EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde B/Standaardfuncties: machts-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies
Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Standaardfuncties: machts-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies

Wiskunde B draait om functies, en een handvol standaardfuncties vormt het alfabet waarmee je alle andere opbouwt: machtsfuncties, de wortelfunctie, exponentiële en logaritmische functies en de goniometrische functies sinus, cosinus en tangens. Dit onderwerp behandelt per familie de grafiekvorm, het domein en bereik, de bijzondere punten en asymptoten, en het gedrag. Daarna leer je hoe je met transformaties — verschuiven en vermenigvuldigen — uit een standaardfunctie een hele klasse functies maakt.

5 Onderdelen·~25 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Basis 1 · Standaard 4

T·0222 / 12
Examenprofiel
De grafiek, het domein en bereik en het karakteristieke gedrag van machts- en wortelfuncties beschrijven.Exponentiële en logaritmische functies herkennen als elkaars inverse en hun groei, verval en asymptoten beschrijven.De goniometrische standaardfuncties sinus, cosinus en tangens en hun periodieke karakter herkennen.Grafieken van functies transformeren door verschuiven en vermenigvuldigen volgens y = a·f(x - p) + q.
Operatoren:schetsbeschrijfbepaalleg uitgeef het domein en bereiktransformeer

basisniveau

Ken van elke standaardfunctie de globale grafiekvorm, de bijzondere punten en de eventuele asymptoot uit het hoofd.

verhoogd niveau

Combineer de standaardfuncties met transformaties en redeneer over domein, bereik en symmetrie zonder eerst te plotten.

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 5 onderdelen▾
  1. Standaardfuncties: machts-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies
    • 01Machts- en wortelfuncties○
    • 02Exponentiële functies◐
    • 03Logaritmische functies◐
    • 04Goniometrische standaardfuncties: sinus, cosinus en tangens◐
    • 05Grafieken transformeren: verschuiven en vermenigvuldigen◐
§ 01

Machts- en wortelfuncties#

●○○BasisLPexamenblad-nl

Machtsfuncties y = x² en y = x³

Even en oneven machtsfunctiesSchaubild von y=x², Nullstellen bei x = 0, Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2 bis 2, Schaubild von y=x³, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von -2 bis 2−2−1.5−1−0.50.511.52−4−2246Oy = x²y = x³yx
Afb. 1De even machtsfunctie y = x² (symmetrisch in de y-as) en de oneven machtsfunctie y = x³ (puntsymmetrisch in de oorsprong). Beide gaan door (0,0) en (1,1).

Kernpunten

Een machtsfunctie heeft de vorm f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn, waarbij de exponent nnn de grafiekvorm bepaalt. Het is de moeite waard de twee hoofdgevallen scherp te onderscheiden: even en oneven exponenten gedragen zich heel verschillend. Bij een even exponent (x2x^2x2, x4x^4x4, …) is f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x), want een even macht van een negatief getal is positief; de grafiek is daardoor symmetrisch in de yyy-as (een „dalparabool-achtige” vorm met een minimum in de oorsprong) en het bereik is y≥0y \ge 0y≥0. Bij een oneven exponent (x3x^3x3, x5x^5x5, …) is f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x), dus de grafiek is puntsymmetrisch in de oorsprong, loopt van linksonder naar rechtsboven, en heeft als bereik alle reële getallen.
Alle machtsfuncties met n≥1n \ge 1n≥1 delen drie vaste punten, en die zijn handig om snel te schetsen: ze gaan door (0,0)(0,0)(0,0), door (1,1)(1,1)(1,1) en — bij oneven nnn — door (−1,−1)(-1,-1)(−1,−1), terwijl ze bij even nnn door (−1,1)(-1,1)(−1,1) gaan. Hoe groter de exponent, hoe „platter” de grafiek dicht bij de oorsprong (tussen −1-1−1 en 111 blijven de waarden klein) en hoe steiler hij buiten dat gebied omhoogschiet. Zo ligt x4x^4x4 tussen −1-1−1 en 111 dichter bij de xxx-as dan x2x^2x2, maar groeit hij daarbuiten veel sneller. Met deze paar ankerpunten en het symmetriegedrag schets je elke machtsfunctie betrouwbaar uit de losse hand.
De wortelfunctie f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x​ is nauw verwant aan de machtsfuncties, want x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}x​=x1/2 — een macht met exponent een half. Omdat je van een negatief getal geen (reële) wortel kunt trekken, is het domein beperkt tot x≥0x \ge 0x≥0, en omdat een wortel per afspraak niet-negatief is, is het bereik y≥0y \ge 0y≥0. De grafiek begint in de oorsprong, stijgt eerst snel en daarna steeds flauwer; karakteristieke punten zijn (0,0)(0,0)(0,0), (1,1)(1,1)(1,1), (4,2)(4,2)(4,2) en (9,3)(9,3)(9,3). De wortelfunctie is precies de spiegeling van y=x2y = x^2y=x2 (voor x≥0x \ge 0x≥0) in de lijn y=xy = xy=x: wortel en kwadraat zijn elkaars inverse bewerking, en dat zie je terug in de gespiegelde grafiekvorm.
Bij machtsfuncties hoort ook het gedrag bij negatieve exponenten, zoals f(x)=x−1=1xf(x) = x^{-1} = \dfrac{1}{x}f(x)=x−1=x1​. Zo'n functie is geen polynoom meer maar een gebroken functie met asymptoten — die behandelen we apart in het onderwerp over gebroken lineaire functies. Voor nu is het belangrijk te zien dat de exponent volledig de aard van de grafiek stuurt: een positieve gehele exponent geeft een nette, overal gedefinieerde kromme, een gebroken exponent (een wortel) beperkt het domein tot niet-negatieve waarden, en een negatieve exponent introduceert een asymptoot. Door bij elke machtsfunctie eerst naar de exponent te kijken, weet je meteen welk type grafiek je kunt verwachten.
Het domein en bereik horen bij elke functie standaard tot je beschrijving, en machtsfuncties laten goed zien waarom. Voor x2x^2x2 is het domein alle reële getallen maar het bereik y≥0y \ge 0y≥0; voor x3x^3x3 zijn domein én bereik alle reële getallen; voor x\sqrt{x}x​ zijn beide beperkt tot niet-negatieve waarden. Wie gewend raakt om bij elke standaardfunctie automatisch domein, bereik, symmetrie en de paar ankerpunten te benoemen, kan later samengestelde en getransformeerde functies veel sneller analyseren, omdat hij precies weet welke „bouwsteen” eronder zit.
f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn

machtsfunctie

Bij even n is de grafiek symmetrisch in de y-as (bereik y ≥ 0); bij oneven n puntsymmetrisch in de oorsprong (bereik alle reële getallen).

f(x)=x=x1/2,Df:x≥0,Bf:y≥0f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad D_f: x \ge 0,\quad B_f: y \ge 0f(x)=x​=x1/2,Df​:x≥0,Bf​:y≥0

wortelfunctie

De wortelfunctie is de macht met exponent een half; haar domein en bereik zijn beperkt tot niet-negatieve waarden.

De wortelfunctie y = √x

De wortelfunctieSchaubild von y=√x, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 924680.511.522.53y = √xyx
Afb. 2De wortelfunctie y = √x heeft domein x ≥ 0 en bereik y ≥ 0. Ze gaat door (0,0), (1,1), (4,2) en (9,3) en stijgt steeds langzamer.
Uitgewerkt voorbeeld

Domein, bereik en bijzondere punten van een machtsfunctie

Gegeven is f(x)=x4f(x) = x^4f(x)=x4. Bepaal het domein en bereik, onderzoek de symmetrie en geef drie punten van de grafiek.

  1. 01Stap 1 — Bepaal het domein

    Voor elke reële x is x⁴ gedefinieerd, dus er is geen beperking op het domein.

    Df=RD_f = \mathbb{R}Df​=R
  2. 02Stap 2 — Onderzoek de symmetrie en bepaal het bereik

    De exponent 4 is even, dus f(−x) = (−x)⁴ = x⁴ = f(x): de grafiek is symmetrisch in de y-as. Een even macht is nooit negatief, dus het laagste punt is (0,0).

    f(−x)=f(x) ⇒ symmetrisch in de y-as,Bf:y≥0f(-x) = f(x) \ \Rightarrow\ \text{symmetrisch in de } y\text{-as}, \quad B_f: y \ge 0f(−x)=f(x) ⇒ symmetrisch in de y-as,Bf​:y≥0
  3. 03Stap 3 — Geef drie punten

    Vul een paar handige x-waarden in. Door de symmetrie liggen (1,1) en (−1,1) op gelijke hoogte.

    (0,0),(1,1),(−1,1)(0,0),\quad (1,1),\quad (-1,1)(0,0),(1,1),(−1,1)

Resultaat: Resultaat: f(x)=x4f(x) = x^4f(x)=x4 heeft domein R\mathbb{R}R en bereik y≥0y \ge 0y≥0, is symmetrisch in de yyy-as en gaat onder andere door (0,0)(0,0)(0,0), (1,1)(1,1)(1,1) en (−1,1)(-1,1)(−1,1). De even exponent verklaart zowel de symmetrie als het niet-negatieve bereik.

Eindexamen-focus

  • Je moet de grafiek van een machtsfunctie schetsen en daarbij domein, bereik en symmetrie (even of oneven exponent) benoemen.
  • Het CE verwacht dat je de wortelfunctie herkent als x1/2x^{1/2}x1/2 met domein x≥0x \ge 0x≥0 en als spiegeling van y=x2y = x^2y=x2 in de lijn y=xy = xy=x.

Veelgemaakte fouten

  • Even en oneven machtsfuncties verwarren: x2x^2x2 is symmetrisch in de yyy-as, x3x^3x3 is puntsymmetrisch in de oorsprong.
  • Bij x\sqrt{x}x​ het domein vergeten: negatieve xxx geeft geen reële wortel, dus x≥0x \ge 0x≥0.
  • Denken dat x4x^4x4 overal boven x2x^2x2 ligt; tussen −1-1−1 en 111 ligt x4x^4x4 juist dichter bij de xxx-as.

Actieve herhaling

Schets in één assenstelsel y=x2y = x^2y=x2 en y=x3y = x^3y=x3 voor −2≤x≤2-2 \le x \le 2−2≤x≤2, geef de bijzondere punten en benoem van beide functies het domein en bereik.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

§ 02

Exponentiële functies#

●●○StandaardLPexamenblad-nl

Exponentiële groei en verval

Exponentiële groei en vervalSchaubild von y=2ˣ, y-Achsenabschnitt bei y = 1, steigend, im Bereich x von -3 bis 3, Schaubild von y=2⁻ˣ, y-Achsenabschnitt bei y = 1, fallend, im Bereich x von -3 bis 3, waagerechte Asymptote bei y = 0−3−2−112312345678y = 0y = 2ˣy = 2⁻ˣyx
Afb. 3Groei (y = 2ˣ, groeifactor 2) en verval (y = 2⁻ˣ, groeifactor ½). Beide grafieken gaan door (0,1) en hebben de x-as (y = 0) als horizontale asymptoot.

