Samenvattingen · Wiskunde ANL · VWO

Afgeleide en differentiëren met rekenregels

De afgeleide $f'(x)$ geeft de momentane helling van de grafiek van $f$ en dus de snelheid waarmee $f$ verandert. Met de rekenregels — machtsregel, som-, verschil-, product-, quotiënt- en kettingregel, plus de standaardafgeleiden van $e^{x}$ en $\ln x$ — differentieer je elke standaardfunctie uit het programma. Door $f'(x)=0$ op te lossen en het teken van $f'$ te onderzoeken vind je toppen en dalen, stel je raaklijnen op en los je optimaliseringsproblemen in context op.

4 Onderdelen~22 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0777 / 15

Examenprofiel

D2 · De afgeleide functie f'(x) als momentane helling; de notaties f'(x) en \dfrac{dy}{dx}Differentiëren met de rekenregels: machtsregel, som-/verschil-/constante-veelvoudregel, product-, quotiënt- en kettingregelAfgeleiden van de standaardfuncties, waaronder \dfrac{d}{dx}ex=ex en \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}Extremen bepalen met f'(x)=0 en tekenverloop; raaklijn opstellen en optimaliseren in context

Operatoren:berekenbepaaldifferentieerlos opstel optoon aanleg uitinterpreteeronderzoek

basisniveau

Differentiëren met de rekenregels, extremen bepalen, de raaklijn opstellen en optimaliseren horen tot de centraal-examenstof (domein D2, Verandering) voor alle profielen die wiskunde A volgen (N&G, E&M en C&M).

verhoogd niveau

Verdieping zit in samengestelde functies waarin product- en kettingregel tegelijk nodig zijn, in optimaliseren met randvoorwaarden en een begrensd domein, en in het koppelen van de afgeleide aan marginale en groeigrootheden in economische contexten.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Afgeleide en differentiëren met rekenregels

De afgeleide als momentane helling#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-D2

In Afb. 1 raakt de rechte lijn de grafiek van

f

in het punt

P

: dat is de raaklijn in

P

, en zijn helling noemen we de momentane (ogenblikkelijke) helling van

f

in dat punt. Waar het differentiequotiënt

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

de gemiddelde helling over een heel interval

[a,b]

geeft, beschrijft de momentane helling hoe snel

f

op één enkel moment verandert. Je krijgt haar door het interval steeds kleiner te maken: laat je het rechterpunt

b=a+h

naar

a

toe kruipen, dan draait de koorde (secant) mee tot ze samenvalt met de raaklijn. De helling die dan overblijft, is de afgeleide van

f

x=a

, genoteerd

f'(a)

De afgeleide als helling van de raaklijn

Afb. 1Afb. 1 — De raaklijn in het raakpunt P(1; 2,5) heeft helling f'(1) = 2: dat is de momentane helling van f in x = 1.

Formeel is

f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

: de limietwaarde van het differentiequotiënt als de stapgrootte

h

naar

0

gaat. Voor de grafiek in Afb. 1,

f(x)=-0{,}5x^{2}+3x

, reken je dat uit door

f(1+h)=2{,}5+2h-0{,}5h^{2}

te vergelijken met

f(1)=2{,}5

: het differentiequotiënt wordt

\dfrac{2h-0{,}5h^{2}}{h}=2-0{,}5h

, en voor

h\to 0

blijft

f'(1)=2

over. De raaklijn in

P

heeft dus helling

2

, precies wat de figuur laat zien. Op het examen benader je zo'n momentane helling vaak numeriek met de grafische rekenmachine (optie

\tfrac{dy}{dx}

of nDeriv), maar met de rekenregels van de volgende paragraaf vind je hem exact.

Door

f'

in élk punt te bepalen ontstaat een nieuwe functie, de afgeleide functie

f'

(ook wel hellingfunctie).

f'(x)

vertelt voor iedere

x

hoe steil de grafiek van

f

daar loopt: is

f'(x)>0

dan stijgt

f

, is

f'(x)<0

dan daalt

f

, en waar

f'(x)=0

loopt de raaklijn horizontaal (zie de paragraaf over extremen). Naast

f'(x)

gebruiken we de Leibniz-notatie

\dfrac{dy}{dx}

(of

\dfrac{df}{dx}

); beide betekenen precies hetzelfde.

