Samenvattingen · NatuurkundeNL · HAVO

Kracht en beweging: kinematica en de wetten van Newton

Dit onderwerp behandelt de kern van de mechanica. Eerst leer je beweging beschrijven met (x,t)- en (v,t)-diagrammen — de snelheid als helling, de afgelegde weg als oppervlak — en de versnelling met de bewegingsformules, inclusief de vrije val. Daarna komen de krachten die beweging veroorzaken: benoemen, tekenen, samenstellen en ontbinden in componenten (op de HAVO grafisch en rekenkundig, zonder vectoren), de drie wetten van Newton voor evenwicht en versnelling, en tot slot wrijving, eindsnelheid en het momentenevenwicht (de hefboomwet).

5 Onderdelen~27 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 4

T·0222 / 15

Examenprofiel

Beweging beschrijven met (x,t)- en (v,t)-diagrammen: de snelheid als helling en de afgelegde weg als oppervlak aflezen.Eenparig versnelde beweging berekenen met a = \dfrac{Δv}{Δt} en de formules v = v₀ + a·t en s = v₀ t + \tfrac{1}{2}a t² (inclusief vrije val).Krachten benoemen, tekenen, samenstellen en ontbinden in componenten — grafisch en rekenkundig, zonder vectoren.De wetten van Newton toepassen op evenwicht en versnelling, en het momentenevenwicht Mlinksom = Mrechtsom gebruiken.

Operatoren:berekentekenlees afleg uitverklaartoon aanberedeneerbepaal

basisniveau

Beschrijf beweging met (x,t)- en (v,t)-diagrammen en reken foutloos met de zwaartekracht (F_z = m·g) en de nettokracht langs één richting.

verhoogd niveau

Pas de bewegingsformules en de tweede wet van Newton toe, ontbind krachten op een helling en bepaal onbekende krachten met het momentenevenwicht.

Diepte

Tekst

Inhoud · 5 onderdelen

Kracht en beweging: kinematica en de wetten van Newton

Beweging beschrijven: (x,t)- en (v,t)-diagrammen#

Basisexamenblad-nl

(x,t)-diagram van een eenparige beweging

Afb. 1Bij een eenparige beweging is het (x,t)-diagram een rechte lijn. De helling tussen (2 s; 10 m) en (6 s; 30 m) is (30 − 10)/(6 − 2) = 5,0 m/s: de constante snelheid.

De natuurkunde van beweging begint bij het nauwkeurig beschrijven ervan; dat heet kinematica. De plaats van een voorwerp geef je met de coördinaat

x

, gemeten vanaf een gekozen nulpunt (de oorsprong) langs een as, in meter (m). Verandert de plaats, dan is de verplaatsing

\Delta x = x_{\text{eind}} - x_{\text{begin}}

: het verschil tussen de eind- en de beginpositie. Belangrijk is het onderscheid tussen verplaatsing en afgelegde weg. De verplaatsing heeft een richting — op de HAVO een teken langs de as: naar rechts is meestal positief, naar links negatief — en kan dus ook nul of negatief zijn. De afgelegde weg is de totale lengte van het gevolgde traject en is altijd positief. Wie heen en weer loopt, legt een flinke weg af terwijl de verplaatsing klein of zelfs nul kan zijn.

Om te zeggen hóe snel een voorwerp beweegt, gebruik je de snelheid. De gemiddelde snelheid over een tijdsinterval is de verplaatsing gedeeld door de tijdsduur:

v_{\text{gem}} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}

, met als eenheid meter per seconde (m/s). Je leest dit als „de verplaatsing per seconde”. Deze definitie teken je overzichtelijk in een

(x,t)

-diagram, waarin de plaats

x

verticaal tegen de tijd

t

horizontaal is uitgezet. Twee punten op de grafiek,

(t_1, x_1)

(t_2, x_2)

, bepalen samen de gemiddelde snelheid: het is de verhouding van de verticale verandering

\Delta x

tot de horizontale verandering

\Delta t

tussen die punten — precies de helling van de lijn door beide punten.

De helling is de sleutel tot het aflezen van een

(x,t)

-diagram. De momentane snelheid — de snelheid op één bepaald moment — is de helling (steilheid, richtingscoëfficiënt) van de

(x,t)

-grafiek in dat punt. Loopt de grafiek steil omhoog, dan is de snelheid groot; loopt hij vlak, dan staat het voorwerp bijna stil; daalt de grafiek, dan is de snelheid negatief en beweegt het voorwerp terug. Dit is dezelfde gedachte als bij de raaklijn in de wiskunde: de gemiddelde snelheid hoort bij de helling van de koorde over een interval, de momentane snelheid bij de helling van de raaklijn in één punt. Zo vertaalt de vorm van de

(x,t)

-grafiek zich direct naar het bewegingsgedrag.

