Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Data verwerken: centrum- en spreidingsmaten, boxplot

Bij data verwerken breng je een ruwe dataset terug tot enkele kerngetallen: centrummaten die het midden aangeven (gemiddelde, mediaan, modus) en spreidingsmaten die laten zien hoe ver de waarnemingen uiteenlopen (bereik, kwartielen, interkwartielafstand en standaardafwijking). Je leert de boxplot tekenen, lezen en gebruiken om twee verdelingen te vergelijken, en uitschieters opsporen met de regel van 1,5·IQR. Het hoort tot domein E (Statistiek en kansrekening) en is volop centraal-examenstof; de standaardafwijking bepaal je met de grafische rekenmachine, en de ICT-gestuurde verwerking van grotere datasets kent een schoolexamen-accent.

4 Onderdelen~28 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·111111 / 14

Examenprofiel

Het gemiddelde, de mediaan en de modus van een dataset berekenen — ook het gemiddelde uit een frequentietabel — en de passende centrummaat kiezen.De spreidingsbreedte (bereik), de kwartielen Q1, Q2 en Q3 en de interkwartielafstand (IQR) van een dataset bepalen.Een boxplot tekenen en aflezen, twee verdelingen met boxplots vergelijken en uitschieters opsporen met de grens van 1,5 keer de interkwartielafstand.Met de grafische rekenmachine het gemiddelde en de standaardafwijking bepalen en daarmee de spreiding rond het gemiddelde interpreteren.

Operatoren:berekentekenvergelijkinterpreteerbepaal

basisniveau

Voor het CE: bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus, bepaal het bereik, de kwartielen en de IQR, teken en lees boxplots en vergelijk er twee, en bepaal met de grafische rekenmachine het gemiddelde en de standaardafwijking.

verhoogd niveau

Verdieping en SE-accent: kies bewust de passende maat (mediaan met IQR bij scheve data of uitschieters, gemiddelde met standaardafwijking bij symmetrische data), pas de regel van 1,5·IQR voor uitschieters toe en interpreteer de standaardafwijking; de ICT-gestuurde verwerking van grotere datasets heeft een schoolexamen-accent.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Data verwerken: centrum- en spreidingsmaten, boxplot

Centrummaten: gemiddelde, mediaan en modus#

Basisexamenblad-nl

Frequentietabel: gelezen boeken

Afb. 1Het gemiddelde uit een frequentietabel: vermenigvuldig elke waarde met haar frequentie, tel die producten op (som f·x = 50) en deel door het aantal waarnemingen (som f = 10), wat 5 geeft. De waarde 4 komt het vaakst voor (frequentie 3) en is daarmee de modus.

Een centrummaat vat een hele dataset samen in één getal dat het „midden” van de waarnemingen aangeeft. In wiskunde A gebruik je er drie: het gemiddelde, de mediaan en de modus. Ze beantwoorden allemaal dezelfde vraag — wat is een typische waarde in deze gegevens? — maar ze doen dat op een andere manier, en juist daardoor passen ze niet allemaal even goed bij elke dataset. Voordat je iets zinnigs over spreiding of een boxplot kunt zeggen, moet je deze drie maten kunnen berekenen én kunnen kiezen welke het eerlijkst is. In deze paragraaf leer je elk van de drie kennen, zie je hoe een uitschieter ze verschillend beïnvloedt, en haal je het gemiddelde ook uit een frequentietabel.

Het gemiddelde — voluit het rekenkundig gemiddelde, genoteerd als een x met een streep erboven — krijg je door alle waarnemingen bij elkaar op te tellen en die som te delen door het aantal waarnemingen n. Je kunt het zien als het balanspunt van de gegevens: het punt waar de dataset, als je hem op de getallenlijn zou leggen, precies in evenwicht is. Het beslissende kenmerk is dat élke waarneming meetelt en even zwaar weegt; verander je één getal, dan verschuift het gemiddelde mee. Dat maakt het gemiddelde tegelijk zijn sterkte en zijn zwakte: het gebruikt alle informatie, maar het is daardoor ook gevoelig voor uitschieters — één extreem grote of kleine waarde trekt het gemiddelde merkbaar naar zich toe.