\dfrac{dy}{dx}

benadrukt dat de afgeleide een verhouding is van een heel kleine verandering

\Delta y

ten opzichte van een heel kleine verandering

\Delta x

— handig zodra

y

x

eenheden dragen.

De kracht van de afgeleide zit in haar betekenis:

f'(a)

is de veranderingssnelheid van

f

op het moment

x=a

, in de eenheid „eenheid van

y

per eenheid van

x

”. Beschrijft

h(t)

de hoogte (in m) op tijdstip

t

(in s), dan is

h'(t)

de snelheid in m/s; beschrijft

K(q)

de kosten (in €) bij een productie van

q

stuks, dan is

K'(q)

de marginale kosten in € per stuk. Het teken van

f'(a)

zegt of iets toeneemt of afneemt, de grootte hoe snel dat gebeurt. Dit interpreteren in de context is op het centraal examen minstens zo belangrijk als het rekenwerk zelf.

Let op het onderscheid met de vorige stof: het differentiequotiënt hoort bij een interval en is een gemiddelde, de afgeleide hoort bij één punt en is momentaan. De afgeleide is als het ware het differentiequotiënt „in de limiet”. Een correcte uitwerking noemt daarom expliciet in welk punt de helling wordt bepaald, gebruikt de oorspronkelijke functie om de bijbehorende

y

-waarde te vinden, en sluit af met een zin die het getal in de context van de opgave uitlegt.

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

De afgeleide als limiet

De momentane helling in $x=a$ is de limiet van het differentiequotiënt over $[a,\,a+h]$ als $h\to 0$ .

f'(x)=\frac{dy}{dx}

Twee notaties

De afgeleide functie heet $f'(x)$ (functienotatie) of $\dfrac{dy}{dx}$ (Leibniz-notatie); ze betekenen hetzelfde.

\text{helling van de raaklijn in } x=a \;=\; f'(a)

Raaklijnhelling

De afgeleide in een punt is precies de richtingscoëfficiënt (helling) van de raaklijn in dat punt.

Uitgewerkt voorbeeld

Momentane helling als limiet van het differentiequotiënt

Gegeven $f(x)=-0{,}5x^{2}+3x$ . Bepaal de momentane helling van de grafiek in het punt met $x=1$ door het differentiequotiënt over $[1,\,1+h]$ te laten naderen, en geef de helling van de raaklijn in dat punt.

Functiewaarden opstellen
Bereken $f(1)$ en $f(1+h)$ ; werk $f(1+h)$ uit met $(1+h)^{2}=1+2h+h^{2}$ .
$f(1)=2{,}5,\qquad f(1+h)=-0{,}5\,(1+2h+h^{2})+3(1+h)=2{,}5+2h-0{,}5h^{2}$
Differentiequotiënt vormen
Trek $f(1)$ af en deel door de stapgrootte $h$ .
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2h-0{,}5h^{2}}{h}=2-0{,}5h$
Limiet nemen
Laat $h\to 0$ ; de term $-0{,}5h$ verdwijnt.
$f'(1)=\lim_{h\to 0}\,(2-0{,}5h)=2$
Interpreteren en controleren
De momentane helling in $x=1$ is $2$ ; de raaklijn in het raakpunt $(1;\,2{,}5)$ heeft dus helling $2$ . Ter controle: met de machtsregel is $f'(x)=-x+3$ , en inderdaad $f'(1)=-1+3=2$ .

Resultaat: De momentane helling in $x=1$ is $f'(1)=2$ ; dat is ook de helling van de raaklijn in het raakpunt $(1;\,2{,}5)$ .

Veelgemaakte fouten

Gemiddelde en momentane verandering verwarren: het differentiequotiënt $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ hoort bij een interval, de afgeleide $f'(a)$ bij één punt.
De afgeleide wel uitrekenen maar niet interpreteren: op het CE moet je zeggen wát $f'(a)$ betekent en in welke eenheid, niet alleen een kaal getal geven.
De eenheid van $f'$ vergeten of verkeerd noteren; die is altijd „eenheid van $y$ per eenheid van $x$ ”, bijvoorbeeld m/s of € per stuk.

