Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Vergelijkingen en ongelijkheden

Het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden is de motor van wiskunde B: je gebruikt het om snijpunten, nulpunten, evenwichten en optimale waarden te vinden. In dit onderwerp behandel je lineaire en kwadratische vergelijkingen (ontbinden, kwadraat afsplitsen en de abc-formule), het grafisch oplossen via snijpunten, het oplossen van ongelijkheden met een schets of tekenanalyse, en bijzondere vergelijkingen met wortels, machten of breuken — inclusief het opsporen van schijnoplossingen.

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0444 / 12

Examenprofiel

Lineaire en kwadratische vergelijkingen oplossen door ontbinden, kwadraat afsplitsen of de abc-formule.Een vergelijking f(x) = g(x) grafisch oplossen als de x-coördinaten van de snijpunten.Ongelijkheden oplossen met behulp van een grafiek of een tekenschema.Wortel-, exponentiële en gebroken vergelijkingen oplossen en schijnoplossingen herkennen.

Operatoren:los opberekenontbindtoon aangeef de oplossingsverzamelingcontroleer

basisniveau

Los lineaire en kwadratische vergelijkingen routineus op met ontbinden of de abc-formule en controleer je oplossingen.

verhoogd niveau

Pak ongelijkheden en bijzondere (wortel-, exponentiële, gebroken) vergelijkingen algebraïsch aan en controleer altijd op schijnoplossingen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Vergelijkingen en ongelijkheden

Lineaire en kwadratische vergelijkingen oplossen#

Basisexamenblad-nl

Nulpunten van de parabool y = x² − x − 6

Afb. 1De oplossingen van x² − x − 6 = 0 zijn de nulpunten van de parabool: x = −2 en x = 3. De top ligt er precies tussenin, bij x = 0,5.

Een lineaire (eerstegraads) vergelijking heeft de vorm

ax + b = 0

en los je op met de balansmethode: voer aan beide kanten dezelfde bewerkingen uit tot

x

alleen overblijft. Je verzamelt eerst alle

x

-termen aan één kant en alle getallen aan de andere, en deelt ten slotte door de coëfficiënt van

x

. Zo geeft

3x + 5 = 14

na aftrekken van 5 en delen door 3 de oplossing

x = 3

. Dit is dezelfde gedachte als het herleiden van een formule, en het is de basisbeweging onder vrijwel elke vergelijking die je verderop tegenkomt.

Een kwadratische (tweedegraads) vergelijking heeft de vorm

ax^2 + bx + c = 0

en heeft afhankelijk van de situatie nul, één of twee oplossingen. De snelste methode is ontbinden in factoren, als dat lukt: schrijf je de linkerkant als een product, dan is de vergelijking nul precies wanneer een van de factoren nul is. Zo levert

x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0

direct

x = 3

x = -2

. Ontbinden werkt elegant bij „mooie” getallen, maar niet altijd; daarom heb je een methode nodig die altijd werkt.

Die altijd werkende methode is de abc-formule (de wortelformule): voor

ax^2 + bx + c = 0

geldt

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

. Het getal onder de wortel,

D = b^2 - 4ac

, heet de discriminant en bepaalt het aantal oplossingen. Is

D > 0

, dan zijn er twee verschillende oplossingen; is

D = 0

, dan is er één (de twee vallen samen); is

D < 0

, dan zijn er geen reële oplossingen, want je kunt geen wortel trekken uit een negatief getal. De discriminant vertelt je dus, nog vóór je de oplossingen uitrekent, hoeveel snijpunten met de

x

-as de bijbehorende parabool heeft.

Er is een mooie meetkundige tegenhanger van dit alles. De grafiek van

y = ax^2 + bx + c

is een parabool, en de oplossingen van

ax^2 + bx + c = 0

zijn precies de

x

-coördinaten van de snijpunten van die parabool met de

x

-as — de nulpunten. Twee oplossingen betekent dat de parabool de

x

-as twee keer snijdt, één oplossing dat hij hem raakt (de top ligt op de

x

-as), en geen oplossing dat de parabool geheel boven of geheel onder de

x

-as ligt. Zo zie je in de figuur dat

x^2 - x - 6 = 0

de nulpunten

x = -2

x = 3

heeft, met de top netjes daartussenin. Deze koppeling tussen algebra (de vergelijking) en meetkunde (de grafiek) is typisch wiskunde B en helpt je antwoorden te controleren.

