Dinamica e leggi di Newton

I tre princìpi della dinamica#

StandardOSA-fisica-meccanica-dinamica — I tre princìpi della dinamica e il concetto di forza; massa inerziale e gravitazionale; sistemi di riferimento inerziali e non inerziali (cenni alle forze apparenti)

Mappa concettuale dei tre princìpi della dinamica

La dinamica risponde alla domanda che la cinematica lascia aperta: perché un corpo cambia il proprio stato di moto? La risposta di Newton è la forza, intesa come grandezza vettoriale che misura l'interazione fra corpi. I tre princìpi enunciati nei «Principia» del 1687 costituiscono il fondamento di tutta la meccanica classica e si applicano nei sistemi di riferimento inerziali.

Il primo principio, o principio d'inerzia, eredita l'intuizione di Galileo: un corpo non soggetto a forze, oppure soggetto a forze la cui risultante è nulla, permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Questo principio definisce implicitamente i sistemi di riferimento inerziali, cioè quelli in cui esso vale; in tali sistemi la velocità si conserva in assenza di forza risultante. La quiete e il moto rettilineo uniforme sono dunque stati dinamicamente equivalenti.

Il secondo principio quantifica la relazione causa-effetto: la risultante delle forze applicate a un corpo è uguale al prodotto della sua massa per l'accelerazione che esso acquista, secondo l'equazione vettoriale F = m·a. L'accelerazione ha sempre la stessa direzione e lo stesso verso della forza risultante; la massa m che compare in questa legge è la massa inerziale, misura della resistenza del corpo a variare il proprio moto. Quanto maggiore è la massa, tanto minore è l'accelerazione prodotta dalla stessa forza.

Il terzo principio, o principio di azione e reazione, afferma che se un corpo A esercita su un corpo B una forza, allora B esercita su A una forza uguale in modulo, di uguale direzione e di verso opposto. Le due forze agiscono però su corpi diversi e perciò non si annullano mai a vicenda: questo è l'errore concettuale più diffuso. La massa inerziale (che compare in F = m·a) coincide sperimentalmente con la massa gravitazionale (che compare nella forza peso): è il principio di equivalenza, verificato con altissima precisione e fondamento, più tardi, della relatività generale (approfondimento, fuori dall'Esame di Stato nei suoi sviluppi).

\vec{F}_{\text{ris}} = \vec{0} \iff \vec{v} = \text{costante}

1° principio

Principio d'inerzia: risultante nulla equivale a velocità costante (quiete o moto rettilineo uniforme).

\vec{F}_{\text{ris}} = m\,\vec{a}

2° principio

La risultante delle forze è uguale alla massa inerziale per l'accelerazione; a ha la stessa direzione e verso di F.

\vec{F}_{A \to B} = -\,\vec{F}_{B \to A}

3° principio

Azione e reazione: stesso modulo, stessa direzione, verso opposto, ma applicate a corpi diversi.

Esempio svolto

Forza risultante su un'automobile che accelera

Un'automobile di massa 1200 kg accelera in linea retta da ferma fino a 25 m/s in 10 s su strada orizzontale. Determina l'accelerazione media e l'intensità della forza risultante che agisce sul veicolo, supponendola costante.

Accelerazione media
L'accelerazione media è la variazione di velocità divisa per il tempo: parte da fermo (v0 = 0).
Secondo principio
La forza risultante si ottiene dal secondo principio della dinamica applicato in modulo, lungo la direzione del moto.
Calcolo numerico
Si esegue il prodotto e si esprime il risultato in newton.

Risultato: L'accelerazione media è 2,5 m/s² e la forza risultante è 3000 N (3,0 kN), diretta nel verso del moto.

Errori frequenti

Considerare azione e reazione come forze che si elidono: agiscono su corpi distinti, quindi non si sommano mai nello stesso diagramma di corpo libero.
Credere che senza forza non ci sia moto: in assenza di forza risultante il corpo prosegue di moto rettilineo uniforme (primo principio), non si ferma.