Actieve herhaling

Een bedrijf modelleert de dagwinst met $W(q)=-0{,}2q^{2}+12q-50$ (in duizenden euro's) bij een productie van $q$ duizend stuks. Leg uit wat $W'(q)$ in deze context betekent, bepaal of $W'(20)$ positief of negatief is en beschrijf wat dat zegt over de winst bij $q=20$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Rekenregels voor differentiëren#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-D2

Een functie en haar afgeleide in één assenstelsel

Afb. 2Afb. 1 — f (doorgetrokken) en haar afgeleide f' (gestreept). Waar f' door nul gaat (x = −1 en x = 1), heeft f een top respectievelijk een dal.

In Afb. 1 staan een functie

f(x)=x^{3}-3x

en haar afgeleide

f'(x)=3x^{2}-3

in één assenstelsel. Je hoeft voor

f'

geen limieten meer uit te rekenen: met een handvol rekenregels differentieer je elke standaardfunctie uit het programma direct. De basis is de machtsregel

\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}

— „breng de exponent naar voren en verlaag hem met

1

” — die geldt voor elke vaste macht

n

, ook een negatieve of gebroken exponent. Zo wordt

x^{3}

tot

3x^{2}

-3x=-3x^{1}

tot

-3

. Merk op dat de nulpunten van

f'

(bij

x=-1

x=1

) recht onder de top en het dal van

f

liggen; dat verband gebruiken we in de volgende paragraaf.

Twee lineariteitsregels maken van de machtsregel een complete gereedschapskist. De constante-veelvoudregel

(c\cdot f)'=c\cdot f'

zegt dat een constante factor blijft staan, en de som-/verschilregel

(f\pm g)'=f'\pm g'

dat je term voor term mag differentiëren. Een veelterm pak je daarmee in één keer aan:

\dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{4}-5x^{2}+7x-1\bigr)=8x^{3}-10x+7

(de constante

-1

heeft afgeleide

0

). Ook wortels en breuken schrijf je eerst als macht:

\sqrt{x}=x^{1/2}

\dfrac{1}{x}=x^{-1}

, waarna de machtsregel

x^{1/2}\to\tfrac{1}{2}x^{-1/2}

x^{-1}\to -x^{-2}

geeft.

Voor een product en een quotiënt van twee functies mag je NIET losse afgeleiden vermenigvuldigen of delen. De productregel luidt

(f\cdot g)'=f'\,g+f\,g'

en de quotiëntregel

\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}

. Let bij de quotiëntregel op de volgorde in de teller (door het minteken mag je

f'g

fg'

niet verwisselen) en op het kwadraat in de noemer. Voorbeeld met de productregel:

\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{x}\bigr)=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}=(x^{2}+2x)e^{x}

. Voorbeeld met de quotiëntregel:

\dfrac{d}{dx}\dfrac{2x-3}{x+1}=\dfrac{2(x+1)-(2x-3)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{5}{(x+1)^{2}}

De kettingregel is nodig zodra er een functie ín een functie zit (een „samengestelde” functie). Hij luidt

\dfrac{d}{dx}f\bigl(g(x)\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

: differentieer de buitenste functie met de binnenkant blijven staan, en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenkant. Hierbij gebruik je de twee standaardafgeleiden die nieuw zijn in dit domein:

\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}

(de e-macht is haar eigen afgeleide) en

\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}

. Zo is

\dfrac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}

\dfrac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\dfrac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x=\dfrac{2x}{x^{2}+1}

Kies de regel op grond van de bouw van de formule: is het een som van termen, differentieer dan term voor term met de machtsregel; is het een product, gebruik de productregel; is het een breuk, de quotiëntregel; zit er een functie binnen een functie (een macht van een haakje,

e^{\text{iets}}

\ln(\text{iets})

\sqrt{\text{iets}}

), dan de kettingregel. Vaak combineer je ze: bij

\dfrac{d}{dx}x^{2}e^{3x}

pas je de productregel toe én binnen de tweede factor de kettingregel. Herschrijf waar mogelijk eerst — een breuk als macht, een product uitvermenigvuldigen — dat scheelt een regel en dus foutkansen.

\frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1}

Machtsregel

Voor elke vaste macht $n$ (ook negatief of gebroken): breng de exponent naar voren en verlaag hem met $1$ .

(c\cdot f)'=c\cdot f' \qquad (f\pm g)'=f'\pm g'

Constante-veelvoud- en som-/verschilregel

Een constante factor blijft staan; een som of verschil differentieer je term voor term.

(f\cdot g)'=f'\,g+f\,g'

Productregel

Afgeleide van de eerste maal de tweede, plus de eerste maal de afgeleide van de tweede.

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}

Quotiëntregel

Let op het minteken (volgorde in de teller telt) en op het kwadraat in de noemer.

\frac{d}{dx}\,f\bigl(g(x)\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

Kettingregel

Afgeleide van de buitenfunctie (met de binnenkant onveranderd) maal de afgeleide van de binnenfunctie.

\frac{d}{dx}\,e^{x}=e^{x} \qquad \frac{d}{dx}\,\ln x=\frac{1}{x}

Twee standaardafgeleiden

De e-macht is haar eigen afgeleide; de natuurlijke logaritme heeft afgeleide $\tfrac{1}{x}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Machtsregel met som, wortel en breuk

Differentieer $f(x)=2x^{4}-5x^{2}+7x-1$ en $g(x)=3\sqrt{x}+\dfrac{4}{x}$ .

Veelterm term voor term
Pas de machtsregel op elke term van $f$ toe; de afgeleide van de constante $-1$ is $0$ .
$f'(x)=8x^{3}-10x+7$
Wortel en breuk als macht schrijven
Herschrijf $3\sqrt{x}=3x^{1/2}$ en $\dfrac{4}{x}=4x^{-1}$ zodat je de machtsregel kunt gebruiken.
$g(x)=3x^{1/2}+4x^{-1}$
Machtsregel toepassen op g
Breng bij elke term de exponent naar voren en verlaag hem met $1$ ; schrijf het antwoord daarna terug met wortel en breuk.
$g'(x)=\tfrac{3}{2}x^{-1/2}-4x^{-2}=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{x^{2}}$

Resultaat: $f'(x)=8x^{3}-10x+7$ en $g'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}-\dfrac{4}{x^{2}}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Productregel met de e-macht

Differentieer $f(x)=x^{2}e^{x}$ .

Factoren en hun afgeleiden
Neem $u=x^{2}$ en $v=e^{x}$ , dan is $u'=2x$ en $v'=e^{x}$ (want $\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$ ).
Productregel invullen
Gebruik $(uv)'=u'v+uv'$ .
$f'(x)=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}$
Vereenvoudigen
Haal de gemeenschappelijke factor $e^{x}$ (en $x$ ) buiten haakjes.
$f'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}$

Resultaat: $f'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Quotiëntregel

Differentieer $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}$ .

Teller, noemer en afgeleiden
Neem $u=2x-3$ (dus $u'=2$ ) en $v=x+1$ (dus $v'=1$ ).
Quotiëntregel invullen
Gebruik $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
$f'(x)=\frac{2(x+1)-(2x-3)\cdot 1}{(x+1)^{2}}$
Teller uitwerken
Werk de haakjes in de teller weg en vereenvoudig.
$f'(x)=\frac{2x+2-2x+3}{(x+1)^{2}}=\frac{5}{(x+1)^{2}}$

Resultaat: $f'(x)=\dfrac{5}{(x+1)^{2}}$ ; die is positief voor alle $x\neq -1$ , dus $f$ is overal op haar domein stijgend.

Uitgewerkt voorbeeld

Kettingregel met de logaritme en de e-macht

Differentieer $p(x)=\ln(x^{2}+1)$ en $q(x)=e^{3x}$ .

Binnen- en buitenfunctie benoemen
Bij $p$ is de buitenfunctie $\ln(\square)$ en de binnenfunctie $x^{2}+1$ ; gebruik $\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{1}{u}\cdot u'$ .
Kettingregel bij p
Afgeleide van de buitenkant $\dfrac{1}{x^{2}+1}$ maal de afgeleide van de binnenkant $2x$ .
$p'(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+1}$
Kettingregel bij q
De buitenfunctie $e^{\square}$ blijft $e^{\square}$ ; vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenkant $3x$ , namelijk $3$ .
$q'(x)=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$

Resultaat: $p'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ en $q'(x)=3e^{3x}$ .