Kernpunten

Een exponentiële functie heeft de vorm f(x)=g⋅axf(x) = g\cdot a^xf(x)=g⋅ax, waarbij de variabele xxx nu in de exponent staat — precies omgekeerd aan een machtsfunctie, waar de variabele het grondtal is. Het getal ggg is de beginwaarde, want f(0)=g⋅a0=gf(0) = g\cdot a^0 = gf(0)=g⋅a0=g: de grafiek snijdt de yyy-as op hoogte ggg. Het positieve grondtal aaa heet de groeifactor en bepaalt hoe snel de functie groeit of krimpt. Bij elke stap van 1 in xxx wordt de functiewaarde met dezelfde factor aaa vermenigvuldigd — dat is het hart van exponentieel gedrag: niet een vaste hoeveelheid erbij (zoals bij lineair), maar telkens een vaste factor maal zoveel.
De groeifactor bepaalt of je met groei of met verval te maken hebt. Is a>1a > 1a>1, dan groeit de functie: elke stap maakt de waarde groter, en de grafiek schiet steeds steiler omhoog (exponentiële groei). Is 0<a<10 < a < 10<a<1, dan krimpt de functie: elke stap maakt de waarde kleiner, en de grafiek daalt steeds flauwer naar de xxx-as (exponentieel verval). De grens a=1a = 1a=1 geeft een constante functie. Een groeifactor van a=1,08a = 1{,}08a=1,08 betekent 8% groei per stap; een groeifactor van a=0,9a = 0{,}9a=0,9 betekent 10% afname per stap. Zo vertaal je een groeipercentage en een groeifactor in elkaar: groeifactor =1+p100= 1 + \dfrac{p}{100}=1+100p​ bij groei, en =1−p100= 1 - \dfrac{p}{100}=1−100p​ bij afname.
Een kenmerk dat alle exponentiële functies f(x)=g⋅axf(x) = g\cdot a^xf(x)=g⋅ax delen, is de horizontale asymptoot y=0y = 0y=0. Bij verval (0<a<10 < a < 10<a<1) wordt axa^xax voor grote xxx steeds kleiner maar nooit precies nul, dus de grafiek nadert de xxx-as van bovenaf zonder die te raken; bij groei gebeurt hetzelfde aan de andere kant, voor sterk negatieve xxx. De xxx-as fungeert dus als een onbereikbare bodem. Daarom is het bereik van f(x)=g⋅axf(x) = g\cdot a^xf(x)=g⋅ax (met g>0g > 0g>0) gelijk aan y>0y > 0y>0: de functiewaarden zijn altijd positief. Het domein is daarentegen alle reële getallen, want je mag elk getal als exponent invullen.
Het verschil tussen exponentiële en machtsfuncties is essentieel en wordt vaak verward. Bij een machtsfunctie als x2x^2x2 tel je bij gelijke stappen in xxx een toenemende, maar nog „polynomiale” hoeveelheid op; bij een exponentiële functie als 2x2^x2x verdúbbelt de waarde elke stap. Daardoor wint exponentiële groei het op den duur altijd van elke machtsfunctie, hoe groot de exponent ook is: voor grote xxx groeit 2x2^x2x sneller dan x100x^{100}x100. Dit „op den duur sneller” is precies waarom exponentiële modellen zo krachtig — en soms verraderlijk — zijn bij het beschrijven van groeiprocessen.
In de praktijk gebruik je exponentiële functies om processen met een vaste relatieve verandering te modelleren: een belegging die jaarlijks met een vast percentage groeit, een hoeveelheid medicijn die elk uur met een vast deel afneemt, een populatie die per generatie met een vaste factor toeneemt. Je herkent zo'n proces aan de zinsnede „per tijdseenheid keer zoveel” of „een vast percentage erbij/eraf”. Met de beginwaarde ggg en de groeifactor aaa heb je dan meteen het functievoorschrift f(x)=g⋅axf(x) = g\cdot a^xf(x)=g⋅ax, en daarmee kun je waarden voorspellen, halveringstijden of verdubbelingstijden bepalen en — met de logaritme uit de volgende paragraaf — terugrekenen wanneer een bepaalde waarde wordt bereikt.
f(x)=g⋅ax,a>0, a≠1f(x) = g\cdot a^x, \qquad a > 0,\ a \neq 1f(x)=g⋅ax,a>0, a=1

exponentiële functie

g is de beginwaarde (de y-as wordt op hoogte g gesneden); a is de groeifactor waarmee de waarde per stap in x wordt vermenigvuldigd.

a=1+p100 (groei),a=1−p100 (afname)a = 1 + \frac{p}{100}\ (\text{groei}), \qquad a = 1 - \frac{p}{100}\ (\text{afname})a=1+100p​ (groei),a=1−100p​ (afname)

groeifactor uit een percentage

Een groei van p procent per stap geeft groeifactor 1 + p/100; een afname van p procent geeft 1 − p/100.

Uitgewerkt voorbeeld

Een exponentieel verval-model opstellen en gebruiken

Een hoeveelheid van 800 mg neemt elk uur met 15% af. Stel H(t)=g⋅atH(t) = g\cdot a^tH(t)=g⋅at op (t in uren) en bereken H(3)H(3)H(3).

  1. 01Stap 1 — Bepaal beginwaarde en groeifactor

    De beginhoeveelheid is 800 mg, dus g = 800. Een afname van 15% per uur geeft groeifactor a = 1 − 0,15 = 0,85.

    g=800,a=1−0,15=0,85g = 800, \qquad a = 1 - 0{,}15 = 0{,}85g=800,a=1−0,15=0,85
  2. 02Stap 2 — Stel het voorschrift op

    Vul beginwaarde en groeifactor in de standaardvorm in.

    H(t)=800⋅0,85 tH(t) = 800\cdot 0{,}85^{\,t}H(t)=800⋅0,85t
  3. 03Stap 3 — Bereken H(3)

    Vul t = 3 in en reken uit; rond af op een geheel aantal mg.

