Samenvattingen · Wiskunde BNL · HAVO

Wiskundige en algebraïsche vaardigheden

Dit onderwerp legt het algebraïsche fundament onder heel wiskunde B. Je frist de rekenregels voor machten en wortels op, leert haakjes wegwerken en de merkwaardige producten herkennen, ontbindt uitdrukkingen in factoren, vereenvoudigt breuken met variabelen en herleidt formules door een variabele vrij te maken. Deze vaardigheden zijn geen los hoofdstuk maar gereedschap: bij elke functie, vergelijking, raaklijn of afgeleide verderop reken je hiermee.

5 Onderdelen~23 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 2 · Standaard 3

T·0111 / 12

Examenprofiel

Rekenen met machten en wortels, inclusief negatieve en gebroken exponenten, met behulp van de machtregels.Haakjes wegwerken, de merkwaardige producten toepassen en uitdrukkingen ontbinden in factoren.Breuken met variabelen vereenvoudigen en bewerkingen (optellen, vermenigvuldigen, delen) correct uitvoeren.Formules herleiden door een variabele vrij te maken, en exact versus benaderend rekenen onderscheiden.

Operatoren:berekenvereenvoudigherleidontbindtoon aanschrijf exact

basisniveau

Beheers de machtregels en het wegwerken van haakjes foutloos; dit zijn de bewerkingen die je in vrijwel elke opgave nodig hebt.

verhoogd niveau

Werk waar gevraagd exact en algebraïsch: ontbind, vereenvoudig breuken en maak een variabele vrij zonder op de rekenmachine te leunen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 5 onderdelen

Wiskundige en algebraïsche vaardigheden

Machten en wortels: de rekenregels#

Basisexamenblad-nl

Overzicht van de machtregels

Afb. 1De zes rekenregels die je voor machten en wortels paraat moet hebben, telkens met een uitgewerkt getallenvoorbeeld ter controle.

Een macht is een korte schrijfwijze voor herhaald vermenigvuldigen:

a^n

betekent dat je het grondtal

a

in totaal

n

keer met zichzelf vermenigvuldigt, waarbij

a

het grondtal heet en

n

de exponent. Zo is

2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32

. Bij wiskunde B reken je voortdurend met machten — in machtsfuncties, exponentiële functies en bij het differentiëren — dus de rekenregels moeten er volautomatisch in zitten. De drie kernregels volgen rechtstreeks uit de definitie. Vermenigvuldig je twee machten met hetzelfde grondtal, dan tel je de exponenten op:

a^m\cdot a^n = a^{m+n}

, want je zet simpelweg de twee rijtjes factoren achter elkaar. Deel je ze, dan trek je de exponenten af:

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

, omdat je tegen elkaar wegstreept. En een macht van een macht geeft een product van exponenten:

(a^m)^n = a^{m\cdot n}

Uit die deelregel volgt logisch wat negatieve en nul-exponenten betekenen. Deel je

a^n

door zichzelf, dan staat er enerzijds

1

en anderzijds

a^{n-n} = a^0

, dus

a^0 = 1

voor elk grondtal

a\neq 0

. Ga je verder naar beneden, dan kom je bij negatieve exponenten uit:

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

. Een negatieve exponent is dus géén negatief getal, maar een opdracht om het omgekeerde (de reciproke) te nemen:

2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}

. Dit is precies de stap die je telkens nodig hebt om een breuk als macht te schrijven voordat je gaat differentiëren —

\dfrac{1}{x^2}

wordt dan

x^{-2}

Ook wortels zijn machten, en juist dat inzicht maakt het rekenen overzichtelijk. De wortel

\sqrt{a}

is per definitie het niet-negatieve getal waarvan het kwadraat

a

is, en dat is hetzelfde als de macht met exponent een half:

\sqrt{a} = a^{1/2}

. Algemener is de

n

-demachtswortel

\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

, en een gebroken exponent combineert beide:

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

. Zo is

8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4

. Door wortels als machten te schrijven hoef je geen aparte wortelregels te onthouden: alle machtregels gelden gewoon door. De handigste wortelregel om los te kennen is dat een wortel van een product uiteenvalt:

\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

, waarmee je

\sqrt{50} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

vereenvoudigt.