Approfondimento

La forma «F⃗ = m·a⃗» è un caso particolare della formulazione più generale che Newton dà in termini di quantità di moto «p⃗ = m·v⃗»: la risultante delle forze è uguale alla rapidità di variazione della quantità di moto, «F⃗ = dp⃗/dt». Se la massa è costante, «dp⃗/dt = m·dv⃗/dt = m·a⃗» e si ritrova la forma familiare; ma «F⃗ = dp⃗/dt» resta valida anche quando la massa varia (il razzo che espelle gas) e sarà la forma corretta in relatività. Sul piano dei riferimenti, i tre princìpi valgono in quelli inerziali: in un riferimento accelerato — un'auto che frena, una giostra che ruota — per continuare a scrivere «F = m·a» occorre introdurre forze apparenti o d'inerzia (la forza centrifuga, la forza di Coriolis), che non corrispondono ad alcuna interazione reale ma soltanto all'accelerazione del riferimento stesso. Il criterio operativo per riconoscere un sistema inerziale è proprio il primo principio: vi vale se un corpo isolato mantiene velocità costante.

Ripasso attivo

Un'automobile di massa 1200 kg accelera in linea retta da ferma fino a 25 m/s in 10 s su strada orizzontale. Determina l'accelerazione media e l'intensità della forza risultante che agisce sul veicolo, supponendola costante.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Tipi di forze e diagramma di corpo libero#

StandardOSA-fisica-meccanica-dinamica — Forze fondamentali e forze di contatto: peso, reazione vincolare, tensione, attrito statico e dinamico, forza elastica

Per applicare il secondo principio occorre prima individuare tutte le forze che agiscono su un corpo: è ciò che fa il diagramma di corpo libero, lo strumento metodologico centrale della dinamica. Si isola il corpo, lo si riduce a un punto e si disegnano come vettori applicati tutte e sole le forze esterne che agiscono su di esso, ignorando le forze che esso esercita sugli altri corpi.

La forza peso è l'attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra: ha modulo P = m·g, è sempre diretta verticalmente verso il basso, e g ≈ 9,81 m/s² è l'accelerazione di gravità. È bene distinguere la massa (grandezza scalare, in kg, invariante) dal peso (forza, in newton, dipendente dal luogo). La reazione vincolare normale N è la forza che una superficie esercita perpendicolarmente a sé stessa sul corpo appoggiato: su un piano orizzontale equilibra il peso, ma in generale N non è uguale al peso.

La tensione T è la forza trasmessa lungo una fune o un filo ideale (inestensibile e di massa trascurabile): ha lo stesso modulo in ogni punto e si dirige sempre lungo la fune, tirando il corpo verso il punto di sospensione. L'attrito è la forza di contatto parallela alle superfici che si oppone al moto relativo: l'attrito statico Fs ≤ μs·N impedisce l'inizio del moto fino a un valore massimo, mentre l'attrito dinamico Fd = μd·N agisce a corpo già in movimento, con μd generalmente minore di μs.

La forza elastica descrive il comportamento di una molla secondo la legge di Hooke F = −k·x, dove k è la costante elastica e x l'allungamento (o la compressione) rispetto alla posizione di riposo; il segno meno indica che la forza è di richiamo, sempre opposta alla deformazione. Il diagramma forza-allungamento è una retta passante per l'origine, la cui pendenza è proprio k: questa proporzionalità diretta vale finché non si supera il limite di elasticità del materiale (Fig. 2).

Diagramma di corpo libero di un blocco appoggiato e tirato

P = m\,g

Peso

Forza peso: massa per accelerazione di gravità (g ≈ 9,81 m/s²), diretta verticalmente verso il basso.

F_{s} \le \mu_{s}\,N \qquad F_{d} = \mu_{d}\,N

Attrito

Attrito statico fino al massimo μs·N (impedisce il moto); attrito dinamico μd·N a corpo in moto, con μd < μs.

F = -k\,x

Legge di Hooke

Forza elastica di richiamo: proporzionale alla deformazione x, di verso opposto; k è la costante elastica.

Esempio svolto

Allungamento di una molla all'equilibrio

Una molla di costante elastica k = 200 N/m è appesa verticalmente. Vi si attacca un corpo di massa 0,50 kg che la fa allungare fino all'equilibrio. Determina l'allungamento della molla all'equilibrio (g = 9,81 m/s²).

Diagramma di corpo libero
Sul corpo agiscono il peso verso il basso e la forza elastica di richiamo verso l'alto. All'equilibrio la risultante è nulla.
Equazione di equilibrio
Il modulo della forza elastica k·x eguaglia il peso m·g.
Calcolo dell'allungamento
Si isola x e si sostituiscono i valori numerici.