De mediaan is de middelste waarneming nadat je alle getallen van klein naar groot hebt gesorteerd. Bij een oneven aantal waarnemingen is dat precies het ene middelste getal; bij een even aantal neem je het gemiddelde van de twee middelste. De mediaan verdeelt de geordende dataset in twee gelijke helften: de helft van de waarnemingen ligt eronder, de helft erboven. Omdat alleen de positie in de rij telt en niet de exacte grootte van de uiterste waarden, is de mediaan ongevoelig (robuust) voor uitschieters. De modus, ten slotte, is de waarde die het vaakst voorkomt; die maat is vooral handig bij telbare of categorische gegevens — welke schoenmaat, welk cijfer of welk merk komt het meest voor — en een dataset kan ook twee (of geen duidelijke) modus hebben.

Welke centrummaat het eerlijkst het midden weergeeft, hangt af van de vorm van de data. Bij een tamelijk symmetrische verdeling zonder rare uitschieters geeft het gemiddelde een prima beeld en gebruik je dat. Zitten er enkele extreme waarden in, of is de verdeling scheef (denk aan inkomens of huizenprijzen, waar een handvol zeer hoge waarden de boel optrekt), dan is de mediaan eerlijker, want die laat zich niet door de uitschieters meeslepen. Voor categorische gegevens, waarmee je niet kunt rekenen, blijft alleen de modus over. In de frequentietabel hieronder zie je dit terug: het gemiddelde aantal gelezen boeken is 5, terwijl de mediaan op 4 ligt — het verschil ontstaat doordat één leerling met 12 boeken (een uitschieter) het gemiddelde omhoogtrekt, terwijl de mediaan op 4 blijft staan.

Vaak staan gegevens niet als een losse rij getallen, maar samengevat in een frequentietabel, waarin bij elke waarde staat hoe vaak die voorkomt. Het gemiddelde reken je dan niet uit door alle verschillende waarden simpelweg te middelen, maar door elke waarde te wegen met haar frequentie: vermenigvuldig elke waarde x met haar frequentie f, tel die producten op tot de som van alle f·x, en deel door het totale aantal waarnemingen, de som van alle frequenties. De gedachte erachter is eenvoudig: een waarde die drie keer voorkomt, moet ook drie keer meetellen. In de tabel hieronder levert dat de som f·x = 50 en de som f = 10 op, dus een gemiddelde van 50 gedeeld door 10 = 5 — precies hetzelfde als wanneer je alle tien losse getallen had opgeteld en door 10 gedeeld. Met deze drie centrummaten op zak kun je in de volgende paragraaf de tweede helft van het verhaal aanpakken: hoe ver de waarnemingen rond dat midden uiteenlopen.

\overline{x} = \frac{\sum x}{n}

rekenkundig gemiddelde

Tel alle waarnemingen op (de som van x) en deel door het aantal waarnemingen n. Elke waarneming weegt even zwaar, waardoor het gemiddelde gevoelig is voor uitschieters.

\overline{x} = \frac{\sum f\cdot x}{\sum f}

gemiddelde uit een frequentietabel

Weeg elke waarde x met haar frequentie f: tel alle producten f·x op en deel door het totale aantal waarnemingen, de som van alle frequenties. Een waarde die vaker voorkomt, telt zo automatisch vaker mee.

Uitgewerkt voorbeeld

Gemiddelde, mediaan en modus berekenen

Tien leerlingen lazen in een jaar het volgende aantal boeken: 4, 3, 12, 4, 2, 7, 3, 5, 4, 6. Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus, en leg uit welk effect de uitschieter 12 op deze maten heeft.

Stap 1 — Sorteer en bereken het gemiddelde
Sorteer de getallen van klein naar groot: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 12. Tel ze op (de som is 50) en deel door het aantal waarnemingen, n = 10. Het gemiddelde is dus 50 gedeeld door 10 = 5 boeken.
$\overline{x} = \frac{2+3+3+4+4+4+5+6+7+12}{10} = \frac{50}{10} = 5$
Stap 2 — Bepaal de mediaan
Er zijn 10 waarnemingen (een even aantal), dus de mediaan is het gemiddelde van de 5e en de 6e waarde in de geordende rij. Dat zijn allebei 4, dus de mediaan is het gemiddelde van 4 en 4.
$\text{mediaan} = \frac{4 + 4}{2} = 4$
Stap 3 — Bepaal de modus
De modus is de waarde die het vaakst voorkomt. De 4 komt drie keer voor, vaker dan elke andere waarde, dus de modus is 4.
Stap 4 — Beoordeel het effect van de uitschieter
De waarde 12 is een uitschieter: ver boven de rest. Doordat élke waarneming in het gemiddelde meetelt, trekt die 12 het gemiddelde omhoog naar 5, terwijl de mediaan op 4 blijft. Laat je de uitschieter weg, dan zakt het gemiddelde naar 38 gedeeld door 9 ≈ 4,2, maar de mediaan blijft 4. Het gemiddelde is dus gevoelig voor de uitschieter, de mediaan robuust.
$\overline{x}_{\text{zonder } 12} = \frac{38}{9} \approx 4{,}2$

