Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Gebroken lineaire functies en asymptoten

Een gebroken lineaire functie is een breuk waarvan teller en noemer beide lineair zijn, zoals $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ . De grafiek is een hyperbool met een verticale en een horizontale asymptoot. In dit onderwerp leer je de asymptoten bepalen, de functie in de standaardvorm $y = \dfrac{a}{x-p} + q$ schrijven, het domein en bereik vaststellen en de snijpunten met de assen berekenen — alles wat je nodig hebt om zo'n grafiek volledig te beschrijven.

4 Onderdelen~19 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0333 / 12

Examenprofiel

De vorm van een gebroken lineaire functie en haar hyperboolgrafiek herkennen.De verticale asymptoot (noemer nul) en de horizontale asymptoot van een gebroken lineaire functie bepalen.Een gebroken lineaire functie naar de standaardvorm \dfrac{a}{x-p}+q herleiden en de verschuiving aflezen.Het domein, het bereik en de snijpunten met de assen van een gebroken lineaire functie bepalen.

Operatoren:bepaalberekenherleidschetsgeef het domein en bereiktoon aan

basisniveau

Bepaal de asymptoten van een gebroken lineaire functie en gebruik ze om de hyperbool globaal te schetsen.

verhoogd niveau

Herleid naar de standaardvorm, redeneer over domein en bereik en bereken de snijpunten exact.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Gebroken lineaire functies en asymptoten

De gebroken lineaire functie en haar grafiek#

Basisexamenblad-nl

De basishyperbool y = 1/x

Afb. 1De basishyperbool y = 1/x bestaat uit twee takken die de asymptoten x = 0 (verticaal) en y = 0 (horizontaal) benaderen zonder ze te raken.

Een gebroken lineaire functie heeft de vorm

f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}

, waarbij teller en noemer allebei lineair (eerstegraads) in

x

zijn en

c \neq 0

— anders zou de noemer een constante zijn en bleef er een gewone lineaire functie over. De grafiek van zo'n functie heet een hyperbool: een kromme die uit twee gescheiden takken bestaat, met een verticale en een horizontale asymptoot waar de grafiek dichter en dichter naartoe kruipt zonder ze ooit te raken. Deze functies modelleren situaties waarin een verhouding optreedt — een concentratie, een gemiddelde prijs per stuk, een snelheid — en horen tot de standaardrepertoire van wiskunde B.

De eenvoudigste gebroken functie is

f(x) = \dfrac{1}{x}

, het prototype waaruit je alle andere kunt opbouwen. Haar grafiek bestaat uit twee takken: voor

x > 0

ligt de grafiek in het eerste kwadrant en daalt hij van hoog bij de

y

-as naar bijna nul ver naar rechts; voor

x < 0

ligt hij in het derde kwadrant. De grafiek nadert twee asymptoten: de verticale lijn

x = 0

(de

y

-as) en de horizontale lijn

y = 0

(de

x

-as). Bij

x = 0

is de functie niet gedefinieerd, want delen door nul mag niet; daarom heeft de grafiek daar een verticale asymptoot. En hoe groter

|x|

wordt, hoe kleiner

\dfrac{1}{x}

, zodat de grafiek de

x

-as nadert maar nooit bereikt.

Een asymptoot is een rechte lijn die de grafiek steeds dichter benadert naarmate je verder langs de grafiek loopt, zonder die lijn te raken of te snijden. Bij gebroken functies zijn er twee soorten die in dit onderwerp centraal staan. De verticale asymptoot hoort bij de

x

-waarde waar de noemer nul wordt: daar „ontploft” de functiewaarde naar plus of min oneindig. De horizontale asymptoot beschrijft het gedrag voor heel grote

|x|

: naar welke vaste hoogte de grafiek dan toe kruipt. Samen vormen de twee asymptoten een soort kruis waar de hyperbool zich omheen vlijt; ze zijn de eerste dingen die je bepaalt als je zo'n grafiek wilt schetsen.

Het is belangrijk te beseffen dat de asymptoten zelf geen deel van de grafiek zijn, maar hulplijnen die het gedrag van de grafiek beschrijven. Je tekent ze meestal gestippeld. De grafiek mag een horizontale asymptoot in een eindig gebied best snijden (dat gebeurt soms bij ingewikkelder functies), maar de verticale asymptoot snijdt hij nooit, omdat de functie daar simpelweg niet bestaat. Voor de gebroken lineaire functies in dit onderwerp benadert de grafiek beide asymptoten netjes van weerszijden zonder ze te raken, en juist dat tweezijdige benaderen geeft de hyperbool haar karakteristieke vorm met twee takken.