Het eenvoudigste geval is de eenparige beweging: een beweging met een constante snelheid. Dan verandert de plaats elke seconde met evenveel, dus is het

(x,t)

-diagram een rechte lijn met een vaste helling, en is het

(v,t)

-diagram een horizontale lijn op de hoogte van die snelheid. In de figuur zie je zo'n rechte

(x,t)

-lijn door de oorsprong,

x(t) = 5 \cdot t

. Met de twee gemarkeerde punten

(2\ \text{s};\ 10\ \text{m})

(6\ \text{s};\ 30\ \text{m})

bereken je de helling:

\dfrac{30 - 10}{6 - 2} = 5\ \text{m/s}

. Die helling is overal op de lijn hetzelfde — dat is juist wat „constante snelheid” betekent — en dus is de snelheid

5{,}0\ \text{m/s}

gedurende de hele beweging.

Naast de helling is er een tweede krachtig afleesinstrument: het oppervlak onder de

(v,t)

-grafiek is gelijk aan de afgelegde weg. Bij een eenparige beweging is die grafiek een horizontale lijn, en het oppervlak eronder een rechthoek met breedte

\Delta t

en hoogte

v

; de weg is dan

s = v \cdot \Delta t

. De eenhedencontrole klopt:

\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}

. Voor de lijn uit de figuur geldt over

8

seconden

s = 5{,}0 \times 8{,}0 = 40\ \text{m}

, precies de eindwaarde die je ook rechtstreeks van de

(x,t)

-grafiek afleest. Onthoud deze twee regels goed, want ze gelden ook bij versnelde bewegingen: de helling van

(x,t)

geeft de snelheid, het oppervlak onder

(v,t)

geeft de afgelegde weg.

v_{\text{gem}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}

gemiddelde snelheid

De verplaatsing gedeeld door de tijdsduur; meetkundig is dit de helling van de (x,t)-grafiek. Eenheid: m/s.

s = v \cdot \Delta t

afgelegde weg bij eenparige beweging

Bij constante snelheid is de weg het oppervlak onder de horizontale (v,t)-grafiek: snelheid maal tijdsduur.

Uitgewerkt voorbeeld

Snelheid en afstand uit een (x,t)-diagram

Een $(x,t)$ -grafiek is een rechte lijn door de oorsprong met $x(t) = 5 \cdot t$ . Bepaal de constante snelheid en de afgelegde weg na $8{,}0$ s.

Stap 1 — Lees twee punten van de lijn af
De grafiek is een rechte lijn; kies twee overzichtelijke roosterpunten.
$(t_1; x_1) = (2\ \text{s};\ 10\ \text{m}), \qquad (t_2; x_2) = (6\ \text{s};\ 30\ \text{m})$
Stap 2 — Bereken de helling (de snelheid)
De helling is de verplaatsing gedeeld door de tijdsduur tussen de twee punten.
$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{30 - 10}{6 - 2} = \frac{20}{4} = 5{,}0\ \text{m/s}$
Stap 3 — Bepaal de afgelegde weg in 8,0 s
De snelheid is constant, dus de weg is snelheid maal tijd (het oppervlak onder de (v,t)-grafiek).
$s = v \cdot t = 5{,}0 \times 8{,}0 = 40\ \text{m}$

Resultaat: De beweging is eenparig met een snelheid van $5{,}0$ m/s. In $8{,}0$ s wordt $40$ m afgelegd — precies het oppervlak onder de horizontale (v,t)-grafiek ( $5{,}0$ m/s maal $8{,}0$ s) én de eindwaarde van de (x,t)-lijn.

Veelgemaakte fouten

De afgelegde weg gelijkstellen aan de verplaatsing bij een heen-en-terugbeweging; bij terugkeer is de verplaatsing klein of nul, maar de afgelegde weg niet.
De helling van een $(x,t)$ -grafiek verwarren met de functiewaarde: de snelheid is de steilheid van de grafiek, niet de hoogte ervan.
Bij het berekenen van de helling $\Delta x$ en $\Delta t$ omdraaien, of de eenheid vergeten en m opschrijven in plaats van m/s.

Actieve herhaling

Een fietser legt volgens een $(x,t)$ -grafiek een rechte lijn af van $(0\ \text{s};\ 0\ \text{m})$ naar $(8{,}0\ \text{s};\ 40\ \text{m})$ . Bereken de snelheid, teken het bijbehorende $(v,t)$ -diagram en bepaal de afgelegde weg via het oppervlak eronder.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Eenparig versnelde beweging en versnelling#

Standaardexamenblad-nl

(v,t)-diagram van een eenparig versnelde beweging

Afb. 2Bij eenparige versnelling is het (v,t)-diagram een rechte lijn met helling a = 3 m/s². Het gearceerde oppervlak van 0 tot 4 s (½ · 4 · 12 = 24 m) is de afgelegde weg.