Bij het toepassen van de regels gaat het vaak mis op punten die met de definitie te maken hebben. Een macht werkt alleen op het grondtal dat er direct vóór staat: in

-3^2

wordt eerst

3^2 = 9

berekend en dan het minteken ervoor gezet, dus

-3^2 = -9

, terwijl

(-3)^2 = 9

. De haakjes bepalen dus of het minteken meedoet in de macht. Verder geldt de regel „exponenten optellen” uitsluitend bij gelíjke grondtallen:

2^3\cdot 5^3

kun je niet tot één macht met opgetelde exponenten maken, maar wel met de regel

(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n

andersom samenvoegen tot

(2\cdot 5)^3 = 10^3

. Houd grondtal en exponent dus steeds scherp uit elkaar.

Tot slot is het belangrijk om met machten exact te blijven rekenen waar dat kan.

\sqrt{2}

\sqrt{3}

2^{1/3}

zijn irrationale getallen met een oneindige, niet-herhalende decimale ontwikkeling; rond je ze te vroeg af, dan stapelen de afrondfouten zich op. Bij wiskunde B wordt daarom vaak een exact antwoord gevraagd, bijvoorbeeld

5\sqrt{2}

in plaats van

7{,}07

. Pas in de allerlaatste stap, als de context om een getal vraagt, vervang je de exacte vorm door een afgeronde decimale waarde. Deze houding — zo lang mogelijk exact werken — is een rode draad door het hele vak.

a^m\cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{m\cdot n}

de drie machtregels

Bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op, bij delen trek je ze af, en bij een macht van een macht vermenigvuldig je ze — telkens bij hetzelfde grondtal.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^0 = 1, \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

negatieve, nul- en gebroken exponenten

Een negatieve exponent betekent de reciproke nemen, elke macht met exponent 0 is 1, en een gebroken exponent is een wortel.

Uitgewerkt voorbeeld

Een uitdrukking met machten en wortels vereenvoudigen

Schrijf $\dfrac{6x^2\cdot \sqrt{x}}{2x^{-1}}$ zo eenvoudig mogelijk als één macht van $x$ (met een gehele coëfficiënt).

Stap 1 — Schrijf de wortel als macht
Vervang de wortel door een gebroken exponent, zodat overal alleen nog machten van x staan.
$\sqrt{x} = x^{1/2}, \quad\text{dus de teller is } 6x^2\cdot x^{1/2}$
Stap 2 — Tel de exponenten in de teller op
Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op.
$6x^2\cdot x^{1/2} = 6x^{2+\frac12} = 6x^{5/2}$
Stap 3 — Deel door de noemer
Deel de coëfficiënten en trek de exponenten af: 6/2 = 3 en 5/2 − (−1) = 5/2 + 1 = 7/2.
$\frac{6x^{5/2}}{2x^{-1}} = 3\,x^{\frac52-(-1)} = 3x^{7/2}$

Resultaat: Resultaat: $\dfrac{6x^2\sqrt{x}}{2x^{-1}} = 3x^{7/2}$ . Door de wortel als macht te schrijven en daarna de machtregels toe te passen, valt de hele uitdrukking samen tot één nette macht van $x$ .

Veelgemaakte fouten

$-3^2$ als $9$ lezen: zonder haakjes werkt de macht alleen op de $3$ , dus $-3^2 = -9$ terwijl $(-3)^2 = 9$ .
Een negatieve exponent als een negatief getal opvatten: $2^{-3}$ is $\dfrac{1}{8}$ , niet $-8$ .
Exponenten optellen bij verschillende grondtallen ( $2^3\cdot 5^2$ wordt geen $10^5$ ); de optelregel geldt alleen bij gelijke grondtallen.