Het loont om

\dfrac{1}{x}

goed te kennen, want elke gebroken lineaire functie is in feite een verschoven en opgerekte versie van deze basishyperbool. In de volgende paragrafen zie je hoe je de asymptoten van een algemene

\dfrac{ax+b}{cx+d}

bepaalt en hoe je de functie in de standaardvorm

\dfrac{a}{x-p} + q

schrijft, waarin je de verschuiving direct afleest. Met

\dfrac{1}{x}

als mentaal beginbeeld — twee takken, asymptoten langs de assen — herken je daarna elke hyperbool als datzelfde plaatje, alleen verschoven naar een ander asymptotenkruis.

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}, \qquad c \neq 0

gebroken lineaire functie

Teller en noemer zijn beide lineair; de grafiek is een hyperbool met een verticale en een horizontale asymptoot.

f(x) = \frac{1}{x}: \quad \text{V.A. } x = 0, \quad \text{H.A. } y = 0

de basishyperbool

De eenvoudigste gebroken functie heeft de twee assen als asymptoten; elke andere hyperbool is hiervan een verschoven versie.

Uitgewerkt voorbeeld

Het gedrag van 1/x bij de asymptoten beschrijven

Onderzoek voor $f(x) = \dfrac{1}{x}$ wat er met $f(x)$ gebeurt als $x$ van rechts naar 0 nadert en als $x$ heel groot wordt, en koppel dat aan de asymptoten.

Stap 1 — Reken een paar waarden dicht bij 0 uit
Vul steeds kleinere positieve x in. De functiewaarde wordt dan steeds groter.
$f(0{,}1) = 10, \quad f(0{,}01) = 100, \quad f(0{,}001) = 1000$
Stap 2 — Reken een paar grote waarden uit
Vul steeds grotere x in. De functiewaarde wordt dan steeds kleiner, maar blijft positief.
$f(10) = 0{,}1, \quad f(100) = 0{,}01, \quad f(1000) = 0{,}001$
Stap 3 — Koppel aan de asymptoten
Bij x naar 0 schiet de waarde naar oneindig: dat is de verticale asymptoot. Bij grote x nadert de waarde 0: dat is de horizontale asymptoot.
$x \to 0^+ \Rightarrow f(x) \to \infty \ (\text{V.A. } x=0), \qquad x \to \infty \Rightarrow f(x) \to 0 \ (\text{H.A. } y=0)$

Resultaat: Resultaat: als $x$ van rechts naar 0 nadert, groeit $f(x)$ onbegrensd (verticale asymptoot $x = 0$ ); als $x$ groot wordt, nadert $f(x)$ de waarde 0 (horizontale asymptoot $y = 0$ ). De getallen laten het tweezijdige benaderen van de asymptoten concreet zien.

Veelgemaakte fouten

Denken dat de grafiek de verticale asymptoot ergens raakt of snijdt; daar bestaat de functie juist niet.
De asymptoten als deel van de grafiek tekenen in plaats van als gestippelde hulplijnen.
Vergeten dat $\dfrac{1}{x}$ uit twee gescheiden takken bestaat en de grafiek als één doorlopende kromme tekenen.

Actieve herhaling

Schets $y = \dfrac{1}{x}$ voor $-4 \le x \le 4$ , teken de twee asymptoten gestippeld en beschrijf in woorden wat er met de functiewaarde gebeurt als $x$ van rechts naar 0 nadert.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De verticale en horizontale asymptoot bepalen#

Standaardexamenblad-nl

Asymptoten van y = (2x+1)/(x−1)

Afb. 2De hyperbool y = (2x + 1)/(x − 1) heeft verticale asymptoot x = 1 (noemer nul) en horizontale asymptoot y = 2 (verhouding van de x-coëfficiënten). De takken vlijen zich om het asymptotenkruis.

De verticale asymptoot van

f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}

vind je door te bepalen waar de noemer nul wordt, want daar is de functie niet gedefinieerd en schiet de functiewaarde naar plus of min oneindig. Je lost dus

cx + d = 0

op, wat

x = -\dfrac{d}{c}

geeft. Bij

\dfrac{2x+1}{x-1}

is de noemer nul als

x - 1 = 0

, dus de verticale asymptoot is

x = 1

. Controleer wel even dat de teller in datzelfde punt níét óók nul wordt; gebeurt dat wel, dan is er geen asymptoot maar een „gat” in de grafiek. Bij gebroken lineaire functies is dat zelden het geval, maar het is een goede gewoonte om er bij stil te staan.

