Samenvattingen · NatuurkundeNL · HAVO

Zonnestelsel en heelal: zwaartekracht, banen en licht

Dit onderwerp behandelt de natuurkunde van het zonnestelsel en het heelal. Je leert hoe de gravitatiekracht $F = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}$ twee massa's aantrekt en met het kwadraat van de afstand afneemt, hoe diezelfde kracht als middelpuntzoekende kracht planeten en satellieten in hun baan houdt, en hoe je met de lichtsnelheid de enorme afstanden in het heelal meet. Ten slotte zie je aan de roodverschuiving van sterren dat het heelal uitdijt.

4 Onderdelen~23 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·111111 / 15

Examenprofiel

De gravitatiekracht tussen twee massa's berekenen met F = \dfrac{G ·m₁ ·m₂}{r²} en de zwaartekracht F_z = m ·g als plaatselijk geval herkennen.Verklaren dat de gravitatie de middelpuntzoekende kracht van een planeet of satelliet levert, en baansnelheid en omlooptijd aan de baanstraal koppelen.Afstanden en reistijden in het heelal berekenen met de lichtsnelheid (afstand = c ·t) en het begrip lichtjaar juist gebruiken.De roodverschuiving van sterrenstelsels interpreteren als bewijs dat het heelal uitdijt.

Operatoren:berekenleg uitverklaartoon aanberedeneerinterpreteerbepaal

basisniveau

Reken de gravitatiekracht en de afstanden in het heelal foutloos uit, met G en c uit BINAS en met correcte eenheden en machten van tien.

verhoogd niveau

Beredeneer met de verbanden $F \sim 1/r^2$ en $v \sim 1/\sqrt{r}$ hoe kracht en baansnelheid van de afstand afhangen, en verklaar de roodverschuiving als bewijs voor een uitdijend heelal.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Zonnestelsel en heelal: zwaartekracht, banen en licht

Zwaartekracht en het zonnestelsel#

Basisexamenblad-nl

De gravitatiekracht neemt af met 1/r²

Afb. 1Het verband F ~ 1/r² in relatieve eenheden. Bij drie keer zo grote afstand (van r = 1 naar r = 3) wordt de kracht negen keer zo klein (van 9 naar 1), want 3² = 9.

Alles wat massa heeft, trekt elkaar aan: de aarde trekt aan de maan, de zon aan de aarde, en zelfs twee boeken op een tafel trekken elkaar aan — alleen veel te zwak om te merken. Deze universele aantrekking heet de gravitatiekracht (of algemene zwaartekracht). Newton ontdekte dat één en dezelfde wet zowel een vallende appel als de baan van de maan beschrijft: elk voorwerp met massa oefent op elk ander voorwerp met massa een aantrekkende kracht uit, gericht langs de verbindingslijn tussen hun middelpunten. Hoe groter de massa's, hoe sterker de aantrekking; hoe verder ze uit elkaar staan, hoe zwakker. In dit onderwerp gebruik je die ene wet om de kracht tussen sterren, planeten en satellieten uit te rekenen.

De grootte van de gravitatiekracht bereken je met

F = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}

. Hierin zijn

m_1

m_2

de twee massa's in kilogram, en

r

de afstand tussen hun middelpunten in meter — let op: de afstand tússen de middelpunten, niet tussen de oppervlakken. De constante

G

is de gravitatieconstante, een natuurconstante die voor het hele heelal dezelfde waarde heeft:

G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}

(je vindt hem in BINAS). Die piepkleine waarde verklaart waarom je de aantrekking tussen alledaagse voorwerpen nooit voelt: pas bij enorme massa's zoals planeten en sterren levert de formule een merkbare kracht op. Vul altijd in SI-eenheden in, dan komt

F

er in newton uit.