    H(3)=800⋅0,853=800⋅0,614125≈491H(3) = 800\cdot 0{,}85^{3} = 800\cdot 0{,}614125 \approx 491H(3)=800⋅0,853=800⋅0,614125≈491

Resultaat: Resultaat: H(t)=800⋅0,85 tH(t) = 800\cdot 0{,}85^{\,t}H(t)=800⋅0,85t en H(3)≈491H(3) \approx 491H(3)≈491 mg. Omdat 0,85 t0{,}85^{\,t}0,85t voor elke ttt positief blijft, nadert HHH wel de waarde 0 maar bereikt die nooit: y=0y = 0y=0 is een horizontale asymptoot.

Eindexamen-focus

  • Je moet uit een gegeven beginwaarde en groeifactor (of groeipercentage) het voorschrift f(x)=g⋅axf(x) = g\cdot a^xf(x)=g⋅ax opstellen en functiewaarden berekenen.
  • Het CE verwacht dat je groei (a>1a > 1a>1) en verval (0<a<10 < a < 10<a<1) onderscheidt en de horizontale asymptoot y=0y = 0y=0 en het bereik y>0y > 0y>0 benoemt.

Veelgemaakte fouten

  • Een groeipercentage rechtstreeks als groeifactor gebruiken: 8% groei geeft factor 1,081{,}081,08, niet 0,080{,}080,08 of 888.
  • Exponentiële en machtsfuncties verwarren: bij axa^xax staat de variabele in de exponent, bij xnx^nxn in het grondtal.
  • Denken dat de grafiek de xxx-as snijdt; y=0y = 0y=0 is een asymptoot, dus het bereik is y>0y > 0y>0 (bij g>0g > 0g>0).

Actieve herhaling

Een hoeveelheid van 800 mg van een stof neemt elk uur met 15% af. Stel het voorschrift H(t)=g⋅atH(t) = g\cdot a^tH(t)=g⋅at op, bereken H(3)H(3)H(3) en leg uit waarom HHH nooit precies 0 wordt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

§ 03

Logaritmische functies#

●●○StandaardLPexamenblad-nl

De logaritmische functie y = log(x)

Logaritmische functiesSchaubild von y=log(x), Nullstellen bei x = 1, steigend, im Bereich x von 0.05 bis 10, Schaubild von y=ln(x), Nullstellen bei x = 1, steigend, im Bereich x von 0.05 bis 10, senkrechte Asymptote bei x = 0246810−3−2−1123y = log(x)y = ln(x)yx
Afb. 4De logaritmische functies y = log(x) en y = ln(x) hebben domein x > 0, verticale asymptoot x = 0 en gaan door (1,0). Ze stijgen steeds langzamer — het spiegelbeeld van exponentiële groei.

Kernpunten

De logaritme is uitgevonden om één vraag te beantwoorden: tot welke macht moet je een grondtal verheffen om een gegeven getal te krijgen? De logaritme met grondtal aaa van een getal xxx, genoteerd log⁡a(x)\log_a(x)loga​(x), is per definitie die exponent. In symbolen: log⁡a(x)=y\log_a(x) = yloga​(x)=y betekent precies hetzelfde als ay=xa^y = xay=x. Zo is log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3log2​(8)=3, want 23=82^3 = 823=8, en log⁡(1000)=3\log(1000) = 3log(1000)=3 (met de gangbare afspraak dat log⁡\loglog zonder grondtal de tien-log is), want 103=100010^3 = 1000103=1000. De logaritme is daarmee de bewerking die de exponentiële functie ongedaan maakt: ze haalt de exponent „naar buiten”.
Daarom is de logaritmische functie f(x)=log⁡a(x)f(x) = \log_a(x)f(x)=loga​(x) de inverse van de exponentiële functie g(x)=axg(x) = a^xg(x)=ax: ze verwisselen de rol van invoer en uitvoer. Dat verklaart de grafiekvorm volledig. Spiegel je de exponentiële grafiek in de lijn y=xy = xy=x, dan krijg je de logaritmische grafiek. De horizontale asymptoot y=0y = 0y=0 van de exponentiële functie wordt daarbij de verticale asymptoot x=0x = 0x=0 van de logaritmische functie. Het domein en bereik wisselen eveneens: omdat een exponentiële functie alleen positieve waarden aanneemt, is het domein van de logaritme x>0x > 0x>0 — je kunt alleen de logaritme van een positief getal nemen — terwijl het bereik alle reële getallen is.
Drie ankerpunten en het gedrag aan de randen leggen de grafiek vast. Elke logaritmische functie gaat door (1,0)(1, 0)(1,0), want log⁡a(1)=0\log_a(1) = 0loga​(1)=0 (immers a0=1a^0 = 1a0=1), en door (a,1)(a, 1)(a,1), want log⁡a(a)=1\log_a(a) = 1loga​(a)=1. Nadert xxx van rechts naar 0, dan duikt de grafiek steil naar beneden langs de verticale asymptoot x=0x = 0x=0; voor grote xxx stijgt de grafiek nog wel, maar steeds langzamer. Een logaritmische functie groeit dus extreem traag: log⁡(x)\log(x)log(x) heeft pas bij x=100x = 100x=100 de waarde 2 en bij x=1000x = 1000x=1000 de waarde 3. Die trage groei is het spiegelbeeld van de snelle groei van de exponentiële functie.
Logaritmen zijn niet alleen mooie inverse functies, ze zijn ook het gereedschap om exponentiële vergelijkingen op te lossen. Wil je weten wanneer 2x=502^x = 502x=50, dan kun je dat niet door te ontbinden oplossen, maar wel met de logaritme: x=log⁡2(50)x = \log_2(50)x=log2​(50), wat je met de rekenmachine benadert. Bij wiskunde B reken je in de praktijk vooral met de tien-log log⁡\loglog en gebruik je de logaritme om uit een exponentieel model de tijd terug te rekenen — bijvoorbeeld de halverings- of verdubbelingstijd. Het inzicht dat log⁡a(x)=y⇔ay=x\log_a(x) = y \Leftrightarrow a^y = xloga​(x)=y⇔ay=x is daarbij telkens de sleutel om van een exponent een gewone onbekende te maken.
Het is goed om de logaritme niet als een losstaand trucje te zien maar als de natuurlijke partner van de exponentiële functie. Alles wat je over groei en verval weet, kun je via de logaritme „omkeren”: waar de exponentiële functie uit een tijd een hoeveelheid voorspelt, voorspelt de logaritme uit een hoeveelheid de bijbehorende tijd. Door beide families samen te bekijken — zelfde asymptoten gespiegeld, zelfde ankerpunten verwisseld, zelfde groei omgekeerd — onthoud je hun eigenschappen niet als losse feiten, maar als twee kanten van dezelfde medaille.
log⁡a(x)=y⟺ay=x\log_a(x) = y \quad\Longleftrightarrow\quad a^y = xloga​(x)=y⟺ay=x