Resultaat: Het gemiddelde is 5 boeken, de mediaan 4 en de modus 4. De uitschieter 12 trekt het gemiddelde boven de mediaan; zonder die ene waarde zakt het gemiddelde naar ongeveer 4,2 terwijl de mediaan ongewijzigd 4 blijft. Bij scheve data met uitschieters geeft de mediaan daarom een eerlijker beeld van een typische waarde.

Veelgemaakte fouten

De mediaan bepalen zonder de getallen eerst te sorteren; de mediaan is pas het middelste getal nadat je van klein naar groot hebt geordend, niet het middelste getal in de oorspronkelijke volgorde.
Bij het gemiddelde uit een frequentietabel vergeten te wegen: je moet elke waarde met haar frequentie vermenigvuldigen (de som van f·x) en delen door het totaal (de som van f), niet zomaar de verschillende waarden middelen.

Actieve herhaling

Een webshop verstuurde op acht dagen het volgende aantal pakketten: 14, 9, 11, 9, 60, 12, 9, 12. Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus. Leg daarna uit welke van deze drie maten een „typische” dag het best beschrijft en waarom.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Spreidingsmaten: bereik, kwartielen en interkwartielafstand#

Standaardexamenblad-nl

Kwartielen en IQR op de getallenlijn

Afb. 2Op de getallenlijn staan de kwartielen Q1 = 7, de mediaan = 12 en Q3 = 16, met het minimum (4) en het maximum (21) aan de uiteinden. Het gemarkeerde interval van Q1 tot Q3 is de interkwartielafstand IQR = 9: de spreiding van de middelste 50% van de data.

Een centrummaat alleen vertelt nooit het hele verhaal van een dataset. Twee groepen kunnen hetzelfde gemiddelde hebben en toch totaal verschillend zijn: stel dat in klas A iedereen rond de 6 zit, terwijl in klas B de helft een 4 en de helft een 8 haalt — beide klassen hebben gemiddeld een 6, maar de cijfers liggen in klas B veel verder uit elkaar. Om dat verschil te beschrijven heb je een spreidingsmaat nodig: een getal dat aangeeft hoe ver de waarnemingen uiteenlopen. In deze paragraaf leer je de twee eenvoudigste spreidingsmaten kennen — de spreidingsbreedte en de interkwartielafstand — en in de paragraaf over de standaardafwijking komt daar de belangrijkste spreidingsmaat bij. Samen met het centrum geeft de spreiding pas een compleet beeld van een verdeling.

De eenvoudigste spreidingsmaat is de spreidingsbreedte, ook wel het bereik genoemd: het verschil tussen de grootste en de kleinste waarneming, dus het maximum min het minimum. Het bereik vertelt je over welke afstand de data zich in totaal uitstrekken en is in één oogopslag berekend. Het grote nadeel is dat het alleen op de twee uiterste waarden steunt en niets zegt over hoe de rest van de gegevens daartussen ligt. Daardoor is het bereik zeer gevoelig voor uitschieters: één extreme waarde maakt het bereik meteen groot, ook al ligt de overige data dicht opeen. Voor een eerlijker beeld van de spreiding kijk je daarom liever naar het middengebied van de data.

Dat middengebied vang je met de kwartielen. Net zoals de mediaan de geordende dataset in twee helften deelt, delen de kwartielen hem in vier even grote stukken. Het tweede kwartiel Q2 is gewoon de mediaan zelf. Het eerste kwartiel Q1 is de mediaan van de onderste helft van de data en markeert het punt waaronder ongeveer een kwart (25%) van de waarnemingen ligt; het derde kwartiel Q3 is de mediaan van de bovenste helft en markeert het punt waaronder ongeveer driekwart (75%) ligt. Belangrijk bij een oneven aantal waarnemingen: de mediaan zelf telt níét mee in de onderste of bovenste helft — je laat hem buiten beschouwing en neemt de mediaan van de getallen ervóór en erná. De grafische rekenmachine geeft Q1, de mediaan en Q3 trouwens rechtstreeks via 1-Var Stats, zodat je je handwerk kunt controleren.