Het meest kenmerkende aan de gravitatiewet is de

r^2

in de noemer: de kracht neemt af met het kwádraat van de afstand. Verdubbel je de afstand, dan wordt de kracht niet twee keer maar vier keer (

2^2

) zo klein; verdriedubbel je hem, dan wordt de kracht negen keer (

3^2

) zo klein. In de figuur zie je dit verband

F \sim \dfrac{1}{r^2}

getekend: de grafiek daalt eerst heel steil en vlakt daarna af, maar bereikt nooit precies nul. Bij

r = 1

hoort een kracht van 9 eenheden, bij

r = 3

nog maar 1 eenheid — precies negen keer zo klein, want

3^2 = 9

. Dit steile verval verklaart waarom de zon de dichtbije planeten veel steviger vasthoudt dan de verre, en waarom een ruimtesonde die van de aarde wegvliegt razendsnel minder wordt aangetrokken.

De zwaartekracht die je op aarde kent,

F_z = m \cdot g

, is niets anders dan een bijzonder geval van deze gravitatiewet. Vul in de algemene formule voor

m_1

de massa van de aarde in en voor

r

de straal van de aarde (want een voorwerp aan het oppervlak staat op een afstand

r

gelijk aan de aardstraal van het middelpunt), dan ligt alles behalve

m_2

vast: die vaste combinatie

\dfrac{G \cdot m_{\text{aarde}}}{r_{\text{aarde}}^2}

noemen we de valversnelling

g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2

. Zo krijg je

F_z = m \cdot g

terug. Dat verklaart meteen waarom

g

op de maan kleiner is (kleinere massa, kleinere straal) en waarom je hoog boven de aarde iets minder weegt: je staat dan verder van het middelpunt. De zwaartekracht is dus lokaal, de gravitatie is de algemene wet erachter.

Met deze ene kracht is de hele bouw van het zonnestelsel te begrijpen. In het midden staat de zon, veruit het zwaarste object: ze bevat meer dan 99 % van alle massa in het zonnestelsel, en juist door die enorme massa houdt haar gravitatie alle planeten vast. Om de zon draaien de acht planeten (van Mercurius tot Neptunus), en om verscheidene planeten draaien op hun beurt manen — de maan om de aarde, tientallen manen om Jupiter en Saturnus. De planeten bewegen niet in perfecte cirkels maar in ellipsen (enigszins uitgerekte cirkels) met de zon in een brandpunt, al liggen die ellipsen voor de meeste planeten dicht bij een cirkel. In de volgende paragraaf zie je hoe diezelfde gravitatiekracht een planeet of satelliet precies in zo'n baan gebogen houdt.

F = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}

gravitatiekracht (algemene zwaartekracht)

De aantrekkende kracht tussen twee massa's; evenredig met beide massa's en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand. G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² is de gravitatieconstante uit BINAS.

F_z = m \cdot g

zwaartekracht op aarde (plaatselijk geval)

De gravitatiekracht van de aarde op een voorwerp aan het oppervlak, met g ≈ 9,81 m/s² de valversnelling. Het is de gravitatiewet met de aardmassa en de aardstraal ingevuld.

Uitgewerkt voorbeeld

Gravitatiekracht tussen twee massa's berekenen

Bereken de gravitatiekracht tussen twee massa's van elk $1{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{kg}$ die op $2{,}0\ \text{m}$ afstand staan. Gebruik $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$ .

Stap 1 — Noteer de gegevens in SI-eenheden
Schrijf de twee massa's, de afstand en de gravitatieconstante op.
$m_1 = m_2 = 1{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{kg}, \quad r = 2{,}0\ \text{m}, \quad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$
Stap 2 — Vul in de formule in
Zet de waarden in F = G·m₁·m₂/r²; let op het kwadraat in de noemer.
$F = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot (1{,}0 \cdot 10^{3})^2}{(2{,}0)^2}$
Stap 3 — Reken uit en rond af
Werk teller en noemer uit: (1,0·10³)² = 1,0·10⁶ en (2,0)² = 4,0.
$F = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{6}}{4{,}0} \approx 1{,}7 \cdot 10^{-5}\ \text{N}$

Resultaat: Resultaat: de gravitatiekracht is ongeveer $1{,}7 \cdot 10^{-5}\ \text{N}$ — een minuscule kracht, ondanks de massa's van 1000 kg elk. Dat laat zien hoe zwak gravitatie is: pas bij massa's zo groot als planeten wordt de kracht merkbaar.

