Induzione elettromagnetica

Flusso magnetico e fenomeni di induzione#

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Il punto di partenza dell'induzione elettromagnetica è una grandezza geometrica e fisica insieme: il flusso del campo magnetico concatenato con una superficie. Dato un campo magnetico uniforme di intensità B che attraversa una superficie piana di area A, il flusso misura «quanto campo» passa attraverso quella superficie, tenendo conto dell'orientamento reciproco fra il campo e la superficie. Si definisce mediante il prodotto scalare fra il vettore campo e il vettore superficie, il cui modulo è A e la cui direzione è quella della normale al piano.

Negli anni Trenta dell'Ottocento Michael Faraday in Inghilterra e Joseph Henry negli Stati Uniti osservarono, indipendentemente, che un circuito chiuso privo di generatori può essere percorso da corrente quando varia il campo magnetico nelle sue vicinanze. Faraday verificò che avvicinando o allontanando un magnete da una spira, oppure aprendo o chiudendo l'interruttore di un circuito vicino, si manifesta una corrente nella spira: questa corrente è detta corrente indotta e cessa non appena il campo torna costante.

La conclusione decisiva è che non è il campo magnetico in sé a produrre la corrente, ma la sua variazione nel tempo: una spira immersa in un campo costante, per quanto intenso, non è sede di alcuna corrente indotta. Ciò che conta è che il flusso concatenato cambi, e il flusso può variare in tre modi distinti: variando l'intensità del campo, variando l'area della porzione di circuito immersa nel campo, oppure variando l'orientamento del circuito rispetto al campo (Fig. 1).

I tre modi di variare il flusso concatenato

Questo terzo meccanismo — la variazione dell'orientamento mediante rotazione — è alla base dei generatori elettrici e verrà ripreso nella quarta sezione. Per ora è importante fissare l'idea fondante di tutto il capitolo: ogni volta che il flusso magnetico concatenato con un circuito chiuso cambia, nel circuito compare una forza elettromotrice (f.e.m.) indotta che, se il circuito è chiuso, mette in moto una corrente indotta.

\Phi(\vec{B}) = \vec{B} \cdot \vec{A} = B\,A\cos\theta

Flusso magnetico

Flusso del campo magnetico uniforme attraverso una superficie piana di area A; theta è l'angolo fra il campo e la normale alla superficie. L'unità di misura nel SI è il weber (1 Wb = 1 T m^2).

\Phi_{\text{conc}} = N\,B\,A\cos\theta

Flusso concatenato (N spire)

Per una bobina di N spire il flusso concatenato è N volte quello di una singola spira: è questa la grandezza la cui derivata compare nella legge di Faraday-Neumann.

Esempio svolto

Flusso concatenato con una spira inclinata

Una spira quadrata di lato 12 cm è immersa in un campo magnetico uniforme di intensità 0,40 T. Calcola il flusso concatenato quando il piano della spira è perpendicolare al campo e quando la normale alla spira forma un angolo di 60° con il campo.

Calcolo dell'area
Il lato è L = 12 cm = 0,12 m, quindi l'area della spira quadrata è A = L^2.
Piano perpendicolare al campo
Se il piano della spira è perpendicolare a B, la normale è parallela a B e theta = 0°, dunque cos theta = 1.
Normale a 60° dal campo
Ora theta = 60° e cos 60° = 0,50: il flusso si dimezza rispetto al caso precedente.

Risultato: Il flusso concatenato vale circa 5,8 mWb quando il piano è perpendicolare al campo e circa 2,9 mWb quando la normale forma 60° con il campo.

Errori frequenti

Ritenere che un campo magnetico forte ma costante generi comunque una corrente indotta: senza variazione del flusso non vi è alcuna f.e.m. indotta.
Dimenticare l'angolo fra il campo e la normale alla superficie nel calcolo del flusso, usando sempre B·A come se il campo fosse sempre perpendicolare al piano della spira.