De horizontale asymptoot beschrijft naar welke vaste hoogte de grafiek kruipt als

x

heel groot of heel klein (sterk negatief) wordt. Voor een gebroken lineaire functie bepaal je die door naar de verhouding van de hoogste-graadstermen te kijken. Als

|x|

groot is, doen de constanten

b

d

er nauwelijks toe en gedraagt

\dfrac{ax+b}{cx+d}

zich als

\dfrac{ax}{cx} = \dfrac{a}{c}

. De horizontale asymptoot is daarom

y = \dfrac{a}{c}

: het quotiënt van de coëfficiënt van

x

in de teller en die in de noemer. Bij

\dfrac{2x+1}{x-1}

is dat

y = \dfrac{2}{1} = 2

Het is verhelderend om in te zien waaróm de constanten wegvallen voor grote

|x|

. Deel je teller en noemer beide door

x

, dan staat er

\dfrac{a + b/x}{c + d/x}

. De termen

\dfrac{b}{x}

\dfrac{d}{x}

worden voor grote

|x|

verwaarloosbaar klein en gaan naar nul, zodat de hele breuk naar

\dfrac{a}{c}

nadert. Deze redenering — delen door de hoogste macht en de „kleine” termen laten verdwijnen — is dezelfde techniek die je later bij ingewikkelder limieten gebruikt, en ze maakt concreet waarom de horizontale asymptoot precies

\dfrac{a}{c}

is en niet iets anders.

Met de twee asymptoten heb je het skelet van de grafiek te pakken. Ze verdelen het vlak in vier gebieden, en de hyperbool ligt in twee tegenover elkaar liggende daarvan. Om te bepalen in welke twee, reken je één extra punt uit (bijvoorbeeld de waarde net rechts van de verticale asymptoot) of bekijk je het teken van de functie in een handig punt. Bij

\dfrac{2x+1}{x-1}

met asymptoten

x = 1

y = 2

ligt de ene tak rechtsboven van het asymptotenkruis en de andere linksonder. Zo schets je met de asymptoten plus één steunpunt al een betrouwbare grafiek, zonder een hele waardetabel te hoeven maken.

Vat de werkwijze samen als een vast tweeluik: de verticale asymptoot komt van de noemer (

cx + d = 0

, dus

x = -\dfrac{d}{c}

) en de horizontale asymptoot van de verhouding van de

x

-coëfficiënten (

y = \dfrac{a}{c}

). Deze twee bepalingen zijn snel, exact en altijd toepasbaar op een gebroken lineaire functie. Wie ze automatiseert, kan elke hyperbool meteen plaatsen en heeft daarmee de basis om het domein, het bereik en de snijpunten — de onderwerpen van de volgende paragrafen — vlot af te leiden.

cx + d = 0 \ \Rightarrow\ x = -\frac{d}{c} \quad (\text{verticale asymptoot})

verticale asymptoot

De verticale asymptoot ligt waar de noemer nul wordt; daar is de functie niet gedefinieerd.

y = \frac{a}{c} \quad (\text{horizontale asymptoot})

horizontale asymptoot

Voor grote |x| gedraagt de breuk zich als de verhouding van de x-coëfficiënten, dus de horizontale asymptoot is y = a/c.

Uitgewerkt voorbeeld

Beide asymptoten bepalen en een steunpunt kiezen

Bepaal de asymptoten van $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$ en geef het snijpunt met de $y$ -as.

Stap 1 — Verticale asymptoot via de noemer
Stel de noemer op nul en los op. De teller is daar niet nul, dus het is echt een asymptoot.
$x - 1 = 0 \ \Rightarrow\ x = 1$
Stap 2 — Horizontale asymptoot via de x-coëfficiënten
Deel de coëfficiënt van x in de teller door die in de noemer.
$y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2$
Stap 3 — Snijpunt met de y-as als steunpunt
Vul x = 0 in om het snijpunt met de y-as te vinden; dat helpt bij het plaatsen van de takken.
$f(0) = \frac{2\cdot 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1, \quad\text{dus } (0,\,-1)$

Resultaat: Resultaat: de asymptoten zijn $x = 1$ en $y = 2$ , en de grafiek snijdt de $y$ -as in $(0, -1)$ . Omdat dit steunpunt linksonder het asymptotenkruis ligt, ligt daar de ene tak en de andere rechtsboven.