Veelgemaakte fouten

De afstand $r$ niet kwadrateren, of hem tussen de oppervlakken meten in plaats van tussen de middelpunten.
Vergeten dat de kracht met het kwádraat afneemt: bij dubbele afstand denken dat de kracht halveert in plaats van vier keer zo klein wordt.
De massa's niet in kilogram of de afstand niet in meter invullen, zodat de macht van tien in het antwoord niet klopt.

Actieve herhaling

Twee bollen van elk $5{,}0 \cdot 10^{2}\ \text{kg}$ staan met hun middelpunten op $4{,}0\ \text{m}$ afstand. Bereken de gravitatiekracht tussen de bollen en leg uit hoeveel keer kleiner die kracht wordt als je de afstand verdubbelt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Cirkelbanen en satellieten#

Standaardexamenblad-nl

De baansnelheid neemt af met 1/√r

Afb. 2Het verband v ~ 1/√r in relatieve eenheden. Bij vier keer zo grote baanstraal (van r = 1 naar r = 4) wordt de baansnelheid twee keer zo klein (van 8 naar 4), want √4 = 2.

Een satelliet die met constante snelheid rondjes om de aarde draait, verandert toch voortdurend van bewegingsrichting — en van richting veranderen is ook een vorm van versnellen. Volgens de traagheidswet zou een voorwerp zonder kracht rechtdoor blijven vliegen; om het in een cirkel te houden is dus steeds een kracht nodig die naar het middelpunt van de cirkel wijst. Die naar binnen gerichte kracht heet de middelpuntzoekende kracht. Belangrijk: het is geen nieuwe, aparte kracht, maar de naam voor de nettokracht die de cirkelbeweging veroorzaakt. Bij een eenparige cirkelbeweging (ronddraaien met constante snelheid) staat die kracht altijd loodrecht op de snelheid, precies naar het midden gericht, en buigt ze de baan continu af van de rechte lijn.

Bij een planeet om de zon of een satelliet om de aarde is die middelpuntzoekende kracht niets anders dan de gravitatiekracht. De zon trekt de aarde langs de verbindingslijn naar zich toe; die aantrekking wijst dus precies naar het middelpunt van de baan en levert exact de kracht die nodig is om de aarde in haar baan te buigen. Zonder die kracht zou de aarde rechtdoor de ruimte in schieten; met precies de juiste snelheid „valt” ze voortdurend naar de zon toe zonder ooit dichterbij te komen. Dat samenspel van rechtdoor willen (traagheid) en naar binnen getrokken worden (gravitatie) ís de baan. Je stelt daarom de gravitatiekracht gelijk aan de benodigde middelpuntzoekende kracht: de gravitatie ís de middelpuntzoekende kracht.

Omdat de gravitatie de middelpuntzoekende kracht levert, hangen de baansnelheid en de omlooptijd samen met de baanstraal. Dichter bij de zon is de gravitatie sterker, dus is er een grotere middelpuntzoekende kracht en moet de planeet sneller bewegen om in zijn baan te blijven; verder weg is de aantrekking zwakker en beweegt de planeet trager. Dat zie je in het zonnestelsel terug: Mercurius, vlak bij de zon, raast met bijna 48 km/s rond, terwijl het verre Neptunus met nog geen 6 km/s voortkruipt. Verder weg betekent bovendien een langere weg én een lagere snelheid, zodat de omlooptijd extra snel oploopt: de aarde doet er één jaar over, Neptunus bijna 165 jaar. De vuistregel is dus eenvoudig: hoe groter de baanstraal, hoe kleiner de baansnelheid en hoe langer de omlooptijd.