Zodra de snelheid van een voorwerp verandert, is er sprake van versnelling. De versnelling

a

is de verandering van de snelheid per tijdseenheid:

a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

, met als eenheid meter per seconde per seconde, oftewel

\text{m/s}^2

. Een versnelling van

3\ \text{m/s}^2

betekent dat de snelheid elke seconde met

3\ \text{m/s}

toeneemt. Het teken vertelt de richting van de veranderíng: is

a

positief en beweegt het voorwerp vooruit, dan gaat het sneller; is

a

negatief, dan neemt de snelheid af (vertraging). Versnelling en snelheid zijn dus verschillende grootheden — een voorwerp kan een grote snelheid hebben terwijl de versnelling nul is (eenparige beweging), of juist stilstaan op het moment dat het een grote versnelling ondergaat.

Net als bij de snelheid is er een grafische betekenis. In een

(v,t)

-diagram — de snelheid verticaal, de tijd horizontaal — is de versnelling de helling van de grafiek. Bij een eenparig versnelde beweging is de versnelling constant, dus is het

(v,t)

-diagram een rechte lijn met een vaste helling. In de figuur zie je zo'n lijn,

v(t) = a \cdot t

met

a = 3\ \text{m/s}^2

, die vanuit de oorsprong schuin omhoogloopt; in het gemarkeerde punt is na

4

s de snelheid

12\ \text{m/s}

. Hoe steiler de

(v,t)

-lijn, hoe groter de versnelling. Een horizontale

(v,t)

-lijn (helling nul) hoort bij

a = 0

, en dat is precies de eenparige beweging uit de vorige paragraaf.

Ook nu geldt dat het oppervlak onder de

(v,t)

-grafiek de afgelegde weg is. Bij een beweging vanuit stilstand is dat oppervlak een driehoek. In de figuur is het gearceerde gebied van

t = 0

tot

t = 4\ \text{s}

een driehoek met basis

4\ \text{s}

en hoogte

12\ \text{m/s}

, dus met oppervlak

\tfrac{1}{2} \times 4 \times 12 = 24\ \text{m}

. Algemeen is de weg voor een start vanuit stilstand

s = \tfrac{1}{2} \cdot t \cdot v

, en omdat

v = a \cdot t

wordt dat

s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

. Zo leid je uit het oppervlak onder de grafiek meteen de bewegingsformule af — een mooi voorbeeld van hoe een grafiek en een formule hetzelfde verhaal vertellen.

Voor de algemene eenparig versnelde beweging, met een beginsnelheid

v_0

, gelden twee kernformules. De snelheid neemt lineair toe volgens

v = v_0 + a \cdot t

. De afgelegde weg is

s = v_0 \cdot t + \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

. Die wegformule herken je terug in het

(v,t)

-diagram: het oppervlak onder de grafiek bestaat uit een rechthoek met hoogte

v_0

(de term

v_0 \cdot t

) plus de driehoek van de versnelling (de term

\tfrac{1}{2} a t^2

). Begint het voorwerp vanuit stilstand, dan is

v_0 = 0

en blijven de bekende vormen

v = a \cdot t

s = \tfrac{1}{2} a t^2

over. Let goed op de kwadratering: de weg groeit met

t^2

, dus in twee keer zo veel tijd leg je bij vaste versnelling vier keer zo veel weg af.

Het belangrijkste voorbeeld van een constante versnelling is de vrije val. Vlak bij het aardoppervlak trekt de zwaartekracht elk voorwerp met dezelfde versnelling naar beneden: de valversnelling

g = 9{,}81\ \text{m/s}^2

(op te zoeken in BINAS). Verwaarloos je de luchtwrijving, dan vallen een steen en een veertje even snel — een verrassend resultaat dat pas met de tweede wet van Newton echt te begrijpen is (zie verderop). Voor een vrije val uit stilstand gelden dus

v = g \cdot t

s = \tfrac{1}{2} g t^2

. Met deze formules bereken je in het uitgewerkte voorbeeld de valsnelheid en de valafstand na een paar seconden. Zo verbindt dit domein de beschrijving van beweging (kinematica) rechtstreeks met de oorzaak ervan: de kracht.

a = \frac{\Delta v}{\Delta t}

versnelling

De verandering van de snelheid per tijdseenheid; meetkundig de helling van de (v,t)-grafiek. Eenheid: m/s².

v = v_0 + a \cdot t

snelheid bij eenparige versnelling

De snelheid neemt lineair toe vanaf de beginsnelheid v0 met de constante versnelling a.

s = v_0 \cdot t + \tfrac{1}{2}\, a \cdot t^{2}

afgelegde weg

Het oppervlak onder de (v,t)-grafiek: de rechthoek v0·t plus de driehoek ½·a·t². Bij start uit stilstand (v0 = 0) blijft s = ½·a·t² over.