Actieve herhaling

Schrijf $\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ als een macht van $x$ en vereenvoudig $\sqrt{72}$ tot de vorm $a\sqrt{b}$ met $b$ zo klein mogelijk.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Haakjes wegwerken en de merkwaardige producten#

Basisexamenblad-nl

Oppervlaktemodel van (a + b)²

Afb. 2Het vierkant met zijde a + b valt uiteen in a², twee rechthoeken ab en b². Samen tonen ze (a + b)² = a² + 2ab + b²; de twee gelijke rechthoeken verklaren de factor 2.

Haakjes wegwerken betekent een product van sommen herschrijven tot een som zonder haakjes, met behulp van de distributieve eigenschap

a(b+c) = ab + ac

. Je vermenigvuldigt de factor vóór de haakjes met élke term binnen de haakjes. Bij twee haakjesparen pas je dit twee keer toe:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

— elke term uit het eerste paar maal elke term uit het tweede. Een betrouwbaar ezelsbruggetje is „voorste maal voorste, voorste maal achterste, achterste maal voorste, achterste maal achterste”. Het wegwerken van haakjes is de tegenovergestelde bewerking van ontbinden in factoren (de volgende paragraaf), en je hebt het overal nodig: bij het oplossen van vergelijkingen, het herleiden van functievoorschriften en het voorbereiden van het differentiëren.

Drie producten komen zó vaak voor dat je hun uitkomst uit het hoofd moet kennen: de merkwaardige producten. Het kwadraat van een som is

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

; het kwadraat van een verschil is

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

; en het product van som en verschil is

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

. Je kunt ze elk afleiden door gewoon de haakjes weg te werken, maar het loont om ze als kant-en-klare patronen te herkennen. Let vooral op de middenterm

2ab

bij de eerste twee: de meest gemaakte fout is

(a+b)^2 = a^2 + b^2

schrijven en die dubbele productterm vergeten.

Het eerste merkwaardige product heeft een mooie meetkundige verklaring die laat zien waar de term

2ab

vandaan komt (zie de figuur). Teken een vierkant met zijde

a+b

. De totale oppervlakte is

(a+b)^2

. Trek je in dat vierkant op afstand

a

van twee zijden een horizontale en een verticale lijn, dan valt het uiteen in vier stukken: een vierkant

a\times a

met oppervlakte

a^2

, een vierkant

b\times b

met oppervlakte

b^2

, en twéé rechthoeken

a\times b

met elk oppervlakte

ab

. Samen is dat

a^2 + 2ab + b^2

, en omdat het dezelfde oppervlakte beschrijft, geldt

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

. De twee gelijke rechthoeken verklaren precies de factor 2 in de middenterm.

Het product van som en verschil,

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

, verdient aparte aandacht omdat de gemengde termen elkaar opheffen:

a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a - b\cdot b = a^2 - b^2

. Dit patroon — het verschil van twee kwadraten — kom je later constant tegen, bijvoorbeeld bij het ontbinden van

x^2 - 9 = (x+3)(x-3)

en bij het wegwerken van wortels uit een noemer. Wie

(a+b)(a-b)

direct als

a^2 - b^2

herkent, bespaart zichzelf veel rekenwerk en fouten.

Bij het wegwerken van haakjes telt zorgvuldigheid met tekens en met machten net zo zwaar als de distributie zelf. Een minteken vóór de haakjes draait álle tekens binnen de haakjes om:

-(x-4) = -x + 4

. En een coëfficiënt of macht buiten de haakjes werkt op het hele product, niet zomaar term voor term:

(2x)^2 = 4x^2

(het kwadraat treft óók de 2), terwijl

2x^2

iets heel anders is. Door consequent eerst de haakjes correct uit te werken en pas daarna gelijksoortige termen samen te nemen, houd je dit soort uitdrukkingen foutloos.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

kwadraat van een som / verschil

Het kwadraat van een tweeterm levert altijd drie termen op; vergeet de dubbele productterm 2ab niet.

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

som maal verschil

De gemengde termen heffen elkaar op, zodat het verschil van twee kwadraten overblijft.