Het precieze verband tussen baansnelheid en baanstraal is

v \sim \dfrac{1}{\sqrt{r}}

: de snelheid neemt af met de wortel van de afstand. In de figuur is deze kromme getekend. Ze daalt, net als de krachtgrafiek uit de vorige paragraaf, maar minder steil, want de wortel verzwakt langzamer dan een kwadraat. Uit de grafiek lees je af dat bij baanstraal

r = 1

een snelheid van 8 eenheden hoort en bij

r = 4

een snelheid van 4 eenheden: viermaal zo ver weg geeft dus de hélft van de snelheid, want

\sqrt{4} = 2

. Dit verband is een handig gereedschap op het examen: word je gevraagd hoe de snelheid verandert als de baan bijvoorbeeld negen keer zo groot wordt, dan weet je meteen dat de snelheid drie keer zo klein wordt, omdat

\sqrt{9} = 3

Een bijzonder belangrijke baan is de geostationaire baan. Kies je de baanstraal precies zó dat de omlooptijd van de satelliet gelijk is aan de draaitijd van de aarde om haar as — ongeveer 24 uur — dan draait de satelliet even snel rond als de aarde eronder. Vanaf de grond lijkt zo'n satelliet dan stil boven één vast punt op de evenaar te hangen. Dat is enorm handig: een schotelantenne kan permanent op dezelfde plek aan de hemel gericht blijven, zonder de satelliet te hoeven volgen. Communicatie- en tv-satellieten en veel weersatellieten staan daarom in deze baan, op zo'n

3{,}6 \cdot 10^{4}\ \text{km}

hoogte. Er is maar één baanstraal waarbij de omlooptijd exact 24 uur is; hoger zou de satelliet te traag rondgaan en achterblijven, lager zou hij de aarde juist vooruitsnellen.

F_{\text{mpz}} = \dfrac{m \cdot v^2}{r}

middelpuntzoekende kracht

De naar het middelpunt gerichte nettokracht die nodig is voor een eenparige cirkelbeweging met snelheid v en straal r. Bij een baan levert de gravitatie precies deze kracht.

v \sim \dfrac{1}{\sqrt{r}}

baansnelheid en baanstraal

In een cirkelbaan neemt de baansnelheid af met de wortel van de baanstraal: verder weg is trager. Het volgt uit het gelijkstellen van de gravitatie aan de middelpuntzoekende kracht.

Uitgewerkt voorbeeld

Gravitatie als middelpuntzoekende kracht en het verband v ~ 1/√r

Een satelliet beweegt in een eenparige cirkelbaan om de aarde (massa $M$ ). (a) Leg uit dat de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht levert. (b) Beredeneer dat een satelliet in een viermaal zo grote baan de helft van de baansnelheid heeft.

Stap 1 — (a) Welke kracht wijst naar het middelpunt?
De aarde trekt de satelliet langs de verbindingslijn naar zich toe. Die gravitatiekracht wijst precies naar het middelpunt van de baan en is dus de middelpuntzoekende kracht; er is geen andere kracht nodig.
$F_{\text{grav}} = F_{\text{mpz}}$
Stap 2 — (b) Stel de krachten aan elkaar gelijk
Vul de twee formules in en vereenvoudig; de satellietmassa m en één r vallen weg.
$\dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = \dfrac{m \cdot v^2}{r} \ \Rightarrow\ v^2 = \dfrac{G \cdot M}{r}$
Stap 3 — Lees het verband af
Uit v = √(G·M/r) volgt v ~ 1/√r. Bij r → 4r wordt v dus √4 = 2 keer zo klein, wat klopt met de grafiekpunten (1; 8) en (4; 4).
$r \to 4r \ \Rightarrow\ v \to \dfrac{v}{\sqrt{4}} = \dfrac{v}{2}$

Resultaat: Resultaat: de gravitatie is de middelpuntzoekende kracht, en omdat $v = \sqrt{G \cdot M / r}$ geldt $v \sim 1/\sqrt{r}$ . Een viermaal zo grote baan geeft dus een half zo grote baansnelheid — precies wat de grafiek laat zien.

Veelgemaakte fouten

Denken dat de middelpuntzoekende kracht een extra kracht náást de gravitatie is; het is de gravitatiekracht zélf die deze rol vervult.
De middelpuntzoekende kracht naar buiten (van het middelpunt af) tekenen in plaats van naar binnen.
Bij een viermaal zo grote baan de snelheid vier keer zo klein maken in plaats van de wortel te nemen ( $\sqrt{4} = 2$ , dus twee keer zo klein).