Approfondimento

L'induzione ha in realtà DUE origini fisiche distinte che la legge di Faraday unifica in un'unica formula. Quando è il circuito a muoversi o a deformarsi in un campo statico (f.e.m. «cinetica» o motional), la forza elettromotrice nasce dalla forza di Lorentz «qv × B» sulle cariche del conduttore in moto: è meccanica pura. Quando invece è il campo a variare mentre il circuito è fermo, le cariche sono ferme e la forza di Lorentz non agisce: deve esistere allora un CAMPO ELETTRICO indotto, generato dalla variazione di «B». È l'idea rivoluzionaria che porterà a una delle equazioni di Maxwell — un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico non conservativo, con linee chiuse. Il flusso concatenato con una bobina di «N» spire è «Φ_conc = N·B·A·cosθ», e sono proprio i tre fattori «B», «A» e «θ» a offrire i tre modi per farlo variare: su ciascuno si fonda un dispositivo reale — l'elettromagnete pulsante (varia «B»), la sbarretta su rotaie (varia «A»), l'alternatore (varia «θ»).

Ripasso attivo

Una spira quadrata di lato 12 cm è immersa in un campo magnetico uniforme di intensità 0,40 T. Calcola il flusso concatenato quando il piano della spira è perpendicolare al campo e quando la normale alla spira forma un angolo di 60° con il campo.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Legge di Faraday-Neumann e legge di Lenz#

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La legge di Faraday-Neumann traduce in formula l'osservazione qualitativa di Faraday: la forza elettromotrice indotta in un circuito è pari all'opposto della rapidità con cui varia il flusso magnetico concatenato. In termini medi, la f.e.m. è uguale a meno il rapporto fra la variazione del flusso e l'intervallo di tempo in cui essa avviene; in termini istantanei, è meno la derivata del flusso rispetto al tempo. Più rapida è la variazione del flusso, più intensa è la f.e.m. indotta.

Il segno meno che compare nella formula è il contenuto della legge di Lenz, formulata da Heinrich Lenz nel 1834: la corrente indotta circola sempre in modo da opporsi alla variazione di flusso che la genera. Se il flusso concatenato aumenta, la corrente indotta crea un campo magnetico che tende a contrastare l'aumento; se il flusso diminuisce, la corrente indotta tende a sostenerlo. La legge di Lenz fissa dunque il verso della corrente indotta (Fig. 2).

Legge di Lenz: verso della corrente indotta

La legge di Lenz non è un principio indipendente: è la manifestazione del principio di conservazione dell'energia nei fenomeni di induzione. Se la corrente indotta favorisse anziché ostacolare la variazione di flusso, un magnete avvicinato a una spira verrebbe accelerato spontaneamente, generando energia dal nulla. Al contrario, per far variare il flusso occorre compiere un lavoro contro la forza che la corrente indotta esercita, e questo lavoro si ritrova come energia elettrica dissipata nel circuito per effetto Joule.

Un caso quantitativo particolarmente istruttivo è quello della sbarretta conduttrice che scorre con velocità costante su due rotaie immerse in un campo magnetico perpendicolare al piano del circuito. Mentre la sbarretta avanza, l'area del circuito aumenta, il flusso cresce e nasce una f.e.m. indotta di modulo pari al prodotto del campo, della lunghezza della sbarretta e della sua velocità. È la cosiddetta f.e.m. cinetica o «motional». Le correnti indotte che si chiudono attraverso una massa metallica estesa, infine, prendono il nome di correnti di Foucault o correnti parassite, sfruttate nei freni elettromagnetici e responsabili del riscaldamento nei nuclei dei trasformatori.

\mathcal{E} = -\,\frac{\Delta \Phi(\vec{B})}{\Delta t}

Faraday-Neumann (f.e.m. media)

La f.e.m. media indotta è l'opposto del rapporto fra la variazione del flusso concatenato e l'intervallo di tempo. Per una bobina di N spire il flusso concatenato è N volte quello della singola spira.