Met de kwartielen kun je nu de interkwartielafstand bepalen, afgekort IQR (van het Engelse interquartile range): het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel, dus Q3 min Q1. De IQR is de breedte van de middelste 50% van de data — het gebied tussen het 25%-punt en het 75%-punt. Juist omdat de IQR de buitenste kwart aan beide kanten weglaat, is hij ongevoelig voor uitschieters: een extreme waarde zit altijd in een van die buitenste kwarten en raakt de IQR niet. Daarmee is de IQR een veel betrouwbaarder spreidingsmaat dan het bereik wanneer er uitschieters of een scheve verdeling in het spel zijn. Net zoals de mediaan de robuuste tegenhanger van het gemiddelde is, is de IQR de robuuste tegenhanger van het bereik.

Op de getallenlijn hieronder zie je de spreiding van een dataset in beeld: het minimum (4) en het maximum (21) liggen aan de uiteinden, en daartussen markeren de stippen Q1 = 7, de mediaan = 12 en Q3 = 16. Het gemarkeerde interval van Q1 tot Q3 is de interkwartielafstand IQR = 9: precies binnen dat stuk valt de middelste helft van de waarnemingen. Zo'n plaatje maakt meteen duidelijk waar de data zich verdichten en hoe breed de kern ervan is. Deze vijf getallen — minimum, Q1, mediaan, Q3 en maximum — vormen samen de zogeheten vijfgetallensamenvatting, en die is precies de bouwtekening voor de boxplot die je in de volgende paragraaf leert tekenen.

\text{bereik} = \text{max} - \text{min}

spreidingsbreedte (bereik)

Het verschil tussen de grootste en de kleinste waarneming. Snel te berekenen, maar gevoelig voor uitschieters omdat alleen de twee uiterste waarden meetellen.

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

interkwartielafstand

Het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel: de breedte van de middelste 50% van de data. Ongevoelig voor uitschieters, want de buitenste kwart aan beide kanten telt niet mee.

Uitgewerkt voorbeeld

Kwartielen en interkwartielafstand bepalen

De volgende elf metingen zijn het aantal minuten dat elf leerlingen over een opgave deden: 12, 4, 16, 7, 21, 10, 13, 6, 18, 9, 15. Bepaal het minimum, het maximum en de spreidingsbreedte, en bepaal vervolgens de kwartielen Q1, Q2 en Q3 en de interkwartielafstand.

Stap 1 — Sorteer en lees min en max af
Zet de waarden van klein naar groot: 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21. Het minimum is 4 en het maximum is 21.
Stap 2 — Bereken de spreidingsbreedte
Het bereik is het maximum min het minimum: 21 − 4 = 17 minuten.
$\text{bereik} = 21 - 4 = 17$
Stap 3 — Bepaal de mediaan (Q2)
Er zijn 11 waarnemingen (oneven), dus de mediaan is de 6e waarde in de geordende rij. Dat is 12, dus Q2 = 12.
Stap 4 — Bepaal Q1 en Q3
De mediaan telt niet mee in de helften. De onderste helft (de vijf waarden ervóór) is 4, 6, 7, 9, 10; daarvan is de mediaan 7, dus Q1 = 7. De bovenste helft (de vijf erná) is 13, 15, 16, 18, 21; daarvan is de mediaan 16, dus Q3 = 16.
Stap 5 — Bereken de interkwartielafstand
De IQR is het verschil tussen Q3 en Q1: 16 − 7 = 9 minuten. Binnen die negen minuten valt de middelste helft van de leerlingen.
$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 16 - 7 = 9$

Resultaat: Het minimum is 4 en het maximum 21, dus de spreidingsbreedte is 17 minuten. De kwartielen zijn Q1 = 7, Q2 (mediaan) = 12 en Q3 = 16, en de interkwartielafstand is 9 minuten. Deze vijf getallen — 4, 7, 12, 16 en 21 — vormen de vijfgetallensamenvatting voor de boxplot.

Veelgemaakte fouten

De kwartielen bepalen zonder eerst te sorteren, of bij een oneven aantal waarnemingen de mediaan in beide helften meetellen; sluit de mediaan uit en neem de mediaan van de onderste en van de bovenste helft.
De interkwartielafstand verwarren met de spreidingsbreedte: de IQR is Q3 − Q1 (de middelste 50%), terwijl het bereik max − min is (de volledige uitgestrektheid van de data).