Actieve herhaling

Een satelliet draait in een cirkelbaan om de aarde. Leg uit welke kracht als middelpuntzoekende kracht optreedt, en beredeneer met het verband $v \sim \dfrac{1}{\sqrt{r}}$ hoeveel keer kleiner de baansnelheid wordt als de baanstraal negen keer zo groot wordt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Afstanden en licht in het heelal#

Standaardexamenblad-nl

Afstanden in het heelal

Afb. 3De afstanden in het heelal, uitgedrukt in lichttijd. Elke stap is vele malen groter dan de vorige — van seconden via minuten naar jaren en miljoenen jaren.

Licht plant zich voort met een vaste, enorme snelheid: de lichtsnelheid

c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}

, oftewel bijna 300 000 kilometer per seconde (je vindt

c

in BINAS). Niets kan sneller gaan dan het licht; het is de hoogste snelheid in de natuur. In het dagelijks leven lijkt licht zich ogenblikkelijk te verplaatsen — doe je een lamp aan, dan is de kamer meteen verlicht. Over de gigantische afstanden in het heelal is dat heel anders: daar doet zelfs licht er seconden, minuten, jaren of miljoenen jaren over. Juist omdat

c

zo groot maar toch eindig is, wordt de lichtsnelheid hét meetlint van de astronomie: uit de tijd die licht onderweg is, leid je enorme afstanden af.

Om die reusachtige afstanden handzaam op te schrijven gebruiken astronomen het lichtjaar. Let goed op: een lichtjaar is geen tijd maar een áfstand — de afstand die het licht in één jaar aflegt. Je berekent zo'n afstand met

\text{afstand} = c \cdot t

(snelheid maal tijd), waarbij je

t

in seconden invult. Op dezelfde manier bestaan er kleinere maten: een lichtseconde is de afstand die licht in één seconde aflegt (ongeveer 300 000 km) en een lichtminuut die in één minuut. Deze eenheden zijn zo gekozen dat de getallen behapbaar blijven: „4,2 lichtjaar” leest veel prettiger dan de bijbehorende

4 \cdot 10^{16}\ \text{m}

. Reken je een lichtjaar naar meters om, dan gebruik je gewoon

\text{afstand} = c \cdot t

met

t

gelijk aan één jaar in seconden.

De tabel in de figuur geeft een gevoel voor de schaal van het heelal. De maan staat op ruim één lichtseconde van ons af: haar licht (of een radiosignaal) doet er iets meer dan een seconde over — daarom hoor je bij maanmissies een merkbare vertraging in de gesprekken. Het licht van de zon is 8,3 minuten onderweg voordat het de aarde bereikt. Daarna wordt het gat gigantisch: de dichtstbijzijnde ster, Proxima Centauri, staat al op 4,2 lichtjaar, en het Andromedastelsel — het verste object dat je met het blote oog kunt zien — op maar liefst 2,5 miljoen lichtjaar. Elke stap in de tabel is vele malen groter dan de vorige; de afstanden in het heelal lopen op van seconden via minuten en jaren tot miljoenen jaren.

Dat licht een reistijd heeft, leidt tot een verbluffend gevolg: je ziet elk object in het heelal niet zoals het nú is, maar zoals het was toen het licht vertrok. De zon die je aan de hemel ziet, is de zon van 8,3 minuten geleden; zou de zon precies nu doven, dan merk je dat pas over ruim acht minuten. Kijk je naar Proxima Centauri, dan zie je 4,2 jaar in het verleden, en het beeld van het Andromedastelsel is 2,5 miljoen jaar oud — het licht vertrok toen er op aarde nog geen moderne mensen waren. Hoe verder een object staat, hoe verder je dus terugkijkt in de tijd. Sterrenkijken is daarom letterlijk in het verleden kijken, en juist dat maakt telescopen tot tijdmachines waarmee astronomen de geschiedenis van het heelal bestuderen.