Veelgemaakte fouten

Denken dat $(f\cdot g)'=f'\cdot g'$ of $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'}{g'}$ — dat is fout; gebruik de product- en de quotiëntregel.
De kettingregel vergeten: $\dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}$ (niet $e^{3x}$ ) en $\dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)^{5}=5(x^{2}+1)^{4}\cdot 2x$ .
Bij de quotiëntregel de volgorde in de teller omdraaien (het is $f'g-fg'$ ) of het kwadraat in de noemer vergeten.
De afgeleide van een constante niet op $0$ zetten, of bij $x^{-1}$ en $x^{1/2}$ de exponent verkeerd met $1$ verlagen.

Actieve herhaling

Differentieer $f(x)=(3x^{2}-1)\,e^{x}$ met de productregel en $g(x)=\ln(5x)+\dfrac{4}{\sqrt{x}}$ met de ketting- en machtsregel. Vereenvoudig je antwoorden zo ver mogelijk.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Extremen bepalen met de afgeleide#

Standaardexamenblad-wiskunde-a-domein-D2

Top en dal waar de afgeleide nul is

Afb. 3Afb. 1 — In de top (−1; 2) en het dal (1; −2) loopt de raaklijn horizontaal: daar is f'(x) = 0.

In Afb. 1 heeft de grafiek van

f(x)=x^{3}-3x

een top (maximum) en een dal (minimum); in beide punten loopt de raaklijn horizontaal, dus is daar

f'(x)=0

. Dat is de sleutel tot het bepalen van extremen: waar

f

een (lokaal) maximum of minimum bereikt en de grafiek glad is, is de helling nul. Je zoekt kandidaat-extremen daarom door de vergelijking

f'(x)=0

op te lossen. De

x

-waarden die daaruit komen, heten de kritieke of stationaire punten.

Niet elk punt met

f'(x)=0

is een extremum, en

f'=0

zegt op zichzelf niet of het een top of een dal is. Dat beslist het teken van

f'

eromheen (Afb. 2, het tekenschema). Wisselt

f'

van

+

naar

-

, dan stijgt

f

eerst en daalt daarna: een maximum (top). Wisselt

f'

van

-

naar

+

, dan een minimum (dal). Wisselt het teken níet (bijvoorbeeld

+,\,0,\,+

), dan is het een buigpunt met horizontale raaklijn en géén extremum. Voor

f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)

geldt

f'>0

als

x<-1

f'<0

als

-1<x<1

f'>0

als

x>1

: dus een top bij

x=-1

en een dal bij

x=1

Het volledige stappenplan luidt: (1) bereken

f'(x)

met de rekenregels; (2) los

f'(x)=0

op; (3) maak een tekenschema van

f'

(kies proefwaarden links en rechts van elk nulpunt, of gebruik de ontbonden vorm); (4) benoem elk kritiek punt als top, dal of buigpunt; (5) bereken de bijbehorende

y

-waarde met de oorspronkelijke functie

f

, niet met

f'

. Zo krijg je de coördinaten: voor

f(x)=x^{3}-3x

geeft

f(-1)=2

de top

(-1;\,2)

f(1)=-2

het dal

(1;\,-2)

Extremen leveren de grootste en kleinste functiewaarden (de extreme waarden) op en bepalen samen met het gedrag aan de randen het bereik van

f

. Op een gesloten interval

[a,b]

— vaak het geval in contextopgaven met een beperkt domein — moet je behalve de inwendige kritieke punten óók de randpunten

x=a

x=b

meenemen: het absolute maximum of minimum kan op een rand liggen zonder dat

f'

daar nul is. Vergelijk daarom de functiewaarden in álle kandidaten. Met de grafische rekenmachine kun je een extremum ook opsporen via de optie maximum/minimum, maar exact rekenen met

f'(x)=0

hoort bij een nette uitwerking.