definitie van de logaritme

De logaritme van x met grondtal a is de exponent waartoe je a moet verheffen om x te krijgen; logaritme en macht zijn elkaars omkering.

log⁡a(1)=0,log⁡a(a)=1\log_a(1) = 0, \qquad \log_a(a) = 1loga​(1)=0,loga​(a)=1

ankerpunten

Elke logaritmische functie gaat door (1,0) en (a,1); samen met de asymptoot x = 0 leggen die de grafiek vast.

Uitgewerkt voorbeeld

Een exponentiële vergelijking oplossen met de logaritme

Een kapitaal groeit volgens K(t)=1000⋅1,05 tK(t) = 1000\cdot 1{,}05^{\,t}K(t)=1000⋅1,05t (t in jaren). Na hoeveel jaar is het kapitaal verdubbeld tot 2000?

  1. 01Stap 1 — Stel de vergelijking op

    Verdubbeld betekent K(t) = 2000. Deel beide kanten door 1000 om de macht te isoleren.

    1000⋅1,05 t=2000 ⇒ 1,05 t=21000\cdot 1{,}05^{\,t} = 2000 \ \Rightarrow\ 1{,}05^{\,t} = 21000⋅1,05t=2000 ⇒ 1,05t=2
  2. 02Stap 2 — Schrijf de exponent als logaritme

    Gebruik de definitie van de logaritme: 1,05^t = 2 betekent t = log met grondtal 1,05 van 2.

    t=log⁡1,05(2)t = \log_{1{,}05}(2)t=log1,05​(2)
  3. 03Stap 3 — Benader met de rekenmachine

    Reken de logaritme uit (bijvoorbeeld via log(2)/log(1,05)) en rond af.

    t=log⁡(2)log⁡(1,05)≈14,2t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}05)} \approx 14{,}2t=log(1,05)log(2)​≈14,2

Resultaat: Resultaat: na ongeveer 14,214{,}214,2 jaar is het kapitaal verdubbeld. De logaritme maakt de exponent vrij, zodat je uit een gewenste eindwaarde de bijbehorende tijd kunt terugrekenen.

Eindexamen-focus

  • Je moet de logaritme kunnen lezen als „de exponent”: log⁡a(x)=y\log_a(x) = yloga​(x)=y betekent ay=xa^y = xay=x, en daarmee eenvoudige logaritmen exact bepalen.
  • Het CE verwacht dat je de logaritmische functie herkent als inverse van de exponentiële functie, met domein x>0x > 0x>0, verticale asymptoot x=0x = 0x=0 en de punten (1,0)(1,0)(1,0) en (a,1)(a,1)(a,1).

Veelgemaakte fouten

  • De logaritme van een negatief getal of van 0 proberen te nemen; het domein is x>0x > 0x>0.
  • log⁡(x)=0\log(x) = 0log(x)=0 verwarren met x=0x = 0x=0; in werkelijkheid geldt log⁡(1)=0\log(1) = 0log(1)=0, dus het nulpunt ligt bij x=1x = 1x=1.
  • Verticale en horizontale asymptoot verwisselen: de logaritme heeft een verticale asymptoot x=0x = 0x=0, niet een horizontale.

Actieve herhaling

Bepaal exact log⁡2(32)\log_2(32)log2​(32) en log⁡(0,001)\log(0{,}001)log(0,001), en los op: 10x=25010^x = 25010x=250 (geef xxx in twee decimalen).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

§ 04

Goniometrische standaardfuncties: sinus, cosinus en tangens#

●●○StandaardLPexamenblad-nl

De grafieken van sinus en cosinus

Sinus en cosinusSchaubild von sin(x), Nullstellen bei x = 0, 3.142, 6.283, Hochpunkt bei (1.571, 1), Tiefpunkt bei (4.712, -1), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 6.283, Schaubild von cos(x), Nullstellen bei x = 1.571, 4.712, Tiefpunkt bei (3.142, -1), Hochpunkt bei (6.283, 1), y-Achsenabschnitt bei y = 1, im Bereich x von 0 bis 6.283123456−1.5−1−0.50.511.5sin(x)cos(x)yx (rad)
Afb. 5Sinus (start in de oorsprong) en cosinus (start bij het maximum 1) hebben dezelfde golfvorm, periode 2π, amplitude 1 en bereik [−1, 1]; ze liggen een kwart periode uit elkaar.