Veelgemaakte fouten

De horizontale asymptoot uit de constante termen $\dfrac{b}{d}$ halen in plaats van uit de $x$ -coëfficiënten $\dfrac{a}{c}$ .
De verticale asymptoot bij de teller in plaats van bij de noemer zoeken.
Vergeten te controleren in welke twee gebieden de takken liggen, waardoor de grafiek aan de verkeerde kant van het asymptotenkruis wordt getekend.

Actieve herhaling

Bepaal de verticale en horizontale asymptoot van $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$ en schets de hyperbool met behulp van de asymptoten en het snijpunt met de $y$ -as.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De standaardvorm y = a/(x − p) + q#

Standaardexamenblad-nl

Verschoven hyperbool y = 3/(x − 2) + 1

Afb. 3De standaardvorm y = 3/(x − 2) + 1 is de basishyperbool 3/x, verschoven 2 naar rechts (p = 2) en 1 omhoog (q = 1). De asymptoten zijn x = 2 en y = 1.

Elke gebroken lineaire functie is te schrijven in de standaardvorm

f(x) = \dfrac{a}{x-p} + q

, en die vorm is bijzonder handig omdat je de asymptoten er direct uit afleest. De verticale asymptoot is

x = p

(daar wordt de noemer

x - p

nul) en de horizontale asymptoot is

y = q

(de term

\dfrac{a}{x-p}

gaat voor grote

|x|

naar nul, zodat

f

naar

q

nadert). De standaardvorm laat zien dat elke hyperbool niets anders is dan de basishyperbool

\dfrac{a}{x}

, verschoven over

p

naar rechts en

q

omhoog. Het asymptotenkruis verhuist daarbij van de oorsprong naar het punt

(p, q)

De parameter

a

regelt hoe „wijd” of „strak” de hyperbool om haar asymptoten ligt en aan welke kant de takken zitten. Bij

a > 0

liggen de takken rechtsboven en linksonder het kruis (zoals bij

\dfrac{1}{x}

); bij

a < 0

liggen ze linksboven en rechtsonder, want dan is de functie gespiegeld. Hoe groter

|a|

, hoe verder de takken van het asymptotenkruis af buigen. De parameters

p

q

zijn puur verschuivingen:

p

verplaatst het hele plaatje horizontaal,

q

verticaal. Zo herken je in

\dfrac{3}{x-2} + 1

meteen een basishyperbool met factor 3, verschoven 2 naar rechts en 1 omhoog, met asymptoten

x = 2

y = 1

Een algemene

\dfrac{ax+b}{cx+d}

herleid je naar de standaardvorm met een staartdeling (de teller delen door de noemer), zodat je een geheel deel plus een echte breuk overhoudt. Concreet schrijf je de teller als een veelvoud van de noemer plus een rest:

\dfrac{2x+1}{x-1} = \dfrac{2(x-1) + 3}{x-1} = 2 + \dfrac{3}{x-1}

. In die vorm lees je af:

a = 3

p = 1

q = 2

, dus asymptoten

x = 1

y = 2

— precies wat je met de snelle regels uit de vorige paragraaf ook vond, maar nu zie je bovendien de factor

a = 3

en de exacte gedaante van de verschuiving. De standaardvorm bevat dus méér informatie dan alleen de asymptoten.

De techniek om dit te doen — „splits de teller met behulp van de noemer” — is het waard om te oefenen, want hij komt in meerdere gedaanten terug (bij staartdelingen, bij het voorbereiden van differentiëren van een breuk, en bij het herkennen van transformaties). De truc is om de noemer

x - p

kunstmatig in de teller te laten verschijnen: schrijf de teller als „coëfficiënt maal de noemer, plus wat er nog ontbreekt”. Reken daarna de rest exact uit en deel term voor term. Een korte controle achteraf — vul één getal in beide vormen in — bevestigt dat je geen rekenfout hebt gemaakt.

De standaardvorm is bovendien de brug naar het schetsen vanuit transformaties. Omdat

\dfrac{a}{x-p} + q

letterlijk de basishyperbool verschoven over

(p, q)

is, kun je de grafiek tekenen door eerst het asymptotenkruis in

(p, q)

te zetten en daar de bekende twee takken (met de oriëntatie die bij het teken van

a

hoort) omheen te tekenen. Zo verbindt dit onderwerp zich met het transformeren van grafieken: een gebroken lineaire functie is gewoon een verschoven

\dfrac{a}{x}

, en de standaardvorm maakt die verschuiving expliciet zichtbaar.

f(x) = \frac{a}{x - p} + q: \quad \text{V.A. } x = p, \quad \text{H.A. } y = q

standaardvorm

In de standaardvorm lees je de asymptoten direct af: x = p (noemer nul) en y = q (het verticale niveau dat de grafiek nadert).