Voor de dichtstbijzijnde sterren meten astronomen de afstand met parallax. Houd je een vinger voor je neus en kijk je afwisselend met je linker- en rechteroog, dan lijkt je vinger heen en weer te springen ten opzichte van de verre achtergrond — en dichtbij springt hij méér dan veraf. Datzelfde doet een ster: terwijl de aarde in een half jaar naar de andere kant van haar baan om de zon reist, verschuift een nabije ster ietsje ten opzichte van de veel verdere achtergrondsterren. Hoe groter die schijnbare verschuiving, hoe dichterbij de ster staat. Uit de gemeten verschuivingshoek en de bekende straal van de aardbaan berekenen astronomen dan de afstand. Parallax werkt alleen voor betrekkelijk nabije sterren; voor verre stelsels zijn andere methoden nodig, zoals de roodverschuiving uit de volgende paragraaf.

s = c \cdot t

afstand uit lichtsnelheid en tijd

De afgelegde afstand van licht is de lichtsnelheid maal de reistijd. Vul c = 3,00·10⁸ m/s en t in seconden in. Een lichtjaar is de afstand bij t gelijk aan één jaar.

Uitgewerkt voorbeeld

Een lichtjaar in meters en de looptijd van zonlicht

(a) Bereken hoe ver één lichtjaar in meter is. (b) Bereken hoe lang zonlicht erover doet om de aarde te bereiken; de zon staat op $1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ . Gebruik $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ .

Stap 1 — (a) Reken één jaar om naar seconden
Een jaar telt 365 dagen van 24 uur van 3600 seconden.
$t = 365 \cdot 24 \cdot 3600 = 3{,}15 \cdot 10^{7}\ \text{s}$
Stap 2 — Bereken de afstand met s = c·t
Vermenigvuldig de lichtsnelheid met die tijd.
$s = 3{,}00 \cdot 10^{8} \cdot 3{,}15 \cdot 10^{7} \approx 9{,}5 \cdot 10^{15}\ \text{m}$
Stap 3 — (b) Bereken de looptijd van zonlicht
Nu is de afstand gegeven en zoek je de tijd: draai de formule om naar t = s/c.
$t = \dfrac{s}{c} = \dfrac{1{,}5 \cdot 10^{11}}{3{,}00 \cdot 10^{8}} = 5{,}0 \cdot 10^{2}\ \text{s} \approx 8{,}3\ \text{min}$

Resultaat: Resultaat: één lichtjaar is ongeveer $9{,}5 \cdot 10^{15}\ \text{m}$ , en zonlicht doet er $5{,}0 \cdot 10^{2}\ \text{s}$ (ruim 8 minuten) over om de aarde te bereiken. Je ziet de zon dus altijd zoals ze 8,3 minuten geleden was.

Veelgemaakte fouten

Een lichtjaar als een tijdsduur opvatten in plaats van als een afstand.
Bij $\text{afstand} = c \cdot t$ de tijd in jaren of minuten invullen terwijl $c$ in meter per seconde staat; reken $t$ eerst om naar seconden.
Vergeten dat je een ster in het verleden ziet, en denken dat het beeld de ster van dit moment toont.

Actieve herhaling

De planeet Mars staat op een bepaald moment op $2{,}3 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ van de aarde. Bereken hoeveel minuten een radiosignaal, dat met de lichtsnelheid reist, erover doet om van de aarde naar Mars te gaan.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Sterren, roodverschuiving en het uitdijend heelal#

Standaardexamenblad-nl

Roodverschuiving van een spectraallijn

Afb. 4Een spectraallijn met rustgolflengte 656 nm wordt bij een zich verwijderend sterrenstelsel waargenomen bij 672 nm: de golflengte is toegenomen, een roodverschuiving.