Uitgewerkt voorbeeld

Merkwaardige producten gebruiken om snel te herleiden

Werk de haakjes weg en vereenvoudig $(x+5)^2 - (x+2)(x-2)$ tot een zo kort mogelijke uitdrukking.

Stap 1 — Werk het eerste kwadraat uit
Gebruik (a+b)² = a² + 2ab + b² met a = x en b = 5.
$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$
Stap 2 — Gebruik som maal verschil voor het tweede product
Het product (x+2)(x−2) is van de vorm (a+b)(a−b), dus gelijk aan a² − b².
$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$
Stap 3 — Trek de uitkomsten van elkaar af
Let op het minteken vóór de tweede haakjes: dat draait beide termen om. De x²-termen vallen tegen elkaar weg.
$(x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 4) = 10x + 29$

Resultaat: Resultaat: $(x+5)^2 - (x+2)(x-2) = 10x + 29$ . Door beide merkwaardige producten te herkennen verdwijnt de $x^2$ -term en blijft een eenvoudige lineaire uitdrukking over.

Veelgemaakte fouten

$(a+b)^2 = a^2 + b^2$ schrijven en de middenterm $2ab$ vergeten; het juiste resultaat is $a^2 + 2ab + b^2$ .
Bij een minteken vóór de haakjes maar één term van teken laten veranderen: $-(x-4)$ is $-x+4$ , niet $-x-4$ .
$(2x)^2$ als $2x^2$ lezen; het kwadraat werkt ook op de coëfficiënt, dus $(2x)^2 = 4x^2$ .

Actieve herhaling

Werk de haakjes weg en vereenvoudig: $(2x-3)^2 - (2x-3)(2x+3)$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Ontbinden in factoren#

Standaardexamenblad-nl

Stappenschema voor ontbinden

Afb. 3De vaste werkvolgorde bij ontbinden: eerst de gemeenschappelijke factor, dan een herkenbaar patroon, dan volledig ontbinden en terugcontroleren.

Ontbinden in factoren is het omgekeerde van haakjes wegwerken: je schrijft een som van termen als een product van factoren. Waarom is dat nuttig? Omdat een product nul is precies wanneer één van de factoren nul is. Heb je een uitdrukking als product geschreven, dan kun je dus meteen de nulpunten aflezen — en dat is de standaardmethode om kwadratische vergelijkingen op te lossen en de snijpunten van een grafiek met de

x

-as te vinden. Ontbinden is daarmee niet alleen een algebraïsche oefening, maar het werkpaard achter het oplossen van vergelijkingen verderop in dit vak.

De eerste stap bij élke ontbindopgave is zoeken naar een gemeenschappelijke factor die in alle termen voorkomt, en die buiten haakjes halen. In

6x^3 - 4x^2

zit in beide termen een factor

2x^2

, dus

6x^3 - 4x^2 = 2x^2(3x - 2)

. Controleer altijd door de haakjes in gedachten weer weg te werken:

2x^2\cdot 3x = 6x^3

2x^2\cdot(-2) = -4x^2

, klopt. Het buiten haakjes halen van de grootste gemeenschappelijke factor maakt de uitdrukking eenvoudiger en legt vaak een tweede, herkenbaar patroon bloot dat je daarna verder kunt ontbinden.

Voor een kwadratische uitdrukking

x^2 + bx + c

gebruik je de product-som-methode. Je zoekt twee getallen

p

q

die samen

c

als product hebben én

b

als som; dan is

x^2 + bx + c = (x+p)(x+q)

. Bij

x^2 + 7x + 12

zoek je twee getallen met product 12 en som 7: dat zijn 3 en 4, dus

x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)

. Let goed op de tekens: is

c

positief en

b

negatief, dan zijn beide getallen negatief; is

c

negatief, dan hebben de twee getallen tegengestelde tekens. Deze methode werkt direct wanneer de kopcoëfficiënt 1 is; staat er een coëfficiënt vóór de

x^2

, dan haal je die waar mogelijk eerst buiten haakjes.