Het tekenverloop van

f'

vertelt tegelijk waar

f

stijgt en daalt, wat je nodig hebt om een grafiek te schetsen of te beschrijven. De monotonie-intervallen noteer je met open haakjes, bijvoorbeeld:

f

is stijgend op

\langle -\infty,-1\rangle

en op

\langle 1,\infty\rangle

en dalend op

\langle -1,1\rangle

. Deze taal — „stijgend/dalend op het interval …” en „(lokaal) maximum/minimum in het punt …” — wordt op het examen expliciet gevraagd, dus koppel je conclusie altijd terug aan de tekenwisselingen van

f'

f'(x)=0 \;\text{ én }\; f' \text{ wisselt van teken}

Voorwaarde voor een extremum

Een extremum ligt waar de afgeleide nul is én van teken verandert; zonder tekenwisseling is het een buigpunt.

f'>0 \Rightarrow f\ \text{stijgt} \qquad f'<0 \Rightarrow f\ \text{daalt}

Teken van f' en monotonie

Het teken van de afgeleide bepaalt of de functie stijgt of daalt; het tekenschema vat dit samen.

3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1 \ \text{of}\ x=1

Nulpunten van f' (voorbeeld)

Ontbinden maakt het oplossen van $f'(x)=0$ en het aflezen van de tekens eenvoudig.

Tekenschema van de afgeleide

Afb. 4Afb. 2 — Tekenschema van f'. Het teken van f' bepaalt of f stijgt of daalt; de tekenwisselingen bij x = −1 en x = 1 markeren de top en het dal.

Uitgewerkt voorbeeld

Top en dal bepalen met een tekenschema

Bepaal de coördinaten van de extremen van $f(x)=x^{3}-3x$ en geef aan waar $f$ stijgt en daalt.

Afgeleide berekenen
Differentieer met de machtsregel.
$f'(x)=3x^{2}-3$
f'(x)=0 oplossen
Ontbind in factoren en lees de nulpunten af.
$3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1 \ \text{of}\ x=1$
Tekenschema van f'
Voor $x<-1$ is $f'>0$ , voor $-1<x<1$ is $f'<0$ en voor $x>1$ is $f'>0$ . Dus $f$ stijgt op $\langle -\infty,-1\rangle$ , daalt op $\langle -1,1\rangle$ en stijgt op $\langle 1,\infty\rangle$ .
Soort en coördinaten
Bij $x=-1$ gaat $f'$ van $+$ naar $-$ (top), bij $x=1$ van $-$ naar $+$ (dal). Reken de $y$ -waarden met $f$ , niet met $f'$ .
$f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=2, \qquad f(1)=1-3=-2$

Resultaat: Top $(-1;\,2)$ en dal $(1;\,-2)$ ; $f$ stijgt voor $x<-1$ en $x>1$ , en daalt voor $-1<x<1$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Extremen van een derdegraadsfunctie

Onderzoek $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1$ op extremen en geef hun coördinaten.

Afgeleide
Machtsregel per term.
$f'(x)=3x^{2}-12x+9$
Nulpunten van f'
Haal $3$ buiten haakjes en ontbind de kwadratische vorm.
$3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=1 \ \text{of}\ x=3$
Tekenschema
$f'>0$ voor $x<1$ , $f'<0$ voor $1<x<3$ en $f'>0$ voor $x>3$ . Dus $x=1$ is een top en $x=3$ een dal.
Coördinaten
Vul $x=1$ en $x=3$ in de oorspronkelijke functie $f$ in.
$f(1)=1-6+9+1=5, \qquad f(3)=27-54+27+1=1$

Resultaat: Top $(1;\,5)$ en dal $(3;\,1)$ .

Veelgemaakte fouten

De $y$ -coördinaat van een extremum uitrekenen met $f'$ in plaats van met de oorspronkelijke functie $f$ .
Aannemen dat elk punt met $f'(x)=0$ een extremum is; zonder tekenwisseling van $f'$ is het een buigpunt (zoals $f(x)=x^{3}$ in $x=0$ ).
Het tekenschema overslaan en „top of dal” gokken, of de randpunten van een gesloten domein vergeten mee te nemen.