Actieve herhaling

Gegeven de dataset 18, 7, 12, 25, 9, 14, 21, 11, 16, 8, 19, 13. Bepaal het minimum, het maximum en de spreidingsbreedte, en bepaal vervolgens de kwartielen Q1, Q2 en Q3 en de interkwartielafstand. Let op: dit zijn twaalf waarnemingen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De boxplot: vijfgetallensamenvatting, vergelijken en uitschieters#

Standaardexamenblad-nl

Twee boxplots vergelijken: klas A en klas B

Afb. 3Twee boxplots op dezelfde schaal. Klas A loopt van 4 tot 21 met mediaan 12 en een brede box (IQR 9); klas B ligt hoger (mediaan 13) en is veel compacter (IQR 4). Klas B scoort dus gemiddeld iets hoger en constanter dan klas A.

Een boxplot (ook wel doosdiagram) is een compacte tekening van een verdeling, gebouwd op vijf getallen die je in de vorige paragraaf hebt leren bepalen: het minimum, het eerste kwartiel Q1, de mediaan, het derde kwartiel Q3 en het maximum. Samen heten die vijf getallen de vijfgetallensamenvatting. Het mooie van de boxplot is dat hij in één smal plaatje laat zien waar het midden van de data ligt, hoe breed de kern is en hoe ver de uiteinden reiken — zonder dat je alle losse waarnemingen nodig hebt. Daardoor is de boxplot het ideale gereedschap om verdelingen te vergelijken. In deze paragraaf leer je een boxplot tekenen, aflezen, gebruiken om twee groepen te vergelijken, en uitschieters opsporen met een vaste rekenregel.

Het tekenen gaat in vaste stappen. Eerst teken je een box (de „doos”) die van Q1 tot Q3 loopt; die box omvat de middelste 50% van de data en heeft als breedte precies de interkwartielafstand. In die box zet je een streep bij de mediaan. Vervolgens trek je vanaf beide zijden van de box een lijntje — een „snorhaar” — naar het minimum aan de ene kant en naar het maximum aan de andere kant. Zo ontstaan vier stukken: van het minimum tot Q1, van Q1 tot de mediaan, van de mediaan tot Q3, en van Q3 tot het maximum. Het cruciale leesfeit is dat elk van die vier stukken ongeveer een kwart (25%) van alle waarnemingen bevat — ongeacht of het stuk lang of kort is. Een kort stuk betekent dus dat daar veel waarnemingen dicht opeen liggen, een lang stuk dat ze daar ver uiteenliggen.

Bij het aflezen en interpreteren let je vooral op drie dingen. De ligging van de mediaanstreep binnen de box verraadt of de verdeling scheef is: zit de streep midden in de box, dan is de middelste helft tamelijk symmetrisch; zit hij dicht bij Q1 of Q3, dan is de data aan die kant samengeperst en aan de andere kant uitgerekt. De breedte van de box is de IQR en zegt hoe geconcentreerd de kern van de data is — een smalle box betekent een kleine spreiding, een brede box een grote. En de lengte van de snorharen laat zien hoe ver de staarten reiken; een lange snorhaar wijst op enkele waarnemingen die ver van de kern afliggen. Doordat je deze drie dingen direct ziet, lees je uit een boxplot in één oogopslag het verhaal van de verdeling.

De boxplot komt het best tot zijn recht bij het vergelijken van twee of meer verdelingen: teken de boxplots onder elkaar op dezelfde schaal en je ziet de verschillen meteen. In het diagram hieronder staan twee klassen. Klas A loopt van 4 tot 21 met de mediaan op 12 en een brede box (IQR = 9); klas B ligt hoger, met de mediaan op 13, maar is veel compacter (IQR = 4). De conclusie volgt rechtstreeks uit het plaatje: klas B scoort gemiddeld iets hoger én veel constanter, terwijl de scores in klas A veel meer uiteenlopen. Bij zo'n vergelijking onderbouw je je uitspraak altijd met de mediaan (voor het niveau) en de IQR of de boxbreedte (voor de spreiding), niet met een losse indruk.

Soms ligt een waarneming zó ver van de rest dat je hem als uitschieter wilt aanmerken. Daarvoor bestaat een vaste rekenregel: een waarde geldt als uitschieter als hij onder de ondergrens Q1 − 1,5·IQR ligt, of boven de bovengrens Q3 + 1,5·IQR. Stel dat een dataset Q1 = 30 en Q3 = 50 heeft, dan is de IQR 20 en ligt de bovengrens op 50 + 1,5·20 = 80; een waarde van 95 is dan een uitschieter, want hij ligt boven 80. In een zogenoemde gewijzigde boxplot teken je zulke uitschieters als losse puntjes en laat je de snorharen stoppen bij de laatste waarneming die nog binnen de grenzen valt. Met deze regel, de vijfgetallensamenvatting en de vergelijkingsvaardigheid heb je de boxplot volledig in de vingers; in de laatste paragraaf voeg je daar de standaardafwijking aan toe als de fijnste maat voor spreiding.