Kernpunten

De goniometrische functies sinus, cosinus en tangens komen voort uit de eenheidscirkel: de cirkel met straal 1 om de oorsprong. Laat een punt over die cirkel draaien en noem de gedraaide hoek (gemeten vanaf de positieve xxx-as) xxx, dan is cos⁡(x)\cos(x)cos(x) per definitie de xxx-coördinaat van dat punt en sin⁡(x)\sin(x)sin(x) de yyy-coördinaat. Omdat het punt op de cirkel met straal 1 ligt, blijven beide coördinaten tussen −1-1−1 en 111, en geldt de fundamentele betrekking sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1sin2(x)+cos2(x)=1 (dit is Pythagoras op de eenheidscirkel). De tangens is de verhouding van de twee: tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}tan(x)=cos(x)sin(x)​.
Bij goniometrische functies meet je de hoek bij voorkeur in radialen in plaats van graden, omdat dat de natuurlijke maat is voor de eenheidscirkel: één volledige omwenteling is 2π2\pi2π radialen, wat overeenkomt met 360°360°360°. Handige omrekeningen zijn 90°=12π90° = \tfrac12\pi90°=21​π, 180°=π180° = \pi180°=π en 270°=32π270° = \tfrac32\pi270°=23​π. Een groot voordeel van radialen blijkt later bij het differentiëren: alleen in radialen geldt de mooie regel dat de afgeleide van sin⁡(x)\sin(x)sin(x) gelijk is aan cos⁡(x)\cos(x)cos(x). Wen je daarom aan om bij functiegrafieken in radialen te denken en zet je rekenmachine in de juiste stand (RAD), anders kloppen je waarden niet.
De grafiek van y=sin⁡(x)y = \sin(x)y=sin(x) is een vloeiende golf die in de oorsprong begint, stijgt naar een maximum 1 bij x=12πx = \tfrac12\pix=21​π, terugkeert naar 0 bij x=πx = \pix=π, daalt naar een minimum −1-1−1 bij x=32πx = \tfrac32\pix=23​π en bij x=2πx = 2\pix=2π weer op 0 is — waarna het patroon zich herhaalt. De grafiek van y=cos⁡(x)y = \cos(x)y=cos(x) heeft exact dezelfde golfvorm, maar begint bij zijn maximum 1: cosinus is de sinus een kwart periode naar links geschoven, want cos⁡(x)=sin⁡ ⁣(x+12π)\cos(x) = \sin\!\left(x + \tfrac12\pi\right)cos(x)=sin(x+21​π). Beide functies hebben periode 2π2\pi2π, amplitude 1 en evenwichtsstand y=0y = 0y=0; hun bereik is [−1,1][-1, 1][−1,1].
De tangensfunctie y=tan⁡(x)y = \tan(x)y=tan(x) gedraagt zich heel anders, omdat ze een breuk is met cos⁡(x)\cos(x)cos(x) in de noemer. Waar cos⁡(x)=0\cos(x) = 0cos(x)=0 — bij x=12πx = \tfrac12\pix=21​π, x=32πx = \tfrac32\pix=23​π, enzovoort — is de tangens niet gedefinieerd en heeft de grafiek een verticale asymptoot. Tussen twee opeenvolgende asymptoten stijgt de tangens van −∞-\infty−∞ naar +∞+\infty+∞, en het patroon herhaalt zich met periode π\piπ (de helft van die van sinus en cosinus). De tangens heeft dus geen maximum of minimum en geen begrensd bereik: het bereik is alle reële getallen. Deze verschillen — golf met begrensd bereik versus stijgende takken met asymptoten — verklaren waarom je sinus/cosinus en tangens los van elkaar moet leren herkennen.
In dit onderwerp gaat het vooral om het herkennen van deze standaardgrafieken; de details van amplitude, periode, evenwichtsstand en fase — en hoe je daar een voorschrift bij opstelt — werken we volledig uit in het onderwerp over periodieke functies. Onthoud nu de kern: sinus en cosinus zijn begrensde golven met periode 2π2\pi2π en bereik [−1,1][-1, 1][−1,1], identiek van vorm maar een kwart periode uit elkaar; de tangens is een onbegrensde, met periode π\piπ herhalende functie met verticale asymptoten waar de cosinus nul wordt. Met dat beeld herken je elke goniometrische grafiek meteen en weet je welke bouwsteen eronder ligt.
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1sin2(x)+cos2(x)=1

hoofdformule (Pythagoras op de eenheidscirkel)

Omdat het punt op de eenheidscirkel ligt, is de som van de kwadraten van zijn coördinaten cos(x) en sin(x) altijd 1.

tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x),cos⁡(x)=sin⁡ ⁣(x+12π)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \qquad \cos(x) = \sin\!\left(x + \tfrac12\pi\right)tan(x)=cos(x)sin(x)​,cos(x)=sin(x+21​π)

tangens en het verband sinus-cosinus

De tangens is de verhouding sinus/cosinus (asymptoten waar cosinus nul is); cosinus is de sinus een kwart periode verschoven.

Uitgewerkt voorbeeld

Exacte goniometrische waarden uit de eenheidscirkel

Bepaal zonder rekenmachine sin⁡ ⁣(12π)\sin\!\left(\tfrac12\pi\right)sin(21​π), cos⁡(π)\cos(\pi)cos(π) en tan⁡(0)\tan(0)tan(0), en leg met de eenheidscirkel uit waarom tan⁡ ⁣(12π)\tan\!\left(\tfrac12\pi\right)tan(21​π) niet bestaat.

  1. 01Stap 1 — Lees de coördinaten op de eenheidscirkel af

    Bij hoek ½π staat het punt bovenaan de cirkel in (0,1); bij hoek π links in (−1,0). De sinus is de y-coördinaat, de cosinus de x-coördinaat.

    sin⁡ ⁣(12π)=1,cos⁡(π)=−1\sin\!\left(\tfrac12\pi\right) = 1, \qquad \cos(\pi) = -1sin(21​π)=1,cos(π)=−1
  2. 02Stap 2 — Bereken de tangens in 0

    Gebruik tan(x) = sin(x)/cos(x). In x = 0 is sin(0) = 0 en cos(0) = 1.

    tan⁡(0)=sin⁡(0)cos⁡(0)=01=0\tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0tan(0)=cos(0)sin(0)​=10​=0
  3. 03Stap 3 — Verklaar de asymptoot bij ½π