Naast de product-som-methode is het verschil van twee kwadraten het belangrijkste ontbindpatroon. Herken je een uitdrukking van de vorm

a^2 - b^2

, dan ontbind je die meteen als

(a+b)(a-b)

— dit is het merkwaardige product uit de vorige paragraaf, achterstevoren gelezen. Zo is

x^2 - 9 = (x+3)(x-3)

4x^2 - 25 = (2x+5)(2x-5)

. Het patroon werkt alleen bij een mín tussen twee kwadraten:

x^2 + 9

is over de reële getallen níét te ontbinden. Wie dit patroon snel ziet, lost bijbehorende vergelijkingen in één regel op.

In de praktijk combineer je deze technieken in een vaste volgorde: haal eerst de gemeenschappelijke factor buiten haakjes, kijk dan of je een verschil van kwadraten of een product-som-patroon overhoudt, en ontbind dat verder. Zo wordt

2x^3 - 18x

eerst

2x(x^2 - 9)

en daarna

2x(x+3)(x-3)

— volledig ontbonden. De winst zie je meteen bij vergelijkingen:

2x^3 - 18x = 0

heeft dan zichtbaar de oplossingen

x = 0

x = -3

x = 3

. Controleer je ontbinding altijd door één keer terug te vermenigvuldigen; klopt de oorspronkelijke uitdrukking, dan weet je zeker dat je geen factor of teken kwijt bent geraakt.

x^2 + bx + c = (x+p)(x+q) \quad\text{met}\quad p\cdot q = c,\ p+q = b

product-som-methode

Zoek twee getallen met product c en som b; die getallen vormen de ontbinding van de kwadratische uitdrukking.

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

verschil van twee kwadraten

Een verschil van twee kwadraten ontbind je direct in som maal verschil; bij een plusteken lukt dit reëel niet.

Uitgewerkt voorbeeld

Volledig ontbinden met twee technieken na elkaar

Ontbind $2x^3 - 18x$ volledig in factoren en geef daarmee de oplossingen van $2x^3 - 18x = 0$ .

Stap 1 — Haal de gemeenschappelijke factor buiten haakjes
Beide termen bevatten een factor 2x. Die haal je eruit; controleer door terug te vermenigvuldigen.
$2x^3 - 18x = 2x(x^2 - 9)$
Stap 2 — Herken het verschil van kwadraten
Tussen de haakjes staat x² − 9, een verschil van twee kwadraten (9 = 3²), dus dat ontbind je verder.
$x^2 - 9 = (x+3)(x-3), \quad\text{dus}\quad 2x^3-18x = 2x(x+3)(x-3)$
Stap 3 — Lees de nulpunten af
Een product is nul als één van de factoren nul is. Zet elke factor op nul.
$2x = 0 \ \lor\ x+3 = 0 \ \lor\ x-3 = 0 \ \Rightarrow\ x = 0,\ x = -3,\ x = 3$

Resultaat: Resultaat: $2x^3 - 18x = 2x(x+3)(x-3)$ , dus de vergelijking $2x^3 - 18x = 0$ heeft de oplossingen $x = -3$ , $x = 0$ en $x = 3$ . Zonder de gemeenschappelijke factor er eerst uit te halen, was de oplossing $x = 0$ over het hoofd gezien.

Veelgemaakte fouten

Bij de product-som-methode de tekens verkeerd kiezen, bijvoorbeeld $x^2 - 5x + 6$ ontbinden als $(x+2)(x+3)$ in plaats van $(x-2)(x-3)$ .
$x^2 + 9$ proberen te ontbinden als verschil van kwadraten; alleen een mín tussen twee kwadraten ( $a^2 - b^2$ ) is reëel te ontbinden.
Vergeten eerst de gemeenschappelijke factor buiten haakjes te halen, waardoor je een nulpunt (bijvoorbeeld $x = 0$ ) mist.

Actieve herhaling

Ontbind volledig in factoren: a) $x^2 - 2x - 15$ en b) $3x^3 - 27x$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Breuken met variabelen vereenvoudigen#

Standaardexamenblad-nl

Regels voor breuken met variabelen

Afb. 4De vier bewerkingen op breuken met variabelen, met per regel de aanwijzing waar je op moet letten — vooral: streep factoren weg, nooit losse termen.