\text{ondergrens} = Q_1 - 1{,}5\cdot \text{IQR}

ondergrens voor uitschieters

Een waarneming onder deze grens geldt als uitschieter aan de onderkant. Trek anderhalf keer de interkwartielafstand van het eerste kwartiel af.

\text{bovengrens} = Q_3 + 1{,}5\cdot \text{IQR}

bovengrens voor uitschieters

Een waarneming boven deze grens geldt als uitschieter aan de bovenkant. Tel anderhalf keer de interkwartielafstand bij het derde kwartiel op.

Uitgewerkt voorbeeld

Een boxplot maken uit een vijfgetallensamenvatting en interpreteren

Van een dataset is de vijfgetallensamenvatting: minimum 4, Q1 = 7, mediaan = 12, Q3 = 16, maximum 21 (de interkwartielafstand is dus 9). Beschrijf hoe je hieruit de boxplot tekent, interpreteer de verdeling en onderzoek met de regel van 1,5·IQR of er uitschieters zijn. Dit is de boxplot van klas A in het diagram hierboven.

Stap 1 — Teken de box met de mediaan
Teken op een score-as een box van Q1 = 7 tot Q3 = 16; die box bevat de middelste 50% van de data en is 9 breed (de IQR). Zet binnen de box een streep bij de mediaan, op 12.
Stap 2 — Teken de snorharen
Trek vanaf de linkerkant van de box een snorhaar naar het minimum (4) en vanaf de rechterkant een snorhaar naar het maximum (21). De boxplot loopt nu in totaal van 4 tot 21.
Stap 3 — Interpreteer de verdeling
De mediaan (12) ligt vrijwel in het midden van de box (7 tot 16), dus de middelste helft is tamelijk symmetrisch. De ondersnorhaar (4 tot 7) is 3 lang en de bovensnorhaar (16 tot 21) is 5 lang: de bovenkant rekt iets verder uit, wat wijst op een lichte scheefheid naar rechts. Elk van de vier stukken bevat ongeveer 25% van de waarnemingen.
Stap 4 — Controleer op uitschieters
Bereken de grenzen met de regel van 1,5·IQR. De ondergrens is 7 − 1,5·9 = 7 − 13,5 = −6,5 en de bovengrens is 16 + 1,5·9 = 16 + 13,5 = 29,5. Zowel het minimum (4) als het maximum (21) ligt binnen het gebied van −6,5 tot 29,5, dus er zijn geen uitschieters.
$Q_1 - 1{,}5\cdot \text{IQR} = 7 - 13{,}5 = -6{,}5 \quad\text{en}\quad Q_3 + 1{,}5\cdot \text{IQR} = 16 + 13{,}5 = 29{,}5$

Resultaat: De boxplot bestaat uit een box van 7 tot 16 met een mediaanstreep op 12 en snorharen naar 4 en 21. De verdeling is ongeveer symmetrisch met een iets langere bovensnorhaar (lichte scheefheid naar rechts). Met grenzen van −6,5 en 29,5 vallen alle waarnemingen binnen het toegestane gebied, dus deze dataset bevat geen uitschieters.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een breder vak of een langere snorhaar méér waarnemingen bevat; elk van de vier stukken van een boxplot bevat ongeveer 25% van de data, hoe lang of kort het stuk ook is.
De grenzen voor uitschieters verkeerd berekenen: gebruik Q1 − 1,5·IQR en Q3 + 1,5·IQR, en dus de kwartielen als vertrekpunt, niet de mediaan of het gemiddelde.

Actieve herhaling

Twee klassen maakten dezelfde toets. Van klas A is de vijfgetallensamenvatting 3, 5, 6, 7, 9 en van klas B is die 4, 6, 8, 9, 10 (telkens minimum, Q1, mediaan, Q3, maximum). Teken beide boxplots onder elkaar op dezelfde schaal, vergelijk de klassen op niveau en spreiding, en onderzoek met de regel van 1,5·IQR of klas A een uitschieter zou kunnen hebben.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De standaardafwijking als spreiding rond het gemiddelde#

Verdiepingexamenblad-nl

De standaardafwijking opgebouwd uit afwijkingen

Afb. 4De standaardafwijking stap voor stap: bij elke score de afwijking tot het gemiddelde 5 en het kwadraat daarvan. De afwijkingen tellen op tot 0 (een controle) en de kwadraten tot 32; gedeeld door 8 geeft dat 4, en de wortel daaruit is σ = 2.