Uitgewerkt voorbeeld

Vrije val: snelheid en valafstand na 2,0 s

Een steen valt uit stilstand ( $v_0 = 0$ ). Neem $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ . Bereken de snelheid en de valafstand na $2{,}0$ s.

Stap 1 — Bereken de snelheid na 2,0 s
Vrije val uit stilstand: gebruik v = v0 + g·t met v0 = 0.
$v = v_0 + g \cdot t = 0 + 9{,}81 \times 2{,}0 = 19{,}62 \approx 19{,}6\ \text{m/s}$
Stap 2 — Vul de wegformule in
Met v0 = 0 vervalt de eerste term; werk de kwadratering van t uit.
$s = v_0 \cdot t + \tfrac{1}{2}\, g \cdot t^{2} = 0 + \tfrac{1}{2} \times 9{,}81 \times (2{,}0)^{2}$
Stap 3 — Reken de valafstand uit
Neem eerst het kwadraat, vermenigvuldig daarna.
$s = \tfrac{1}{2} \times 9{,}81 \times 4{,}0 = 19{,}62 \approx 19{,}6\ \text{m}$

Resultaat: Na $2{,}0$ s valt de steen met een snelheid van ongeveer $19{,}6$ m/s en heeft dan ongeveer $19{,}6$ m afgelegd. Dat de snelheid en de weg hier hetzelfde getal opleveren, is toeval bij precies $t = 2{,}0$ s; bij een andere tijd verschillen ze.

Veelgemaakte fouten

$\tfrac{1}{2}a t^2$ schrijven als $\tfrac{1}{2}(a t)^2$ , of de kwadratering van $t$ helemaal vergeten.
Vergeten dat de weg kwadratisch met de tijd toeneemt ( $s \propto t^2$ ) en de valafstand lineair schatten.
De versnelling verwarren met de snelheid: $a$ is de helling van de $(v,t)$ -grafiek, niet de hoogte ervan.

Actieve herhaling

Een auto versnelt vanuit stilstand eenparig met $a = 3{,}0\ \text{m/s}^2$ . Bereken de snelheid na $5{,}0$ s en de in die tijd afgelegde weg, en teken het $(v,t)$ -diagram met het oppervlak dat de weg voorstelt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Krachten: soorten, samenstellen en ontbinden#

Standaardexamenblad-nl

Krachten op een rijdende auto

Afb. 3Krachtenschema van een auto. Verticaal zijn F_z en F_N in evenwicht; horizontaal bepaalt de nettokracht F_motor − F_w of de auto versnelt.

Een kracht is de natuurkundige grootheid die de beweging van een voorwerp kan veranderen of het kan vervormen: een duw of een trek. Het symbool is

F

en de eenheid de newton (N). Een kracht heeft een grootte én een richting, maar op de HAVO reken je er níét mee als vector: je werkt met krachten langs één richting (optellen en aftrekken met een teken) en met componenten, en je tekent ze in een krachtenschema (vrijlichaamsschema). In zo'n schema teken je het voorwerp los en zet je vanuit één punt pijlen voor alle krachten die erop werken; de lengte van een pijl geeft de grootte, de richting van de pijl de richting van de kracht. Zo houd je overzicht over welke krachten meedoen en welke kant ze op wijzen.

Een paar krachten kom je steeds tegen. De zwaartekracht

F_z = m \cdot g

werkt op elke massa en wijst altijd recht naar beneden, naar het middelpunt van de aarde; met

g = 9{,}81\ \text{m/s}^2

(of

9{,}81\ \text{N/kg}

) is

F_z

voor

1\ \text{kg}

bijna

10\ \text{N}

. De normaalkracht

F_N

is de kracht waarmee een oppervlak terugduwt, altijd loodrecht op dat oppervlak. De spankracht

F_{\text{span}}

is de trekkracht in een gespannen touw of draad. De wrijvingskracht

F_w

werkt langs het oppervlak, tegengesteld aan de (dreigende) beweging. Let op een veelgemaakte fout: de normaalkracht is niet automatisch even groot als de zwaartekracht — op een helling of bij een extra duw of trek verschilt

F_N

van

F_z

Een bijzondere kracht is de veerkracht. Rek je een veer uit over een afstand

u

(de uitrekking), dan trekt de veer terug met een kracht die recht evenredig is met die uitrekking: de wet van Hooke,

F_{\text{veer}} = C \cdot u

. Hierin is

C

de veerconstante in newton per meter (N/m); een grote

C

hoort bij een stugge veer. In een

(F,u)

-diagram is dit verband een rechte lijn door de oorsprong met helling

C

. De evenredigheid geldt zolang je de veer niet te ver uitrekt, dus binnen het elastische gebied. De veerkracht is niet alleen nuttig bij veren zelf, maar dient ook als model voor de elastische vervorming van materialen, dat later terugkomt bij het spanning-rekdiagram.