Bij het oplossen luistert de zorgvuldigheid nauw. Breng een kwadratische vergelijking altijd eerst op nul (alles naar één kant) voordat je ontbindt of de abc-formule toepast — de formule geldt alleen voor de vorm

= 0

. Let bij de abc-formule op de tekens van

a

b

c

en op de

\pm

die de twee oplossingen levert, en reken de discriminant apart en exact uit. Een veelgemaakte fout is een term vergeten over te brengen, of de wortel uit een negatieve discriminant „toch” trekken. Controleer je oplossing ten slotte door ze in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen; dat kost weinig tijd en vangt rekenfouten af.

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

abc-formule

De algemene oplossing van ax² + bx + c = 0; de ± levert de twee oplossingen wanneer de discriminant positief is.

D = b^2 - 4ac \ \begin{cases} D>0: & \text{twee oplossingen}\\ D=0: & \text{één oplossing}\\ D<0: & \text{geen reële oplossing}\end{cases}

discriminant en aantal oplossingen

Het getal onder de wortel bepaalt of de parabool de x-as twee keer, één keer of niet snijdt.

Uitgewerkt voorbeeld

Een kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule

Los op met de abc-formule: $2x^2 - 4x - 6 = 0$ .

Stap 1 — Lees a, b en c af en bereken de discriminant
Hier is a = 2, b = −4 en c = −6. Reken eerst de discriminant uit om het aantal oplossingen te kennen.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 2\cdot(-6) = 16 + 48 = 64$
Stap 2 — Vul in de abc-formule in
D = 64 > 0, dus er zijn twee oplossingen. Neem √64 = 8 en vul alles in.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2\cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4}$
Stap 3 — Werk de twee oplossingen uit
Splits de ± in een plus en een min.
$x = \frac{4+8}{4} = 3 \quad\text{of}\quad x = \frac{4-8}{4} = -1$

Resultaat: Resultaat: $x = 3$ of $x = -1$ . De discriminant $D = 64 > 0$ kondigde de twee oplossingen al aan; ze zijn de nulpunten van de parabool $y = 2x^2 - 4x - 6$ .

Veelgemaakte fouten

De abc-formule toepassen zonder de vergelijking eerst op de vorm $ax^2 + bx + c = 0$ te brengen.
Bij een negatieve discriminant toch een (reële) oplossing forceren; bij $D < 0$ zijn er geen reële oplossingen.
De $\pm$ in de abc-formule vergeten, zodat je maar één van de twee oplossingen vindt.

Actieve herhaling

Los op: a) $2x - 7 = 3x + 1$ en b) $x^2 - x - 6 = 0$ (zowel door ontbinden als met de abc-formule), en geef het aantal oplossingen via de discriminant.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Vergelijkingen grafisch oplossen: snijpunten#

Standaardexamenblad-nl

Snijpunten van een parabool en een lijn

Afb. 2De vergelijking x² − 2x = x heeft als oplossingen de x-coördinaten van de snijpunten van y = x² − 2x en y = x: dat zijn x = 0 (in (0,0)) en x = 3 (in (3,3)).

Niet elke vergelijking is netjes algebraïsch op te lossen, en lang niet altijd hoeft dat ook. Een vergelijking van de vorm

f(x) = g(x)

kun je namelijk meetkundig opvatten: je zoekt de

x

-waarden waarvoor de twee grafieken

y = f(x)

y = g(x)

even hoog zijn — en dat zijn precies de

x

-coördinaten van hun snijpunten. Het oplossen van een vergelijking wordt zo het vinden van snijpunten van twee grafieken. Deze grafische kijk is krachtig omdat hij ook werkt voor vergelijkingen die je niet kunt herleiden, en omdat hij je meteen laat zien hoeveel oplossingen er zijn: zoveel als er snijpunten zijn.