    In x = ½π is cos(½π) = 0, dus de noemer van de tangens is nul; delen door nul mag niet.

    tan⁡ ⁣(12π)=sin⁡(12π)cos⁡(12π)=10 (niet gedefinieerd)\tan\!\left(\tfrac12\pi\right) = \frac{\sin(\tfrac12\pi)}{\cos(\tfrac12\pi)} = \frac{1}{0}\ \text{(niet gedefinieerd)}tan(21​π)=cos(21​π)sin(21​π)​=01​ (niet gedefinieerd)

Resultaat: Resultaat: sin⁡ ⁣(12π)=1\sin\!\left(\tfrac12\pi\right) = 1sin(21​π)=1, cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1cos(π)=−1 en tan⁡(0)=0\tan(0) = 0tan(0)=0; tan⁡ ⁣(12π)\tan\!\left(\tfrac12\pi\right)tan(21​π) bestaat niet omdat cos⁡ ⁣(12π)=0\cos\!\left(\tfrac12\pi\right) = 0cos(21​π)=0 en je dan door nul zou delen. Daar heeft de tangensgrafiek een verticale asymptoot.

Eindexamen-focus

  • Je moet de grafieken van sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos en tan⁡\tantan herkennen en hun periode, bereik en (voor sinus/cosinus) maximum en minimum benoemen.
  • Het CE verwacht dat je in radialen werkt en de samenhang cos⁡(x)=sin⁡(x+12π)\cos(x) = \sin(x + \tfrac12\pi)cos(x)=sin(x+21​π) en tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}tan(x)=cos(x)sin(x)​ kent.

Veelgemaakte fouten

  • De rekenmachine in graden (DEG) laten staan terwijl de grafiek in radialen werkt, zodat alle waarden fout uitkomen.
  • Denken dat de tangens net als sinus en cosinus periode 2π2\pi2π heeft; de tangens herhaalt zich al na π\piπ.
  • Vergeten dat tan⁡(x)\tan(x)tan(x) niet bestaat waar cos⁡(x)=0\cos(x) = 0cos(x)=0 (verticale asymptoten bij x=12π+kπx = \tfrac12\pi + k\pix=21​π+kπ).

Actieve herhaling

Schets y=sin⁡(x)y = \sin(x)y=sin(x) en y=cos⁡(x)y = \cos(x)y=cos(x) voor 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi0≤x≤2π, markeer de maxima, minima en nulpunten en geef met een formule het verband tussen de twee grafieken.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

§ 05

Grafieken transformeren: verschuiven en vermenigvuldigen#

●●○StandaardLPexamenblad-nl

Verschuiving van een parabool

Transformatie van een paraboolSchaubild von f(x)=x², Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2 bis 5, Schaubild von g(x)=(x−2)²+1, Tiefpunkt bei (2, 1), y-Achsenabschnitt bei y = 5, im Bereich x von -2 bis 5−2−1123452468top ftop g (2,1)f(x) = x²g(x) = (x−2)²+1yx
Afb. 6De parabool g(x) = (x − 2)² + 1 ontstaat uit f(x) = x² door 2 naar rechts (p = 2) en 1 omhoog (q = 1) te verschuiven; de top verplaatst van (0,0) naar (2,1).

Kernpunten

Met transformaties maak je uit één standaardfunctie een hele familie verwante grafieken, zonder dat je telkens opnieuw hoeft te plotten. Er zijn twee basisbewegingen: verschuiven (translatie) en uitrekken of indrukken (vermenigvuldigen). Het is enorm efficiënt om die op de standaardvorm y=a⋅f(x−p)+qy = a\cdot f(x - p) + qy=a⋅f(x−p)+q te leren herkennen, want elke parameter heeft een vaste, voorspelbare uitwerking op de grafiek van fff. Wie deze vier knoppen — aaa, ppp, qqq en het teken — beheerst, kan van een verschoven parabool, een opgerekte sinus of een verschoven wortelgrafiek meteen het voorschrift en de bijzondere punten geven.
Verticaal verschuiven regelt de parameter qqq: y=f(x)+qy = f(x) + qy=f(x)+q schuift de hele grafiek qqq omhoog (bij q>0q > 0q>0) of omlaag (bij q<0q < 0q<0). Dit is intuïtief, want je telt bij elke functiewaarde hetzelfde getal op. Horizontaal verschuiven regelt de parameter ppp, en dat zit net even tegen de intuïtie in: y=f(x−p)y = f(x - p)y=f(x−p) schuift de grafiek ppp naar réchts (bij p>0p > 0p>0), dus de −p-p−p in het voorschrift geeft een verschuiving in positieve richting. De reden is dat de functie pas „doet” wat ze bij invoer 0 deed, wanneer x−p=0x - p = 0x−p=0, dus bij x=px = px=p. Bij y=(x−2)2y = (x-2)^2y=(x−2)2 ligt de top daarom in x=2x = 2x=2, twee naar rechts ten opzichte van y=x2y = x^2y=x2.
Vermenigvuldigen ten opzichte van de assen geeft uitrekken en indrukken. De parameter aaa in y=a⋅f(x)y = a\cdot f(x)y=a⋅f(x) vermenigvuldigt elke functiewaarde met aaa en rekt de grafiek dus verticaal uit met factor aaa (ten opzichte van de xxx-as): bij ∣a∣>1|a| > 1∣a∣>1 wordt de grafiek steiler, bij 0<∣a∣<10 < |a| < 10<∣a∣<1 vlakker. Is aaa negatief, dan komt er bovendien een spiegeling in de xxx-as bij, want alle functiewaarden wisselen van teken. Bij een sinusfunctie is aaa precies de amplitude: y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x)y=3sin(x) is een sinus die tussen −3-3−3 en 333 golft in plaats van tussen −1-1−1 en 111. Zo geeft elke parameter een herkenbare vervorming van de standaardgrafiek.
De volgorde waarin je de transformaties toepast, luistert nauw, want vermenigvuldigen en verschuiven verwisselen niet zomaar. Een betrouwbare werkwijze bij y=a⋅f(x−p)+qy = a\cdot f(x - p) + qy=a⋅f(x−p)+q is: begin met de grafiek van fff, pas eerst het horizontaal verschuiven (x−px - px−p) en het verticaal vermenigvuldigen (factor aaa) toe, en verschuif als laatste verticaal met +q+q+q. Voor de bijzondere punten werkt het vaak het makkelijkst om een ankerpunt van fff (zoals de top of een nulpunt) mee te transformeren: het beeldpunt heeft als xxx-coördinaat het origineel plus ppp, en als yyy-coördinaat aaa maal het origineel plus qqq. Zo verschuift de top (0,0)(0,0)(0,0) van y=x2y = x^2y=x2 onder y=(x−2)2+1y = (x-2)^2 + 1y=(x−2)2+1 naar (2,1)(2, 1)(2,1).
Het loont om transformaties niet als losse trucjes maar als een taal te zien waarmee je elke functie ontleedt. Zie je een ingewikkeld voorschrift, splits het dan in een herkenbare standaardfunctie plus de transformaties die erop zijn losgelaten; dan ken je meteen domein, bereik, asymptoten en bijzondere punten. Andersom kun je, gegeven een geschetste grafiek en de standaardvorm, de parameters aaa, ppp en qqq aflezen en zo het voorschrift reconstrueren. Deze vaardigheid — heen en weer schakelen tussen grafiek en voorschrift via transformaties — is een rode draad door wiskunde B en komt prominent terug bij de periodieke functies.
y=a⋅f(x−p)+qy = a\cdot f(x - p) + qy=a⋅f(x−p)+q