Werken er meerdere krachten op één voorwerp, dan telt alleen hun gezamenlijke effect: de nettokracht of resultante

F_{\text{res}}

. Langs één rechte lijn bepaal je die eenvoudig door de krachten met hun teken op te tellen: krachten in dezelfde richting versterken elkaar, tegengestelde krachten trek je van elkaar af. In de figuur zie je de krachten op een rijdende auto: de motorkracht

F_{\text{motor}}

vooruit, de wrijvingskracht

F_w

(gestippeld) naar achteren, en verticaal de zwaartekracht

F_z

omlaag tegenover de normaalkracht

F_N

omhoog. Verticaal heffen

F_z

F_N

elkaar op, zodat de auto niet door de weg zakt; horizontaal is de nettokracht

F_{\text{motor}} - F_w

, en die bepaalt of de auto versnelt of vertraagt.

Wijst een kracht schuin — zoals de zwaartekracht op een voorwerp op een helling — dan is het handig om hem te ontbinden in twee componenten die loodrecht op elkaar staan. Bij een helling kies je een component langs het hellingvlak en een component loodrecht op het vlak. De component langs het vlak trekt het voorwerp naar beneden langs de helling; de component loodrecht op het vlak wordt opgevangen door de normaalkracht. Op de HAVO doe je dit ontbinden grafisch — met een netjes op schaal getekende krachtenrechthoek — of rekenkundig met de gegeven meetkunde van de situatie, niet met vectoroptelling. Samenstellen (krachten tot één resultante combineren) en ontbinden (één kracht in componenten splitsen) zijn zo elkaars tegengestelde bewerkingen, en samen vormen ze het gereedschap voor de wetten van Newton.

F_z = m \cdot g

zwaartekracht

De massa maal de valversnelling g = 9,81 m/s² (of 9,81 N/kg). De eenheid van kracht is de newton (N).

F_{\text{veer}} = C \cdot u

veerkracht (wet van Hooke)

De veerkracht is recht evenredig met de uitrekking u; C is de veerconstante in N/m.

F_{\text{res}} = F_{\text{voor}} - F_{\text{tegen}}

nettokracht langs één richting

De resultante langs één as: krachten mee tellen positief, krachten tegen tellen negatief.

Uitgewerkt voorbeeld

Nettokracht op een rijdende auto

Op een auto werkt een motorkracht $F_{\text{motor}} = 3000\ \text{N}$ vooruit en een totale wrijvingskracht $F_w = 1200\ \text{N}$ naar achteren. Bereken de nettokracht.

Stap 1 — Kies een positieve richting
Neem de rijrichting (vooruit) positief. De motorkracht is dan positief, de wrijvingskracht negatief.
$F_{\text{motor}} = +3000\ \text{N}, \qquad F_w = -1200\ \text{N}$
Stap 2 — Tel de krachten langs de rijrichting op
De nettokracht is de som van beide krachten met hun teken.
$F_{\text{res}} = F_{\text{motor}} - F_w = 3000 - 1200 = 1800\ \text{N}$

Resultaat: De nettokracht is $1800$ N in de rijrichting. Omdat deze niet nul is, versnelt de auto vooruit — hoe hard, volgt uit de tweede wet van Newton in de volgende paragraaf.

Veelgemaakte fouten

De zwaartekracht en de normaalkracht altijd even groot noemen; op een helling of bij een extra kracht is $F_N$ niet gelijk aan $F_z$ .
Massa (in kg) en gewicht of zwaartekracht (in N) door elkaar halen; gebruik $F_z = m\cdot g$ met $g = 9{,}81\ \text{N/kg}$ .
Krachten in verschillende richtingen zomaar bij elkaar optellen zonder op de richting (het teken) te letten.

Actieve herhaling

Een blok van $2{,}0$ kg hangt stil aan een veer met veerconstante $C = 50\ \text{N/m}$ . Bereken de zwaartekracht op het blok en de uitrekking $u$ van de veer, gebruikmakend van het evenwicht $F_{\text{veer}} = F_z$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De wetten van Newton#

Standaardexamenblad-nl

Kracht op een helling — ontbinding

Afb. 4Op een helling wordt de zwaartekracht ontbonden. F_N houdt de loodrechte component tegen; langs de helling werken de component F_z,x omlaag en de wrijving F_w (gestippeld) omhoog.