Algebraïsch maak je van

f(x) = g(x)

meestal eerst

f(x) - g(x) = 0

, want dan zoek je de nulpunten van één nieuwe functie

h(x) = f(x) - g(x)

— en daarvoor heb je de technieken uit de vorige paragraaf. Bij

x^2 - 2x = x

breng je alles naar één kant:

x^2 - 3x = 0

, ontbindt

x(x-3) = 0

, en vindt

x = 0

x = 3

. Dezelfde oplossingen zie je in de grafiek als de twee snijpunten van de parabool

y = x^2 - 2x

met de lijn

y = x

, namelijk in

(0, 0)

(3, 3)

. Algebra en grafiek geven hetzelfde antwoord; ze controleren elkaar.

Bij het grafisch oplossen op het examen gebruik je vaak de grafische rekenmachine. Je voert beide functies in, laat ze tekenen en bepaalt de snijpunten met de „intersect”-functie. Het is dan zaak om een verstandig kijkvenster te kiezen, zodat álle snijpunten in beeld komen — een te klein venster verbergt soms oplossingen. Lees de

x

-coördinaten van de snijpunten af; díé zijn de oplossingen van de vergelijking, niet de

y

-coördinaten. Rond af op de gevraagde nauwkeurigheid, of geef een exact antwoord als de context daarom vraagt en je het exact kunt bepalen.

Het is essentieel om scherp te houden dat de oplossing van

f(x) = g(x)

x

-coördinaat van een snijpunt is, niet het snijpunt zelf of de

y

-waarde. Een veelgemaakte fout is om het hele coördinatenpaar of juist de functiewaarde als „de oplossing” op te schrijven. Vraagt de opgave om de oplossingen van de vergelijking, geef dan de

x

-waarden; vraagt ze om de snijpunten, geef dan de volledige coördinaten. Lees daarom de vraag nauwkeurig en match je antwoord aan wat er wordt gevraagd.

De grafische methode en de algebraïsche methode zijn complementair, en een sterke kandidaat zet ze naast elkaar in. Gebruik algebra wanneer de vergelijking zich laat herleiden (lineair, kwadratisch, of via een handige substitutie) — dat geeft exacte antwoorden en een nette redenering. Gebruik de grafiek (rekenmachine) wanneer de vergelijking dat niet toelaat, of om je algebraïsche antwoord visueel te controleren: kloppen het aantal en de ligging van de snijpunten met je oplossingen? Door beide invalshoeken te beheersen, kun je elke vergelijking aan, en kun je bovendien je eigen werk verifiëren.

f(x) = g(x) \ \Longleftrightarrow\ f(x) - g(x) = 0

vergelijking als nulpunten

De oplossingen van f(x) = g(x) zijn de nulpunten van h(x) = f(x) − g(x), oftewel de x-coördinaten van de snijpunten van beide grafieken.

Uitgewerkt voorbeeld

Een vergelijking oplossen via snijpunten

Los $x^2 - 2x = x$ op en geef zowel de oplossingen als de bijbehorende snijpunten.

Stap 1 — Breng alles naar één kant
Trek x van beide kanten af, zodat de vergelijking de vorm = 0 krijgt.
$x^2 - 2x - x = 0 \ \Rightarrow\ x^2 - 3x = 0$
Stap 2 — Ontbind en lees de oplossingen af
Haal de gemeenschappelijke factor x buiten haakjes; een product is nul als een factor nul is.
$x(x-3) = 0 \ \Rightarrow\ x = 0 \ \text{of}\ x = 3$
Stap 3 — Bepaal de snijpunten
Vul de oplossingen in een van beide functies (bijvoorbeeld y = x) in om de y-coördinaten te krijgen.
$x=0 \Rightarrow (0,0), \qquad x=3 \Rightarrow (3,3)$

Resultaat: Resultaat: de oplossingen van de vergelijking zijn $x = 0$ en $x = 3$ ; de bijbehorende snijpunten van de grafieken zijn $(0, 0)$ en $(3, 3)$ . De oplossingen zijn de $x$ -coördinaten, niet de volledige punten.

Veelgemaakte fouten

De $y$ -coördinaat of het hele snijpunt als oplossing van de vergelijking opschrijven in plaats van de $x$ -coördinaat.
Een te klein kijkvenster kiezen op de rekenmachine, waardoor een snijpunt (en dus een oplossing) buiten beeld blijft.
Vergeten de vergelijking eerst op nul te brengen bij de algebraïsche aanpak, zodat ontbinden niet lukt.