Het bereik gebruikt maar twee waarden en de interkwartielafstand laat de buitenste kwarten juist links liggen; geen van beide benut álle waarnemingen. De standaardafwijking, genoteerd met de Griekse letter σ (sigma), doet dat wél: zij meet hoe ver de waarnemingen gemiddeld van het gemiddelde af liggen en gebruikt daarvoor elk getal in de dataset. Daarmee is de standaardafwijking de fijnste en meest gebruikte spreidingsmaat, en zij hoort onlosmakelijk bij het gemiddelde — zoals de mediaan en de IQR bij elkaar horen, horen het gemiddelde en de standaardafwijking bij elkaar. In deze paragraaf leer je wat σ betekent, hoe je haar met de grafische rekenmachine bepaalt en hoe je het interval rond het gemiddelde interpreteert. De standaardafwijking is bovendien de sleutel tot de normale verdeling, het onderwerp dat hierna komt.

De gedachte achter de standaardafwijking is „de typische afstand tot het gemiddelde”. Je berekent eerst voor elke waarneming de afwijking: de waarde min het gemiddelde. Die afwijkingen zijn deels positief (boven het gemiddelde) en deels negatief (eronder), en ze tellen altijd op tot precies nul — daarom kun je ze niet zomaar middelen. De oplossing is om elke afwijking te kwadrateren (zodat minnen wegvallen en grote afwijkingen extra zwaar gaan tellen), die kwadraten te middelen, en ten slotte de wortel te trekken om weer in de oorspronkelijke eenheid terug te komen. In de tabel hieronder is dat uitgewerkt: de afwijkingen tellen op tot 0 (een handige controle) en de kwadraten tot 32; gedeeld door de acht waarnemingen geeft dat 4, en de wortel daaruit is de standaardafwijking σ = 2.

In de praktijk reken je de standaardafwijking voor een echte dataset niet met de hand uit, maar laat je de grafische rekenmachine het werk doen. Je voert de waarnemingen in een lijst in en kiest 1-Var Stats (één-variabele-statistiek); de rekenmachine toont dan onder meer het gemiddelde (aangegeven als x met een streep) en de standaardafwijking. Let op welke je aflezt: voor HAVO wiskunde A gebruik je de waarde σx, de populatie-standaardafwijking, en niet de steekproefvariant sx die er net naast staat. Tegelijk geeft het scherm ook de vijfgetallensamenvatting (minimum, Q1, de mediaan, Q3 en het maximum), zodat je in één handeling alle maten uit deze paragrafen bij elkaar hebt. Het examen verwacht dat je de rekenmachine zó kunt inzetten en de juiste uitkomst kunt aflezen.

De standaardafwijking krijgt pas betekenis als je haar samen met het gemiddelde gebruikt. Het interval van één standaardafwijking rond het gemiddelde — van het gemiddelde min σ tot het gemiddelde plus σ — beschrijft de „gewone” band waarbinnen veel waarnemingen vallen; waarden ver buiten die band zijn relatief uitzonderlijk. Hoe groter σ, hoe wijder die band en hoe meer de data uiteenlopen; bij een kleine σ liggen de waarnemingen juist dicht om het gemiddelde. Twee datasets met hetzelfde gemiddelde maar een verschillende standaardafwijking zijn dus wezenlijk verschillend: de ene is geconcentreerd, de andere uitgewaaierd. Bij een klokvormige (normale) verdeling ligt zelfs ongeveer 68% van de waarnemingen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde — een vuistregel die in het volgende onderwerp over de normale verdeling centraal staat.

Daarmee komen de twee koppels van centrum en spreiding samen. Gebruik je het gemiddelde als centrummaat, dan past de standaardafwijking als spreidingsmaat; werk je met de mediaan, dan hoort de interkwartielafstand erbij. Welk koppel je kiest, hangt af van de data: bij een tamelijk symmetrische verdeling zonder uitschieters geven het gemiddelde en de standaardafwijking het scherpste beeld, terwijl bij een scheve verdeling of bij uitschieters de mediaan met de IQR eerlijker zijn (die laten zich immers niet door extremen meeslepen). Wie deze keuze bewust maakt en de maten met de rekenmachine kan bepalen, beheerst de kern van het verwerken van data — en is klaar voor de normale verdeling, waarin het gemiddelde en de standaardafwijking de twee bepalende getallen worden.