Risultato: L'allungamento all'equilibrio è circa 0,025 m, cioè 2,5 cm.

Errori frequenti

Disegnare la reazione normale N sempre uguale al peso: vale solo su piano orizzontale senza altre forze verticali; sul piano inclinato N = m·g·cos(θ).
Confondere massa e peso, oppure usare l'attrito dinamico come se fosse un valore massimo fisso anche prima dell'inizio del moto.

Approfondimento

La legge di Hooke «F = −k·x» ha una lettura energetica immediata: il lavoro compiuto per deformare la molla è l'area del triangolo sotto il grafico forza-allungamento, «L = ½k·x²», che si immagazzina come energia potenziale elastica e ricomparirà nella conservazione dell'energia. La proporzionalità vale solo nel tratto elastico lineare: oltre il limite di proporzionalità il materiale entra nel regime plastico e non recupera più la forma iniziale. Anche l'attrito ha un'origine microscopica — le microsaldature e le asperità fra le superfici reali a contatto — che spiega perché il coefficiente dinamico «μ_d» è minore dello statico «μ_s»: una volta rotti i legami statici, lo scorrimento li mantiene rotti. I coefficienti «μ» sono numeri puri, dipendono dalla coppia di materiali e non dall'area apparente di contatto né, in prima approssimazione, dalla velocità; la reazione normale «N», invece, dipende dalla configurazione delle forze, ed è per questo che l'attrito su un piano inclinato è minore che in piano.

Ripasso attivo

Una molla di costante elastica k = 200 N/m è appesa verticalmente. Vi si attacca un corpo di massa 0,50 kg che la fa allungare fino all'equilibrio. Determina l'allungamento della molla all'equilibrio (g = 9,81 m/s²).

Richiamo attivo

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Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Dinamica del piano inclinato e dei sistemi vincolati#

ApprofondimentoOSA-fisica-meccanica-dinamica — Applicazioni: piano inclinato, sistemi di corpi collegati

Blocco su piano inclinato: scomposizione delle forze

Il piano inclinato è il banco di prova classico della dinamica: vi si scompone la forza peso lungo due assi convenienti, uno parallelo al piano e uno perpendicolare. Scelto l'angolo θ di inclinazione, la componente del peso parallela al piano vale P∥ = m·g·sin(θ) ed è responsabile dello scivolamento, mentre la componente perpendicolare P⊥ = m·g·cos(θ) viene equilibrata dalla reazione normale N. Da qui segue subito N = m·g·cos(θ), in generale minore del peso.

In assenza di attrito, l'unica forza lungo il piano è P∥, quindi l'accelerazione di discesa è a = g·sin(θ): essa non dipende dalla massa, esattamente come nella caduta libera (ripasso), ed è tanto maggiore quanto più ripido è il piano. Quando l'attrito è presente, la forza d'attrito dinamico μd·N = μd·m·g·cos(θ) si oppone al moto, e l'accelerazione lungo il piano diventa a = g·(sin(θ) − μd·cos(θ)). Se sin(θ) ≤ μs·cos(θ), cioè tan(θ) ≤ μs, il corpo resta fermo: questa è la condizione dell'angolo critico.

Nei sistemi di corpi collegati da una fune ideale che scorre su una carrucola priva di attrito, i corpi condividono lo stesso modulo di accelerazione (vincolo di inestensibilità) e la fune trasmette una tensione di modulo unico. Il metodo consiste nello scrivere un'equazione del secondo principio per ciascun corpo, scegliendo un verso positivo coerente con il moto previsto del sistema, e nel risolvere il sistema di equazioni nelle incognite a e T.

Per la macchina di Atwood — due masse m1 ed m2 appese ai capi di una fune su una carrucola — sommando le due equazioni si elimina la tensione e si ottiene a = (m1 − m2)·g / (m1 + m2), con la tensione T = 2·m1·m2·g / (m1 + m2). Lo stesso schema si applica al corpo trainato su un tavolo da una massa appesa: si isola ogni corpo, si scrive F = m·a per ciascuno e si risolve. La chiave è sempre il diagramma di corpo libero corpo per corpo (Fig. 1).