Actieve herhaling

Los $x^2 - 2x = x$ zowel algebraïsch als grafisch op, en geef de snijpunten van $y = x^2 - 2x$ en $y = x$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Ongelijkheden oplossen#

Standaardexamenblad-nl

Het gebied waar f onder g ligt

Afb. 3Tussen de snijpunten x = 0 en x = 3 ligt de parabool y = x² − 2x onder de lijn y = x (gearceerd). Daar geldt x² − 2x < x, dus de oplossing is 0 < x < 3.

Een ongelijkheid als

f(x) < g(x)

vraagt niet naar de waarden waar de grafieken even hoog zijn, maar naar het hele gebied van

x

-waarden waar de ene grafiek onder (of boven) de andere ligt. De oplossing is daardoor geen los getal maar een interval (of een vereniging van intervallen). De grenzen van die intervallen zijn precies de snijpunten — de oplossingen van de bijbehorende vergelijking

f(x) = g(x)

. De handigste werkwijze is dan ook: los eerst de vergelijking op om de grenzen te vinden, en bepaal daarna met een schets of een tekenschema in welke intervallen tússen die grenzen de ongelijkheid waar is.

Het grafische beeld maakt dit concreet. Teken

y = f(x)

y = g(x)

in één assenstelsel en kijk waar de grafiek van

f

ónder die van

g

ligt: precies daar geldt

f(x) < g(x)

. In de figuur ligt de parabool

y = x^2 - 2x

tussen de snijpunten

x = 0

x = 3

onder de lijn

y = x

; daar is dus

x^2 - 2x < x

. De oplossing van die ongelijkheid is het interval

0 < x < 3

. De snijpunten zijn de grenzen, en de schets vertelt je aan welke kant van die grenzen de ongelijkheid waar is — je hoeft niet te gokken.

Wil je het zonder grafiek doen, dan gebruik je een tekenschema (tekenverloop). Breng de ongelijkheid op de vorm

h(x) < 0

(of

> 0

) door alles naar één kant te halen, bepaal de nulpunten van

h

, en onderzoek per interval tussen twee opeenvolgende nulpunten het teken van

h

door één proefwaarde in te vullen. Voor

x^2 - 3x < 0

, met nulpunten 0 en 3, vul je bijvoorbeeld

x = 1

in:

1 - 3 = -2 < 0

, dus op het hele interval tussen 0 en 3 is

h

negatief. Buiten dat interval is

h

positief. Zo lees je de oplossing

0 < x < 3

uit het tekenschema af.

Bij ongelijkheden is er één regel die je nooit mag vergeten: vermenigvuldig of deel je beide kanten door een negatief getal, dan klapt het ongelijkheidsteken om. Uit

-2x < 6

volgt na delen door

-2

dus

x > -3

, met een omgekeerd teken. Vermenigvuldigen met een variabele uitdrukking is helemáál riskant, omdat je dan niet weet of die positief of negatief is — vermijd dat en werk in plaats daarvan met nulpunten en een tekenschema. Juist omdat dit zo'n klassieke valkuil is, loont het om bij elke deling of vermenigvuldiging bewust te checken: is de factor positief of negatief?

Let ten slotte goed op de aard van de grenzen. Bij een strikte ongelijkheid (

<

>

) horen de grenzen er níét bij — daar zijn de grafieken immers even hoog, geen van beide ligt er onder — dus je schrijft

0 < x < 3

met open grenzen. Bij een ongelijkheid met „gelijk-aan” erbij (

\le

\ge

) horen de grenzen wél bij de oplossing:

0 \le x \le 3

. Noteer de oplossingsverzameling netjes als een interval en wees consequent met open en gesloten grenzen; daar staan op het examen vaak punten op.

f(x) < g(x) \ \text{op het interval waar de grafiek van } f \text{ onder die van } g \text{ ligt}

ongelijkheid grafisch

De grenzen van de oplossing zijn de snijpunten; tussen (of buiten) de grenzen bepaalt de schets of tekenanalyse waar de ongelijkheid geldt.

\text{deel door een negatief getal} \ \Rightarrow\ \text{ongelijkheidsteken omklappen}

tekenregel

Vermenigvuldigen of delen met een negatief getal draait de richting van de ongelijkheid om.