Een breuk met variabelen reken je met dezelfde regels als een gewone breuk; het enige verschil is dat teller en noemer nu uitdrukkingen met letters zijn. Vereenvoudigen betekent gemeenschappelijke factoren in teller en noemer tegen elkaar wegstrepen. De gouden regel daarbij is: je mag alleen factoren wegstrepen, geen losse termen. In

\dfrac{6x^2}{3x}

mag je teller en noemer ontbinden als

\dfrac{3x\cdot 2x}{3x\cdot 1}

en de factor

3x

wegstrepen, zodat

2x

overblijft. Maar in

\dfrac{x+3}{3}

mag je de 3 niet wegstrepen, want in de teller is de 3 een térm (opgeteld), geen factor. Dit onderscheid tussen factor en term is de meestgemaakte fout bij breuken — en precies wat het verschil maakt tussen goed en fout.

Om die reden ontbind je teller en noemer eerst in factoren voordat je gaat strepen. Pas als beide als product geschreven staan, zie je welke factoren gemeenschappelijk zijn. Zo vereenvoudig je

\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}

door teller en noemer te ontbinden tot

\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+2)}

; de factor

x+3

staat in beide en valt weg, zodat

\dfrac{x-3}{x+2}

overblijft. Deze techniek leunt direct op het ontbinden uit de vorige paragraaf, en je komt haar later weer tegen bij het bepalen van asymptoten van gebroken functies en bij de quotiëntregel voor het differentiëren.

Optellen en aftrekken van breuken met variabelen werkt net als bij getallen: je maakt eerst gelijke noemers. De gemeenschappelijke noemer is het product (of het kleinste gemeenschappelijke veelvoud) van de afzonderlijke noemers; vermenigvuldig elke breuk boven en onder met wat ontbreekt. Zo wordt

\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x+1}

na gelijknamig maken

\dfrac{x+1}{x(x+1)} + \dfrac{2x}{x(x+1)} = \dfrac{3x+1}{x(x+1)}

. Pas nadat de noemers gelijk zijn, mag je de tellers bij elkaar optellen; de noemer blijft staan.

Vermenigvuldigen en delen zijn juist eenvoudiger dan optellen, omdat je geen gelijke noemers nodig hebt. Twee breuken vermenigvuldig je door teller met teller en noemer met noemer te vermenigvuldigen:

\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}

. Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde:

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}

. Strepen tussendoor scheelt rekenwerk: ontbind alles, streep gemeenschappelijke factoren weg, en vermenigvuldig pas daarna uit. Dat houdt de uitdrukkingen klein en de kans op fouten laag.

Tot slot een belangrijke voorwaarde die bij breuken altijd meespeelt: de noemer mag niet nul zijn. Een breuk is niet gedefinieerd voor de waarden van de variabele die de noemer nul maken, en juist die waarden bepalen later de verticale asymptoten en de „gaten” in de grafiek van een gebroken functie. Bij

\dfrac{x-3}{x+2}

x = -2

verboden, ook al staat er na vereenvoudigen niets meer dat daar opvalt. Bij wiskunde B blijf je je daarom bewust van het domein: noteer welke waarden de variabele níét mag aannemen, zodat je antwoorden kloppen en je geen schijnoplossingen meeneemt.

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}

vermenigvuldigen en delen van breuken

Vermenigvuldigen gaat teller maal teller en noemer maal noemer; delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde.

\frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{ad + bc}{cd}

optellen via gelijke noemers

Maak eerst gelijke noemers (hier het product cd) en tel daarna pas de tellers op.

Uitgewerkt voorbeeld

Een gebroken uitdrukking vereenvoudigen

Vereenvoudig $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ zo ver mogelijk en geef de verboden waarden van $x$ .