N = m\,g\cos\theta \qquad P_{\parallel} = m\,g\sin\theta

Piano inclinato

Scomposizione del peso: la reazione normale equilibra la componente perpendicolare; la componente parallela causa lo scivolamento.

a = g\,(\sin\theta - \mu_{d}\cos\theta)

Discesa con attrito

Accelerazione lungo il piano in presenza di attrito dinamico; senza attrito (μd = 0) si riduce ad a = g·sin θ.

a = \dfrac{(m_{1}-m_{2})\,g}{m_{1}+m_{2}} \qquad T = \dfrac{2\,m_{1}m_{2}\,g}{m_{1}+m_{2}}

Macchina di Atwood

Accelerazione e tensione per due masse appese su una carrucola ideale, ottenute risolvendo il sistema delle due equazioni del moto.

Esempio svolto

Macchina di Atwood: accelerazione e tensione

Due corpi di massa m1 = 3,0 kg ed m2 = 2,0 kg sono collegati da una fune ideale che passa su una carrucola priva di attrito (macchina di Atwood). Determina l'accelerazione del sistema e la tensione della fune (g = 9,81 m/s²).

Equazioni dei due corpi
Il corpo più pesante scende, il più leggero sale; entrambi hanno lo stesso modulo di accelerazione a e la fune ha tensione unica T. Scrivo F = m·a per ciascuno.
Accelerazione
Sommando le due equazioni si elimina T e si ricava a.
Tensione
Sostituisco a in una delle due equazioni, ad esempio nella seconda, per ricavare T.

Risultato: L'accelerazione del sistema è circa 1,96 m/s² (≈ 2,0 m/s²) e la tensione della fune è circa 23,5 N.

Errori frequenti

Scambiare seno e coseno nella scomposizione del peso: la componente lungo il piano usa sin(θ), quella perpendicolare usa cos(θ).
Usare la stessa equazione complessiva trattando il sistema come un corpo unico senza poi ricavare la tensione, oppure assegnare tensioni diverse ai due capi di una fune ideale.

Approfondimento

La formula della macchina di Atwood si dimostra scrivendo il secondo principio per ciascun corpo con verso positivo concorde al moto: «m₁g − T = m₁a» per la massa che scende e «T − m₂g = m₂a» per quella che sale. Sommando membro a membro, la tensione si elide e si ottiene «a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂)»; risostituendo in una delle due si ricava «T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂)». Il trucco di trattare il sistema come un corpo unico di massa «m₁ + m₂» spinto dalla forza netta «(m₁ − m₂)g» fornisce subito l'accelerazione, ma NON la tensione, che richiede sempre di isolare almeno un corpo. Sul piano inclinato, la condizione di equilibrio statico «m·g·sinθ ≤ μ_s·m·g·cosθ» si semplifica — dividendo per «m·g·cosθ» — nella condizione elegante «tanθ ≤ μ_s»: l'angolo critico «θ_c = arctan(μ_s)» è quello a cui il corpo comincia a scivolare, e offre un metodo sperimentale semplice per misurare il coefficiente di attrito statico inclinando lentamente un piano fino al distacco.

Ripasso attivo

Due corpi di massa m1 = 3,0 kg ed m2 = 2,0 kg sono collegati da una fune ideale che passa su una carrucola priva di attrito (macchina di Atwood). Determina l'accelerazione del sistema e la tensione della fune (g = 9,81 m/s²).

Richiamo attivo

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Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Forza centripeta e moto circolare#

ApprofondimentoOSA-fisica-meccanica-dinamica — Applicazioni: moto circolare e forza centripeta; cenni alle forze apparenti nei sistemi non inerziali

Moto circolare: velocità tangenziale e forza centripeta

Nel moto circolare uniforme (ripasso cinematico) il modulo della velocità è costante, ma la sua direzione cambia continuamente: il vettore velocità ruota, quindi c'è un'accelerazione. Questa accelerazione, detta centripeta, è diretta verso il centro della traiettoria e ha modulo ac = v²/r = ω²·r, dove v è la velocità tangenziale, r il raggio e ω la velocità angolare. È un'accelerazione che non cambia la rapidità, ma solo la direzione del moto.

Per il secondo principio, a un'accelerazione corrisponde una forza: la forza centripeta è la risultante delle forze, diretta verso il centro, che mantiene il corpo sulla traiettoria curva. Il suo modulo è Fc = m·v²/r = m·ω²·r. È fondamentale capire che la forza centripeta non è una nuova forza fisica: è il nome del ruolo svolto dalla risultante delle forze reali già presenti (tensione di una fune, attrito, forza di gravità, reazione vincolare) quando puntano verso il centro.