\mathcal{E} = -\,\frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}

Faraday-Neumann (forma istantanea)

In forma istantanea la f.e.m. è meno la derivata del flusso rispetto al tempo; il segno meno è il contenuto della legge di Lenz.

\mathcal{E} = B\,\ell\,v

F.e.m. cinetica della sbarretta

Modulo della f.e.m. indotta in una sbarretta di lunghezza l che si muove con velocità v perpendicolarmente a un campo uniforme B; deriva da Faraday-Neumann poiché l'area varia di l*v ad ogni unità di tempo.

Esempio svolto

F.e.m. indotta in una bobina e verso della corrente

Una bobina di 200 spire di area 50 cm^2 è immersa in un campo magnetico perpendicolare al suo piano. Il campo passa uniformemente da 0,80 T a 0,20 T in 0,30 s. Determina il modulo della f.e.m. media indotta e, applicando la legge di Lenz, discuti il verso della corrente indotta.

Dati e area in unità SI
Il numero di spire è N = 200, l'area è A = 50 cm^2 = 50 10^-4 m^2 = 5,0 10^-3 m^2. Il campo, perpendicolare al piano, dà theta = 0°.
Variazione del flusso di una spira
Poiché theta = 0°, il flusso di una spira è Phi = B*A. La variazione è dovuta alla sola variazione del campo: Delta B = 0,20 - 0,80 = -0,60 T.
F.e.m. media della bobina
Per N spire la f.e.m. è N volte quella di una singola spira; in modulo si divide la variazione di flusso per il tempo.
Verso per la legge di Lenz
Il flusso concatenato diminuisce (il campo cala): la corrente indotta circola in modo da creare un campo magnetico concorde con quello esterno, per opporsi alla diminuzione e tendere a mantenere il flusso.

Risultato: La f.e.m. media indotta ha modulo 2,0 V; la corrente indotta circola nel verso che genera un campo concorde con quello applicato, opponendosi alla sua diminuzione.

Errori frequenti

Confondere il modulo della f.e.m. con il suo segno: la legge di Faraday-Neumann dà l'intensità della f.e.m., mentre la legge di Lenz, espressa dal segno meno, ne stabilisce il verso opponendosi alla variazione.
Nel calcolo della f.e.m. media, dividere per il tempo solo la variazione del campo dimenticando che possono variare anche area e orientamento, oppure usare il flusso finale anziché la sua variazione.

Approfondimento

La f.e.m. cinetica della sbarretta si ricava in due modi che devono coincidere, e la loro coincidenza è la prova della coerenza della teoria. Dal punto di vista della forza di Lorentz, sulle cariche della sbarretta in moto con velocità «v» agisce una forza «qvB» che le separa fino a stabilire una d.d.p. ai capi «fem = B·L·v». Dal punto di vista del flusso, in un tempo «dt» l'area cresce di «L·v·dt», quindi «dΦ = B·L·v·dt» e «fem = dΦ/dt = B·L·v»: stesso risultato. Il bilancio energetico chiude il cerchio: per far avanzare la sbarretta a velocità costante occorre una forza che vinca la forza magnetica «B·i·L» sulla corrente indotta, e la potenza meccanica spesa «F·v = B·i·L·v = fem·i» è ESATTAMENTE la potenza elettrica dissipata per effetto Joule. Nessuna energia si crea dal nulla: la legge di Lenz è la conservazione dell'energia travestita da segno meno. Le correnti di Foucault indotte nelle masse metalliche estese frenano il moto (freni elettromagnetici dei treni) e riscaldano i nuclei — ed è per contrastarle che i nuclei dei trasformatori si laminano.