Isaac Newton vatte het verband tussen kracht en beweging samen in drie wetten die samen de basis van de mechanica vormen. Ze beantwoorden de vraag: wat doet een kracht met de beweging van een voorwerp? De eerste wet beschrijft wat er gebeurt zónder nettokracht, de tweede wet wát een nettokracht precies veroorzaakt, en de derde wet hoe krachten altijd in paren tussen twee voorwerpen optreden. Wie deze drie wetten goed uit elkaar houdt en op de juiste situatie toepast — evenwicht óf versnelling — kan vrijwel elke mechanica-opgave op het examen aan. We lopen ze één voor één langs en passen ze daarna toe op het voorbeeld van een voorwerp op een helling.

De eerste wet van Newton, de traagheidswet, zegt: als de nettokracht op een voorwerp nul is, blijft zijn snelheid onveranderd. Een voorwerp in rust blijft in rust, en een bewegend voorwerp beweegt met constante snelheid rechtdoor. Deze toestand — nettokracht nul — heet evenwicht, kort geschreven als

\sum F = 0

(de som van alle krachten is nul). Dat er evenwicht is, betekent níét dat er geen krachten zijn: op een boek op tafel werken de zwaartekracht omlaag en de normaalkracht omhoog, maar die heffen elkaar precies op. De neiging van een voorwerp om zijn bewegingstoestand te behouden heet traagheid; daardoor schiet je naar voren als een auto plotseling remt — je lichaam „wil” met dezelfde snelheid door.

De tweede wet van Newton legt het verband tussen de nettokracht en de versnelling:

F_{\text{res}} = m \cdot a

. Een nettokracht geeft een voorwerp een versnelling die in dezelfde richting wijst als die kracht, recht evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa:

a = \dfrac{F_{\text{res}}}{m}

. Een twee keer zo grote kracht geeft een twee keer zo grote versnelling; een twee keer zo grote massa juist de helft. Deze wet verklaart ook de vrije val: op een massa

m

werkt de zwaartekracht

F_z = m \cdot g

, dus de versnelling is

a = \dfrac{m \cdot g}{m} = g

— onafhankelijk van de massa. Daarom vallen alle voorwerpen (zonder luchtwrijving) even snel, precies zoals in het domein hiervoor werd aangekondigd.

De derde wet van Newton gaat over krachtenparen: oefent voorwerp A een kracht uit op voorwerp B, dan oefent B een even grote, tegengesteld gerichte kracht uit op A — actie is min reactie. Cruciaal is dat deze twee krachten op verschíllende voorwerpen werken; ze heffen elkaar daarom niet op bij één van beide. Loop je vooruit, dan duw jij met je voet naar achteren tegen de grond (actie) en duwt de grond jou naar voren (reactie) — die voorwaartse reactiekracht laat je lopen. Een raket stoot gassen naar achteren en wordt zelf naar voren geduwd. Verwar dit paar nooit met evenwicht uit de eerste wet: bij evenwicht werken tegengestelde krachten op hetzelfde voorwerp, bij actie en reactie op twee verschillende voorwerpen.

Toepassen betekent eerst kiezen: is er evenwicht (eerste wet,

\sum F = 0

) of een nettokracht en dus versnelling (tweede wet)? In de figuur staat een blok op een helling. De zwaartekracht

F_z

wijst recht omlaag en wordt ontbonden in een component langs de helling,

F_{z,x}

, en een component loodrecht op de helling. Loodrecht op het vlak is er evenwicht: de normaalkracht

F_N

houdt de loodrechte component tegen. Langs het vlak trekt

F_{z,x}

het blok omlaag, terwijl de wrijvingskracht

F_w

(gestippeld) tegenwerkt. Is

F_{z,x}

groter dan

F_w

, dan is er langs de helling een nettokracht en versnelt het blok naar beneden volgens

F_{z,x} - F_w = m \cdot a

. Zo combineer je ontbinden, evenwicht en de tweede wet in één redenering.

F_{\text{res}} = m \cdot a

tweede wet van Newton

De nettokracht is massa maal versnelling; de versnelling wijst in de richting van de nettokracht. Omgeschreven: a = F_res / m.

\sum F = 0

evenwicht (eerste wet)

Is de som van alle krachten nul, dan verandert de snelheid niet: het voorwerp staat stil of beweegt eenparig.

F_{\text{actie}} = -F_{\text{reactie}}

derde wet van Newton

Actie en reactie zijn even groot en tegengesteld gericht, maar werken op twee verschillende voorwerpen.