Esempi concreti chiariscono questo punto: per un sasso fatto ruotare con una fune, la forza centripeta è la tensione della fune; per un'automobile in curva su strada piana, è l'attrito statico fra pneumatici e asfalto; per la Luna attorno alla Terra, è la forza di gravità. In ogni caso, se la forza centripeta venisse a mancare, il corpo proseguirebbe in linea retta per inerzia, tangente alla traiettoria, e non verso l'esterno.

Nel sistema di riferimento non inerziale solidale con il corpo in rotazione si avverte una forza apparente diretta verso l'esterno, la cosiddetta forza centrifuga (approfondimento sui sistemi non inerziali): essa non è una forza reale, ma l'effetto, descritto da chi ruota, della tendenza inerziale a proseguire in linea retta. In un sistema di riferimento inerziale la forza centrifuga semplicemente non esiste: c'è solo la forza centripeta reale che curva la traiettoria (Fig. 1).

a_{c} = \dfrac{v^{2}}{r} = \omega^{2} r

Accelerazione centripeta

Diretta verso il centro; dipende dalla velocità tangenziale v (o angolare ω) e dal raggio r. Cambia la direzione del moto, non il modulo della velocità.

F_{c} = m\,\dfrac{v^{2}}{r} = m\,\omega^{2} r

Forza centripeta

Risultante delle forze reali diretta verso il centro, necessaria a mantenere il corpo sulla traiettoria circolare.

Esempio svolto

Forza centripeta su un'automobile in curva

Un'automobile di massa 1000 kg percorre una curva piana di raggio 50 m alla velocità costante di 15 m/s. Determina l'intensità della forza centripeta necessaria e indica quale forza reale la fornisce.

Accelerazione centripeta
Il moto è circolare uniforme: l'accelerazione è centripeta, di modulo v²/r.
Forza centripeta
Per il secondo principio, la forza necessaria è massa per accelerazione centripeta.
Forza reale
Su strada piana, l'unica forza orizzontale diretta verso il centro è l'attrito statico fra pneumatici e asfalto: è esso a fornire la forza centripeta.

Risultato: Serve una forza centripeta di 4500 N (4,5 kN), diretta verso il centro della curva, fornita dall'attrito statico fra pneumatici e asfalto.

Errori frequenti

Credere che esista una forza centrifuga reale diretta verso l'esterno in un sistema inerziale: l'unica forza reale che curva la traiettoria è quella centripeta, verso il centro.
Dimenticare che la velocità da inserire in v²/r è quella tangenziale, oppure usare il diametro al posto del raggio nella formula dell'accelerazione centripeta.

Approfondimento

Il ruolo della forza centripeta si comprende a fondo in tre casi limite. Nella curva sopraelevata di angolo «α», la componente orizzontale della reazione normale fornisce la forza centripeta e la velocità di equilibrio senza attrito è «v = √(g·r·tanα)»: è la ragione per cui autodromi e ferrovie inclinano le curve verso l'interno. Nel «giro della morte» di raggio «r», nel punto più alto sia il peso sia la reazione della guida sono diretti verso il centro, quindi «m·g + N = m·v²/r»; la condizione limite «N = 0» dà la velocità minima «v_min = √(g·r)» sotto la quale il corpo si stacca. Nel pendolo conico la componente orizzontale della tensione è centripeta mentre quella verticale equilibra il peso, e da questo sistema si ricava il periodo. In ogni caso il metodo è unico: si disegna il diagramma di corpo libero con le sole forze reali e si impone che la loro RISULTANTE diretta verso il centro valga «m·v²/r» — la forza centripeta non va mai aggiunta come una forza in più.

Ripasso attivo

Un'automobile di massa 1000 kg percorre una curva piana di raggio 50 m alla velocità costante di 15 m/s. Determina l'intensità della forza centripeta necessaria e indica quale forza reale la fornisce.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Punti chiave

Forza risultante su un'automobile che accelera

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Allungamento di una molla all'equilibrio

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Macchina di Atwood: accelerazione e tensione

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Forza centripeta su un'automobile in curva

Fonti

Dinamica e leggi di Newton

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Forza risultante su un'automobile che accelera

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Allungamento di una molla all'equilibrio

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Macchina di Atwood: accelerazione e tensione

Punti chiave

Forza centripeta su un'automobile in curva

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