Ripasso attivo

Una bobina di 200 spire di area 50 cm^2 è immersa in un campo magnetico perpendicolare al suo piano. Il campo passa uniformemente da 0,80 T a 0,20 T in 0,30 s. Determina il modulo della f.e.m. media indotta e, applicando la legge di Lenz, discuti il verso della corrente indotta.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Autoinduzione, induttanza ed energia del campo magnetico#

ApprofondimentoOSA-fisica-elettromagnetismo-induzione

L'autoinduzione è il fenomeno per cui un circuito percorso da corrente variabile induce una f.e.m. su sé stesso. La corrente che percorre il circuito genera infatti un proprio campo magnetico e quindi un flusso concatenato con il circuito stesso; se la corrente varia, varia anche questo flusso autoindotto, e per la legge di Faraday-Neumann compare una f.e.m. autoindotta che, per la legge di Lenz, si oppone alla variazione di corrente. È per questo che l'autoinduzione viene talvolta descritta come una sorta di «inerzia elettrica».

Il flusso autoconcatenato è proporzionale alla corrente che lo genera, e la costante di proporzionalità è una caratteristica geometrica del circuito chiamata induttanza, indicata con L e misurata in henry (H). Quanto maggiore è l'induttanza, tanto più intensa è la f.e.m. autoindotta a parità di rapidità di variazione della corrente. Un componente costruito per avere un'induttanza elevata e ben definita è l'induttore, realizzato tipicamente come un solenoide (Fig. 3).

Induttore a solenoide e flusso autoconcatenato

La f.e.m. autoindotta è dunque proporzionale, attraverso l'induttanza, alla rapidità di variazione della corrente, con il segno meno della legge di Lenz. Questo spiega perché, nei circuiti con induttanza, la corrente non può variare istantaneamente: alla chiusura di un circuito la corrente cresce gradualmente, e all'apertura la f.e.m. autoindotta può raggiungere valori molto elevati, all'origine delle scintille agli interruttori.

Stabilire una corrente in un induttore richiede di compiere lavoro contro la f.e.m. autoindotta: questo lavoro non si dissipa, ma si immagazzina nel circuito sotto forma di energia del campo magnetico. L'energia accumulata in un induttore percorso da corrente è proporzionale all'induttanza e al quadrato della corrente. Si tratta del corrispettivo magnetico dell'energia immagazzinata in un condensatore carico: come il condensatore conserva energia nel campo elettrico, l'induttore la conserva nel campo magnetico.

\Phi_{\text{auto}} = L\,i

Definizione di induttanza

Il flusso autoconcatenato è proporzionale alla corrente; la costante L è l'induttanza, misurata in henry (1 H = 1 Wb/A).

\mathcal{E}_L = -\,L\,\frac{\Delta i}{\Delta t}

F.e.m. autoindotta

La f.e.m. autoindotta è proporzionale, tramite l'induttanza, alla rapidità di variazione della corrente; il segno meno (legge di Lenz) indica che si oppone a tale variazione.

U_L = \tfrac{1}{2}\,L\,i^2

Energia del campo magnetico

Energia immagazzinata in un induttore percorso da corrente i; è il corrispettivo magnetico dell'energia di un condensatore carico.

Esempio svolto

F.e.m. autoindotta ed energia di un induttore

In un induttore di induttanza 0,50 H la corrente cresce uniformemente da 0 a 2,0 A in 0,40 s. Calcola il modulo della f.e.m. autoindotta durante la variazione e l'energia immagazzinata nel campo magnetico quando la corrente raggiunge 2,0 A.

Rapidità di variazione della corrente
La corrente cresce uniformemente, quindi il rapporto Delta i / Delta t è costante: Delta i = 2,0 A in Delta t = 0,40 s.
F.e.m. autoindotta in modulo
Si applica la formula della f.e.m. autoindotta, considerando il modulo (il segno meno indica solo che si oppone alla crescita della corrente).
Energia immagazzinata a regime
Quando la corrente raggiunge i = 2,0 A, l'energia del campo magnetico si ottiene dalla formula con un mezzo di L per il quadrato della corrente.

Risultato: La f.e.m. autoindotta ha modulo 2,5 V durante la crescita della corrente; a corrente di 2,0 A l'energia immagazzinata nel campo magnetico è 1,0 J.