Uitgewerkt voorbeeld

Versnelling uit de tweede wet van Newton

Op een kar met massa $m = 4{,}0\ \text{kg}$ werkt een nettokracht van $10\ \text{N}$ . Bereken de versnelling.

Stap 1 — Kies de juiste wet
Er is een nettokracht, dus de kar versnelt: gebruik de tweede wet en schrijf hem om naar a.
$F_{\text{res}} = m \cdot a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{F_{\text{res}}}{m}$
Stap 2 — Vul de gegevens in
Deel de nettokracht door de massa.
$a = \frac{10}{4{,}0} = 2{,}5\ \text{m/s}^{2}$

Resultaat: De versnelling is $2{,}5\ \text{m/s}^2$ , in dezelfde richting als de nettokracht. Zolang die nettokracht gelijk blijft, is de beweging eenparig versneld en gelden de bewegingsformules uit de tweede paragraaf.

Veelgemaakte fouten

Actie en reactie op hetzelfde voorwerp tekenen (dan zouden ze elkaar opheffen); ze werken juist op twee verschillende voorwerpen.
Bij evenwicht denken dat er geen krachten zijn, terwijl de nettokracht nul is maar de afzonderlijke krachten niet.
In $F_{\text{res}} = m\cdot a$ de nettokracht verwarren met één losse kracht, of massa en gewicht verwisselen.

Actieve herhaling

Een kar van $4{,}0$ kg ondervindt een voorwaartse trekkracht van $12\ \text{N}$ en een wrijvingskracht van $2{,}0\ \text{N}$ . Bereken de nettokracht en vervolgens de versnelling met de tweede wet van Newton.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Wrijving, eindsnelheid en momenten#

Standaardexamenblad-nl

Naar de eindsnelheid

Afb. 5De snelheid van een vallend voorwerp met luchtwrijving loopt op en vlakt af naar de eindsnelheid (streeplijn bij 12 m/s). Bij t = 6 s is v al ≈ 11,7 m/s, dicht bij de eindsnelheid.

Wrijvingskrachten werken overal waar oppervlakken langs elkaar bewegen of waar een voorwerp door lucht of water gaat. Je onderscheidt onder meer de schuifwrijving tussen twee vaste oppervlakken, de rolwrijving bij een rollend wiel, en de luchtwrijving (luchtweerstand) op een voorwerp dat door de lucht beweegt. Een wrijvingskracht werkt altijd langs het oppervlak of tegen de bewegingsrichting in: ze remt de beweging af. Wrijving is vaak ongewenst (ze kost energie, die in warmte wordt omgezet), maar soms juist onmisbaar — zonder wrijving tussen band en weg zou een auto niet kunnen optrekken of remmen, en zonder wrijving onder je schoenen zou je niet kunnen lopen.

Een belangrijk kenmerk van luchtwrijving is dat ze toeneemt met de snelheid: hoe sneller een voorwerp door de lucht beweegt, hoe groter de tegenwerkende luchtweerstand (bij benadering evenredig met het kwadraat van de snelheid). Bij lage snelheid is de luchtwrijving klein, bij hoge snelheid groot. Juist dit snelheidsafhankelijke gedrag leidt tot een eindsnelheid bij het vallen. Ook de grootte van het frontoppervlak en de vorm spelen mee: een uitgevouwen parachute vangt veel lucht en ondervindt daardoor bij dezelfde snelheid een veel grotere luchtwrijving dan een samengebald lichaam — daarom remt een parachute een parachutist af.

De eindsnelheid begrijp je door de krachten tijdens het vallen te volgen. Op het moment dat een voorwerp begint te vallen, is de snelheid nog nul en is er alleen de zwaartekracht

F_z

; de nettokracht is groot en het voorwerp versnelt. Maar zodra de snelheid groeit, groeit ook de luchtwrijving

F_{\text{lucht}}

, die omhoog gericht is. Daardoor wordt de nettokracht steeds kleiner en neemt de versnelling af. Uiteindelijk wordt de luchtwrijving even groot als de zwaartekracht: dan is

F_{\text{lucht}} = F_z

, de nettokracht is nul, de versnelling wordt

a = 0

en de snelheid blijft constant. Die constante, maximale snelheid heet de eindsnelheid. In de figuur zie je de snelheid vanuit nul oplopen en afvlakken naar de horizontale streeplijn bij de eindsnelheid (

12\ \text{m/s}

De eindsnelheid is een bijzonder geval van krachtenevenwicht in beweging. Uit de eerste wet van Newton volgt immers dat een nettokracht van nul niet alleen bij stilstand hoort, maar ook bij een constante snelheid: is

\sum F = 0

, dan verandert de snelheid niet. Een vallende parachutist die zijn eindsnelheid heeft bereikt, beweegt daarom met een constante (grote) snelheid omlaag — de versnelling is nul, niet de snelheid. Dat is een veelgemaakte denkfout: „geen versnelling” betekent niet „stilstand”. Hetzelfde evenwicht zie je bij een auto die met constante snelheid rijdt (de motorkracht is gelijk aan de totale wrijving) of bij een voorwerp dat eenparig over een tafel schuift.