standaardvorm voor transformaties

p verschuift horizontaal (p naar rechts), q verschuift verticaal (q omhoog), a rekt verticaal uit met factor a en spiegelt in de x-as bij a < 0.

(x0,y0) ⟼ (x0+p, a⋅y0+q)(x_0, y_0)\ \longmapsto\ (x_0 + p,\ a\cdot y_0 + q)(x0​,y0​) ⟼ (x0​+p, a⋅y0​+q)

een punt meetransformeren

Een ankerpunt van f beeldt af op dit punt; zo bepaal je snel de top of een nulpunt van de getransformeerde grafiek.

Uitgewerkt voorbeeld

Een getransformeerde functie opstellen en analyseren

De grafiek van f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x​ wordt 3 naar rechts verschoven en met factor 2 verticaal opgerekt. Geef het voorschrift ggg, het domein en het beginpunt van ggg.

  1. 01Stap 1 — Pas de horizontale verschuiving toe

    Drie naar rechts schuiven betekent x vervangen door x − 3 in het voorschrift.

    f(x−3)=x−3f(x-3) = \sqrt{x-3}f(x−3)=x−3​
  2. 02Stap 2 — Pas de verticale vermenigvuldiging toe

    Verticaal oprekken met factor 2 betekent de hele functie met 2 vermenigvuldigen.

    g(x)=2x−3g(x) = 2\sqrt{x-3}g(x)=2x−3​
  3. 03Stap 3 — Bepaal domein en beginpunt

    De wortel vraagt x − 3 ≥ 0, dus x ≥ 3. Het beginpunt (0,0) van f beeldt af op (0+3, 2·0) = (3,0).

    Dg:x≥3,beginpunt (3, 0)D_g: x \ge 3, \qquad \text{beginpunt } (3,\,0)Dg​:x≥3,beginpunt (3,0)

Resultaat: Resultaat: g(x)=2x−3g(x) = 2\sqrt{x-3}g(x)=2x−3​ met domein x≥3x \ge 3x≥3 en beginpunt (3,0)(3, 0)(3,0). De horizontale verschuiving verplaatst het beginpunt en beperkt het domein; de verticale factor 2 maakt de grafiek tweemaal zo steil.

Eindexamen-focus

  • Je moet uit de standaardvorm y=a⋅f(x−p)+qy = a\cdot f(x - p) + qy=a⋅f(x−p)+q de transformaties (verschuiven, vermenigvuldigen, spiegelen) benoemen en bijzondere punten meetransformeren.
  • Het CE verwacht dat je, gegeven een grafiek of een paar punten, de parameters aaa, ppp en qqq bepaalt en het voorschrift opstelt.

Veelgemaakte fouten

  • f(x−p)f(x - p)f(x−p) als een verschuiving naar línks lezen; x−px - px−p schuift de grafiek juist ppp naar rechts.
  • Bij y=a⋅f(x)y = a\cdot f(x)y=a⋅f(x) denken dat de grafiek horizontaal wordt opgerekt; de factor aaa rekt verticaal uit (en spiegelt bij a<0a < 0a<0 in de xxx-as).
  • Het verticaal verschuiven met +q+q+q te vroeg toepassen, vóór het vermenigvuldigen met aaa, waardoor de uitkomst niet klopt.

Actieve herhaling

De grafiek van y=x2y = x^2y=x2 wordt 2 naar rechts en 1 omhoog verschoven. Geef het voorschrift, de coördinaten van de top en het bereik van de getransformeerde functie.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Inhoud

Sectie -- / 05

    • 01Machts- en wortelfuncties○
    • 02Exponentiële functies◐
    • 03Logaritmische functies◐
    • 04Goniometrische standaardfuncties: sinus, cosinus en tangens◐
    • 05Grafieken transformeren: verschuiven en vermenigvuldigen◐

0/5 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Standaardfuncties: machts-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~25
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

  • Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Vorig onderwerp

Wiskundige en algebraïsche vaardigheden

Volgend onderwerp

Gebroken lineaire functies en asymptoten

EuraStudy·Samenvattingen T·02·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.