Actieve herhaling

Bepaal de coördinaten van de top en het dal van $f(x)=x^{3}-12x$ en geef met een tekenschema aan op welke intervallen $f$ stijgt en op welke $f$ daalt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Raaklijn en optimaliseren in context#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-a-domein-D2examenblad-wiskunde-a-domein-A

Raaklijn aan een parabool

Afb. 5Afb. 1 — De raaklijn aan f in het raakpunt (3; 2) heeft helling f'(3) = 2 en vergelijking y = 2x − 4.

In Afb. 1 is de raaklijn aan

f(x)=x^{2}-4x+5

in het punt met

x=3

getekend. De vergelijking van zo'n raaklijn stel je op met één formule:

y=f(a)+f'(a)(x-a)

. Hierin is

a

x

-coördinaat van het raakpunt,

f(a)

de functiewaarde (de hoogte van het raakpunt) en

f'(a)

de helling van de raaklijn. Je hebt dus twee dingen nodig: het raakpunt op de grafiek en de afgeleide in dat punt.

Concreet voor

f(x)=x^{2}-4x+5

a=3

: eerst

f(3)=9-12+5=2

, dan

f'(x)=2x-4

dus

f'(3)=2

. Invullen geeft

y=2+2(x-3)=2x-4

. Controleer altijd dat het raakpunt op de lijn ligt:

x=3\Rightarrow y=2\cdot 3-4=2

, dat klopt. De raaklijn deelt in het raakpunt zowel de plaats (

f(a)

) als de richting (

f'(a)

) met de grafiek. Vraagt een opgave naar de raaklijn die evenwijdig is aan een gegeven lijn, stel dan

f'(a)

gelijk aan de gevraagde helling en los

a

op.

Optimaliseren betekent de grootste of de kleinste waarde van een grootheid in een context vinden, en dat is niets anders dan extremen bepalen toegepast op een zelf opgestelde formule. In Afb. 2 staat de oppervlakte

A(x)=-2x^{2}+40x

van een rechthoekige omheining tegen een muur; de top van deze bergparabool is de maximale oppervlakte. Het stappenplan: (1) kies een variabele en druk de te optimaliseren grootheid erin uit; (2) gebruik de gegeven randvoorwaarde (hier:

40

m gaas) om alles in één variabele te schrijven; (3) bepaal het zinvolle domein; (4) los

A'(x)=0

op en controleer met het tekenverloop dat het een maximum (of minimum) is; (5) beantwoord de vraag mét eenheid en interpretatie.

Voor de omheining met

40

m gaas en één muurzijde is de zijde langs de muur

40-2x

, dus

A(x)=x(40-2x)=-2x^{2}+40x

op het domein

0<x<20

. Uit

A'(x)=-4x+40=0

volgt

x=10

; omdat

A'

bij

x=10

van

+

naar

-

wisselt (of:

A''=-4<0

) is dit een maximum, dat binnen het domein ligt. De grootste oppervlakte is

A(10)=200

m², bij afmetingen

10\text{ m}\times 20\text{ m}

. Vergeet in dit soort opgaven nooit het domein te bewaken en het antwoord terug te vertalen naar de context — een wiskundig extremum buiten het toegestane bereik is geen geldige oplossing.

Bij een optimaliseringsopgave gaat het meeste werk vaak zitten in het opstellen van de formule vóór het differentiëren: teken een schets, benoem je variabele ondubbelzinnig en zet de randvoorwaarde in een vergelijking om overtollige variabelen te elimineren. Pas als de grootheid als functie van één variabele staat, gebruik je de afgeleide. Controleer aan het eind of je de gevráágde grootheid teruggeeft (vaak niet

x

zelf, maar een lengte, oppervlakte, volume of winst) en of het resultaat een maximum of minimum is — een verkeerd soort extremum is een klassieke misser.

y=f(a)+f'(a)\,(x-a)

Vergelijking van de raaklijn

In het raakpunt $\bigl(a,\,f(a)\bigr)$ heeft de raaklijn helling $f'(a)$ ; deze formule levert direct de lijnvergelijking.

\text{optimaliseren: los } f'(x)=0 \text{ op binnen het domein en controleer het tekenverloop}

Optimaliseren met de afgeleide

Een maximum of minimum in een context vind je door de afgeleide van de opgestelde grootheid nul te stellen en het soort extremum te controleren.