Krachten kunnen niet alleen versnellen, maar een voorwerp ook laten draaien. Het draaieffect van een kracht om een draaipunt heet het moment:

M = F \cdot r

, waarin

r

de arm is — de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht — met als eenheid newtonmeter (

\text{N}\cdot\text{m}

). Hoe groter de arm, hoe groter het draaieffect: daarom draai je een moer makkelijker los met een lange steeksleutel. Een voorwerp draait niet (het is in momentenevenwicht) als de som van de linksom draaiende momenten gelijk is aan de som van de rechtsom draaiende:

M_{\text{linksom}} = M_{\text{rechtsom}}

. Dit is de hefboomwet. Ze verklaart waarom een licht kind op het lange eind van een wip een zware volwassene op het korte eind in evenwicht kan houden, en waarom spieren dicht bij een gewricht juist grote krachten moeten leveren — het onderwerp van het uitgewerkte voorbeeld.

M = F \cdot r

moment van een kracht

Kracht maal arm, waarbij de arm de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht is. Eenheid: N·m.

M_{\text{linksom}} = M_{\text{rechtsom}}

hefboomwet (momentenevenwicht)

Een voorwerp draait niet als de som van de linksom draaiende momenten gelijk is aan de som van de rechtsom draaiende.

F_{\text{lucht}} = F_z \quad\Rightarrow\quad a = 0

voorwaarde voor de eindsnelheid

Wordt de luchtwrijving even groot als de zwaartekracht, dan is de nettokracht nul en blijft de snelheid constant (de eindsnelheid).

Uitgewerkt voorbeeld

Hefboom: kracht uit het momentenevenwicht

Bij een hefboom werkt een last van $200\ \text{N}$ op een arm van $0{,}30\ \text{m}$ van het draaipunt. Aan de andere kant werkt een spierkracht op een arm van $0{,}040\ \text{m}$ . Bereken de spierkracht die nodig is voor evenwicht.

Stap 1 — Stel het momentenevenwicht op
Om het draaipunt is het moment van de last (linksom) even groot als het moment van de spierkracht (rechtsom).
$M_{\text{linksom}} = M_{\text{rechtsom}} \quad\Rightarrow\quad F_{\text{last}} \cdot r_{\text{last}} = F_{\text{spier}} \cdot r_{\text{spier}}$
Stap 2 — Bereken het moment van de last
Vermenigvuldig de last met haar arm.
$M_{\text{last}} = F_{\text{last}} \cdot r_{\text{last}} = 200 \times 0{,}30 = 60\ \text{N}\cdot\text{m}$
Stap 3 — Bereken de spierkracht
Deel het moment door de korte arm van de spier.
$F_{\text{spier}} = \frac{M_{\text{last}}}{r_{\text{spier}}} = \frac{60}{0{,}040} = 1500\ \text{N}$

Resultaat: De spierkracht is $1500$ N. De korte arm ( $0{,}040$ m) tegenover de veel langere arm van de last vraagt een grote kracht — daarom moeten spieren dicht bij een gewricht flink trekken om een kleinere last op een langere arm in evenwicht te houden.

Veelgemaakte fouten

Denken dat de snelheid bij de eindsnelheid nul is; de snelheid is juist maximaal en constant, het is de versnelling die nul is.
De arm verkeerd kiezen: de arm is de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht, niet de afstand langs de kracht tot het aangrijpingspunt.
Bij momenten de krachten optellen in plaats van de momenten ( $F\cdot r$ ) te vergelijken, of de eenheid N·m vergeten.

Actieve herhaling

Een parachutist valt met constante snelheid (de eindsnelheid). Leg met een krachtenschema uit waarom de versnelling nul is. Bereken daarna bij een hefboom de kracht die op een arm van $0{,}050\ \text{m}$ nodig is om een moment van $90\ \text{N}\cdot\text{m}$ te leveren.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde (HAVO)

Kracht en beweging: kinematica en de wetten van Newton

Kernpunten

Snelheid en afstand uit een (x,t)-diagram

Kernpunten

Vrije val: snelheid en valafstand na 2,0 s

Kernpunten

Nettokracht op een rijdende auto

Kernpunten

Versnelling uit de tweede wet van Newton

Kernpunten

Hefboom: kracht uit het momentenevenwicht

Bronnen