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \overline{x})^{2}}{n}}

standaardafwijking

Kwadrateer elke afwijking tot het gemiddelde, middel de kwadraten over alle n waarnemingen en trek de wortel. Dit is de populatie-standaardafwijking die de grafische rekenmachine als σx geeft.

\overline{x} \pm \sigma

band rond het gemiddelde

Het interval van het gemiddelde min de standaardafwijking tot het gemiddelde plus de standaardafwijking. Bij een klokvormige verdeling ligt hierin ongeveer 68% van de waarnemingen.

Uitgewerkt voorbeeld

Het gemiddelde en de standaardafwijking bepalen en interpreteren

Acht leerlingen behaalden de volgende scores: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking (zoals de grafische rekenmachine die als σx geeft) en interpreteer het interval van één standaardafwijking rond het gemiddelde.

Stap 1 — Bereken het gemiddelde
Tel de acht scores op (de som is 40) en deel door n = 8. Het gemiddelde is 40 gedeeld door 8 = 5.
$\overline{x} = \frac{40}{8} = 5$
Stap 2 — Bepaal de afwijkingen en hun kwadraten
Trek van elke score het gemiddelde 5 af. De afwijkingen zijn −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 en 4; ze tellen op tot 0 (de controle klopt). Kwadrateer ze (9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16); de som van de kwadraten is 32, zoals in de tabel hierboven.
Stap 3 — Bereken de standaardafwijking
Middel de kwadraten over de acht waarnemingen (32 gedeeld door 8 = 4) en trek de wortel: de standaardafwijking is 2. Op de grafische rekenmachine voer je de scores in en lees je via 1-Var Stats hetzelfde af: x met een streep = 5 en σx = 2.
$\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = \sqrt{4} = 2$
Stap 4 — Interpreteer de band rond het gemiddelde
Het interval van één standaardafwijking rond het gemiddelde loopt van 5 − 2 = 3 tot 5 + 2 = 7. Zes van de acht scores (4, 4, 4, 5, 5 en 7) liggen binnen dat interval; de 2 valt eronder en de 9 erboven. Een score van 9 ligt twee standaardafwijkingen boven het gemiddelde en is dus relatief hoog.
$\overline{x} \pm \sigma = 5 \pm 2 \;\Rightarrow\; [\,3,\ 7\,]$

Resultaat: Het gemiddelde is 5 en de standaardafwijking is 2 (de rekenmachine geeft σx = 2). Het interval van het gemiddelde plus en min één standaardafwijking is [3, 7], waarbinnen zes van de acht scores vallen. De standaardafwijking meet zo de typische afstand tot het gemiddelde: hoe groter σ, hoe meer de scores uiteenlopen.

Veelgemaakte fouten

De variantie en de standaardafwijking verwarren: de standaardafwijking is de wórtel uit het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen — vergeet die laatste wortel niet, anders rapporteer je de variantie.
Op de grafische rekenmachine de verkeerde uitkomst aflezen: voor HAVO wiskunde A gebruik je de populatie-standaardafwijking σx, niet de steekproefvariant sx die er vlak naast staat.

Actieve herhaling

De gemiddelde maandtemperatuur (in °C) in een stad was: 4, 6, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 12, 13, 15, 16. Bepaal met de grafische rekenmachine het gemiddelde en de standaardafwijking, stel het interval van één standaardafwijking rond het gemiddelde op en bepaal hoeveel van de twaalf maanden binnen dat interval vallen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Data verwerken: centrum- en spreidingsmaten, boxplot

4 Onderdelen~28 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

Data verwerken: centrum- en spreidingsmaten, boxplot

Kernpunten

Gemiddelde, mediaan en modus berekenen

Kernpunten

Kwartielen en interkwartielafstand bepalen

Kernpunten

Een boxplot maken uit een vijfgetallensamenvatting en interpreteren

Kernpunten

Het gemiddelde en de standaardafwijking bepalen en interpreteren

Bronnen

Data verwerken: centrum- en spreidingsmaten, boxplot

Kernpunten

Gemiddelde, mediaan en modus berekenen

Kernpunten

Kwartielen en interkwartielafstand bepalen

Kernpunten

Een boxplot maken uit een vijfgetallensamenvatting en interpreteren

Kernpunten

Het gemiddelde en de standaardafwijking bepalen en interpreteren

Bronnen