A(x)=x\,(40-2x)=-2x^{2}+40x, \quad A'(x)=-4x+40

Oppervlaktemodel (voorbeeld)

De randvoorwaarde ( $40$ m gaas, drie zijden) schrijft de oppervlakte als functie van één variabele $x$ .

Maximale oppervlakte via de afgeleide

Afb. 6Afb. 2 — De oppervlakte A(x) = −2x² + 40x is maximaal in de top: bij x = 10 is A = 200 m².

Uitgewerkt voorbeeld

Vergelijking van een raaklijn opstellen

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan $f(x)=x^{2}-4x+5$ in het punt met $x=3$ .

Functiewaarde in het raakpunt
Bereken $f(3)$ ; dat is de hoogte van het raakpunt.
$f(3)=3^{2}-4\cdot 3+5=2$
Helling via de afgeleide
Differentieer en vul $x=3$ in.
$f'(x)=2x-4 \;\Rightarrow\; f'(3)=2$
Invullen in de raaklijnformule
Gebruik $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ met $a=3$ .
$y=2+2\,(x-3)=2x-4$
Controle
Het raakpunt $(3;\,2)$ moet op de lijn liggen: $2\cdot 3-4=2$ . Dat klopt.

Resultaat: De raaklijn heeft vergelijking $y=2x-4$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Grootste oppervlakte bij een omheining

Een rechthoekig weiland wordt aan drie zijden omheind met $40$ m gaas; de vierde zijde is een bestaande muur. Welke afmetingen geven de grootste oppervlakte, en hoe groot is die oppervlakte?

Variabele kiezen en oppervlakte opstellen
Noem de twee zijden loodrecht op de muur elk $x$ . Dan geldt $2x+(\text{zijde langs de muur})=40$ , dus de zijde langs de muur is $40-2x$ .
$A(x)=x\,(40-2x)=-2x^{2}+40x$
Domein bepalen
Beide zijden moeten positief zijn: $x>0$ en $40-2x>0$ , dus het zinvolle domein is $0<x<20$ .
Afgeleide nul stellen
Differentieer $A$ en los $A'(x)=0$ op.
$A'(x)=-4x+40=0 \;\Rightarrow\; x=10$
Maximum controleren
$A'$ wisselt bij $x=10$ van $+$ naar $-$ (en $A''=-4<0$ ), dus dit is een maximum, dat binnen $0<x<20$ ligt.
Antwoord in de context
Reken de maximale oppervlakte en de afmetingen uit.
$A(10)=-2\cdot 100+400=200\ \text{m}^{2}$

Resultaat: Bij $x=10$ m (zijde langs de muur $40-2\cdot 10=20$ m) is de oppervlakte maximaal: $10\text{ m}\times 20\text{ m}=200$ m².

Veelgemaakte fouten

De helling van de raaklijn vergeten te berekenen met $f'(a)$ , of $f(a)$ en $f'(a)$ verwisselen in $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ .
Bij optimaliseren het domein vergeten, waardoor een extremum buiten het zinvolle bereik toch als antwoord wordt gegeven.
Bij optimaliseren niet controleren of $f'(x)=0$ een maximum of een minimum oplevert, of vergeten de gevraagde grootheid (niet $x$ zelf) terug te rekenen.

Actieve herhaling

Een rechthoekige tuin wordt aan drie zijden omheind met $24$ m gaas (de vierde zijde is een muur). Druk de oppervlakte uit als functie van de breedte $x$ , bepaal met de afgeleide de afmetingen met de grootste oppervlakte en geef die maximale oppervlakte in m².

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde A (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde A (VWO)

Afgeleide en differentiëren met rekenregels

Kernpunten

Momentane helling als limiet van het differentiequotiënt

Kernpunten

Machtsregel met som, wortel en breuk

Productregel met de e-macht

Quotiëntregel

Kettingregel met de logaritme en de e-macht

Kernpunten

Top en dal bepalen met een tekenschema

Extremen van een derdegraadsfunctie

Kernpunten

Vergelijking van een raaklijn opstellen

Grootste oppervlakte bij een omheining

Bronnen