Errori frequenti

Pensare che la f.e.m. autoindotta dipenda dal valore della corrente: essa dipende dalla rapidità di variazione della corrente, non dalla corrente in sé (a corrente costante la f.e.m. autoindotta è nulla).
Confondere l'unità dell'induttanza (henry) con quella del flusso (weber) o sbagliare la formula dell'energia usando L*i anziché un mezzo di L per il quadrato di i.

Approfondimento

L'induttore introduce nei circuiti una vera «inerzia elettrica»: la f.e.m. autoindotta «fem = −L·(di/dt)» si oppone a ogni variazione di corrente, e in un circuito RL con generatore la corrente non salta al valore finale ma cresce esponenzialmente, «i(t) = (fem/R)·(1 − e^(−t/τ))», con costante di tempo «τ = L/R» — l'analogo magnetico del circuito RC, con «L» nel ruolo della massa e «R» in quello dell'attrito. L'energia immagazzinata vale «W = ½L·i²», il gemello magnetico di «½C·V²»; e come per il condensatore, quell'energia risiede nel CAMPO, con densità «u = B²/(2μ₀)». Sommata alla densità elettrica «½ε₀E²», questa espressione darà l'energia trasportata dalle onde elettromagnetiche. L'apertura brusca di un circuito induttivo, dove «di/dt» è enorme, produce sovratensioni che generano scintille e possono danneggiare gli interruttori: per questo si inseriscono diodi di richiamo o reti di protezione.

Ripasso attivo

In un induttore di induttanza 0,50 H la corrente cresce uniformemente da 0 a 2,0 A in 0,40 s. Calcola il modulo della f.e.m. autoindotta durante la variazione e l'energia immagazzinata nel campo magnetico quando la corrente raggiunge 2,0 A.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Corrente alternata, alternatore e trasformatore#

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Schema del trasformatore

L'applicazione tecnologica più importante dell'induzione è l'alternatore, il dispositivo che converte energia meccanica in energia elettrica. Una spira (o una bobina) fatta ruotare con velocità angolare costante all'interno di un campo magnetico uniforme vede variare nel tempo l'orientamento del proprio piano rispetto al campo: di conseguenza il flusso concatenato varia in modo sinusoidale e, per la legge di Faraday-Neumann, la f.e.m. indotta risulta anch'essa sinusoidale (Fig. 4).

F.e.m. alternata generata da una spira rotante

La f.e.m. generata da una spira rotante è perciò una funzione sinusoidale del tempo, con ampiezza (valore di picco) proporzionale al numero di spire, all'area, all'intensità del campo e alla velocità angolare di rotazione, e con la stessa pulsazione della rotazione. Una f.e.m. di questo tipo, alternativamente positiva e negativa, produce in un circuito chiuso una corrente alternata, che è la forma in cui l'energia elettrica viene prodotta e distribuita nelle reti civili.

Per il trasporto a grande distanza dell'energia elettrica è essenziale poter elevare la tensione (riducendo così l'intensità di corrente e le perdite per effetto Joule nelle linee) e poi riabbassarla per l'uso domestico. Questo compito è svolto dal trasformatore, che funziona solo in corrente alternata e si basa sull'induzione tramite mutua induzione fra due avvolgimenti accoppiati da un nucleo ferromagnetico comune.

In un trasformatore ideale il rapporto fra la tensione del secondario e quella del primario è uguale al rapporto fra il numero di spire dei due avvolgimenti. Poiché in assenza di perdite la potenza si conserva, a un aumento della tensione corrisponde una diminuzione proporzionale della corrente. La presenza del nucleo introduce però le correnti di Foucault, ridotte laminando il nucleo: è il legame, già incontrato, con le correnti parassite della seconda sezione.