\frac{2x+1}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x-1} = 2 + \frac{3}{x-1}

herleiden met een staartdeling

Laat de noemer in de teller verschijnen; dan splitst de breuk in een geheel deel (q) plus de echte breuk a/(x − p).

Uitgewerkt voorbeeld

Naar de standaardvorm herleiden met een staartdeling

Herleid $f(x) = \dfrac{3x-4}{x-1}$ naar de vorm $\dfrac{a}{x-p}+q$ en geef de asymptoten.

Stap 1 — Laat de noemer in de teller verschijnen
Schrijf de teller 3x − 4 als 3·(x − 1) plus de rest. Er geldt 3(x − 1) = 3x − 3, dus de rest is −4 − (−3) = −1.
$3x - 4 = 3(x-1) - 1$
Stap 2 — Splits de breuk
Deel beide delen door de noemer x − 1; het eerste deel vereenvoudigt tot 3.
$\frac{3x-4}{x-1} = \frac{3(x-1)}{x-1} - \frac{1}{x-1} = 3 - \frac{1}{x-1}$
Stap 3 — Lees de standaardvorm en de asymptoten af
Vergelijk met a/(x − p) + q: hier is a = −1, p = 1 en q = 3.
$f(x) = \frac{-1}{x-1} + 3 \ \Rightarrow\ \text{V.A. } x = 1, \ \text{H.A. } y = 3$

Resultaat: Resultaat: $f(x) = \dfrac{-1}{x-1} + 3$ , dus de asymptoten zijn $x = 1$ en $y = 3$ . Omdat $a = -1 < 0$ liggen de takken linksboven en rechtsonder het asymptotenkruis.

Veelgemaakte fouten

Bij het splitsen van de teller een rekenfout maken, zodat de rest (en daarmee $a$ ) niet klopt; controleer door één getal in te vullen.
De verschuiving van $p$ de verkeerde kant op lezen: $x - p$ in de noemer geeft een asymptoot bij $x = p$ (dus $p$ naar rechts).
Het teken van $a$ negeren, waardoor je de takken aan de verkeerde kant van het asymptotenkruis tekent.

Actieve herhaling

Herleid $f(x) = \dfrac{3x-4}{x-1}$ naar de standaardvorm $\dfrac{a}{x-p}+q$ en geef de asymptoten.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Domein, bereik en snijpunten met de assen#

Standaardexamenblad-nl

Snijpunten van y = (x − 3)/(x + 1)

Afb. 4De hyperbool y = (x − 3)/(x + 1) heeft asymptoten x = −1 en y = 1; het nulpunt ligt bij (3, 0) (teller nul) en het snijpunt met de y-as bij (0, −3).

Het domein van een gebroken lineaire functie is alles behalve de waarde die de noemer nul maakt — precies de plek van de verticale asymptoot. Voor

f(x) = \dfrac{a}{x-p} + q

is het domein dus alle reële getallen met

x \neq p

. Dit is geen formaliteit: die ene verboden waarde is de reden dat de grafiek uit twee gescheiden takken bestaat, en je moet hem expliciet vermelden als om het domein wordt gevraagd. Bij een algemene

\dfrac{ax+b}{cx+d}

bepaal je de verboden waarde door

cx + d = 0

op te lossen.

Het bereik bepaal je via de horizontale asymptoot. Omdat de term

\dfrac{a}{x-p}

nooit precies nul kan worden (een breuk met teller

a \neq 0

is nooit nul), kan

f(x) = \dfrac{a}{x-p} + q

nooit precies de waarde

q

aannemen. Het bereik is daarom alle reële getallen met

y \neq q

— de hoogte van de horizontale asymptoot is de enige onbereikbare waarde. Domein en bereik vertonen zo een mooie symmetrie: de verticale asymptoot levert de verboden

x

-waarde (

x \neq p

) en de horizontale asymptoot de onbereikbare

y

-waarde (

y \neq q

De snijpunten met de assen reken je op de gewone manier uit. Het snijpunt met de

y

-as vind je door

x = 0

in te vullen:

f(0)

geeft de

y

-coördinaat, mits

0

in het domein ligt (dus mits de verticale asymptoot niet juist op

x = 0

ligt). Het snijpunt met de

x

-as — het nulpunt — vind je door

f(x) = 0

te stellen. Voor een breuk geldt dat hij nul is precies wanneer de tellér nul is (en de noemer niet), dus je lost

ax + b = 0

op. Bij

\dfrac{x-3}{x+1}

is de teller nul bij

x = 3

, dus het nulpunt is

(3, 0)