Een ster is geen brandend vuur maar een reusachtige kernfusiereactor. In de kern van de zon heersen zulke hoge temperaturen en drukken dat waterstofkernen op elkaar botsen en samensmelten tot heliumkernen — dat proces heet kernfusie. Bij die fusie komt een enorme hoeveelheid energie vrij, die als straling (waaronder zichtbaar licht) naar buiten wordt uitgezonden; daarom schijnt een ster. Elke ster zendt licht uit met een karakteristieke samenstelling die afhangt van haar temperatuur en de stoffen waaruit ze bestaat. Analyseer je dat licht, dan lees je er de eigenschappen van de ster uit af — de temperatuur, de chemische samenstelling en, zoals verderop blijkt, zelfs de snelheid waarmee de ster van ons af of naar ons toe beweegt.

Splits je het licht van een ster met een prisma of tralie, dan valt het uiteen in een spectrum: alle kleuren op een rij, van rood (grote golflengte) tot violet (kleine golflengte). In dat spectrum zitten scherpe lijnen — de spectraallijnen — op heel bepaalde golflengten, veroorzaakt door de atomen in de ster die licht van precies die golflengten uitzenden of juist wegvangen. Elke stof heeft een eigen, vast patroon van spectraallijnen, als een streepjescode of vingerafdruk. Omdat je in het laboratorium exact weet bij welke golflengte een lijn van bijvoorbeeld waterstof hoort — de zogeheten rustgolflengte — kun je die bekende waarde vergelijken met de golflengte die je bij een ster wáárneemt. Elke verschuiving van de lijn ten opzichte van haar rustgolflengte verraadt dan iets over de beweging van de ster.

Die verschuiving ontstaat door het dopplereffect. Je kent het van geluid: een voorbijrazende ambulance klinkt hoger als hij nadert en lager als hij zich verwijdert, doordat de golven worden samengedrukt of uitgerekt. Bij licht gebeurt hetzelfde met de golflengte. Beweegt een lichtbron van je af, dan worden de lichtgolven als het ware uitgerekt en neemt de wáárgenomen golflengte toe: de spectraallijnen schuiven op naar het rode (langgolvige) uiteinde van het spectrum. Dit heet roodverschuiving. Beweegt een bron juist naar je toe, dan krimpt de golflengte en krijg je blauwverschuiving. In de figuur zie je hoe een lijn met rustgolflengte 656 nm bij een zich verwijderend sterrenstelsel is opgeschoven naar 672 nm; de grootte van die verschuiving verraadt hoe snel het stelsel wegbeweegt.

Toen astronomen het licht van talloze verre sterrenstelsels onderzochten, bleek bijna elk stelsel een roodverschuiving te vertonen: vrijwel alles beweegt van ons af. Edwin Hubble ontdekte bovendien een verband: hoe verder een stelsel van ons staat, hoe gróter zijn roodverschuiving en dus hoe sneller het zich verwijdert (verder is sneller weg). Dat betekent niet dat wíj het middelpunt zijn waaruit alles vlucht; het betekent dat de ruimte zélf overal uitrekt, zodat elke waarnemer, waar dan ook, alle andere stelsels ziet wegbewegen. Het heelal dijt dus uit — de afstanden tussen de stelsels worden voortdurend groter. De roodverschuiving van verre stelsels is daarmee het directe bewijs voor een uitdijend heelal, een van de belangrijkste ontdekkingen uit de moderne sterrenkunde.

Als het heelal nu uitdijt en alles steeds verder uit elkaar drijft, dan lagen de stelsels vroeger dichter bij elkaar. Draai je die uitdijing in gedachten terug, als een film die achteruit loopt, dan komt alle materie en energie steeds dichter opeen, tot het hele heelal ongeveer 13,8 miljard jaar geleden was samengebald in een onvoorstelbaar hete, dichte begintoestand. Vanuit die toestand begon het uit te dijen: dat noemen we de oerknal (in het Engels de Big Bang). De oerknal was dus geen explosie ín een al bestaande ruimte, maar het begin van de uitdijing van de ruimte zelf. De waargenomen roodverschuiving van de sterrenstelsels is het belangrijkste bewijs voor dit model: ze laat zien dat het heelal ooit veel compacter was en sindsdien onafgebroken groter wordt.

z = \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda} = \dfrac{\lambda_{\text{waar}} - \lambda_{\text{rust}}}{\lambda_{\text{rust}}}

roodverschuiving

De relatieve verschuiving van een spectraallijn: het verschil tussen de waargenomen en de rustgolflengte, gedeeld door de rustgolflengte. Positief (naar rood) betekent dat de bron zich verwijdert.