Stap 1 — Ontbind teller en noemer
De teller is een verschil van kwadraten; de noemer ontbind je met de product-som-methode (product 6, som 5).
$\frac{x^2-9}{x^2+5x+6} = \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+2)}$
Stap 2 — Noteer de verboden waarden
De noemer mag niet nul zijn, dus x + 3 ≠ 0 en x + 2 ≠ 0. Doe dit vóór het wegstrepen, want na het strepen verdwijnt x = −3 uit beeld.
$x \neq -3 \quad\text{en}\quad x \neq -2$
Stap 3 — Streep de gemeenschappelijke factor weg
De factor (x + 3) staat in teller en noemer en valt weg.
$\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}$

Resultaat: Resultaat: $\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6} = \dfrac{x-3}{x+2}$ , met $x \neq -3$ en $x \neq -2$ . De voorwaarde $x \neq -3$ moet je apart vermelden, omdat die na het wegstrepen niet meer aan de uitdrukking is te zien.

Veelgemaakte fouten

Losse termen wegstrepen in plaats van factoren: in $\dfrac{x+3}{3}$ mag de 3 niet weg, want in de teller is het een term.
Bij optellen de tellers samennemen zonder eerst gelijke noemers te maken.
Vergeten dat de noemer niet nul mag zijn, zodat verboden waarden van de variabele over het hoofd worden gezien.

Actieve herhaling

Vereenvoudig $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6}$ en geef aan welke waarden van $x$ niet zijn toegestaan.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Formules herleiden en exact rekenen#

Standaardexamenblad-nl

Exact versus benaderd

Afb. 5Exacte waarden en hun afronding. De vuistregel bij wiskunde B: reken met de linkerkolom en gebruik de rechterkolom pas in de laatste stap.

Een formule herleiden — ook wel een variabele vrijmaken of de formule omschrijven — betekent dat je de formule herschrijft zodat een andere variabele alleen aan één kant staat. Dat doe je door aan beide kanten van het isgelijkteken dezelfde bewerking uit te voeren: optellen, aftrekken, met hetzelfde getal vermenigvuldigen of delen, kwadrateren of worteltrekken. Zolang je links en rechts precies hetzelfde doet, blijft de gelijkheid kloppen. Dit is dezelfde balansgedachte als bij het oplossen van een vergelijking, maar nu met letters in plaats van getallen, en je hebt het overal nodig: om uit

A = \pi r^2

de straal

r

vrij te maken, of om een functievoorschrift in de handigste vorm te krijgen.

De werkwijze is een vaste omgekeerde-volgorde-strategie: kijk welke bewerkingen er op de gezochte variabele zijn losgelaten, en maak die in omgekeerde volgorde ongedaan, net zoals je bij het uitpakken van een cadeau de laatst aangebrachte verpakking het eerst verwijdert. Wil je uit

y = 3x + 5

x

vrijmaken, dan haal je eerst de

+5

weg (aftrekken) en deel je daarna door 3:

x = \dfrac{y-5}{3}

. Bij

A = \pi r^2

deel je eerst door

\pi

en trek je daarna de wortel:

r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}

, waarbij je bij een lengte de positieve wortel kiest. Controleer je herleiding door een getal in te vullen in beide vormen; komen ze overeen, dan heb je geen stap omgedraaid.

Substitueren is het complement van herleiden: je vervangt een variabele door een getal of door een andere uitdrukking. Dat gebruik je om functiewaarden uit te rekenen — bij

f(x) = x^2 - 3x

f(4) = 4^2 - 3\cdot 4 = 4

— en om twee formules te combineren tot één. Zet bij het invullen het ingevulde getal altijd tussen haakjes, vooral als het negatief is:

f(-2) = (-2)^2 - 3\cdot(-2) = 4 + 6 = 10

. Vergeet je die haakjes, dan gaat het mis met de tekens en de machten, en dat is een van de meest voorkomende slordigheidsfouten op het examen.