Dat een breuk nul is dán en slechts dán als de teller nul is, is een principe dat je bij gebroken functies steeds gebruikt — en een veelgemaakte fout is om ook de noemer op nul te zetten of om de noemer te vergeten te controleren. Zou de waarde die de teller nul maakt toevallig samenvallen met de waarde die de noemer nul maakt, dan is er geen nulpunt (en zelfs geen verticale asymptoot, maar een gat). Bij gebroken lineaire functies met verschillende lineaire teller en noemer gebeurt dat niet, maar de gewoonte om „teller nul, noemer níét nul” te checken voorkomt fouten en bereidt je voor op ingewikkelder gevallen.

Met domein, bereik, de twee asymptoten en de snijpunten met de assen heb je een gebroken lineaire functie volledig in kaart. Dat is precies het rijtje dat een examenvraag vaak stap voor stap uitvraagt: bepaal de asymptoten, geef domein en bereik, bereken de snijpunten en schets de grafiek. Door deze informatie systematisch te verzamelen — eerst de asymptoten (skelet), dan domein en bereik (waar de grafiek wel en niet komt), dan de snijpunten (concrete steunpunten) — teken je een betrouwbare grafiek en beantwoord je elke deelvraag onderbouwd.

D_f: x \neq p, \qquad B_f: y \neq q

domein en bereik

De verticale asymptoot levert de verboden x-waarde, de horizontale asymptoot de onbereikbare y-waarde.

\frac{ax+b}{cx+d} = 0 \ \Longleftrightarrow\ ax + b = 0 \ (\text{en } cx+d \neq 0)

nulpunt van een breuk

Een breuk is nul precies wanneer de teller nul is en de noemer niet; zo vind je het snijpunt met de x-as.

Uitgewerkt voorbeeld

Domein, bereik en snijpunten volledig bepalen

Gegeven is $f(x) = \dfrac{x-3}{x+1}$ . Bepaal de asymptoten, het domein en bereik en de snijpunten met de assen.

Stap 1 — Asymptoten en domein
Noemer nul: x + 1 = 0 geeft x = −1 (verticale asymptoot en verboden waarde). De x-coëfficiënten zijn 1 en 1, dus de horizontale asymptoot is y = 1.
$\text{V.A. } x = -1, \quad \text{H.A. } y = 1, \quad D_f: x \neq -1$
Stap 2 — Bereik
De functie kan de hoogte van de horizontale asymptoot niet bereiken.
$B_f: y \neq 1$
Stap 3 — Snijpunten met de assen
Nulpunt: teller nul, dus x − 3 = 0 geeft x = 3. Snijpunt met de y-as: vul x = 0 in.
$(3,\,0) \quad\text{en}\quad f(0) = \frac{0-3}{0+1} = -3 \ \Rightarrow\ (0,\,-3)$

Resultaat: Resultaat: asymptoten $x = -1$ en $y = 1$ ; domein $x \neq -1$ , bereik $y \neq 1$ ; snijpunten $(3, 0)$ met de $x$ -as en $(0, -3)$ met de $y$ -as. Daarmee ligt de grafiek volledig vast.

Veelgemaakte fouten

Het bereik als „alle reële getallen” opgeven en de uitgesloten waarde $y = q$ (de horizontale asymptoot) vergeten.
Bij het zoeken van een nulpunt de hele breuk op nul stellen door de noemer mee te nemen; een breuk is nul als alleen de teller nul is.
De verboden waarde $x = p$ niet bij het domein vermelden.

Actieve herhaling

Gegeven is $f(x) = \dfrac{x-3}{x+1}$ . Bepaal het domein en bereik en bereken de snijpunten met de $x$ -as en de $y$ -as.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Gebroken lineaire functies en asymptoten

Kernpunten

Het gedrag van 1/x bij de asymptoten beschrijven

Kernpunten

Beide asymptoten bepalen en een steunpunt kiezen

Kernpunten

Naar de standaardvorm herleiden met een staartdeling

Kernpunten

Domein, bereik en snijpunten volledig bepalen

Bronnen