Uitgewerkt voorbeeld

Een kwadratische ongelijkheid oplossen met een tekenschema

Los $x^2 - 2x < x$ op met een tekenschema en noteer de oplossingsverzameling.

Stap 1 — Breng op de vorm h(x) < 0 en bepaal de nulpunten
Haal alles naar één kant en ontbind om de grenzen (nulpunten) te vinden.
$x^2 - 3x < 0 \ \Rightarrow\ x(x-3) < 0 \ \Rightarrow\ \text{nulpunten } x=0,\ x=3$
Stap 2 — Onderzoek het teken per interval
Kies een proefwaarde in elk interval. Voor 0 < x < 3 neem je x = 1: dan is h(1) = 1 − 3 = −2 < 0. Buiten dat interval is h positief.
$h(-1) = 4 > 0, \quad h(1) = -2 < 0, \quad h(4) = 4 > 0$
Stap 3 — Lees de oplossing af
We zoeken waar h(x) < 0; dat is alleen op het middelste interval. De grenzen horen er niet bij, want de ongelijkheid is strikt.
$0 < x < 3$

Resultaat: Resultaat: de oplossingsverzameling is $0 < x < 3$ (open grenzen, want de ongelijkheid is strikt). Het tekenschema bevestigt dat de parabool alleen tússen de nulpunten onder de lijn ligt.

Veelgemaakte fouten

Het ongelijkheidsteken niet omklappen bij delen of vermenigvuldigen met een negatief getal.
Alleen de snijpunten geven en vergeten aan te geven welk interval ertussen (of erbuiten) de oplossing is.
Open en gesloten grenzen door elkaar halen: bij $<$ horen de grenzen er niet bij, bij $\le$ wel.

Actieve herhaling

Los de ongelijkheid $x^2 - 2x < x$ op met behulp van een schets of een tekenschema en noteer de oplossingsverzameling.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Wortel-, exponentiële en gebroken vergelijkingen#

Verdiepingexamenblad-nl

Wortelvergelijking √x = x − 2

Afb. 4De grafieken van y = √x en y = x − 2 snijden elkaar alleen in (4, 2). De waarde x = 1, die uit het kwadrateren rolt, is een schijnoplossing: daar snijden de grafieken niet.

Naast lineaire en kwadratische vergelijkingen kom je bij wiskunde B vergelijkingen tegen waarin de onbekende onder een wortel, in een exponent of in een noemer staat. De algemene strategie is telkens dezelfde: maak de „lastige” bewerking ongedaan met haar omkering, zodat er een vergelijking overblijft die je wél kunt oplossen. Een wortel haal je weg door beide kanten te kwadrateren, een exponent met de logaritme, en een noemer door beide kanten met die noemer te vermenigvuldigen. Door de juiste omkering te kiezen, herleid je een ogenschijnlijk moeilijke vergelijking tot een vertrouwd type.

Bij een wortelvergelijking als

\sqrt{x} = x - 2

isoleer je eerst de wortel (die staat hier al alleen) en kwadrateer je dan beide kanten:

x = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4

, oftewel

x^2 - 5x + 4 = 0

, met oplossingen

x = 1

x = 4

. Maar kwadrateren is geen omkeerbare bewerking — het kan oplossingen toevoegen die de oorspronkelijke vergelijking níét oplossen. Daarom moet je elke gevonden oplossing terugcontroleren. Hier blijkt

\sqrt{4} = 2 = 4 - 2

te kloppen, maar

\sqrt{1} = 1 \neq 1 - 2 = -1

niet. De waarde

x = 1

is een schijnoplossing en valt af; alleen

x = 4

is geldig. In de figuur zie je dat de grafieken elkaar inderdaad alleen in

(4, 2)

snijden.

Een schijnoplossing is een waarde die wel uit je herleiding rolt, maar de oorspronkelijke vergelijking niet oplost. Ze ontstaan vooral bij kwadrateren (waarbij een negatieve kant ineens positief wordt) en bij vergelijkingen met breuken (waarbij een gevonden waarde de noemer nul maakt). De les is simpel maar cruciaal: bij wortel- en gebroken vergelijkingen is terugcontroleren geen luxe maar een verplicht onderdeel van de oplossing. Vul elke kandidaat in de oorspronkelijke vergelijking in en schrap de waarden die niet voldoen of die buiten het domein vallen.