\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0\,\sin(\omega t), \qquad \mathcal{E}_0 = N\,B\,A\,\omega

F.e.m. dell'alternatore

F.e.m. sinusoidale prodotta da una bobina di N spire e area A che ruota con velocità angolare omega in un campo uniforme B; l'ampiezza E_0 è il valore di picco.

\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}

Trasformatore ideale (tensioni)

Nel trasformatore ideale il rapporto fra le tensioni del secondario e del primario è uguale al rapporto fra i rispettivi numeri di spire.

V_p\,I_p = V_s\,I_s

Conservazione della potenza

Nel trasformatore ideale (senza perdite) la potenza si conserva: a un aumento della tensione corrisponde una diminuzione proporzionale della corrente.

Esempio svolto

Trasformatore abbassatore ideale

Un trasformatore ideale ha 1000 spire al primario e 50 spire al secondario. Al primario è applicata una tensione efficace di 220 V e il primario assorbe una potenza di 110 W. Determina la tensione al secondario e l'intensità di corrente al secondario.

Tensione al secondario
Si applica la relazione del trasformatore ideale fra tensioni e numeri di spire: V_s = V_p * (N_s / N_p).
Potenza al secondario
Nel trasformatore ideale la potenza si conserva, quindi la potenza al secondario è uguale a quella assorbita al primario.
Corrente al secondario
Dalla definizione di potenza in corrente alternata (valori efficaci, fattore di potenza unitario) si ricava I_s = P_s / V_s.

Risultato: La tensione al secondario è 11 V (trasformatore abbassatore) e la corrente al secondario è 10 A: la tensione è ridotta di un fattore 20 e la corrente aumenta dello stesso fattore, conservando la potenza.

Errori frequenti

Affermare che un trasformatore funziona anche in corrente continua: senza variazione di flusso (corrente costante) non si ha alcuna induzione e dunque nessuna tensione al secondario.
Credere che un trasformatore «crei» energia o potenza: esso modifica tensione e corrente lasciando invariata, nel caso ideale, la potenza; un aumento di tensione comporta una riduzione della corrente.

Approfondimento

La f.e.m. di un alternatore che ruota con pulsazione «ω» è «fem(t) = NBAω·sin(ωt)», con valore di picco «fem₀ = NBAω»: derivando il flusso «Φ = NBA·cos(ωt)» si vede subito perché la f.e.m. è massima quando il piano della spira è parallelo al campo (flusso nullo ma in rapidissima variazione) e nulla quando è perpendicolare. Poiché tensione e corrente alternate oscillano, si usano i valori EFFICACI (o quadratici medi): per un'onda sinusoidale «V_eff = V₀/√2», ed è il valore efficace che compare nei 230 V di rete, cioè quello che produce lo stesso effetto Joule di una tensione continua equivalente. Nel trasformatore ideale lo stesso flusso attraversa entrambi gli avvolgimenti, quindi «V₂/V₁ = N₂/N₁», e la conservazione della potenza «V₁i₁ = V₂i₂» impone «i₂/i₁ = N₁/N₂»: elevare la tensione riduce la corrente. È questa possibilità, offerta solo dalla corrente alternata, ad averla fatta prevalere sulla corrente continua nella «guerra delle correnti» di fine Ottocento e a fondare l'intera rete elettrica moderna.

Ripasso attivo

Un trasformatore ideale ha 1000 spire al primario e 50 spire al secondario. Al primario è applicata una tensione efficace di 220 V e il primario assorbe una potenza di 110 W. Determina la tensione al secondario e l'intensità di corrente al secondario.

Richiamo attivo

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Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Punti chiave

Flusso concatenato con una spira inclinata

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F.e.m. indotta in una bobina e verso della corrente

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F.e.m. autoindotta ed energia di un induttore

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Trasformatore abbassatore ideale

Fonti

Induzione elettromagnetica

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Flusso concatenato con una spira inclinata

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F.e.m. indotta in una bobina e verso della corrente

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F.e.m. autoindotta ed energia di un induttore

Punti chiave

Trasformatore abbassatore ideale

Fonti