
d) Controle met combinaties
Ongeordend kiezen: 2 uit 3 rode gedeeld door 2 uit 5. Dat geeft hetzelfde antwoord als bij (a).
$\frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{3}{10}=0{,}3$

Resultaat: a) 0,3 b) 0,4 c) 0,9 d) 0,3 (klopt met de boom).

Veelgemaakte fouten

De takkansen bij trekken zonder terugleggen niet aanpassen (de tweede trekking met dezelfde noemer laten staan).
Langs een pad optellen in plaats van vermenigvuldigen, of over paden vermenigvuldigen in plaats van optellen.
Bij de combinatoriek-aanpak de teller ongeordend en de noemer geordend (of omgekeerd) tellen.

Actieve herhaling

Een vaas bevat 4 blauwe en 3 witte knikkers. Je trekt zonder terugleggen twee knikkers. (a) Teken de kansboom met de juiste takkansen. (b) Bereken de kans op twee knikkers van dezelfde kleur. (c) Controleer je antwoord bij (b) met combinaties.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Voorwaardelijke kans en Venn-diagrammen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-domein-E4

Venn-diagram: sport en bijbaan

Afb. 5Van 100 leerlingen doen er 40 aan sport (A) en hebben er 60 een bijbaan (B), met 30 in de doorsnede. De somregel telt de overlap één keer te veel: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0,4 + 0,6 − 0,3 = 0,7. Buiten beide cirkels vallen 30 leerlingen (totaal 100).

Een Venn-diagram tekent de uitkomstenruimte als een rechthoek met daarin overlappende cirkels voor de gebeurtenissen. Afb. 1 hoort bij een onderzoek onder 100 leerlingen naar sport (

A

) en een bijbaan (

B

). Het diagram valt uiteen in vier gebieden: alleen

A

(10 leerlingen), alleen

B

(30), de doorsnede

A\cap B

(30) en het gebied buiten beide cirkels (30). Uit zo'n diagram lees je meteen alle kansen af door een aantal te delen door het totaal, en het maakt de somregel zichtbaar: als je

P(A)

P(B)

optelt, tel je de doorsnede dubbel, dus

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}4+0{,}6-0{,}3=0{,}7

De voorwaardelijke kans

P(A\mid B)

is de kans op

A

als je al weet dat

B

is opgetreden. Je definieert hem als

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

: je verkleint de uitkomstenruimte tot

B

en kijkt welk deel daarvan óók in

A

ligt. Op het Venn-diagram van Afb. 1 betekent dit: blijf binnen cirkel

B

en bepaal welk deel in de doorsnede valt. Van de 60 leerlingen met een bijbaan doen er 30 aan sport, dus

P(A\mid B)=\dfrac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5

. In een kruistabel doe je precies hetzelfde: deel de cel

A\cap B

door het rij- of kolomtotaal van de voorwaarde.

Als je de definitie herschrijft, krijg je de algemene productregel:

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

. Deze geldt altijd — óók bij afhankelijke gebeurtenissen — en is precies wat je doet als je in een kansboom langs een pad vermenigvuldigt: de tweede takkans is in feite een voorwaardelijke kans, gegeven de eerste stap. Zo sluiten de kansboom uit het vorige onderdeel en de voorwaardelijke kans naadloos op elkaar aan. Let er wel op dat

P(A\mid B)

P(B\mid A)

in het algemeen verschillen: hier is

P(A\mid B)=0{,}5

, maar

P(B\mid A)=\dfrac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75

Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als het weten van

B

niets verandert aan de kans op

A

. Dat kun je op drie gelijkwaardige manieren toetsen:

P(A\mid B)=P(A)

, of

P(B\mid A)=P(B)

, of — het handigst —

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

. In het voorbeeld is

P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot 0{,}6=0{,}24

, terwijl

P(A\cap B)=0{,}3

; omdat

0{,}24\ne 0{,}3

zijn sport en bijbaan afhankelijk. Inhoudelijk: onder leerlingen met een bijbaan is de sportdeelname hoger (50%) dan in de hele groep (40%), dus een bijbaan en sporten gaan positief samen. Hiermee sluit je de cirkel met de productregel uit het tweede onderdeel:

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

is juist het bijzondere geval van onafhankelijkheid.

