Cinematica del punto materiale

Approfondimento

In forma pienamente vettoriale la posizione del punto è il vettore «r⃗(t)» che va dall'origine al punto mobile; la velocità istantanea è la sua derivata «v⃗ = dr⃗/dt» ed è sempre tangente alla traiettoria, mentre l'accelerazione istantanea è «a⃗ = dv⃗/dt = d²r⃗/dt²». Poiché la velocità è un vettore, può variare in modulo, in direzione o in entrambi: da qui la decomposizione dell'accelerazione in una componente tangenziale «a_t = dv/dt» — che misura la variazione del modulo della velocità — e una componente normale (centripeta) «a_n = v²/r» diretta verso il centro di curvatura, che misura la variazione della direzione. Un moto è rettilineo quando «a_n = 0» e uniforme quando «a_t = 0»: questa lettura spiega fin d'ora perché un corpo può accelerare pur mantenendo costante il modulo della velocità, e prepara lo studio del moto circolare e del moto vario.

Approfondimento

La relazione «senza tempo» si dimostra eliminando «t» fra le due leggi: da «v = v₀ + a·t» si ricava «t = (v − v₀)/a» e, sostituendo in «s − s₀ = v₀t + ½at²», dopo le semplificazioni si ottiene «v² = v₀² + 2a(s − s₀)». Con gli strumenti dell'analisi le stesse leggi si leggono come derivate e integrali: la velocità è la derivata della posizione, «v = ds/dt», e l'accelerazione la derivata della velocità, «a = dv/dt»; viceversa la posizione è la primitiva della velocità, «s(t) = s₀ + ∫₀ᵗ v(t′) dt′», e lo spostamento coincide con l'area con segno sottesa al grafico «v-t». Per il moto uniformemente accelerato quell'area è un trapezio di basi «v₀» e «v» e altezza «t», da cui «s − s₀ = ½(v₀ + v)·t»: si ritrova così, senza calcolo, che la velocità media vale «(v₀ + v)/2» — una formula valida SOLO quando l'accelerazione è costante.

Approfondimento

Eliminando il tempo fra le due leggi del proiettile si ottiene l'equazione cartesiana della traiettoria: da «x = v₀cosθ·t» segue «t = x/(v₀cosθ)», che sostituita in «y = v₀sinθ·t − ½g t²» dà «y(x) = x·tanθ − g x²/(2v₀²cos²θ)». È l'equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso, e conferma per via algebrica ciò che la composizione dei moti mostra geometricamente (Fig. 1). La gittata su terreno orizzontale segue dal tempo di volo «t_v = 2v₀sinθ/g» moltiplicato per la velocità orizzontale costante «v₀cosθ»: «G = 2v₀²sinθcosθ/g = v₀²sin(2θ)/g», massima per «θ = 45°» perché in tal caso «sin(2θ) = 1». Poiché «sin(2θ) = sin(180° − 2θ)», due angoli complementari (per esempio 30° e 60°) producono la stessa gittata, ma con tempi di volo e altezze massime diversi: è la simmetria caratteristica dei tiri balistici.

Approfondimento

Il modulo dell'accelerazione centripeta si ricava dal limite del rapporto incrementale del vettore velocità. In un intervallo «Δt» il vettore «v⃗», che ha modulo costante ma è sempre tangente, ruota dello stesso angolo «Δθ = ω·Δt» descritto dal raggio; il triangolo dei vettori velocità è simile al triangolo dei raggi, quindi «|Δv⃗| ≈ v·Δθ» ed è diretto verso il centro. Dividendo per «Δt» e passando al limite si ottiene «a_c = v·ω = v²/r = ω²r». Dal legame fra moto circolare e moto armonico discende poi tutta la cinematica delle oscillazioni: se «x(t) = A cos(ωt + φ)», derivando si ha la velocità «v(t) = −Aω sin(ωt + φ)» e l'accelerazione «a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²·x(t)». La proporzionalità «a = −ω²x» — accelerazione sempre opposta e proporzionale allo spostamento — è la firma dinamica dell'oscillatore armonico, e sarà la chiave per ricavare il periodo del pendolo e della molla nel capitolo di dinamica.