Exponentiële vergelijkingen — met de onbekende in de exponent, zoals

2^x = 50

— los je op met de logaritme, zoals je bij de logaritmische functies hebt gezien:

x = \log_2(50)

, te benaderen met de rekenmachine. Soms kun je het slimmer doen door beide kanten als macht van hetzelfde grondtal te schrijven: uit

2^x = 32 = 2^5

volgt direct

x = 5

, omdat gelijke machten met gelijk grondtal gelijke exponenten hebben. Bij gebroken vergelijkingen vermenigvuldig je beide kanten met de noemer(s) om de breuken weg te werken, lost de resulterende vergelijking op, en controleert dat geen oplossing een noemer nul maakt.

Een techniek die bij verschillende van deze typen helpt, is substitutie: vervang een terugkerende uitdrukking door één nieuwe variabele om de vergelijking te vereenvoudigen. Een vergelijking als

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

wordt met

u = x^2

de gewone kwadratische vergelijking

u^2 - 5u + 4 = 0

, met oplossingen

u = 1

u = 4

; daarna reken je via

x^2 = u

terug naar

x = \pm 1

x = \pm 2

. Door slim te substitueren breng je een hogeregraads of samengestelde vergelijking terug tot een type dat je al kunt oplossen — en vergeet je niet de substitutie aan het eind weer ongedaan te maken.

\sqrt{x} = x - 2 \ \xrightarrow{\ (\ )^2\ }\ x = (x-2)^2 \ \Rightarrow\ x^2 - 5x + 4 = 0

wortelvergelijking via kwadrateren

Kwadrateer beide kanten om de wortel weg te werken; controleer daarna elke oplossing, want kwadrateren kan schijnoplossingen toevoegen.

x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \ \xrightarrow{\ u=x^2\ }\ u^2 - 5u + 4 = 0

oplossen via substitutie

Vervang de terugkerende uitdrukking x² door u, los de kwadratische vergelijking op en keer daarna terug naar x.

Uitgewerkt voorbeeld

Een wortelvergelijking oplossen en schijnoplossingen schrappen

Los $\sqrt{x} = x - 2$ op en geef aan welke oplossingen geldig zijn.

Stap 1 — Kwadrateer beide kanten
De wortel staat al geïsoleerd. Kwadrateer om hem weg te werken en breng daarna op nul.
$(\sqrt{x})^2 = (x-2)^2 \ \Rightarrow\ x = x^2 - 4x + 4 \ \Rightarrow\ x^2 - 5x + 4 = 0$
Stap 2 — Los de kwadratische vergelijking op
Ontbind: twee getallen met product 4 en som 5 zijn 1 en 4.
$(x-1)(x-4) = 0 \ \Rightarrow\ x = 1 \ \text{of}\ x = 4$
Stap 3 — Controleer beide kandidaten
Vul terug in de oorspronkelijke vergelijking. Een wortel is nooit negatief, dus de rechterkant moet ≥ 0 zijn.
$x=1: \sqrt{1}=1 \neq -1 \ (\text{vervalt}); \quad x=4: \sqrt{4}=2 = 4-2 \ (\text{klopt})$

Resultaat: Resultaat: alleen $x = 4$ is een geldige oplossing; $x = 1$ is een schijnoplossing die door het kwadrateren is ontstaan. Het terugcontroleren is dus geen formaliteit maar bepaalt het eindantwoord.

Veelgemaakte fouten

Na het kwadrateren van een wortelvergelijking de gevonden oplossingen niet terugcontroleren, zodat een schijnoplossing wordt meegenomen.
Bij een gebroken vergelijking een oplossing accepteren die de noemer nul maakt.
Na een substitutie vergeten terug te keren naar de oorspronkelijke variabele (de oplossing in $u$ teruggeven in plaats van in $x$ ).

Actieve herhaling

Los $\sqrt{x} = x - 2$ op en controleer je oplossingen; los daarna $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ op met de substitutie $u = x^2$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Vergelijkingen en ongelijkheden

Kernpunten

Een kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule

Kernpunten

Een vergelijking oplossen via snijpunten

Kernpunten

Een kwadratische ongelijkheid oplossen met een tekenschema

Kernpunten

Een wortelvergelijking oplossen en schijnoplossingen schrappen

Bronnen