Bij het rekenen maak je voortdurend de keuze tussen exact en benaderen. Exact rekenen betekent dat je breuken, wortels en symbolen als

\pi

in je antwoord laat staan, bijvoorbeeld

\dfrac{1}{3}

5\sqrt{2}

2\pi

. Benaderen betekent dat je er een afgeronde decimale waarde voor in de plaats zet, zoals

0{,}33

7{,}07

6{,}28

. De vuistregel bij wiskunde B is: reken zo lang mogelijk exact en rond pas in de allerlaatste stap af, op de gevraagde nauwkeurigheid. Zo voorkom je dat afrondfouten zich gaandeweg opstapelen en je eindantwoord net buiten de marge van het correctievoorschrift valt. Wordt om een exact antwoord gevraagd, dan mag er geen afgerond decimaal getal in staan.

Nauwkeurigheid en nette notatie horen daar onlosmakelijk bij. Geef een afgerond antwoord in het juiste aantal decimalen of significante cijfers en met de juiste eenheid, en gebruik wetenschappelijke notatie (

a\cdot 10^n

met

1 \le a < 10

) voor heel grote of heel kleine getallen, zoals

3{,}0\cdot 10^8

. Houd bij het rekenen de voorrangsregels aan — eerst machten en wortels, dan vermenigvuldigen en delen, ten slotte optellen en aftrekken, en haakjes gaan altijd voor. Een correct herleide formule, exact doorgerekend en netjes afgerond opgeschreven, is precies wat het examen van een wiskunde-B-kandidaat verwacht.

y = ax + b \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{y - b}{a}

een variabele vrijmaken

Maak de bewerkingen op x in omgekeerde volgorde ongedaan: eerst b aftrekken, daarna door a delen.

A = \pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}

vrijmaken met een wortel

Deel eerst door π en trek dan de wortel; bij een lengte kies je de positieve wortel.

Uitgewerkt voorbeeld

Een variabele vrijmaken en exact invullen

Gegeven is $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ . Maak $h$ vrij en bereken $h$ exact voor $V = 12\pi$ en $r = 3$ .

Stap 1 — Maak h vrij
Vermenigvuldig beide kanten met 3 en deel daarna door π r², zodat h alleen overblijft.
$V = \tfrac13\pi r^2 h \ \Rightarrow\ 3V = \pi r^2 h \ \Rightarrow\ h = \frac{3V}{\pi r^2}$
Stap 2 — Vul de gegeven waarden in
Substitueer V = 12π en r = 3 in de vrijgemaakte formule; zet de waarden netjes in.
$h = \frac{3\cdot 12\pi}{\pi\cdot 3^2} = \frac{36\pi}{9\pi}$
Stap 3 — Reken exact uit
De factor π valt boven en onder weg; daarna deel je 36 door 9.
$h = \frac{36\pi}{9\pi} = \frac{36}{9} = 4$

Resultaat: Resultaat: $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$ , en met $V = 12\pi$ en $r = 3$ is $h = 4$ (exact). Doordat $\pi$ in teller en noemer voorkomt, valt die weg en blijft een exact geheel getal over zonder dat afronden nodig is.

Veelgemaakte fouten

Niet aan beide kanten dezelfde bewerking uitvoeren, of de bewerkingen in de verkeerde volgorde ongedaan maken bij het vrijmaken van een variabele.
Bij substitueren de haakjes om een negatief getal vergeten, zodat $(-2)^2$ als $-4$ wordt gelezen in plaats van $4$ .
Te vroeg afronden, waardoor het eindantwoord door opgestapelde afrondfouten buiten de gevraagde nauwkeurigheid valt.

Actieve herhaling

Gegeven is de formule $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ voor de inhoud van een kegel. Maak $h$ vrij en bereken daarna $h$ exact als $V = 12\pi$ en $r = 3$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde B (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde B (HAVO)

Wiskundige en algebraïsche vaardigheden

Kernpunten

Een uitdrukking met machten en wortels vereenvoudigen

Kernpunten

Merkwaardige producten gebruiken om snel te herleiden

Kernpunten

Volledig ontbinden met twee technieken na elkaar

Kernpunten

Een gebroken uitdrukking vereenvoudigen

Kernpunten

Een variabele vrijmaken en exact invullen

Bronnen