Uitgewerkt voorbeeld

De roodverschuiving van een spectraallijn berekenen

Een spectraallijn heeft een rustgolflengte van $656\ \text{nm}$ , maar wordt bij een ver sterrenstelsel waargenomen bij $672\ \text{nm}$ . Bereken de roodverschuiving $z$ en leg uit wat je hieruit over de beweging van het stelsel besluit.

Stap 1 — Bepaal de verschuiving Δλ
Trek de rustgolflengte af van de waargenomen golflengte.
$\Delta \lambda = \lambda_{\text{waar}} - \lambda_{\text{rust}} = 672 - 656 = 16\ \text{nm}$
Stap 2 — Deel door de rustgolflengte
De roodverschuiving is de relatieve verschuiving; deel door de rústgolflengte, niet door de waargenomen.
$z = \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_{\text{rust}}} = \dfrac{16}{656} \approx 0{,}024$
Stap 3 — Interpreteer het resultaat
De golflengte is toegenomen (verschoven naar rood), wat hoort bij een bron die zich van ons verwijdert.
$\lambda_{\text{waar}} > \lambda_{\text{rust}} \ \Rightarrow\ \text{stelsel beweegt van ons af}$

Resultaat: Resultaat: de roodverschuiving is $z \approx 0{,}024$ . Omdat de waargenomen golflengte groter is dan de rustgolflengte, is de lijn naar het rode uiteinde verschoven en beweegt het sterrenstelsel zich van ons af — precies wat je bij een uitdijend heelal verwacht.

Veelgemaakte fouten

Roodverschuiving verwarren met blauwverschuiving: een gróter wordende golflengte (naar rood) hoort bij een bron die zich verwíjdert, niet bij een die nadert.
In $z = \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda}$ delen door de waargenomen golflengte in plaats van door de rustgolflengte.
Denken dat de aarde het middelpunt van de uitdijing is; in werkelijkheid rekt de ruimte overal uit, zodat elke waarnemer alles ziet wegbewegen.

Actieve herhaling

Een spectraallijn van waterstof heeft in het laboratorium een rustgolflengte van $486\ \text{nm}$ . Bij een ver sterrenstelsel wordt dezelfde lijn waargenomen bij $498\ \text{nm}$ . Bereken de roodverschuiving $z$ en leg uit wat de verschuiving zegt over de beweging van het stelsel.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde (HAVO)

Zonnestelsel en heelal: zwaartekracht, banen en licht

Dit onderwerp behandelt de natuurkunde van het zonnestelsel en het heelal. Je leert hoe de gravitatiekracht

F = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}

twee massa's aantrekt en met het kwadraat van de afstand afneemt, hoe diezelfde kracht als middelpuntzoekende kracht planeten en satellieten in hun baan houdt, en hoe je met de lichtsnelheid de enorme afstanden in het heelal meet. Ten slotte zie je aan de roodverschuiving van sterren dat het heelal uitdijt.

4 Onderdelen~23 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

Zonnestelsel en heelal: zwaartekracht, banen en licht

Kernpunten

Gravitatiekracht tussen twee massa's berekenen

Kernpunten

Gravitatie als middelpuntzoekende kracht en het verband v ~ 1/√r

Kernpunten

Een lichtjaar in meters en de looptijd van zonlicht

Kernpunten

De roodverschuiving van een spectraallijn berekenen

Bronnen

Zonnestelsel en heelal: zwaartekracht, banen en licht

Kernpunten

Gravitatiekracht tussen twee massa's berekenen

Kernpunten

Gravitatie als middelpuntzoekende kracht en het verband v ~ 1/√r

Kernpunten

Een lichtjaar in meters en de looptijd van zonlicht

Kernpunten

De roodverschuiving van een spectraallijn berekenen

Bronnen