Voorwaardelijke kansen zitten overal in examencontexten: medische tests (de kans op ziekte gegeven een positieve uitslag), kruistabellen uit enquêtes en kwaliteitscontrole. Een veelgemaakte denkfout is

P(A\mid B)

verwarren met

P(B\mid A)

— de kans dat iemand die sport een bijbaan heeft, is iets heel anders dan de kans dat iemand met een bijbaan sport. Reken daarom altijd netjes met de definitie, teken zo nodig een Venn-diagram of kruistabel, en formuleer je antwoord in de taal van de context; dat laatste — interpreteren in woorden — levert op het examen vaak een apart scorepunt op.

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Voorwaardelijke kans

De kans op A gegeven dat B is opgetreden; je beperkt de uitkomstenruimte tot B.

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

Productregel (algemeen)

Geldt altijd, ook bij afhankelijkheid; dit is 'vermenigvuldigen langs een pad' in de kansboom.

A,B\text{ onafhankelijk}\iff P(A\mid B)=P(A)\iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Onafhankelijkheid

Drie gelijkwaardige manieren om te controleren of B de kans op A niet verandert.

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Somregel via het Venn-diagram

Het diagram laat zien waarom de doorsnede één keer moet worden afgetrokken.

Uitgewerkt voorbeeld

Sport en bijbaan: voorwaardelijke kans

Onder 100 leerlingen doen er 40 aan sport (A) en hebben er 60 een bijbaan (B); 30 leerlingen doen allebei. Gebruik het Venn-diagram van Afb. 1. (a) Bereken P(A), P(B) en P(A∩B). (b) Bereken P(A∪B). (c) Bereken P(A|B) en interpreteer. (d) Onderzoek of A en B onafhankelijk zijn.

Gebieden invullen
Alleen sport = 40 − 30 = 10, alleen bijbaan = 60 − 30 = 30, beide = 30 en geen van beide = 100 − 70 = 30. Samen 100.
$10+30+30+30=100$
a) Losse kansen
Deel elk aantal door het totaal van 100.
$P(A)=0{,}4,\quad P(B)=0{,}6,\quad P(A\cap B)=0{,}3$
b) Somregel
Tel P(A) en P(B) op en trek de doorsnede af (of: 1 − 'geen van beide').
$P(A\cup B)=0{,}4+0{,}6-0{,}3=0{,}7$
c) Voorwaardelijke kans
Beperk je tot de 60 leerlingen met een bijbaan; daarvan doen er 30 aan sport.
$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5$
d) Onafhankelijkheid toetsen
Vergelijk P(A∩B) met P(A)·P(B). Omdat 0,24 ≠ 0,3 zijn A en B afhankelijk: een bijbaan gaat samen met méér kans op sport (50% tegen 40%).
$P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot 0{,}6=0{,}24\ne 0{,}3$

Resultaat: a) 0,4; 0,6; 0,3 b) 0,7 c) P(A|B) = 0,5 (van de leerlingen met een bijbaan sport 50%) d) afhankelijk, want 0,24 ≠ 0,3.

Veelgemaakte fouten

P(A|B) en P(B|A) verwisselen — deze zijn in het algemeen verschillend.
Bij P(A|B) delen door P(A) in plaats van door P(B) (de voorwaarde staat in de noemer).
Concluderen dat gebeurtenissen onafhankelijk zijn zonder P(A∩B)=P(A)·P(B) te controleren.

Actieve herhaling

Onder 200 forenzen reist 120 met de trein (T) en 90 in de spits (S); 70 reizen met de trein én in de spits. (a) Maak een Venn-diagram met de aantallen. (b) Bereken P(S|T) en interpreteer de uitkomst. (c) Onderzoek of 'trein' en 'spits' onafhankelijk zijn.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Kansbegrip, combinatoriek, kansregels en simulatie

Kernpunten

De som van twee dobbelstenen (Laplace)

Kernpunten

Sport, muziek en de drie kansregels

Kernpunten

Twee knikkers zonder terugleggen

Kernpunten

Sport en bijbaan: voorwaardelijke kans

Bronnen